精品解析：福建省漳州第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

漳州一中2024-2025学年届高一上第一次月考 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 命题的否定是（ ） A B. C. D. 3. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 是关于的不等式在恒成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（ ） A. 29 B. 27 C. 26 D. 28 6. 关于的不等式解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 已知，，且，若恒成立，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生､家长和教师组成的QQ群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ群人数的最小值为（ ） A. 20 B. 22 C. 26 D. 28 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，若，则实数a值可以是（ ）． A. B. C. 0 D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件 C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要而不充分条件 11. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，且，则___________． 13. 已知实数、满足，，则的最大值为___________. 14. 若关于x的不等式的解集为，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知命题：“，使得”为真命题． （1）求实数m的取值的集合A； （2）设不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 16 已知全集，集合，， （1）分别求和； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围. 17. 某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍． （1）求k的值； （2）将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数； （3）该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）． 18. 已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根． （1）若，求的取值范围； （2）若为两个整数根，为整数，且，求； （3）若满足，且，求的取值范围． 19. 已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． （1）直接写出中所有元素之积的所有可能值； （2）若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； （3）若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州一中2024-2025学年届高一上第一次月考 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集运算法则求. 【详解】不等式的解集为， 所以，又， 所以， 故选：B. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定即可求解. 【详解】命题的否定是：， 故选:A. 3. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再求出图中阴影部分表示的集合；最后利用集合的子集个数公式即可求解. 【详解】由图可知：阴影部分表示的集合为. 因为集合， 所以， 则， 所以阴影部分表示的集合的子集个数为. 故选：B. 4. 是关于的不等式在恒成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式恒成立条件，经过参变分离转化为最值问题求出参数，接着根据小范围能推出大范围，大范围推不出小范围得出答案. 【详解】若关于的不等式在区间上恒成立， 所以在区间恒成立， 因为函数区间单调递增， 所以函数区间上的最小值为3， 所以， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. 5. 某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（ ） A. 29 B. 27 C. 26 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，根据Venn图求出参加数理化的人数，即可求出需要预订多少张火车票. 【详解】该班学生参加竞赛情况如图所示，集合A，B，C，D，E，F，G中的任意两个集合无公共元素， 其中G表示三科都参加的学生集合，G中的学生数为2． 因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，所以D中的学生数为， 同理，得E中的学生数为，F中的学生数为． 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21，17，10， 所以A中的学生数为， B中的学生数为， C中的学生数为， 故置预订火车票的张数为． 故选：B. 6. 关于的不等式解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论，，与三种情况下原不等式的解集，结合题意可得该整数，列不等式即可得到的取值范围． 【详解】由可得， 当时，无解，不满足题意； 当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为和0，因此可得，即； 当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为2和3，因此可得，即； 综上所述：或， 所以实数的取值范围为或． 故选：B． 7. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的代换求解的最小值，然后利用恒成立法则转化为，解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以由恒成立，得，所以. 故选：D. 8. 为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生､家长和教师组成的QQ群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ群人数的最小值为（ ） A. 20 B. 22 C. 26 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】设教师人数为，家长人数为，女学生人数为，男学生人数为，由题意得到 ，再由教师人数的两倍多于男学生人数得到x的范围求解. 【详解】设教师人数为，家长人数为y，女学生人数为z， 男学生人数为t，x、y、z、t∈Z， 则，， 则， 又教师人数的两倍多于男学生人数，，解得， 当时，，此时总人数最少为22. 故选: B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，若，则实数a的值可以是（ ）． A. B. C. 0 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，求得，再分和，求得集合，结合，即可求解. 【详解】由方程，解得或，即， 当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意； 当时，由，可得 此时， 要使得，可得或，解得或. 综上可得，实数的值为或或. 故选：BCD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件 C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要而不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，能推出，而不能推出，因为也满足， 所以“”是“”的充分不必要条件，A选项正确； 对于B，两个三角形面积相等，不能得到两个三角形全等，两个三角形全等则面积一定相等， 所以两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件，B选项正确； 对于C，根据不等式的性质可知：由且能推出，充分性成立，故C选项错误； 对于D，因为可以等于零，所以由不能推出，故充分性不成立，由可得且，即必要性成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件，故D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形为关于的二次函数求最值判断C，利用条件变形可得，转化为关于的式子由均值不等式判断D. 【详解】由正数满足，可得，解得，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，由A知， 由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误； 由可得，即，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，且，则___________． 【答案】3或 【解析】 【分析】根据集合的交集的含义结合集合元素的互异性性质，即可求得答案. 【详解】因为，， 故， 又，若，若，则； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意， 当时，，，符合题意， 故或， 故答案为：或 13. 已知实数、满足，，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法得出，再利用不等式的基本性质可求得的最大值. 【详解】设，所以，，解得， 所以，， 因为，，则，， 因此，. 所以，的最大值为. 故答案为：. 14. 若关于x的不等式的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，确定不等式及的解集，进而求出的关系，结合的范围即可得解. 【详解】若不等式的解集不是，不妨设的根为， 则的解集为，依题意，不等式的解集非空， 且方程有两不等实根， 则的解集为，即有，而 从而的大小关系只有两种：，此时原不等式组解集为空集，不符合题意； 或者，此时不等式的解集为，不符合题意， 因此的解集是，的解集是， 于是，且，即， 从而，即，而，解得， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知命题：“，使得”为真命题． （1）求实数m的取值的集合A； （2）设不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式进行求解即可； （2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可. 【小问1详解】 命题“，使得”为真命题， 所以， 即， 解之得或， 所以实数m的取值的集合或；； 【小问2详解】 不等式的解集为， 因为是的必要不充分条件，所以， 则或， 所以或， 故实数a的取值范围为． 16. 已知全集，集合，， （1）分别求和； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1），或 （2）或， （3） 【解析】 【分析】（1）化简两个集合，即可根据交并补的定义求解， （2）将问题转化为，对讨论即可求解， （3）根据交集的定义，列不等式即可求解. 【小问1详解】 由， ， 故， 或，故或 【小问2详解】 由得， 当时，，则满足题意， 当时，则，解得， 综上可得或， 【小问3详解】 由得，解得， 17. 某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍． （1）求k的值； （2）将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数； （3）该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）． 【答案】（1） （2） （3）当促销费用为3.7万元时，利润最大为19.7万元． 【解析】 【分析】（1）根据时，，即可求得k的值； （2）确定销售量的表达式，根据利润等于销售额减去投入，即可得答案； （3）将变形为，利用基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由已知，当时，， ∴，解得：， 【小问2详解】 由（1）知， 故 ， 化简得：． 【小问3详解】 ， ∵，∴，即，则， 当且仅当即时等号成立， 此时，， 答：当促销费用约为3.7万元时，利润最大为19.7万元． 18. 已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根． （1）若，求的取值范围； （2）若为两个整数根，为整数，且，求； （3）若满足，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得二次项系数不为0且判别式大于0，列出不等式即可求解. （2）由题意首先得到，，再结合均为整数，即可得的值，分类讨论解一元二次方程即可求解. （3）结合韦达定理以及判别式大于0，解一元二次不等式即可求解. 【小问1详解】 当时，由题意，若时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根， 若方程有两个不等实数解，则，解得且， 所以的范围是 . 【小问2详解】 依题意：（否则方程没有两个实数根），且有， ，， 因为均为整数， 所以也是整数， ∴或， 时，，又且，∴， 时，，又且，∴． 综上，或． 【小问3详解】 ，方程为，， 则，又，即 ∴，即， 所以，∴． 所以的取值范围为． 19. 已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． （1）直接写出中所有元素之积的所有可能值； （2）若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； （3）若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 小问1详解】 已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以， 所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； 小问2详解】 已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； 【小问3详解】 由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有1个公共元素， 因为有5个元素，则T最少有2组，8个元素， 因为S中的1组元素与T中的2组元素最多有2个公共元素， 则S最少有3组，9个元素，才能使有5个元素， 则中最少有个元素， 且存在，符合， 所以的元素个数最小值为12. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $