4.1 整式（11个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学七年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练【第4章《整式的加减》】 4.1 整式 （11个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：单项式的判断 1 考点讲练2：单项式的系数、次数 2 考点讲练3：写出满足某些特征的单项式 2 考点讲练4：单项式规律题 2 考点讲练5：多项式的判断 3 考点讲练6：多项式的项、项数或次数 3 考点讲练7：多项式系数、指数中字母求值 3 考点讲练8：将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 4 考点讲练9：整式的判断 4 考点讲练10：数字类规律探索 5 考点讲练11：图形类规律探索 5 中等题真题汇编练 6 培优题真题汇编练 10 考点讲练1：单项式的判断 【精讲题】（24-25七年级上·全国·课后作业）关于整式的概念，下列说法正确的是（    ）． A．的系数是 B．的次数是6 C．0是单项式 D．是五次三项式 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列代数式：，其中单项式的个数为（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【举一反三练2】（23-24七年级上·河南郑州·期末）下列代数式：，，，，，中，单项式共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 考点讲练2：单项式的系数、次数 【精讲题】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列关于单项式的说法正确的是（    ） A．系数是，次数是4 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是3 【举一反三练1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）单项式的系数是 ． 【举一反三练2】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）单项式的系数是 ；多项式的次数是 ． 考点讲练3：写出满足某些特征的单项式 【精讲题】（24-25七年级上·全国·课后作业）请写出一个单项式，使它满足系数为，次数为4且含有字母a，b，这个单项式可以为 ． 【举一反三练1】（2024·河南周口·三模）请你写出一个系数是2，次数是3的关于x和y的单项式： ． 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·假期作业）写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 考点讲练4：单项式规律题 【精讲题】（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）一组按规律排列的式子，，，，…按照上述规律，它的第n个式子（且n为整数）是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（22-23七年级上·山东德州·期中）按一定规律排列的单项式：第n个单项式是 （   ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（2024七年级上·江苏·专题练习）有一串代数式：，，，，…，，，…，求： (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律． (2)写出第2009个代数式． (3)写出第n个、第个代数式． 考点讲练5：多项式的判断 【精讲题】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的是（    ） A．0不是单项式 B．一定小于0 C．最大的负有理数是 D．是二次三项式 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）可以看作几个单项式的 的代数式叫作多项式． 【举一反三练2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中，是单项式的有 ，是多项式的有 ．（填序号） 考点讲练6：多项式的项、项数或次数 【精讲题】（2024七年级上·浙江·专题练习）多项式的最高次项是 ，该多项式的次数是 ． 【举一反三练1】（2024七年级上·上海·专题练习）多项式的常数项是 ． 【举一反三练2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）请写出一个整式，使其同时满足以下条件：①该整式中只含有字母；②该整式的次数为5，项数为3；③该整式不含二次项： ． 考点讲练7：多项式系数、指数中字母求值 【精讲题】（2024六年级上·上海·专题练习）式子是关于x的一次式，则a、b的值可能为（    ） A．0，1 B．1，2 C．0，3 D．1，1 【举一反三练1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若多项式是四次三项式，则 ． 【举一反三练2】（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）多项式的三次项系数、二次项系数和常数项在数轴上分别对应、、三个点，请回答下列各题： (1)、、这三个点表示的数分别是______，______，______，请在数轴上标出来． (2)若点每秒向右移动个单位长度，点每秒向右移动个单位长度，点每秒向左移动个单位长度，几秒钟时点到点和点的距离相等？ 考点讲练8：将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【精讲题】（24-25七年级上·上海·阶段练习）把整式按降幂排列： ． 【举一反三练1】（2024七年级上·全国·专题练习）有一个多项式为，按照此规律写下来，这个多项式的第六项是 ． 【举一反三练2】（22-23七年级上·河南洛阳·期末）若多项式是按字母x降幂排列的，则整数n的值可以是 （写出一个即可） 考点讲练9：整式的判断 【精讲题】（24-25七年级上·全国·课后作业）在式子中，整式共有 个． 【举一反三练1】（23-24七年级上·全国·单元测试）观察下列各式：，，，，，，其中整式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【举一反三练2】（2024七年级上·全国·专题练习）将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． (1)单项式：___________； (2)整式：___________； (3)二项式：___________． 考点讲练10：数字类规律探索 【精讲题】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）有依次排列的3个数：2，7，6，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，5，7，，6，这是第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：2，3，5，2，7，，，7，6；继续依次操作下去……，那么从数串2，7，6开始操作，第2024次以后，所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 【举一反三练1】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）古希腊著名的必达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现任何一个大于1的“正方形数”可以写成两个相邻的“三角形数”，即：（1）；（2）；（3），…按这一规律，请写出第6个图形中的一条等式( )． 【举一反三练2】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下列三行数： 2，， 8，，32，，… 5，， 11，，35，，… ， 5，，17，31，65，… (1)第一行的第7个数是（  ），第二行的第7个数是（  ）； (2)三行第4个数的和是（  ），设第一行的第n个数为x，则第二行、第三行的第n个数分别为（     ）、（      ），则这三行三个数的和为（         ）（用含x的式子表示）； (3)取每行的第n个数，若三个数的和为，求n的值． 考点讲练11：图形类规律探索 【精讲题】（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2024个图案中的“”的个数是（      ） A．6075 B．6074 C．6073 D．6072 【举一反三练1】（2024七年级上·北京·专题练习）若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为和，如图．现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如：第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2023对应的字是（        ） A．振 B．兴 C．中 D．华 【举一反三练2】（24-25七年级上·山西忻州·阶段练习）用小棒按照如下方式摆图形 摆第个图形需要 根小棒． 中等题真题汇编练 1．（23-24七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图所示，数轴被折成，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数 2019将与圆周上的数字（     ）重合． A．3 B．0 C．1 D．2 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列代数式：，其中单项式的个数是（    ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（24-25七年级上·陕西延安·阶段练习）一列数，，，…，其中，，，…，，则的值是（   ） A． B． C．1010 D． 4．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2024应标在（    ） A．第506个正方形的左下角 B．第506个正方形的左上角 C．第507个正方形的右下角 D．第507个正方形的右上角 5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列各式中，是单项式的有（    ） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）规定：符号[x]叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数． 例如：，，． 现在有一列非负数，已知，当时，，则的值为 ． 7．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）有1000个数排成一行，其中任意三个相邻的数中，中间的数都等于另外两个数之和，如果第一个数是1，第二个数是2，那么这1000个数的和等于 ． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）的系数是 ，次数是 ； （2）的系数是 ，次数是 ． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）某多项式为，按这样的规律写下去，第6项是 ，此多项式应是 次 项式． 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）是 ， ， 三项的和，此多项式的次数是 ； （2）多项式的最高次项是 ，次数是 ，它是 次 项式； （3）的次数是 ，的次数是 ，常数项是 ． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）在数学活动中，小明在边长为1的正方形中设计了如图①所示的图形． (1)根据这个图形，可以直接写出______； (2)请你在图②中再设计一个能表示的图形． 12．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）观察下列等式，并探索规律： (1)请回答： ； (2)请回答： （且n为正整数）； (3)请用上述规律计算： 13．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）已知，，，…，按照这个规律完成下列问题： (1) ______． (2)猜想： ． (3)利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）． 14．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【阅读理解】 根据上面得到的启发完成下面的计算： (1)根据规律，是第 个数； (2)请直接写出计算的结果： ； (3)根据已给条件计算下列各式的值： ① ② 培优题真题汇编练 15．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为12，我们发现第1次输出的结果为6，第2次输出的结果为3，……第2013次输出的结果为（ ） A．3 B．6 C．4 D．8 16．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2024这个数所对应的点是（   ） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 17．（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）已知一列数，，，…，它们满足关系式，，，…，当时，则（    ） A．2 B． C． D． 18．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为81，我们看到第一次输出的结果为27，第二次输出的结果为9，则第8次输出的结果为（      ） A．1 B．2 C．4 D．8 19．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）如图1，数轴上方有1个方块，记图1共有个方块；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方的2个方块，记图2共有个方块，图3的数轴上方有4个方块，下方有2个方块，记图3共有个方块；同理，记图4共有个方块．故按照此规律第2024个图中共有方块（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 20．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）将一些半径相同的小圆圈按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有 个小圆圈． 21．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）观察以下等式：，，， 将以上三个等式两边分别相加得：， 猜想并写出： ． 如果，求 ． 22．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）已知，，，，，按此规律， ． 23．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）按一定规律排列的一列数为，，，，，12，…，则第11个数为 ． 24．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）按一定规律排成的一列数：，，，，，，，则这列数中的第2016个数是 ． 25．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）观察下列各式： ，，． (1)猜想＝______ (2)用你发现的规律计算： ． 26．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）当把一张纸对折1次时，纸的层数为2；对折2次时，纸的层数为4，照这样折下去： (1)当你将纸对折5次时，其层数是________；对折6次时，其层数是________． (2)如果一张纸的厚度是，假设对折6次，求对折后纸的总厚度？ 27．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）观察下面三行数： ，64，…；① ，5，，17，，65，…；② ，8，，32，，128，…．③ (1)第①行第8个数为______； (2)用含n（n为正整数）的式子表示第①②③行中第n个数； (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2024个数，求的值． 28．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）观察下列式子，，，，… (1)用正整数n表示第n个式子； (2)设，解决下列问题： ①求出的值． ②试判断式子的结果与相等吗？请说明理由 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练【第4章《整式的加减》】 4.1 整式 （11个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：单项式的判断 1 考点讲练2：单项式的系数、次数 2 考点讲练3：写出满足某些特征的单项式 3 考点讲练4：单项式规律题 4 考点讲练5：多项式的判断 6 考点讲练6：多项式的项、项数或次数 7 考点讲练7：多项式系数、指数中字母求值 8 考点讲练8：将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 10 考点讲练9：整式的判断 11 考点讲练10：数字类规律探索 12 考点讲练11：图形类规律探索 14 中等题真题汇编练 16 培优题真题汇编练 27 考点讲练1：单项式的判断 【精讲题】（24-25七年级上·全国·课后作业）关于整式的概念，下列说法正确的是（    ）． A．的系数是 B．的次数是6 C．0是单项式 D．是五次三项式 【答案】C 【思路点拨】本题考查了单项式与多项式的定义、单项式的系数与次数的概念，熟记各定义是解题关键．根据单项式的定义、系数与次数的概念、多项式的定义逐项判断即可得． 【规范解答】解：A、的系数是，此项说法错误； B、的次数是，此项说法错误； C、0是单项式，此项说法正确； D、是三次三项式，此项说法错误； 故选：C． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列代数式：，其中单项式的个数为（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路点拨】本题考查单项式的概念，根据单项式是数字与字母的乘积的代数式逐个判断即可求解． 【规范解答】解：在所给代数式中，，，，是单项式，共4个， 故选：C． 【举一反三练2】（23-24七年级上·河南郑州·期末）下列代数式：，，，，，中，单项式共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是单项式，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．根据单项式的定义解答即可． 【规范解答】解：代数式：，，，，，中，，，，是单项式．共有个． 故选：C． 考点讲练2：单项式的系数、次数 【精讲题】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列关于单项式的说法正确的是（    ） A．系数是，次数是4 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是3 【答案】A 【思路点拨】本题考查了单项式有关的概念：数与字母的积叫做单项式，其中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数；根据单项式相关概念判断即可． 【规范解答】解：单项式的系数是，次数是4，故A正确； 故选：A． 【举一反三练1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）单项式的系数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了单项式的概念，根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数解答即可． 【规范解答】解：的系数是， 故答案为： 【举一反三练2】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）单项式的系数是 ；多项式的次数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了单项式的系数，多项式的次数．根据单项式中数字因数叫做单项式的系数，多项式的次数是多项式中最高次项的次数，即可求解． 【规范解答】解：单项式的系数是；多项式的次数是． 故答案为：，． 考点讲练3：写出满足某些特征的单项式 【精讲题】（24-25七年级上·全国·课后作业）请写出一个单项式，使它满足系数为，次数为4且含有字母a，b，这个单项式可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了单项式次数与系数，直接利用单项式次数、系数与所含字母得出答案． 【规范解答】解：根据系数为，次数为4且含有字母a，b，这个单项式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【举一反三练1】（2024·河南周口·三模）请你写出一个系数是2，次数是3的关于x和y的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了单项式的系数、次数的定义，深刻理解定义是解题关键． 根据单项式的系数（单项式中的数字因式）、次数（单项式中所有字母指数的和为单项式的次数）的定义即可得． 【规范解答】解：由题意，这个单项式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·假期作业）写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【思路点拨】本题考查了单项式，利用单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和． （1）直接利用单项式的定义分析得出答案； （2）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案； （3）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案． 【规范解答】（1）解：由题意可得：，，，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 考点讲练4：单项式规律题 【精讲题】（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）一组按规律排列的式子，，，，…按照上述规律，它的第n个式子（且n为整数）是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了单项式的变化规律，先根据分子、分母的变化得出规律，再根据分式符号的变化得出规律是解题的关键． 【规范解答】解：观察知，分母按1，3，5，7，．．．．．．排列，则第n个式子分母为； 分子按，，，，．．．．．排列，则第n个式子分子为； 奇数个式子的符号为正，偶数个式子的符号为负，则第n个式子的符号为， 所以第n个式子为： 故选D． 【举一反三练1】（22-23七年级上·山东德州·期中）按一定规律排列的单项式：第n个单项式是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】从系数，指数两个角度去探索各自遵循的基本规律，解答即可． 本题考查了规律探索，熟练掌握从系数，指数两个角度去探索各自遵循的基本规律时解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得，， ，， 故第n个单项式是， 故选C． 【举一反三练2】（2024七年级上·江苏·专题练习）有一串代数式：，，，，…，，，…，求： (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律． (2)写出第2009个代数式． (3)写出第n个、第个代数式． 【答案】(1)这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数第奇数个为负，第偶数个为正 (2) (3) 【思路点拨】本题考查代数式． （1）根据各个单项式的系数及其正负号、次数，用语言叙述它们的规律即可； （2）根据这串代数式的规律解答即可； （3）根据这串代数式的规律解答即可． 【规范解答】（1）这组代数式的规律是：这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数第奇数个为负，第偶数个为正． （2）根据这串代数式的规律，第2009个代数式是； （3）第n个代数式是，第个代数式是． 考点讲练5：多项式的判断 【精讲题】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的是（    ） A．0不是单项式 B．一定小于0 C．最大的负有理数是 D．是二次三项式 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查有理数，单项式，多项式的相关概念，根据相关概念逐一判断即可，熟知有理数，单项式，多项式的相关概念是解题的关键． 【规范解答】解：A、0是单项式，故A不符合题意； B、可能等于0，选项错误，故B不符合题意； C、是有理数，而且比大，故最大的负有理数不是，故C不符合题意； D、是二次三项式，故D符合题意， 故选：D． 【举一反三练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）可以看作几个单项式的 的代数式叫作多项式． 【答案】和 【思路点拨】本题考查多项式的概念，熟知多项式概念即可解题． 【规范解答】解：根据多项式的概念可知：可以看作几个单项式的和的代数式叫作多项式． 故答案为：和． 【举一反三练2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中，是单项式的有 ，是多项式的有 ．（填序号） 【答案】 ①②⑥ ③④⑦ 【思路点拨】本题考查单项式、多项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念．单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式；多项式：若干个单项式的代数和组成的式子；整式；单项式和多项式统称为整式；据此逐个分析即可求解． 【规范解答】解：单项式有：，， 多项式有：，，， 是不等式，是分式，故不属于整式； 故答案为：①②⑥；③④⑦． 考点讲练6：多项式的项、项数或次数 【精讲题】（2024七年级上·浙江·专题练习）多项式的最高次项是 ，该多项式的次数是 ． 【答案】 4 【思路点拨】此题主要考查了多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．直接利用多项式的次数确定方法分别得出答案． 【规范解答】解：多项式的最高次项是：， 该多项式的次数是：4． 故答案为：，4． 【举一反三练1】（2024七年级上·上海·专题练习）多项式的常数项是 ． 【答案】 【思路点拨】几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，据此解答即可．本题考查了多项式，掌握多项式的相关定义是解题的关键． 【规范解答】解：多项式的常数项是． 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）请写出一个整式，使其同时满足以下条件：①该整式中只含有字母；②该整式的次数为5，项数为3；③该整式不含二次项： ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了整式．根据整式的定义和题目的要求写出即可． 【规范解答】解：这个整式可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 考点讲练7：多项式系数、指数中字母求值 【精讲题】（2024六年级上·上海·专题练习）式子是关于x的一次式，则a、b的值可能为（    ） A．0，1 B．1，2 C．0，3 D．1，1 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次式的定义，解题的关键是掌握含未知数的项的最高次数为1的整式是一次式． 根据题意得出，求出a和b的值，再结合给出的选项即可得出答案 【规范解答】解：∵多项式是关于x的一次式， ∴， ∴， ∴a、b的值可能为1，2； 故选：B． 【举一反三练1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若多项式是四次三项式，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查多项式的定义，根据多项式是四次三项式可知，，可得、的值，即可得解．掌握多项式的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值． 【规范解答】解：∵多项式是四次三项式， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）多项式的三次项系数、二次项系数和常数项在数轴上分别对应、、三个点，请回答下列各题： (1)、、这三个点表示的数分别是______，______，______，请在数轴上标出来． (2)若点每秒向右移动个单位长度，点每秒向右移动个单位长度，点每秒向左移动个单位长度，几秒钟时点到点和点的距离相等？ 【答案】(1)，，，数轴表示见解析 (2)秒或秒 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及多项式，解题的关键是熟悉多项式的定义和找准等量关系列出一元一次方程． 由多项式的三次项系数、二次项系数和常数项在数轴上分别对应、、三个点，可找出，，这三个点表示的数，再将其标在数轴上即可； 当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，根据点到点和点的距离相等，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵多项式的三次项系数、二次项系数和常数项在数轴上分别对应、、三个点， 点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． 在数轴上标如图所示． （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：秒或秒时点到点和点的距离相等． 考点讲练8：将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【精讲题】（24-25七年级上·上海·阶段练习）把整式按降幂排列： ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了多项式降幂排列的定义．按字母y的指数从大到小排列即可． 【规范解答】解：多项式按字母y的降幂排列为：． 故答案为：． 【举一反三练1】（2024七年级上·全国·专题练习）有一个多项式为，按照此规律写下来，这个多项式的第六项是 ． 【答案】/ 【思路点拨】此题考查的是对多项式的规律．由多项式的特点可知，该多项式是加减替换，a从最高次方向最低次方递减，b从最低次方到最高次方递增．由此求解即可． 【规范解答】解：因为a的指数第一项为8，第二项为7，第三项为6… 所以第六项为3； 又由于两个字母指数的和为8，偶数项为负， 所以第6项为． 故答案为：． 【举一反三练2】（22-23七年级上·河南洛阳·期末）若多项式是按字母x降幂排列的，则整数n的值可以是 （写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了多项式，能根据多项式是按字母降幂排列得出是解此题的关键．根据多项式是按字母降幂排列得出，求出的范围，再根据为整数求出答案即可． 【规范解答】解：多项式是按字母降幂排列， ， ， 为整数， 或2或3或4． 故答案为：3（答案不唯一） 考点讲练9：整式的判断 【精讲题】（24-25七年级上·全国·课后作业）在式子中，整式共有 个． 【答案】4 【思路点拨】本题考查整式的概念，根据单项式和多项式统称整式逐个判断即可． 【规范解答】解：在式子中，，，，是整式，共4个， 故答案为：4． 【举一反三练1】（23-24七年级上·全国·单元测试）观察下列各式：，，，，，，其中整式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了整式的判断，根据定义逐项判断即可．单项式和多项式统称为整式． 【规范解答】是单项式，是多项式， 所以，整式有，一共有5个． 故选：C． 【举一反三练2】（2024七年级上·全国·专题练习）将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． (1)单项式：___________； (2)整式：___________； (3)二项式：___________． 【答案】(1)③④⑨ (2)①②③④⑤⑨ (3)②⑤ 【思路点拨】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式，二项式的定义． （1）根据单项式的定义即可求解． （2）根据整式的定义即可求解． （3）根据二项式的定义即可求解． 【规范解答】（1）单项式有：③，④0，⑨； 故答案为：③④⑨． （2）整式有：①，②，③，④0，⑤，⑨； 故答案为：①②③④⑤⑨； （3）二项式有：②，⑤； 故答案为：②⑤． 考点讲练10：数字类规律探索 【精讲题】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）有依次排列的3个数：2，7，6，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，5，7，，6，这是第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：2，3，5，2，7，，，7，6；继续依次操作下去……，那么从数串2，7，6开始操作，第2024次以后，所产生的那个新数串的所有数之和是 ． 【答案】8111 【思路点拨】本题主要考查数字变化类问题，根据规律分别求得第一次操作，第二次操作所增加的数都为4，从而求得第2024次操作后所有数之和，即可解答． 【规范解答】解：由题意可得，原数串所有数之和为：， 第一次操作后所有数字之和增加：， 第二次操作后所有数字之和增加：， …… 以此类推，每操作一次，新数串所有数字之和增加4， 因此，第2024次以后，所产生的那个新数串的所有数之和为：， 故答案为：8111． 【举一反三练1】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）古希腊著名的必达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现任何一个大于1的“正方形数”可以写成两个相邻的“三角形数”，即：（1）；（2）；（3），…按这一规律，请写出第6个图形中的一条等式( )． 【答案】 【思路点拨】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．观察图象中点的个数的规律有第一个图形是，第二个图形是，第三个图形是，…则按照此规律得到第6个图形的等式即可． 【规范解答】解：∵第1个图形是， 第2个图形是， 第3个图形是， … ∴第6个图形是． 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下列三行数： 2，， 8，，32，，… 5，， 11，，35，，… ， 5，，17，31，65，… (1)第一行的第7个数是（  ），第二行的第7个数是（  ）； (2)三行第4个数的和是（  ），设第一行的第n个数为x，则第二行、第三行的第n个数分别为（     ）、（      ），则这三行三个数的和为（         ）（用含x的式子表示）； (3)取每行的第n个数，若三个数的和为，求n的值． 【答案】(1)128， 131 (2)，，， (3) 【思路点拨】此题考查数字的变化规律，找出数字的变化规律，得出行之间的运算方法解决问题． （1）根据第①行已知数据都是2的乘方得到，再利用第①行每个数加上3可得第②行，从而可得出答案； （2）利用第②，③行与第①行的对应的数大小关系得出结论即可； （3）利用（1）（2）数据的规律进而得出方程求出即可． 【规范解答】（1）解：∵2，，8，，32，，……；① ∴，，，，… ∴第①行第7个数为：； ∵5，， 11，，35，，…② ∴，，，，，…， ∴第②行第7个数为：； （2）解：三行第4个数的和为：； ∵， 5，，17，31，65，…③， ∴，，，，… 结合（1）可得： 设第一行的第n个数为x，则第二行、第三行的第n个数分别为，， ∴这三行三个数的和为； （3）解：取每行的第n个数，三个数的和为，设第一行的第n个数为x， ∴， ∴， ∵第①行第偶数个系数为负数， ∴第一行的第n个数是； ∴， 解得：． 考点讲练11：图形类规律探索 【精讲题】（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2024个图案中的“”的个数是（      ） A．6075 B．6074 C．6073 D．6072 【答案】C 【思路点拨】本题考查了图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 根据题意可推导一般性规律为：第个图案中“”的个数是，然后计算求解即可． 【规范解答】 解：由题意知，第1个图案中“”的个数是4， 第2个图案中“”的个数是， 第3个图案中“”的个数是， 第4个图案中“”的个数是， …… ∴可推导一般性规律为：第个图案中“”的个数是， 当时，， 故选：C． 【举一反三练1】（2024七年级上·北京·专题练习）若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为和，如图．现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如：第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2023对应的字是（        ） A．振 B．兴 C．中 D．华 【答案】D 【思路点拨】本题考查了图形变化的规律型问题，找出“振”“兴”“中”“华”四个字对应的数的规律，由此即可得． 【规范解答】解：由题意可知：“中”字是数字除以4余2的，“华”字是数字除以4余3的，“振”字是数字能被4整除的，“兴”字是数字除以4余1的， 因为， 所以数2023对应的字“华”， 答案：D． 【举一反三练2】（24-25七年级上·山西忻州·阶段练习）用小棒按照如下方式摆图形 摆第个图形需要 根小棒． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了图形规律探索，结合题意确定图形变化规律是解题关键．根据题意确定图形变化规律，即可确定摆第个图形所需要的小棒根数． 【规范解答】解：根据题意， 摆第1个图形需要根小棒， 摆第2个图形需要根小棒， 摆第3个图形需要根小棒， ， 则摆第8个图形需要根小棒， 摆第个图形需要根小棒， 所以，摆第个图形需要． 故答案为：． 中等题真题汇编练 1．（23-24七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图所示，数轴被折成，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数 2019将与圆周上的数字（     ）重合． A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【思路点拨】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成．根据圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【规范解答】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的2重合的数是3，7，11…，即， 同理与1重合的数是， 与0重合的数是， 与3重合的数是， 其中n是正整数． 而， ∴数轴上的数2019将与圆周上的数字2重合． 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列代数式：，其中单项式的个数是（    ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了单项式的定义，由数与字母的积组成的代数式叫作单项式（特别地，单独一个数或一个字母也是单项式），据此逐个分析，即可作答． 【规范解答】解：依题意，是单项式， 故单项式的个数是2个． 故选：C． 3．（24-25七年级上·陕西延安·阶段练习）一列数，，，…，其中，，，…，，则的值是（   ） A． B． C．1010 D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子得到该列数以，，2这三个数不断循环出现．求出前几个数，再分析其特点，从而可求解． 【规范解答】解：∵， ∴，，，… 由规律可知，这列数按照，，2依次不断循环出现， ∵，……2， ∴， ∴． 故选D． 4．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2024应标在（    ） A．第506个正方形的左下角 B．第506个正方形的左上角 C．第507个正方形的右下角 D．第507个正方形的右上角 【答案】C 【思路点拨】本题考查了数字类的规律，发现正方形四个顶点所标的数字规律：第一个正方形的右下角的数是0，左上角的数是2，第二个正方形的右下角的数是4，左上角是6，第三个正方形的右下角的数是8，左上角的数是10，第四个正方形的右下角的数是12，左上角的数是14，即右下角的数能被4整除，左上角的数除以4的余数为2，因此第n个正方形的右下角的数是，左下角的数是,且为整数，依题意进行列式计算，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴数2024应标在右下角， 第n个正方形的右下角的数是，且为整数， 依题意，， 则， 则数2024应标在第507个正方形的右下角， 故选：C． 5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列各式中，是单项式的有（    ） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【思路点拨】本题考查了单项式的定义，掌握单项式的定义是解本题的关键． 根据单项式的定义，由数字和字母组成的积的代数式为单项式，进行一一判断即可求解； 【规范解答】解：由单项式的定义可知， ①，是单项式； ②，是单项式； ③，不是单项式； ④，是单项式； ⑤，不是单项式； ⑥，不是单项式； 所以单项式共个； 故选：A 6．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）规定：符号[x]叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数． 例如：，，． 现在有一列非负数，已知，当时，，则的值为 ． 【答案】13 【思路点拨】此题考查了规律型—数字的变化类，解题的关键是理解取整符号的定义，找到规律．根据题意依次求出，，，，，，得出，，…的变化规律，再利用规律求出的值． 【规范解答】解：∵， ∴， ， ， ， ， ．．．．．， ∴，，…的变化规律是以10，11，12，13，14这五个数依次循环， ∵， ∴， 故答案为：13． 7．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）有1000个数排成一行，其中任意三个相邻的数中，中间的数都等于另外两个数之和，如果第一个数是1，第二个数是2，那么这1000个数的和等于 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查数字的变化规律，能够通过所给数，探索数字之间的关系，从而发现规律是解题的关键，首先写出前两个数为1，2，根据任意三个相邻数中，中间数都等于它前后两个数的和推出后面的数，找到规律即可解答． 【规范解答】解：这1000个数的第一个数为1，第二个数为2，第三个数为1，第四个数位，第五个数为，第六个数为，第七个数为1，第八个数为2 ∴这1000个数六个一循环，其和为0， ∵（个）， ∴这1000个数的和等于最后4个数的和为， ∴这1000个数的和等于3， 故答案为：3． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）的系数是 ，次数是 ； （2）的系数是 ，次数是 ． 【答案】 1 3 4 【思路点拨】本题考查了单项式的次数和系数，单项式中的数字因数叫作它的系数．单项式中所有字母的指数的和叫作它的次数．据此这个分析作答（1）（2）即可． 【规范解答】解：（1）的系数是1，次数是3； 故答案为：1，3． （2）的系数是，次数是4． 故答案为：，4． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）某多项式为，按这样的规律写下去，第6项是 ，此多项式应是 次 项式． 【答案】 八 九 【思路点拨】本题主要是寻找多项式排列的规律问题，以及多项式的项数和次数，由多项式排列的特点可知：该多项式正负交替，从开始降次一直递减到0，从开始升次递增到，且当为偶次时该项系数为正，当为奇次时该项系数为负，根据该规律以及多项式的项数和次数，即可解题． 【规范解答】解：根据题意得到其规律为从开始降次一直递减到0，从开始升次递增到，且当为偶次时该项系数为正，当为奇次时该项系数为负， 按这样的规律写下去，第6项是， 此多项式应是八次九项式， 故答案为：，八，九． 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）是 ， ， 三项的和，此多项式的次数是 ； （2）多项式的最高次项是 ，次数是 ，它是 次 项式； （3）的次数是 ，的次数是 ，常数项是 ． 【答案】 5 五 二 1 2 【思路点拨】本题考查了多项式的项和次数．多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式中每个单项式叫做多项式的项．根据相关概念即可求解． 【规范解答】解：（1）是，，三项的和，此多项式的次数是； 故答案为：，，，． （2）多项式的最高次项是，次数是，它是五次二项式； 故答案为：，，五，二． （3）的次数是，的次数是，常数项是． 故答案为：，，． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）在数学活动中，小明在边长为1的正方形中设计了如图①所示的图形． (1)根据这个图形，可以直接写出______； (2)请你在图②中再设计一个能表示的图形． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了根据图形面积计算式子的值，解题的关键是要结合图形分析计算其面积和的方法是总面积减去剩下的面积． （1）根据图形分析，用“面积法”解题；即面积为，可看作用正方形的面积减去第n个矩形的面积，为； （2）仿照（1）依次将四边形的面积平分即可． 【规范解答】（1）解：该式子可以看作大正方形去除最后一块三角形的区域面积之和，大正方形面积为1，最后一块三角形的面积为； ∴． （2）解：只要保证每次划分后的区域面积是上次的一半即可，可以划分为两个三角形，也可以划分为两个长方形等．如图所示：（答案不唯一） 12．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）观察下列等式，并探索规律： (1)请回答： ； (2)请回答： （且n为正整数）； (3)请用上述规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了数字类的规律： （1）观察可知从1开始的连续的奇数之和等于奇数个数的平方，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求可得答案； （3）分别求出，，两式相减即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ， ……， 以此类推，可知， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可得； 故答案为：； （3）解：由（1）可得， ， ∴ ． 13．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）已知，，，…，按照这个规律完成下列问题： (1) ______． (2)猜想： ． (3)利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）． 【答案】(1)225，5，6 (2) (3)669375 【思路点拨】本题考查了数字的变化类问题，仔细的观察题目提供的算式并找到规律是解决此题的关键． （1）根据题目提供的三个算式利用类比法可以得到的结果； （2）根据上面的四个算式总结得到规律； （3）转化为后利用总结的规律即可求得答案． 【规范解答】（1）解：∵，，， 故答案为：225，5，6； （2）猜想： 故答案为： （3）解：原式 ． 14．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【阅读理解】 根据上面得到的启发完成下面的计算： (1)根据规律，是第 个数； (2)请直接写出计算的结果： ； (3)根据已给条件计算下列各式的值： ① ② 【答案】(1)12 (2) (3)①；② 【思路点拨】本题考查数字类规律探究．通过题目熟练掌握裂项法进行求和计算是解题的关键． （1）根据，，，，推出第个数为：，进行计算即可； （2）利用裂项法进行计算即可； （3）①利用，裂项相加即可； ②结合①的规律，利用加法交换律和结合律进行计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：，，，， ∴第个数为：， ∵， ∴是第12个数， 故答案为：12； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：① ； ② ． 培优题真题汇编练 15．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为12，我们发现第1次输出的结果为6，第2次输出的结果为3，……第2013次输出的结果为（ ） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】D 【思路点拨】此题考查了规律型：数字的变化类，代数式求值，弄清题中的运算程序是解本题的关键．把代入运算程序中计算，以此类推得到第2013次输出的结果即可． 【规范解答】解：把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 以此类推，以6，3，8，4，2，1循环， ， 次输出的结果为8． 故选：D 16．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2024这个数所对应的点是（   ） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了数轴，根据题意找出规律进行求解是解决本题的关键．根据题意可得，翻转后数轴上点1，2，3，4，5，6对应的点为，，，，，，根据，根据规律进行判定即可得出答案． 【规范解答】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1对应的是， 数轴上点2对应的是， 数轴上点3对应的是， 数轴上点4对应的是， 数轴上点5对应的是， 数轴上点6对应的是， 则， 所以连续翻转后数轴上2024这个数所对应的点是C． 故选：A 17．（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）已知一列数，，，…，它们满足关系式，，，…，当时，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查数字的变化规律，掌握数字的循环规律是解题的关键．分别计算出第2、3、4个数，据此得出循环规律，进一步求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， …， ∴数列是3个一循环的数列， ∵， ∴， 故选：B． 18．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为81，我们看到第一次输出的结果为27，第二次输出的结果为9，则第8次输出的结果为（      ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【思路点拨】此题考查了代数式求值，以及程序框图的计算，把代入程序中计算，根据输出条件确定出第8次输出结果即可． 【规范解答】解：把代入， 第1次结果为：， 第2次结果为：， 第3次结果为：， 第4次结果为：， 第5次结果为：， 第6次结果为：， 第7次结果为：， 第8次结果为：． 故选：A． 19．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）如图1，数轴上方有1个方块，记图1共有个方块；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方的2个方块，记图2共有个方块，图3的数轴上方有4个方块，下方有2个方块，记图3共有个方块；同理，记图4共有个方块．故按照此规律第2024个图中共有方块（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了图形类的规律探索，：观察可知，数轴上方的方块数量是从1开始的连续的奇数之和，数轴下方的方块数为连续的偶数之和，且数轴上方的方块数用正数表示，数轴下方的方块数用负数表示，据此可得当为偶数时，第n个图的方块数为，代入求解即可． 【规范解答】解：观察可知，数轴上方的方块数量是从1开始的连续的奇数之和，数轴下方的方块数为连续的偶数之和，且数轴上方的方块数用正数表示，数轴下方的方块数用负数表示， ∴当（k为正整数）时，第n个图的方块数为， 当时，第n个图的方块数为， ∴第2024个图中共有方块为 ， 故选：C． 20．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）将一些半径相同的小圆圈按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有 个小圆圈． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了图形类的规律探索，观察前面4个图形可知，对于图形的小圆圈数等于图形的序号乘以序号加1的结果，再加上4，据此规律求解即可． 【规范解答】解：第1个图形有个小圆圈， 第2个图形有个小圆圈， 第3个图形有个小圆圈， 第4个图形有个小圆圈， ……， 以此类推可知，第n个图形有个小圆圈， 故答案为：． 21．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）观察以下等式：，，， 将以上三个等式两边分别相加得：， 猜想并写出： ． 如果，求 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，绝对值的意义，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律是解题的关键． ①根据所给的等式，直接求解即可； ②先求出，，再根据规律，将所求式子变形为，再求解即可． 【规范解答】解：①根据题意可得，， 故答案为：； ②∵， ∴，， 解得：，， ∴ ， ， 故答案为：． 22．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）已知，，，，，按此规律， ． 【答案】 【思路点拨】本题考查数字的规律型，有理数的加法，由该一连串的等式可以看出从开始个连续的奇数的和等于，可以得出是从开始个连续的奇数相加．掌握从开始个连续奇数的和为的规律是解题的关键． 【规范解答】解：由，从开始连续个奇数相加； ，从开始连续个奇数相加； ，从开始连续个奇数相加； ∴从开始个连续的奇数的和等于， ∴从开始个连续奇数相加的和等于，即：． 故答案为：． 23．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）按一定规律排列的一列数为，，，，，12，…，则第11个数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了数字类规律的探索，找到规律是关键；首先符号是负正相间，把整数转化为分母是3的分数，则分母为3，分子是从1开始的自然数的平方，由此规律可得结果． 【规范解答】解：这列数的符号是奇数项是负数，偶数项是正数， 把整数转化为分母是3的分数， 则分母为3，分子是从1开始的自然数的平方， 则第11个数为； 故答案为：． 24．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）按一定规律排成的一列数：，，，，，，，则这列数中的第2016个数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了数字类变化规律，此列数可变为：，，，，，，，可以找到每个分数与数的个数的关系，进而求得第2016个数，得出规律是解此题的关键． 【规范解答】解：∵，，， ∴此列数可变为：，，，，，，，每个分数的分子是数的个数，分母是数的个数加2， ∴第2016个数为，即， 故答案是：． 25．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）观察下列各式： ，，． (1)猜想＝______ (2)用你发现的规律计算： ． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）观察前三个式子可得规律，相邻自然数的乘积的负倒数的结果等于较小的数的负倒数加上较大数的倒数，据此求解即可； （2）根据（1）所求把所求式子裂项求解即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ……， 以此类推，可知， 故答案为：； （2）解： ． 26．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）当把一张纸对折1次时，纸的层数为2；对折2次时，纸的层数为4，照这样折下去： (1)当你将纸对折5次时，其层数是________；对折6次时，其层数是________． (2)如果一张纸的厚度是，假设对折6次，求对折后纸的总厚度？ 【答案】(1)32，64 (2)对折6次纸的总厚度为6.4mm 【思路点拨】本题主要考查了对折纸．探究纸层数与对折次数的关系，是解决本题的关键 （1）探究把一张纸对折1次时，纸的层数为2；对折2次时，纸的层数为4，照这样折下去，层数与对折次数的关系是，n是对折次数． 【规范解答】（1）解：对折1次时，纸的层数为：； 对折2次时，纸的层数为：； 对折3次时，纸的层数为：； 对折4次时，纸的层数为：； 对折5次时，纸的层数为：； 对折6次时，纸的层数为：； 故答案为：32，64 （2）∵对折6次时，纸的层数为， ∴（）． 故对折6次后纸的总厚度为． 27．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）观察下面三行数： ，64，…；① ，5，，17，，65，…；② ，8，，32，，128，…．③ (1)第①行第8个数为______； (2)用含n（n为正整数）的式子表示第①②③行中第n个数； (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2024个数，求的值． 【答案】(1)256； (2)第①行第n个数为；第②行第n个数为；第③行第n个数为； (3)1． 【思路点拨】本题考查了数的规律探索，用代数式表示规律，求代数式的值，找到规律是解题的关键． （1）根据前面6个数的规律，可写出第7个、第8个数，从而完成解答； （2）找出每行的规律即可完成；第①行：符号是第一个数为负，第二个数为负，且负正相间，数字为2的乘方；第②行：第①行对应的数加1；第③行：第①行对应的数的2倍； （3）由（2）可分别得到行的第2024个数，即x、y、z的值，代入即可得的值． 【规范解答】（1）解：由规律得：第7个数为，第8个数为256； 故答案为：256； （2）解：第①行第n个数为； 第②行为第①行对应的数加1，即第n个数为； 第③行为第①行对应的数的2倍，即第n个数为； （3）解：由（2），当时，， ． 28．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）观察下列式子，，，，… (1)用正整数n表示第n个式子； (2)设，解决下列问题： ①求出的值． ②试判断式子的结果与相等吗？请说明理由 【答案】(1) (2)①；②的结果与相等，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）由已知等式知连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差，据此可得答案； （2）①根据（1）所求把所求式子裂项求解即可；②利用化简得到，则可知，即可求证． 【规范解答】（1）解：第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， ……， 以此类推可知，第n个式子为； （2）解：① ； ②的结果与相等，理由如下： ∵， ∴ ∴ ∴ ， ∴ ∴的结果与相等。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$