第七章 平行线的证明 知识归纳与题型突破（九类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第七章 平行线的证明 知识归纳与题型突破（九类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、定义、命题及证明 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题. 要点： （1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理. (4) 经过证明的真命题称为定理. 3.证明: 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明. 要点： （1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论． （2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 二、平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 三、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 要点： （1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论. （2）推论可以当做定理使用. 四、三角形外角的性质 三角形一个外角等于与它不相邻两个内角的和。 03 题型归纳 题型一 命题与证明 例题 1．下列语句是命题的是（　  　） A．在线段上取点C B．作直线的垂线 C．垂线段最短吗？ D．相等的角是对顶角 【答案】D 【分析】判断一件事情的句子叫做命题，逐项判断即可得到答案． 【解析】解：A、在线段上取点C不是命题，故A选项错误； B、作直线的垂线不是命题，故B选项错误； C、垂线段最短吗？是疑问句，不是命题,故C选项错误； D、 相等的角是对顶角，是命题，故D选项正确； 故选：D 【点睛】本题考查了命题的定义，熟练掌握命题的定义是解决本题的关键． 巩固训练 2．下列命题中，是真命题的是（    ） A．互补的两个角是邻补角 B．邻补角一定互为补角 C．两角相等，一定是对顶角 D．无理数都是开方不尽的数 【答案】B 【分析】根据补角，邻补角，对顶角，无理数等概念逐项判断． 【解析】解：A.互补的两个角不一定是邻补角，故A是假命题，不符合题意； B.邻补角一定互为补角，故B是真命题，符合题意； C.两角相等，不一定是对顶角，故C是假命题，不符合题意； D.无理数是无限不循环的小数，故D是假命题，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查命题与定理，解题的关键是掌握补角，邻补角，对顶角，无理数等概念． 3．下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形的周长相等 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 【答案】D 【分析】利用对顶角的性质、直角三角形的性质、平行线的性质及全等三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解析】解：A、对顶角相等，正确，为真命题； B、直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题； C、全等三角形对应边相等，所以周长也相等正确，为真命题； D、两平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题错误，为假命题； 故选：D． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、全等三角形的性质、平行线的性质及直角三角形的性质，难度不大． 4．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【解析】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 题型二 同位角、内错角与同旁内角 例题 5．下列所示的四个图形中，和是同位角的是（    ） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④ 【答案】C 【分析】根据同位角的定义逐一判断即得答案． 【解析】解：图①中的∠1与∠2是同位角， 图②中的∠1与∠2是同位角， 图③中的∠1与∠2不是同位角， 图④中的∠1与∠2是同位角， 所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角． 故选：C． 【点睛】本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟记同位角的含义概念是关键． 巩固训练 6．如图，下列说法正确的是（   ） ①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角    A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据同位角，内错角及同旁内角的定义进行判断即可． 【解析】解：两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，则和是同位角，和不是同位角，那么正确，错误； 两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为同旁内角，则和是同旁内角，那么正确； 两条直线，被第三条直线所截，在截线的两侧，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为内错角，则和不是内错角，那么错误； 综上，正确的为， 故选：C． 【点睛】本题考查同位角，内错角及同旁内角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 7．如图，下列是内错角的一组为（    ）．    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角定义逐一进行判断即可． 【解析】解：A．与是同位角，不符合题意； B．与是同位角，不符合题意； C．与是内错角，符合题意； D．与是同旁内角，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解决本题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角定义． 8．如图，下列结论正确的是(   ) A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【答案】B 【分析】根据对顶角、同位角、同旁内角、内错角的定义分别进行分析即可． 【解析】解：A、与不是对顶角，故此选项错误； B、与是同位角，故此选项正确； C、与不是同旁内角，故此选项错误； D、与不是内错角，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角、对顶角，熟练掌握各角的特征是解题的关键． 9．如图所示，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的内错角是 ；的内错角是 ． 【答案】 和 和 和 【分析】此题考查了内错角，内错角：在截线两旁，被截线之内的两角．根据内错角的定义进行解答即可． 【解析】解：直线与被直线所截得的内错角是和；直线与被直线所截得的内错角是和；的内错角是和． 故答案为：和；和；和． 题型三 平行线的判定 例题 10．如图所示，不能证明ABCD的是（　　） A．∠BAC＝∠ACD B．∠ABC＝∠DCE C．∠DAC＝∠BCA D．∠ABC+∠DCB＝180° 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【解析】解：A、∵∠BAC＝∠ACD，∴ABCD，故本选项不符合题意； B、∵∠ABC＝∠DCE，∴ABCD，故本选项不符合题意； C、∵∠DAC＝∠BCA，∴ADBC，故本选项符合题意； D、∵∠DCB+∠ABC＝180°，∴ABCD，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 巩固训练 11．下列说法错误的是（　　） A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 【答案】D 【分析】根据平行公理等即可逐一进行判断． 【解析】解；A、在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线．正确，本选项不符合题意； B、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行线具有“传递性”， 正确，本选项不符合题意； C、经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行．正确，本选项不符合题意； D、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．原说法错误，本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行公理等知识点．掌握相关结论是解题的关键． 12．下列说法正确的是（    ） A．在同一平面内，两条线段不相交就平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条射线或线段平行是指它们所在直线平行 D．两条不相交的直线是平行线 【答案】C 【分析】根据平面内两条直线的位置关系分别判断． 【解析】解：A、在同一平面内，两条线段不相交，也不一定平行，故错误，不合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，不合题意； C、两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行，故正确，符合题意； D、平面内，两条不相交的直线是平行线，故错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平面内两条直线的位置关系，解题的关键是掌握平行线的定义． 13．如图，若，则下列选项中，能直接利用“同位角相等，两直线平行”判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出与是同位角，然后根据平行线的判定即可得出答案． 【解析】解：A、与是内错角，故该选项错误； B、与是同位角，∵，∴，故该选项正确； C、与不是内错角、同位角，同旁内角，故该选项错误； D、与是对顶角，故该选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定，内错角相等、同位角相等，同旁内角互补两直线平行， 是需要同学们熟练记忆的内容． 14．如图，下列条件不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理，对各项逐一进行判断即可． 【解析】解：A、，根据同位角相等，两直线平行可判定，故此选项不符合题意； B、，对顶角相等，不能判定，故此选项符合题意； C、，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，此选项不符合题意； D、，根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 15．在同一平面内，若，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】先根据垂直定义求出，再根据平行线的判定推出即可． 【解析】解：如图，，   ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定和垂直定义的应用，注意：同位角相等，两直线平行． 16．如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转 度． 【答案】42 【分析】先根据邻补角进行计算得到，根据平行线的判定当b与a的夹角为时，，由此得到直线b绕点A逆时针旋转． 【解析】解：如图：    ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴直线b绕点A逆时针旋转． 故答案为：42． 【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键． 17．如图，对于下列给出的四个条件：①；②；③；④中，能判定的有 ．（填写正确条件的序号）    【答案】①③④ 【分析】根据平行线的判定逐个判断即可得． 【解析】解：①能判定（内错角相等，两直线平行）； ②不能判定； ③能判定（同位角相等，两直线平行）； ④能判定（同旁内角互补，两直线平行）； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键． 18．如图，将两个完全相同的三角尺的斜边重合放在同一平面内，可以画出两条互相平行的直线．这样画的依据是 ．    【答案】内错角相等，两直线平行． 【分析】由内错角相等，两直线平行，即可得到答案． 【解析】解：∵两个三角尺是完全相同的， ∴， 与是内错角，由内错角相等，两直线平行，即可判定，因此可以画出两条互相平行的直线． 故答案为：内错角相等，两直线平行．    【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 19．如图，下列错误的是 （填序号）．    ①如果，那么；    ②如果，那么； ③如果，那么；    ④如果，那么； ⑤如果，那么． 【答案】③⑤ 【分析】①②④可根据同位角相等，两直线平行即可判定；③⑤中两角都不是同位角、内错角或同旁内角，故无法判定平行关系． 【解析】解：①②④都可根据同位角相等，两直线平行证明正确； 因为③⑤中两角都不是同位角、内错角或同旁内角，故无法判定平行关系． 故答案为：③⑤． 【点睛】本题考查的是平行线的判定方法，掌握同位角相等，两直线平行是解题关键． 20．已知：如图，直线与被所截，．求证：．    【答案】见解析 【分析】先证明，结合，可得，从而可得结论． 【解析】解：∵（对顶角相等）， 又∵（已知）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查的是对顶角相等，平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解本题的关键． 21．如图，直线，被直线所截，平分，，．求证：．    【答案】见解析． 【分析】根据角平分线的定义，可证得，结合，即可证明结论． 【解析】∵平分，， ∴． 又， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义和平行线的判定，牢记平行线判定的方法是解题的关键． 题型四 平行线的性质 例题 22．如图，已知直线、被直线所截．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平行线的性质可得的度数，再根据邻补角的性质可得的度数． 【解析】解：如下图， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质，邻补角的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 巩固训练 23．如图，，平分，，则的度数是（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质得到∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，由BC平分∠ABD，得到∠ABD=2∠ABC=130°，于是得到结论． 【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABD=2∠ABC=130°， ∴∠BDC=180°-∠ABD=50°， ∴∠2=∠BDC=50°． 故选C． 【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线定义，解题的关键是求出∠ABD的度数． 24．如图，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质求出∠4的度数，再由对顶角相等得出∠2+∠4的度数，进而可得出结论． 【解析】解：∵a∥b，∠3=40°， ∴∠4=∠3=40°． ∵∠1=∠2+∠4=110°， ∴∠2=110°-∠4=110°-40°=70°． 故选C． 【点睛】本题考查平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． 25．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质，平角的定义即可解决问题． 【解析】∵a∥b， ∴∠1=∠3=65°， ∵∠2+∠3=90°， ∴∠2=25° 故选C． 【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 26．如图所示，下列推理及所注理由错误的是（    ）    A．因为，所以（内错角相等，两直线平行） B．因为，所以（两直线平行，内错角相等） C．因为，所以（两直线平行，内错角相等） D．因为，所以（内错角相等，两直线平行） 【答案】B 【分析】根据平行线的判定和性质分别判断各选项即可． 【解析】A．因为，所以（内错角相等，两直线平行），选项正确，不符合题意； B．因为，所以（两直线平行，内错角相等），故选项错误，符合题意； C．因为，所以（两直线平行，内错角相等），选项正确，不符合题意； D．因为，所以（内错角相等，两直线平行），选项正确，不符合题意． 故选：B 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行的判定和性质定理是解题的关键． 27．如图，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，以及平行线的性质逐个进行判断即可． 【解析】解：①∵CD∥BF， ∴∠ACD=∠F， 故选项A正确； ②因为DE与BC不一定平行， ∴∠EDC与∠DCB不一定相等， ∴∠EDC不一定等于∠FBC， 故选项B错误； ③∵DE与BC不一定平行， ∴∠BCD不一定等于∠EDC 所以选项C错误； ④∠CDB不一定等于∠FBD， 故选项D错误； 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟悉掌握平行线的性质是解题的关键． 题型五 平行线的判定与性质综合 例题 28．如图，下列推理正确的是（　　） A．∵∠1＝∠2，∴AC∥BD B．∵AB//CD，∴∠B＝∠C C．∵∠3＝∠B，∴AC∥BD D．∵AB//CD，∴∠4＝∠5 【答案】C 【分析】根据平行线的判定和性质逐项判断即可． 【解析】A、∵∠1＝∠2，∴AB∥CD， 故选项错误，不符合题意； B、∵AB//CD，∴∠3＝∠C，故选项错误，不符合题意； C、∵∠3＝∠B，∴AC∥BD，故选项正确，符合题意； D、∵AC//BD，∴∠4＝∠5，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 巩固训练 29．已知：如图，，，，判断线段和线段有怎样的关系？请说明理由．    【答案】，证明见解析 【分析】由“”可证，可得，由平行线的判定可得． 【解析】解：理由如下：    ∵ ∴ ∵ ∴ 即 又∵ ∴ ∴， ∴， ∴。 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用判定是解题的关键． 30．如图，B，C，E三点在同一直线上，，，平分．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，求出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据平行线的性质求出，，由已知，求出，即可求出答案． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由已知， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质与角平分线的综合运用，灵活应用平分线的判定和性质是解题关键． 题型六 三角形的内角和 例题 31．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，正确表示出各角度数是解题关键．直接用一个未知数表示出，，的度数，再利用三角形内角和定理得出答案． 【解析】解：， 设，，， ， ， 解得：， 的度数为：． 故选：B 巩固训练 32．如图，在中，，，是的平分线，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形外角的性质求解． 【解析】解：中，，， ， 是的平分线， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，角平分线的定义等，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 33．如图，点是中边上一点，，且，，．则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据证明得，求出，可得，然后根据三角形内角和可求出的度数． 【解析】解：在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，证明是解答本题的关键． 34．如图所示，在中，，垂足为点D，，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质得，再根据垂直的定义得，进而根据即可得出答案． 【解析】解：， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键． 35．如图所示，均为直角三角形，且，过点C作平分交于点F．    (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的判定，角平分线的定义： （1）利用角平分线的性质，先说明与的关系，再利用平行线的判定得结论； （2）先求出，再利用三角形的外角和内角的关系求解． 【解析】（1）证明：∵，且平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，． 在中，∵， ∴． ∴ ． 题型七 三角形的外角性质 例题 36．如图，中，，则三角形的外角等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和直接解决即可． 【解析】解：中，， ， 故选：B． 巩固训练 37．将一副三角板按如图所示摆放，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是三角板中角度计算问题、三角形外角的定义与性质、对顶角相等，解题关键是熟练掌握三角形外角的性质． 根据三角板的特征先得出，再根据三角形外角的性质及对顶角相等逐步推得、及． 【解析】解：如图， 依题得：， 是的外角， ， ， ， ， 是的外角， ． 故选：． 38．如图，若，，，则的度数为（   ）     A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和，三角形的外角定理，解题的关键是掌握全等三角形对应角相等，三角形的内角和是180度，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 先根据三角形的外角定理得出，再根据全等三角形的性质得出，最后根据三角形的内角和定理和对顶角相等，即可解答． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 39．如图所示，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，先根据是的外角，可得，同理可得，即可得出答案. 【解析】 解：∵是的外角， ∴； ∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 题型八 三角形的内角和与外角性质综合 例题 40．如图，在中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，三角形外角的性质，先计算出，由折叠前后对应角相等可得，再由外角的性质可得，进而可得． 【解析】解：中，，， ， 由折叠知， ， ， 故答案为：30． 巩固训练 41．已知，点C为射线上一动点，平分交于点P，若为直角三角形，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和和外角的性质，先根据角平分线得到，然后分和两种情况分别计算解题即可． 【解析】解：∵平分， ∴， 当时，； 当时，； 故答案为：或． 42．如图，平分，，的延长线交于点E，如果，则为 ° 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质和三角形内角和定理等知识，证明，则，得到，则，利用三角形内角和定理即可求出答案. 【解析】解：∵平分 ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 题型九 解答综合题 例题 43．如图，是的角平分线，． 求：和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，先由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数． 【解析】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 巩固训练 44．把下面的说理过程补充完整． 已知：如图，，，说明：． 解：（已知）， ， （已知）， （ ）， （ ） （ ） 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质和判定求解即可． 此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定定理． 【解析】∵（已知）， ∴， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 45．如图，点N在线段上，与交于点． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)若，求的大小． 【答案】(1)平行，见解析 (2) 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质． （1）根据，可得，从而得到，继而得到，即可求证； （2）根据，可得，再由，可得，即可求解． 【解析】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 46．如图，已知，点A，E，C，F在同一直线上，延长交边于点M，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由全等三角形对应角相等得到，，再由三角形内角和定理得到，则，据此根据三角形内角和定理求解即可． 【解析】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 47．如图，，点E在上，与交于点F，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质： （1）根据全等三角形对应边相等可得，则； （2）根据 全等三角形对应角相等可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 48．如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据三角形外角的性质进行求解即可； （2）先利用勾股定理求出，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，设未知数构建方程是解题的关键． 【解析】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， 即， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴． 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴． 解得． ∴． 49．如图，在和中，，，，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质； （1）先根据全等三角形的判定“”得到，根据全等三角形的对应角相等和三角形外角性质求得答案； （2）根据全等三角形的对应边相等求出，根据图形计算即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据解析（1）可知：， ∵， ∴． 50．【问题提出】 （1）如图，在和中，，，，连接，，交于点，延长交于点． 试说明：； 求的度数． 【问题探究】 （2）如图，在和中，，，，连接，，延长，交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2），，理由见解析 【分析】（1）利用证明，即可得出结论；由全等三角形的性质以及三角形外角的性质可得出结论； （2）利用证明，由全等三角形的性质即可得出；然后，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质即可求出的度数． 【解析】解：（1）， ，即， 在和中， ， ， ； 如图，设与交于点， ， ， ， ， ； （2），，理由如下： ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 平行线的证明 知识归纳与题型突破（九类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、定义、命题及证明 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题. 要点： （1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理. (4) 经过证明的真命题称为定理. 3.证明: 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明. 要点： （1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论． （2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 二、平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 三、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 要点： （1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论. （2）推论可以当做定理使用. 四、三角形外角的性质 三角形一个外角等于与它不相邻两个内角的和。 03 题型归纳 题型一 命题与证明 例题 1．下列语句是命题的是（　  　） A．在线段上取点C B．作直线的垂线 C．垂线段最短吗？ D．相等的角是对顶角 巩固训练 2．下列命题中，是真命题的是（    ） A．互补的两个角是邻补角 B．邻补角一定互为补角 C．两角相等，一定是对顶角 D．无理数都是开方不尽的数 3．下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形的周长相等 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 4．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 题型二 同位角、内错角与同旁内角 例题 5．下列所示的四个图形中，和是同位角的是（    ） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④ 巩固训练 6．如图，下列说法正确的是（   ） ①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角    A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 7．如图，下列是内错角的一组为（    ）．    A．与 B．与 C．与 D．与 8．如图，下列结论正确的是(   ) A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 9．如图所示，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的内错角是 ；的内错角是 ． 题型三 平行线的判定 例题 10．如图所示，不能证明ABCD的是（　　） A．∠BAC＝∠ACD B．∠ABC＝∠DCE C．∠DAC＝∠BCA D．∠ABC+∠DCB＝180° 巩固训练 11．下列说法错误的是（　　） A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 12．下列说法正确的是（    ） A．在同一平面内，两条线段不相交就平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条射线或线段平行是指它们所在直线平行 D．两条不相交的直线是平行线 13．如图，若，则下列选项中，能直接利用“同位角相等，两直线平行”判定的是（    ） A． B． C． D． 14．如图，下列条件不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 15．在同一平面内，若，则与的位置关系是 ． 16．如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转 度． 17．如图，对于下列给出的四个条件：①；②；③；④中，能判定的有 ．（填写正确条件的序号）    18．如图，将两个完全相同的三角尺的斜边重合放在同一平面内，可以画出两条互相平行的直线．这样画的依据是 ．    19．如图，下列错误的是 （填序号）．    ①如果，那么；    ②如果，那么； ③如果，那么；    ④如果，那么； ⑤如果，那么． 20．已知：如图，直线与被所截，．求证：．    21．如图，直线，被直线所截，平分，，．求证：．    题型四 平行线的性质 例题 22．如图，已知直线、被直线所截．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 23．如图，，平分，，则的度数是（  ）    A． B． C． D． 24．如图，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 25．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 26．如图所示，下列推理及所注理由错误的是（    ）    A．因为，所以（内错角相等，两直线平行） B．因为，所以（两直线平行，内错角相等） C．因为，所以（两直线平行，内错角相等） D．因为，所以（内错角相等，两直线平行） 27．如图，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五 平行线的判定与性质综合 例题 28．如图，下列推理正确的是（　　） A．∵∠1＝∠2，∴AC∥BD B．∵AB//CD，∴∠B＝∠C C．∵∠3＝∠B，∴AC∥BD D．∵AB//CD，∴∠4＝∠5 巩固训练 29．已知：如图，，，，判断线段和线段有怎样的关系？请说明理由．    30．如图，B，C，E三点在同一直线上，，，平分．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型六 三角形的内角和 例题 31．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 32．如图，在中，，，是的平分线，则的大小为（    ） A． B． C． D． 33．如图，点是中边上一点，，且，，．则的度数是（    ）    A． B． C． D． 34．如图所示，在中，，垂足为点D，，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 35．如图所示，均为直角三角形，且，过点C作平分交于点F．    (1)求证：； (2)求的度数． 题型七 三角形的外角性质 例题 36．如图，中，，则三角形的外角等于（  ） A． B． C． D． 巩固训练 37．将一副三角板按如图所示摆放，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 38．如图，若，，，则的度数为（   ）     A． B． C． D． 39．如图所示，的大小关系是 ． 题型八 三角形的内角和与外角性质综合 例题 40．如图，在中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则 ． 巩固训练 41．已知，点C为射线上一动点，平分交于点P，若为直角三角形，则 ． 42．如图，平分，，的延长线交于点E，如果，则为 ° 题型九 解答综合题 例题 43．如图，是的角平分线，． 求：和的度数． 巩固训练 44．把下面的说理过程补充完整． 已知：如图，，，说明：． 解：（已知）， ， （已知）， （ ）， （ ） （ ） 45．如图，点N在线段上，与交于点． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)若，求的大小． 46．如图，已知，点A，E，C，F在同一直线上，延长交边于点M，若，，求的度数． 47．如图，，点E在上，与交于点F，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 48．如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 49．如图，在和中，，，，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 50．【问题提出】 （1）如图，在和中，，，，连接，，交于点，延长交于点． 试说明：； 求的度数． 【问题探究】 （2）如图，在和中，，，，连接，，延长，交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$