精品解析：安徽省亳州市涡阳县蔚华中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

安徽省亳州市涡阳县蔚华中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 考生注意: 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围:人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第2节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱锥中，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线的倾斜角分别为，斜率分别是，若，则的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，四边形，都是边长为2的正方形，平面平面，，分别是线段，的中点，则（ ） A. B. 异面直线，所成角为 C. 点到直线的距离为 D. 的面积是 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设向量，，若，则____________. 13. 若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为____________. 14. 如图，在平行六面体中，四边形是边长为1的正方形，，则____________. 四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间向量. （1）求； （2）判断与以及与的位置关系. 16. 已知的三个顶点分别为，，. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程. 17. 如图，在直四棱柱 中， 是棱 的中点, . 请用向量法解决下列问题. （1）求证: ; （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 18. 已知直线. （1）求恒过的定点的坐标; （2）若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 19. 在矩形中，，点P是线段的中点，将沿折起到位置（如图），使得平面平面，点Q是线段的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省亳州市涡阳县蔚华中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 考生注意: 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围:人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第2节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法运算即可得解. 【详解】. 故选：B． 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系可得出该直线的倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为， 因此，直线的倾斜角为. 故选：A. 3. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标中点的对称规则判断即可. 【详解】点关于轴对称点的坐标为. 故选：C． 4. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由垂直确定斜率为0，即可求解. 【详解】因为直线与直线垂直, 所以直线的斜率为0, 所以. 故选：D. 5. 在三棱锥中，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理求出答案. 【详解】由题意得为中点，所以， 又因为，所以， 所以，故A项正确. 故选：A. 6. 已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，求出直线、的斜率，观察直线在绕着点旋转时，直线的倾斜角的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，， 当直线从的位置旋转至与的位置靠近时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则； 当直线从靠近的位置旋转至的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 7. 已知为实数，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】计算出时的的值，结合充分条件与必要条件的定义即可得. 【详解】若，则有，解得， 当时，，不重合，符合要求； 当时，，不重合，符合要求； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可. 【详解】由点,得, 所以点到平面的距离为. 故选：B. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理判断各选项即可. 【详解】因为是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故A正确; 是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 因为，所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故C错误； 因为，所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：AB. 10. 已知直线的倾斜角分别为，斜率分别是，若，则的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由在分别单调递增，且时，；时，，分类讨论分析即得解. 【详解】由在分别单调递增， 且时，；时，， 若，或，则，故A正确； 若， 则，故C 正确； 若，则，故 D正确， 无论哪种条件下，B 都不成立. 故选：ACD. 11. 如图，四边形，都是边长为2的正方形，平面平面，，分别是线段，的中点，则（ ） A. B. 异面直线，所成角为 C. 点到直线的距离为 D. 的面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用面面垂直的性质推得，，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，进而利用向量法逐一分析判断各选项即可. 【详解】因为四边形，都是正方形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，则， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， 又，分别是线段，的中点，所以，， 所以，， 又，不共线，所以，故A正确； ，，设异面直线，所成角为， 则，又，所以， 即异面直线，所成角为，故B错误； 由，，得， 所以点到直线的距离为，故C正确； 因为，所以到的距离即为到的距离， 所以的面积，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设向量，，若，则____________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为0计算即可. 【详解】因为， 所以，即，解得. 故答案为：4 13. 若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为____________. 【答案】或 【解析】 【分析】通过讨论截距为0和不为0两类情况讨论即可. 【详解】当截距为0时,过点和原点,所以的方程为,即; 当截距不为0时，设的方程为，由过点，得， 解得，所以的方程为. 故答案为：或 14. 如图，在平行六面体中，四边形是边长为1的正方形，，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】由，再平方即可求解. 【详解】, 所以, 所以. 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间向量. （1）求； （2）判断与以及与的位置关系. 【答案】（1） （2）；. 【解析】 【分析】（1）直接利用向量线性运算和数量积的坐标运算求解即可. （2）利用向量垂直和平行的判定直接判断即可. 【小问1详解】 由题知，， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以； 因为， 所以，所以. 16. 已知的三个顶点分别为，，. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得直线的斜率，利用点斜式求得边上的高所在直线的方程. （2）先求得点坐标，再根据两点式求得边上的中线所在直线的方程. 【小问1详解】 ，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为 【小问2详解】 线段的中点， 所以直线所在直线方程为. 17. 如图，在直四棱柱 中， 是棱 的中点, . 请用向量法解决下列问题. （1）求证: ; （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明:由直棱柱的性质可知 , 因为 , 所以  两两互相垂直, 故以点  为坐标原点, 分别以  所在直线为  轴,  轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设 , 则 . 因为  是棱  的中点, 所以 , 所以 , 所以 . 所以 , 即 . （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，表达各向量，根据垂直的向量方法计算即可证明； （2）根据线面角的向量公式计算即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由(1) 可知 . 设向量 是平面的法向量, 则 即 令 ,得 . 设直线 与平面 所成的角为 , 则 . 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 18. 已知直线. （1）求恒过的定点的坐标; （2）若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）变化主元计算可求直线所过定点； （2）分类讨论结合直线在纵轴上截距及其斜率的大小计算不等式即可. 【小问1详解】 整理直线的方程,得(, 联立方程组 解得所以直线恒过的定点的坐标为; 【小问2详解】 当时，直线的方程为，经过二、三象限，不符合题意; 当时,, 因为经过第一、二、三象限，所以， 解得或, 综上所述，当直线经过第一、二、三象限时，的取值范围是. 19. 在矩形中，，点P是线段的中点，将沿折起到位置（如图），使得平面平面，点Q是线段的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）取的中点，连接， 因为点Q是线段的中点，所以，且， 又因为点P是线段的中点，故， 又四边形为矩形，所以且， 故且， 所以四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形为平行四边形，得到线线平行，得到线面平行； （2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，取的中点，连接， 因为矩形中，，点P是线段的中点， 所以四边形为正方形，故⊥， 因为，所以⊥， 因为平面平面，交线为，平面，⊥， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， 即两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 设平面与平面所成角为， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $