第十五章 分式（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第15章 分式（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．在，，，，，中，分式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列各式从左到右的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．把分式进行通分，它们的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 5．分式的值为零的条件是（  ） A． B． C． D． 6．为改善生态环境，某环卫队计划在路边荒地上种植960棵树．由于青年志愿者的加入，实际每天比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，问原计划每天种植多少棵?设原计划每天种植x棵，根据题意列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如果，那么的值为（ ） A． B． C． D． 8．按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 9．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（ ） A．或 B．且 C．且 D．或 10．对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（    ） ①； ②，则； ③； ④对任意大于3的正整数，有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．对于分式，当 时，分式有意义． 12． ． 13．若分式的的值为5，则x、y扩大2倍后，这个分式的值为 ． 14．化简分式 的结果是 . 15．若，则 ． 16．已知，，则的值为 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）解方程： (1)； (2)． 19． （8分）先化简，再求值：，其中x满足． 20．（8分）若关于x的分式方程无解，求：m的值 21．（8分）经销商小李需要购进一批学生画图工具6000套，为此考察了甲、乙两个文具加工厂．已知甲厂的加工能力是乙厂的1.5倍，且甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10天，还了解到这种画图工具甲厂的出厂价格为6元/套，乙厂的出厂价格为5.6元/套． (1)求甲、乙两个加工厂每天能加工这种画图工具各多少套？ (2)小李计划从甲、乙两厂购买这种画图工具，且费用不超过35400元，他最多能向甲工厂购买多少套这种画图工具？ 22．（10分）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 23．（10分）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子的次数不小于分母的次数，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分： 方法一：原式； 方法二：设，则，则原式． 根据上述方法，解决下列问题： (1)将分式拆分成整式与分式和的形式，得 ； (2)任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式； (3)已知分式与的值都是整数，求的值． 24．（12分）知识拓展：解分式方程除了转化整式方程外，还有其他的解法，请仔细阅读并完成填空： （1）例题：解方程， 解法1：利用分式的基本性质，将原方程化为，由分子相同，得分母相同，即______． 解法2：分式两边通分，得，由分母相同，得分子相同，即______． （2）解法3：用图形的方式表示出来，就可以用下图来解释． 如图，，．则，，，由，得______，从而求得______． 问题解决： （3）如图所示，在三角形中，是边上的点，且，，求的长． 25．（14分）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． (1)下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）； (2)若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； (3)若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 分式（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．在，，，，，中，分式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的定义，注意是常数，所以不是分式，是整式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：分式有，共个，，，，是整式， 故选A 2．用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3．下列各式从左到右的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质即可判断，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、不一定成立，故选项不符合题意； B、不一定成立，故选项不符合题意； C、，正确，故选项符合题意； D、的分子和分母不能约分，，故选项不符合题意； 故选：C． 4．把分式进行通分，它们的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求分式的最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 【详解】解：把分式进行通分，它们的最简公分母是， 故选：D． 5．分式的值为零的条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的值为零的条件列出方程组，求出x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：； 故选：B. 【点睛】本题考查了分式的值为0，解答此题的关键是熟知分式的值为零应同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 6．为改善生态环境，某环卫队计划在路边荒地上种植960棵树．由于青年志愿者的加入，实际每天比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，问原计划每天种植多少棵?设原计划每天种植x棵，根据题意列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意可知原计划每天种植棵，则实际每天种植棵，根据题意可得等量关系：原计划种植960棵树所用的天数=实际种植960棵所用的天数，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天种植棵，则实际每天种植棵， 根据题意可得： ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，弄清题意，根据等量关系正确列出方程是解题的关键． 7．如果，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例的性质得出，再代入约分即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴； ∴B,C,D错误，选A. 【点睛】本题考查的知识点是比例的性质，解题关键是注意约分. 8．按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是，第n个分式的分母是，即可得到第n个分式． 【详解】解：第1个分式的分子是， 第2个分式的分子是， 第3个分式的分子是， ； 第n个分式的分子是； 第1个分式的分母是， 第2个分式的分母是， 第3个分式的分母是， ； 第n个分式的分母是， 第n个分式是， 故选：B． 9．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（ ） A．或 B．且 C．且 D．或 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式方程的解，首先根据解分式方程的步骤，求出关于的分式方程的解是多少；然后根据分式方程的解为负数，求出的取值范围即可． 【详解】解：由， 可得， 解得， ，且，， 且． 故选：A． 10．对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（    ） ①； ②，则； ③； ④对任意大于3的正整数，有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值、解分式方程、数字类规律题等知识点，找出相关规律是解题的关键． 将代入即可判断①，解方程，即可判断②，分别计算，，， ，……即可判断③，同理分别求得，找到规律，进而即可判断④． 【详解】解：∵， 当时，，故①错误， ∵，即，解得：，经检验是原方程的解，故②正确； ∵，，， ，…… ∴，故③正确； ∵，，，…… ∴ ，故④错误， 综上，正确的有2个． 故选：C． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．对于分式，当 时，分式有意义． 【答案】 【分析】根据分式的分母不能为0即可得． 【详解】由分式的分母不能为0得：， 解得， 即当时，分式有意义， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键． 12． ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，根据负整数指数幂和实数绝对值化简后1即可． 【详解】， 故答案为：． 13．若分式的的值为5，则x、y扩大2倍后，这个分式的值为 ． 【答案】5． 【分析】用2x，2y分别代替原式中的x，y，再根据分式的基本性质进行化简，观察分式的变化即可． 【详解】根据题意，得新的分式为． 故答案为：5． 【点睛】此题考查了分式的基本性质．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 14．化简分式 的结果是 . 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式加减运算，根据异分母分式加减运算法则，先通分，然后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查的是分式的化简求值，完全平方公式，能根据题意得出是解题的关键． 先根据得出，再利用完全平方公式即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：11． 16．已知，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是分式的求值，考查对换元法的理解和运用，掌握完全平方公式的应用是解本题的关键．设，，．可得，，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：设，，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：1． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的乘法计算即可； （2）根据分式的除法法则计算即可． 本题考查了分式的乘法，除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)分式方程无解． 【分析】本题考查了解分式方程，熟知分式方程需检验是解题的关键． （1）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （2）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解：， ∴， 解得：， 经检验，增根， ∴原方程无解． 19． （8分）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】， 【分析】先把化简得，再利用整体代入法求值即可．本题考查分式的化简求值，已知代数式的值求式子的值，掌握分式的化简求值的一般方法是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 原式． 20．（8分）若关于x的分式方程无解，求：m的值 【答案】的值为1或． 【分析】本题考查了分式方程的无解问题．先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，分两种情况可求得m． 【详解】解：， 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴； ∵最简公分母， ， 当时，得， 综上：的值为1或． 21．（8分）经销商小李需要购进一批学生画图工具6000套，为此考察了甲、乙两个文具加工厂．已知甲厂的加工能力是乙厂的1.5倍，且甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10天，还了解到这种画图工具甲厂的出厂价格为6元/套，乙厂的出厂价格为5.6元/套． (1)求甲、乙两个加工厂每天能加工这种画图工具各多少套？ (2)小李计划从甲、乙两厂购买这种画图工具，且费用不超过35400元，他最多能向甲工厂购买多少套这种画图工具？ 【答案】(1)甲工厂每天可加工这种画图工具300套，乙工厂每天可加工这种画图工具200套 (2)4500套 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设乙工厂每天可加工这种画图工具x套，则甲工厂每天可加工这种画图工具套，根据甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10天，列出分式方程，进行求解即可； （2）设小李向甲工厂购买y套，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设乙工厂每天可加工这种画图工具x套，则甲工厂每天可加工这种画图工具套，根据题意，可得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：甲工厂每天可加工这种画图工具300套，乙工厂每天可加工这种画图工具200套． （2）设小李向甲工厂购买y套． 根据题意，得， 解得． 答：小李最多能向甲工厂购买4500套画图工具． 22．（10分）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． (2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标； (3)两次漂洗的方法值得推广学习 【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键； （1）把，代入， 再解方程即可； （2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案； （3）根据（1）（2）的结果得出结论即可． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得．经检验符合题意； ∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗： 把，代入， ∴， 第二次漂洗： 把，代入， ∴， 而， ∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标； （3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水， ∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习． 23．（10分）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子的次数不小于分母的次数，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分： 方法一：原式； 方法二：设，则，则原式． 根据上述方法，解决下列问题： (1)将分式拆分成整式与分式和的形式，得 ； (2)任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式； (3)已知分式与的值都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)x的值为5或3或11或 【分析】本题考查用分式的加减，整体思想以及换元思想将一个分子次数比分母大的分式拆分成整式与分式和的形式． （1）根据题中所给的方法，将写成后，可解决问题． （2）根据题中所给的方法，将分子写成，可解决问题． （3）将所给分式拆分成整式与分式和的形式后，再由的值及分式的值都是整数，分类讨论即可． 【详解】（1）解：依题意，． 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ， ∵分式与x的值都是整数， ∴或， ∴x的值为5或3或11或． 24．（12分）知识拓展：解分式方程除了转化整式方程外，还有其他的解法，请仔细阅读并完成填空： （1）例题：解方程， 解法1：利用分式的基本性质，将原方程化为，由分子相同，得分母相同，即______． 解法2：分式两边通分，得，由分母相同，得分子相同，即______． （2）解法3：用图形的方式表示出来，就可以用下图来解释． 如图，，．则，，，由，得______，从而求得______． 问题解决： （3）如图所示，在三角形中，是边上的点，且，，求的长． 【答案】（1）；；（2）；6；（3） 【分析】本题主要考查了解分式方程，与三角形的高有关的计算，矩形的面积计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形的面积计算公式． （1）根据题干提供的信息列出方程即可； （2）根据长方形面积公式，结合，求出；根据求出结果即可； （3）设中边上的高为h，根据，得出，根据，得出，求出，根据，求出即可． 【详解】解：（1）解法1：利用分式的基本性质，将原方程化为，由分子相同，得分母相同，即； 解法2：分式两边通分，得，由分母相同，得分子相同，即； （2）由，得； ∵， ∴， 解得：； 经检验是原方程的解； （3）设中边上的高为h， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 即， 解得：． 25．（14分）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． (1)下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）； (2)若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； (3)若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 【答案】(1)②③ (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了分式的加减运算，求解分式的值，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键． （1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断； （2）根据a，b互为倒数，得ab=1，把 代入计算出结果即可； （3）根据分式与属于“友好分式组”，得求出①a=-4b，②ab=4b2-2a2，分别把①②代入分式求出结果即可． 【详解】（1）解：① ②； ③ 则 ∴属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③ （2）∵a，b互为倒数， ∴，， ∴ ∴与属于“友好分式组” （3） ∵a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”， 或 把①代入 把②代入 ∴的值为或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$