第七章 平行线的证明（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第七章 平行线的证明（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列语句：①三角形的内角和是180°；②作一个角等于一个已知角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④延长线段AB到C，使BC=AB，其中是命题的有（ ） A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 2．如图，下列说法不正确的是（　　） A．∠1和∠2互为邻补角 B．∠1和∠4是内错角 C．∠2和∠3是同旁内角 D．∠1和∠3是同位角 3．如图，点E在的延长线上，下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，外角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．一条杆秤在称物时的状态如图所示，秤上的线在称东西时都平行，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 6．设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（　　） A．若a//b，b//c，则a//c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a⊥b，b⊥c，则a//c D．若a//b，b⊥c，则a⊥c 7．一副三角尺如图放置，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，是延长线上一点，过点作于点，若，则（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，在四边形中，是它的一条对角线，若，，则（  ） A． B． C． D． 10．如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．将命题“两直线平行，同位角相等”写成“如果……那么……”的形式是 ． 12．如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转 度． 13．如图所示，下列结论：①和是同旁内角；②和是对顶角；③和是内错角；④和是同位角．其中正确的是 ．（把正确结论的序号都填上） 14．三角形三个内角度数的比为，则这个三角形最大的外角是 ⁠度． 15．已知：如图，，且，则 度．    16．平行线在生活中应用很广泛，人们为了准确地画出平行线，往往利用三角尺和直尺按照下面的方法去做： 第一步：作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；         第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边； 第三步：沿直尺下移三角尺；         第四步：沿三角尺的边作出直线CD．这样，就得到． 请写出其中的道理： ． 17．如图，在中，，内角和外角的平分线，相交于点，则的度数为 ．    18．如图，在中，，D是边上的定点，E是上的动点，沿折叠，点C落在点F处．当与的一边平行时，的度数是 ． 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19．如图，．求的度数． 20．已知：如图证明：．    21．如图，在中，．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在上截取，连接； (2)过作的平行线交于点． 22．按下列要求画图并填空：如图，直线AB与CD相交于点O，P是CD上的一点． (1)过点P画出CD的垂线，交直线AB于点E； (2)过点P画PF⊥AB，垂足为点F； (3)点O到直线PE的距离是线段　　的长； (4)点P到直线CD的距离为　　． 23．如图，点在上，已知，平分，平分．请说明的理由． 解：因为(已知)， (______)， 所以(______)． 因为平分， 所以(______)． 因为平分， 所以______， 得(等量代换)， 所以______(______)． 24．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连． (1)求证： (2)若，求的度数． 25．如图，在中，是高，是角平分线．    (1)若，求的度数． (2)若，则_______． (3)若．则的度数_______（结果用含的代数式表示）． 26．如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 27．已知：在中，，点D在上，连接AD，且 (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为的中点，过点E作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点F，G，H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点E分别作于点M，于点N，若，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 平行线的证明（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题 1．下列语句：①三角形的内角和是180°；②作一个角等于一个已知角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④延长线段AB到C，使BC=AB，其中是命题的有（ ） A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 【答案】D 【解析】①三角形的内角和是180°，是命题； ②作一个角等于一个已知角，不是命题； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是命题； ④延长线段AB到C，使BC=AB，不是命题， 故选D. 2．如图，下列说法不正确的是（　　） A．∠1和∠2互为邻补角 B．∠1和∠4是内错角 C．∠2和∠3是同旁内角 D．∠1和∠3是同位角 【答案】B 【分析】根据同位角、同旁内角、内错角和邻补角的概念解答即可． 【详解】解：A、∠1和∠2互为邻补角，正确，不符合题意； B、∠1和∠4不是内错角，错误，符合题意； C、∠2和∠3是同旁内角，正确，不符合题意； D、∠1和∠3是同位角，正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查同位角、同旁内角、内错角和邻补角，熟练掌握同位角、内错角相等，同旁内角的定义是解题的关键． 3．如图，点E在的延长线上，下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线判定定理逐个判断即可得到答案. 【详解】 解：∵，∴，故A不符合题意； ∵，∴，故B符合题意； ∵，∴，故C不符合题意； ∵，∴，故D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查平行线的判定：内错角相等两直线平行，同位角相等两直线平行，同旁内角互补两线平行． 4．如图，在中，外角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外角的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，据此进行解答即可． 【详解】解：在中，外角， ∴， 故选：B． 5．一条杆秤在称物时的状态如图所示，秤上的线在称东西时都平行，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键根据平角的性质，求出，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，即可． 【详解】∵，， ∴， ∵秤上的线在称东西时都平行， 即， ∴， 故选：B． 6．设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（　　） A．若a//b，b//c，则a//c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a⊥b，b⊥c，则a//c D．若a//b，b⊥c，则a⊥c 【答案】B 【详解】根据平行线的判定定理及垂直的性质逐项进行分析即可解答． 【解答】解：A．根据平行于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，则本选项正确，不合题意， B．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，故本选项错误，符合题意， C．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，本选项正确，不合题意， D．根据平行线的性质，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的判定定理及性质、垂直的性质等知识点，灵活运用相关的性质定理并是解答本题的关键． 7．一副三角尺如图放置，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、邻补角，三角形的内角和定理，熟练运用平行线的性质是关键． 利用平行线的性质求出，根据三角形内角和求出，进一步求出． 【详解】解：如图，∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 8．如图，在中，，是延长线上一点，过点作于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角性质，掌握三角形的外角性质是解题的关键． 根据三角形的外角性质可得，由此解答即可． 【详解】解：， ， ，， ， ． ， ， ． 故选：A． 9．如图所示，在四边形中，是它的一条对角线，若，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由可得，即得，据此即可求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 10．如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行的性质，作出相应的辅助线是解题的关键．过点作，过点作，可得，从而推出，，即可得到答案． 【详解】解：过点作，过点作， 故选：D． 二、填空题 11．将命题“两直线平行，同位角相等”写成“如果……那么……”的形式是 ． 【答案】如果两直线平行，那么同位角相等 【分析】一个命题都能写成“如果…那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论． 【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”的条件是：“两直线平行”，结论为：“同位角相等”，所以写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两直线平行，那么同位角相等”， 故答案为：如果两直线平行，那么同位角相等． 【点睛】本题考查了命题的叙述形式，比较简单． 12．如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转 度． 【答案】42 【分析】先根据邻补角进行计算得到，根据平行线的判定当b与a的夹角为时，，由此得到直线b绕点A逆时针旋转． 【详解】解：如图：    ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴直线b绕点A逆时针旋转． 故答案为：42． 【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键． 13．如图所示，下列结论：①和是同旁内角；②和是对顶角；③和是内错角；④和是同位角．其中正确的是 ．（把正确结论的序号都填上） 【答案】①③ 【分析】根据同位角，对顶角，同旁内角，内错角的定义进行判断即可得到答案． 【详解】解：①∠1和∠2是同旁内角，故此说法正确； ②∠3和∠4不是对顶角，故此说法错误； ③∠2和∠5是内错角，故此说法正确； ④∠4和∠5不是同位角。故此说法错误． 故答案为：① ③ ． 【点睛】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角，对顶角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握它们的定义：两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的 同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角；如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角． 14．三角形三个内角度数的比为，则这个三角形最大的外角是 ⁠度． 【答案】140 【分析】此题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，解题关键在于列出方程求出k值．根据比例设三个内角分别为、、，然后利用三角形的内角和定理列出方程求出k值，再根据与最大的外角相邻的内角最小解答即可． 【详解】解：设三个内角分别为、、， 由题意得，， 解得， 所以，，， 所以，三个内角分别为、、， 所以，最小的内角是，最大的外角是， 故答案为：140． 15．已知：如图，，且，则 度．    【答案】130 【分析】由，，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：130． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，邻补角．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 16．平行线在生活中应用很广泛，人们为了准确地画出平行线，往往利用三角尺和直尺按照下面的方法去做： 第一步：作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；         第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边； 第三步：沿直尺下移三角尺；         第四步：沿三角尺的边作出直线CD．这样，就得到． 请写出其中的道理： ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】根据作图过程可得∠1=∠2，根据平行线的判定可得答案． 【详解】解：如下图所示， ∵∠1=∠2， ∴(同位角相等，两直线平行)， 故答案为：同位角相等，两直线平行 【点睛】本题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 17．如图，在中，，内角和外角的平分线，相交于点，则的度数为 ．    【答案】 【分析】利用外角推理证明即可． 【详解】∵内角和外角的平分线，相交于点， ∴，， 由三角形外角性质可得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的性质、补角的定义以及三角形的外角性质，解题的关键是要熟练掌握相关的性质定理． 18．如图，在中，，D是边上的定点，E是上的动点，沿折叠，点C落在点F处．当与的一边平行时，的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及性质，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，先求出，再根据折叠的性质得，然后根据当与的一边平行，分下两种情况进行讨论：①当时；②当时，又有两种情况：（ⅰ）点F在上方时；（ⅱ）当点F在下方时，分情况进行求解即可； 【详解】解：， ． 由折叠的性质得， ． 当与的一边平行，有以下两种情况： ①当时（如图），， ， ， ， ； ②当时，又有两种情况： （i）点F在上方时（如图）． ， ， ， ， ； （ⅱ）当点F在下方时（如图）． 设， ， ， ， ． ， ， 解得， ． 综上所述，符合题意的的度数是或或． 三、解答题 19．如图，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义以及三角形内角和定理的应用，分别求出即可求解． 【详解】解： ． 20．已知：如图证明：．    【答案】证明见详解 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的判定与性质证明即可． 【详解】证明：∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．如图，在中，．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在上截取，连接； (2)过作的平行线交于点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查尺规作图． （1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接即可； （2）先以点为顶点作一个角，边与交于一点即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图所示： 22．按下列要求画图并填空：如图，直线AB与CD相交于点O，P是CD上的一点． (1)过点P画出CD的垂线，交直线AB于点E； (2)过点P画PF⊥AB，垂足为点F； (3)点O到直线PE的距离是线段　　的长； (4)点P到直线CD的距离为　　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)OP (4)0 【分析】（1）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画图即可； （2）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画图即可； （3）根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度是这点到直线的距离解答即可； （3）根据直线上的点到这条直线的距离等于0解答即可． 【详解】（1）解：如图，直线PE即为所求； （2）解：如图，直线PF即为所求； （3）解：点O到直线PE的距离是线段OP的长． 故答案为：OP； （4）解：由图可知，点P到直线CD的距离为0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了垂线的作法，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．如图，点在上，已知，平分，平分．请说明的理由． 解：因为(已知)， (______)， 所以(______)． 因为平分， 所以(______)． 因为平分， 所以______， 得(等量代换)， 所以______(______)． 【答案】平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；；内错角相等，两直线平行 【分析】由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定． 【详解】解：（已知）， （平角的定义）， （同角的补角相等）． 平分， （角平分线的定义）． 平分， ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；；；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，补角的性质和平行线的判定，解答的关键是熟练掌握平行线的判定定理并灵活运用． 24．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连． (1)求证： (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可． 本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【详解】（1）证明：为中点， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 25．如图，在中，是高，是角平分线．    (1)若，求的度数． (2)若，则_______． (3)若．则的度数_______（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】（1）根据垂直定义由得，再利用角平分线定义得，然后根据三角形内角和定理得，，则，把，代入中计算即可； （2）把代入中计算即可； （3）把代入中计算即可 【详解】（1）解：于， ， 平分， ， 而， ， ， ， 若，， 则； （2）同理：若， 则； （3）同理：若， 则． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是三角形内角和是． 26．如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)．理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）过点作，结合，利用平行线的性质，结合角的和的意义计算即可． （2）①过点作，结合，得到，利用平行线的性质，结合（1）的结论变形计算即可． ②过作，而，则，利用平行线的性质解答即可． 本题考查了利用平行线探究角的之间关系，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，，三个角之间的数量关系是：． 理由如下： 过点作， ， ， ，， ， 即：． （2）解：①过点作， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， 即：， ，， ． ②解：与的数量关系是：． 理由如下： 为的平分线，为的平分线， ，， 过作，而， ， 则 设， 则， 故， 故． 27．已知：在中，，点D在上，连接AD，且 (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为的中点，过点E作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点F，G，H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点E分别作于点M，于点N，若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】本题考查三角形综合应用，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形面积及线段和差等知识，解题的关键是掌握并能熟练应用全等三角形判定定理． （1）由知因所以 ，可得， 而，即得； （2）过B作交于M，由，可证，得，从而又，点E为的中点，可证，得，即得； （3）连接，由，得，而，即得，有，故 ，结合已知得即得 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）证明： 过B作交于M，如图： 由已知得：， 由（1）知：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图： 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$