第04讲 有理数的乘方与混合运算（3个知识点+5种题型+过关检测）-2024-2025学年六年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第04讲 有理数的乘方与混合运算（3个知识点+5种题型+过关检测） 知识点1．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点2．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点3．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 题型一、有理数的乘方运算 一、单选题 1．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）在，，，，，，这个数中，非负数有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（20-21六年级下·上海浦东新·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21六年级下·上海浦东新·期中）下列各组运算中，结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 二、填空题 4．（23-24六年级下·上海普陀·期中）9个2相乘的结果用幂的形式表示为 ． 5．（23-24六年级下·上海·阶段练习）计算： ． 6．（23-24六年级下·上海·期中）计算： ． 7．（2024六年级上·上海·专题练习）计算： ， ， ． 三、解答题 8．（2024六年级上·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 9．（2024六年级上·上海·专题练习）用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二、乘方的应用 1．（20-21六年级下·上海杨浦·期末）若，则 ， ． 2．（21-22六年级下·上海徐汇·期中）若 ，那么= ； 题型三、有理数混合运算 一、填空题 1．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）若规定用表示不超过的最大的整数，如，，计算： ． 二、解答题 2．（2024六年级下·上海·专题练习）计算：． 3．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）计算：． 4．（23-24六年级下·上海闵行·期末）计算： 5．（23-24六年级下·上海·期中）计算：． 6．（2024六年级下·上海·专题练习）计算：． 7．（2024六年级下·上海·专题练习）计算：． 8．（2024六年级下·上海·专题练习）计算：． 9．（23-24六年级下·上海长宁·期中）计算：； 10．（23-24六年级下·上海·期末）计算：． 11．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：． 12．（23-24六年级下·上海普陀·期中）计算：． 13．（23-24六年级下·上海普陀·期中）计算：． 题型四、有理数混合运算的实际应用 一、填空题 1．（23-24六年级下·上海浦东新·期中）一件商品原价为元，现打七五折出售，则顾客打折后购买可节省 元． 二、解答题 2．（22-23六年级·上海·假期作业）小明沿着长为100米的桥面步行，当他走到桥头A时，一列迎面驶来的火车车头恰好也到达桥头A．100秒钟后，小明走到桥尾B，火车的车尾恰好也到达桥尾B．已知火车的速度是小明速度的3倍，则火车通过这座桥所用的时间是多少秒？（答案保留整数） 3．（23-24六年级上·上海闵行·期中）某地新建一座大桥，在桥面两侧等距离安装照明灯，要求在处都要有一盏灯，这样至少需要安装多少盏灯？    4．（23-24六年级上·上海静安·期中）某商店出售三种水果，苹果每斤5元，香蕉每斤元，生梨每斤4元，某一日苹果销售了46斤，香蕉销售了40斤，生梨销售了斤，那么， (1)当天三种水果的总销售额是多少？ (2)当天苹果与生梨的销售额占总销售额的几分之几？ 5．（23-24六年级上·上海浦东新·期末）小明去餐厅吃饭，付账时打印的结账单据如图所示．已知有三种付费优惠活动可以选择： ①：大众点评网上有88元可购得该店100元的代金券活动； ②：支付宝付费可享受九折优惠； ③：餐厅店庆活动“除甜品外，消费满99元立减9元”； 如果小明能选择其中任意一种方式付费（以上优惠不能叠加使用），那么他选择哪一种方式最省钱？请通过计算来说明你的理由． 6．（23-24六年级上·上海闵行·期末）“等额本金”是一种贷款的还款方式，指每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息．它的第一个月还款金额计算方法是：（贷款本金÷还款月数）+贷款本金×月利率．为了更好满足居民刚性和改善性住房需求，某城市调整了住房信贷政策，具体调整如下表所示： 首付比例 房贷年利率 调整前 调整后 某人准备贷款购置一套总价为240万元的房子． (1)在政策调整之前，他如果首付，剩余的房款都进行贷款． （i）那么需贷款多少万元？ （ⅱ）如果按“等额本金”还款，预备20年还清，那么他第一个月应还款多少万元？ (2)如果在政策调整后购买这套房，首付后，剩余部分仍然都贷款，还是以“等额本金”还款方式20年还清，那么这时他首付与第一个月还款额两项的总数比政策调整前这两项的总数少支出多少万元？ 7．（21-22六年级上·上海杨浦·期末）某电视机厂每个月可生产A型电视机500台，每台电视机的成本价为2000元．现有两种销售方法：第一种，每台电视机加价，全部批发给零售商；第二种，全部由厂家直接销售，每台电视机加价作为销售价，每月也可售出500台，但需每月支付销售门面房房租和销售人员工资等费用共5万元．两种销售方法厂家都需按销售总额的缴纳营业税． (1)如果厂家直接销售，电视机全部销售完后，需缴纳营业税多少万元？ (2)应选择哪一种销售方法，厂家能获得更多的利润？ 8．（2022六年级上·上海·专题练习）小明、小丽、小杰三人去一家餐厅吃火锅，付款时打印的结账单如图所示． 现有三种优惠活动如下： （1）大众点评网上可用88元购得该店100元的代金券（每单最多可用两张）； （2）支付宝付款可享受全单八八折； （3）火锅店优惠活动“除锅底、酒水、饮料外，每消费满80元立减10元”． 以上三种优惠方式只能选择一种，你能帮他们算一算哪种支付方式最优惠吗？ 9．（22-23六年级上·上海·期中）某房地产公司推出的酒店式公寓，第一季度的房价是每平方米20000元，随着房价的全面上涨，第二季度的房价是每平方米24000元． (1)第二季度的房价比第一季度增长了百分之几？ (2)预计第三季度的房价的增长率在第二季度的基础上将提高5个百分点，请预计第三季度的房价每平方米是多少元？ 题型五、程序流程图与24点 一、填空题 1．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为 ．    2．（22-23六年级下·上海松江·期中）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为，则输出y的值为 ．    3．（22-23六年级下·上海徐汇·阶段练习）对1，3，5，5四个数进行“加、减、乘、除、乘方”混合运算（每个数只能使用一次），其计算结果为24，请列出算式： （填一个算式即可） 4．（2023六年级下·上海·专题练习）“巧算24点”是一种数学游戏，游戏方式简单易学，能健脑益智．比如给出四个数字3、8、8、9，就可用加、减、乘、除（可加括号）把这四个数算成24，而且每个数字必须用一次且只能用一次，那么算式是或者，下面给出数字1、3、4、6，请你用加减乘除列出算式，算出24，此算式是 ． 一．选择题（共6小题） 1．（2024春•嘉定区校级月考）在，，，，，，中，负数共有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2024春•普陀区校级月考）下列说法正确的是　　 A．任何数都有相反数 B．平方等于本身的数只有0 C．一定是负数 D．绝对值是本身的是正数 3．（2024春•宝山区校级期末）下列各数中，结果相等的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 4．（2024春•杨浦区期中）下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2024春•上海期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2024春•黄浦区校级期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共15小题） 7．（2024春•宝山区期末）计算：　　． 8．（2023春•松江区期末）将一张纸对折一次可裁2张，对折两次可裁4张，对折四次可裁 　　张． 9．（2024春•上海期中）的底数为　 　． 10．（2024春•闵行区期中）计算：　 　． 11．（2023春•宝山区期末）计算：　　． 12．（2023春•宝山区校级期中）计算：　　． 13．（2024春•普陀区校级月考）计算：　　． 14．（2024春•杨浦区期末）有一种扑克牌游戏叫做“24点”．要求是可以用加、减、乘、除、乘方五种运算把扑克牌牌面上的数算成24．每张牌必须用且只能用一次．如果有四张牌如图所示，请列出一种“24点”算式 　　． 15．（2024春•松江区期中）若表示的5倍与的一半的差，已知，则　　． 16．（2023春•普陀区期中）化简：　　． 17．（2023春•宝山区校级期中）计算：的结果是 　　． 18．（2022春•崇明区校级期中）如果有4个不同的正整数、、、满足，那么的最大值为 　　． 19．（2023春•黄浦区期末）、表示两个有理数，规定新运算“※”为：※（其中为有理数），如果2※，那么3※4的值为　　． 20．（2024春•黄浦区校级期中）若规定用表示不超过的最大的整数，如，，计算：　　． 21．（2023春•长宁区期末）为有理数，定义运算符号△：当时，△；当时，△；当时，△．根据这种运算，则△△的值为 　　． 三．解答题（共6小题） 22．（2020春•金山区期末）计第：． 23．（2024春•金山区校级期末）计算：． 24．（2020春•崇明区期末）计算：． 25．（2024春•宝山区校级期末）计算：． 26．（2021春•浦东新区月考）请认真阅读下面材料，并解答下列问题 如果的次幂等于，即指数式，那么数叫做以为底的对数，对数式记作：．例如： ①因为指数式，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：； ②因为指数式，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：． （1）填空：指数式对应的对数式是　　；对数式对应的指数式是　　． （2）计算：． 27．（2024春•上海期中）材料一：对任意有理数，定义运算“”． ． 如：，． 材料二：规定表示不超过的最大整数，如，，． （1）　　，　　； （2）求的值； （3）若有理数，满足，请直接写出的结果． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 有理数的乘方与混合运算（3个知识点+5种题型+过关检测） 知识点1．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点2．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点3．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 题型一、有理数的乘方运算 一、单选题 1．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）在，，，，，，这个数中，非负数有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数的乘方计算，求一个数的绝对值和相反数，先计算乘方，化简多重符号和绝对值，再根据非负数即为大于等于0的数进行求解即可． 【详解】解：，，， ∴非负数有、、、． 故选：C． 2．（20-21六年级下·上海浦东新·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方运算计算结果判断即可． 【详解】解：选项：，原式计算错误； B选项：，原式计算错误； C选项：，原式计算正确； D选项：，原式计算错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方运算．解题的关键是计算过程中正确处理符号． 3．（20-21六年级下·上海浦东新·期中）下列各组运算中，结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方运算逐项分析，即可求解． 【详解】解：A．和，故该选项不符合题意； B．和，故该选项不符合题意； C．和，故该选项不符合题意；     D．和，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的运算法则是解题的关键． 二、填空题 4．（23-24六年级下·上海普陀·期中）9个2相乘的结果用幂的形式表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数的乘方，解答此题的关键是要明确同底数幂的乘法的运算方法．9个2相乘，结果用幂的形式表示时，底数为2，指数为9，所以可以表示为． 【详解】解：9个2相乘的结果用幂的形式表示为． 故答案为：． 5．（23-24六年级下·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】27 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先算乘方再算乘法，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：27 6．（23-24六年级下·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，先运算括号内的减法，再运算乘方，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（2024六年级上·上海·专题练习）计算： ， ， ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了去括号法则、有理数的乘方运算等知识点，熟记相关运算法则是解题的关键． 根据去括号法则、有理数的乘方运算进行计算即可． 【详解】解：；；． 故答案为：，4，． 三、解答题 8．（2024六年级上·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)16 (3) (4) (5)8 (6)36 【分析】本题考查了乘方的运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． （1）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （2）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （3）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （4）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （5）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （6）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 9．（2024六年级上·上海·专题练习）用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)429981696； (2)112550881； (3)360.944128； (4)． 【分析】本题考查了使用计算器进行有理数的乘方运算，解题的关键是掌握使用计算器进行有理数的乘方运算方法． （1）利用计算器进行有理数的乘方运算； （2）利用计算器进行有理数的乘方运算； （3）利用计算器进行有理数的乘方运算； （4）利用计算器进行有理数的乘方运算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型二、乘方的应用 1．（20-21六年级下·上海杨浦·期末）若，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】根据偶次方和绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴a-1=0，3a-b-1=0， 解得a=1，b=2， 故答案为：1，2． 【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 2．（21-22六年级下·上海徐汇·期中）若 ，那么= ； 【答案】1 【分析】根据平方的非负性，绝对值的非负性，求出a，b的值即可； 【详解】解：由题意得：a-2=0，a=2；b+=0，b=； ∴a+3b=2+（-1）=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了非负代数式的和：如果几个非负代数式的和为零，那么每个代数式都等于零． 题型三、有理数混合运算 一、填空题 1．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）若规定用表示不超过的最大的整数，如，，计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算，根据新定义得到，据此计算求解即可。 【详解】解：规定用表示不超过的最大的整数， ∴ ， 故答案为：． 二、解答题 2．（2024六年级下·上海·专题练习）计算：． 【答案】15 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算顺序和运算法则．先算乘方，再算乘法，最后算减法即可． 【详解】解： ． 3．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查含乘方的有理数混合运算，掌握其运算法则是解题关键．先计算有理数的乘方，除法改乘法，化简绝对值，进而即可求解． 【详解】解： ． 4．（23-24六年级下·上海闵行·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，先用乘法运算律计算乘法，再算括号里面的，再把除法转化成乘法计算即可． 【详解】解： 5．（23-24六年级下·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算加减即可，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． 【详解】解： ． 6．（2024六年级下·上海·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号和绝对值，要先做括号和绝对值内的运算．注意乘法分配律的运用． 【详解】原式： ． 7．（2024六年级下·上海·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】利用有理数的混合运算法则（先算乘方再算乘法，最后运算加减）进行计算即可．本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 8．（2024六年级下·上海·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】先算括号内的和乘方，再算乘除法，最后算加法即可．本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：原式 ． 9．（23-24六年级下·上海长宁·期中）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，正确计算即可，熟练掌握有理数混合运算顺序“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算”是解题的关键． 【详解】解： ． 10．（23-24六年级下·上海·期末）计算：． 【答案】55 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握需要的运算法则是解答本题的关键．根据有理数的混合运算法则先计算乘方，绝对值，利用乘法分配律去掉括号，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 11．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算， 按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】解：原式 ． 12．（23-24六年级下·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据含有乘方的有理数混合法则计算即可，本题考查了含有有理数乘方的混合运算，正确理解运算顺序，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 13．（23-24六年级下·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据含有乘方的有理数混合法则计算即可，本题考查了含有有理数乘方的混合运算，正确理解运算顺序，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 题型四、有理数混合运算的实际应用 一、填空题 1．（23-24六年级下·上海浦东新·期中）一件商品原价为元，现打七五折出售，则顾客打折后购买可节省 元． 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，根据题意，列出算式，计算即可求解，正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：， ∴顾客打折后购买可节省元， 故答案为：． 二、解答题 2．（22-23六年级·上海·假期作业）小明沿着长为100米的桥面步行，当他走到桥头A时，一列迎面驶来的火车车头恰好也到达桥头A．100秒钟后，小明走到桥尾B，火车的车尾恰好也到达桥尾B．已知火车的速度是小明速度的3倍，则火车通过这座桥所用的时间是多少秒？（答案保留整数） 【答案】火车通过这座桥所用的时间是167秒 【分析】先求出小明速度，再求出火车速度，根据火车过桥时通过的路程车长桥长，求出火车通过的路程，然后算出火车过桥时间即可． 【详解】解：小明的速度：（米/秒） 火车的速度是：（米/秒） 火车的通过的路程为：（米）， 火车通过这座桥用时：（秒）． 答：火车通过这座桥所用的时间是167秒． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据题意求出火车通过大桥行驶的路程． 3．（23-24六年级上·上海闵行·期中）某地新建一座大桥，在桥面两侧等距离安装照明灯，要求在处都要有一盏灯，这样至少需要安装多少盏灯？    【答案】至少需要安装盏灯 【分析】根据在处都要有一盏灯可得，，再算出和的最大公因数，可求出每排安装量，由此可算总的安装量，本题主要考查最大公因数的运用，理解题意，掌握公因数的运用，有理数的混合运算是解题的关键． 【详解】解：在处都要有一盏灯， ∴，， ∵和的最大公因数是， ∴每隔安装一盏灯， ∴（盏）， ∴至少需要安装盏灯． 4．（23-24六年级上·上海静安·期中）某商店出售三种水果，苹果每斤5元，香蕉每斤元，生梨每斤4元，某一日苹果销售了46斤，香蕉销售了40斤，生梨销售了斤，那么， (1)当天三种水果的总销售额是多少？ (2)当天苹果与生梨的销售额占总销售额的几分之几？ 【答案】(1)当天三种水果的总销售额是576元 (2)当天苹果与生梨的销售额占总销售额的 【分析】本题考查有理数四则运算的实际运用，分数除法的意义，正确理解题意并准确计算是解题的关键． （1）用每种水果的单价销售量，再相加即可； （2）用当天苹果与生梨的销售额总销售额即可． 【详解】（1）解： （元） 答：当天三种水果的总销售额是576元； （2）解： 答：当天苹果与生梨的销售额占总销售额的． 5．（23-24六年级上·上海浦东新·期末）小明去餐厅吃饭，付账时打印的结账单据如图所示．已知有三种付费优惠活动可以选择： ①：大众点评网上有88元可购得该店100元的代金券活动； ②：支付宝付费可享受九折优惠； ③：餐厅店庆活动“除甜品外，消费满99元立减9元”； 如果小明能选择其中任意一种方式付费（以上优惠不能叠加使用），那么他选择哪一种方式最省钱？请通过计算来说明你的理由． 【答案】小明选择方式①付款更省钱，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，分别计算出三种付款方式的付款钱数即可得到答案． 【详解】解：小明选择方式①付款更省钱，理由如下： 选择方式①需付款：元； 选择方式②需付款：元； ， 选择方式③需付款：元； ∵， ∴小明选择方式①付款更省钱． 6．（23-24六年级上·上海闵行·期末）“等额本金”是一种贷款的还款方式，指每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息．它的第一个月还款金额计算方法是：（贷款本金÷还款月数）+贷款本金×月利率．为了更好满足居民刚性和改善性住房需求，某城市调整了住房信贷政策，具体调整如下表所示： 首付比例 房贷年利率 调整前 调整后 某人准备贷款购置一套总价为240万元的房子． (1)在政策调整之前，他如果首付，剩余的房款都进行贷款． （i）那么需贷款多少万元？ （ⅱ）如果按“等额本金”还款，预备20年还清，那么他第一个月应还款多少万元？ (2)如果在政策调整后购买这套房，首付后，剩余部分仍然都贷款，还是以“等额本金”还款方式20年还清，那么这时他首付与第一个月还款额两项的总数比政策调整前这两项的总数少支出多少万元？ 【答案】(1)（i）156万元；（ⅱ）1.2415万元 (2)万元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解第一个月还款金额计算方法是解答本题的关键． （1）（i）用240万元乘以首付后剩余的比例即可； （ⅱ）按照“等额本金”的计算方法计算即可； （2）先求出政策调整后购买这套房首付和第一个月的还款额，然后与政策调整之前的这两项相减即可． 【详解】（1）（i）万元； （ⅱ）万元； （2）万元， 万元， 万元，万元， 万元． 7．（21-22六年级上·上海杨浦·期末）某电视机厂每个月可生产A型电视机500台，每台电视机的成本价为2000元．现有两种销售方法：第一种，每台电视机加价，全部批发给零售商；第二种，全部由厂家直接销售，每台电视机加价作为销售价，每月也可售出500台，但需每月支付销售门面房房租和销售人员工资等费用共5万元．两种销售方法厂家都需按销售总额的缴纳营业税． (1)如果厂家直接销售，电视机全部销售完后，需缴纳营业税多少万元？ (2)应选择哪一种销售方法，厂家能获得更多的利润？ 【答案】(1)13万元 (2)应选择第一种销售方法，厂家能获得更多的利润 【分析】（1）营业税=销售总额，依此列式计算即可求解； （2）分别求出两种销售方法的利润，比较大小后即可求解． 【详解】（1）解： （万元）． 故需缴纳营业税13万元； （2）第一种： （万元）； 第二种： （万元）． ∵12.5万元万元， ∴应选择第一种销售方法，厂家能获得更多的利润． 【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，关键是得到两种方法的销售总额，同时注意单位的换算． 8．（2022六年级上·上海·专题练习）小明、小丽、小杰三人去一家餐厅吃火锅，付款时打印的结账单如图所示． 现有三种优惠活动如下： （1）大众点评网上可用88元购得该店100元的代金券（每单最多可用两张）； （2）支付宝付款可享受全单八八折； （3）火锅店优惠活动“除锅底、酒水、饮料外，每消费满80元立减10元”． 以上三种优惠方式只能选择一种，你能帮他们算一算哪种支付方式最优惠吗？ 【答案】第二种 【分析】根据三种优惠方式分别求出各自的钱数，比较大小后即可求解． 【详解】解：（1） (元)； （2） (元)； （3）(元)；； (元)， ； 所以，选择第二种支付方式最优惠． 【点睛】考查了有理数的混合运算，关键是求出三种优惠方式的钱数． 9．（22-23六年级上·上海·期中）某房地产公司推出的酒店式公寓，第一季度的房价是每平方米20000元，随着房价的全面上涨，第二季度的房价是每平方米24000元． (1)第二季度的房价比第一季度增长了百分之几？ (2)预计第三季度的房价的增长率在第二季度的基础上将提高5个百分点，请预计第三季度的房价每平方米是多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）用第二季度的房价与第一季度的房价的差除以第一季度的房价即可得到结论； （2）用第二季度的房价乘以即可得到结论． 【详解】（1）解： ； 答：第二季度的房价比第一季度增长了； （2）元， 答：预计第三季度的房价每平方米是25200元． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据题意正确的列出算式是解题的关键． 题型五、程序流程图与24点 一、填空题 1．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，将代入计算，将结果和比较大小，如果小于就输出，即可求解． 【详解】解：由题意得：第一次输入，列出算式为：， 应该直接输出，的值为：， 故答案为：． 2．（22-23六年级下·上海松江·期中）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为，则输出y的值为 ．    【答案】 【分析】将代入求出结果即可． 【详解】解：把代入得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，准确计算． 3．（22-23六年级下·上海徐汇·阶段练习）对1，3，5，5四个数进行“加、减、乘、除、乘方”混合运算（每个数只能使用一次），其计算结果为24，请列出算式： （填一个算式即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】结合所给数字及结果的特点，利用“加、减、乘、除、乘方”进行尝试，即可得出答案． 【详解】解：， 或， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 4．（2023六年级下·上海·专题练习）“巧算24点”是一种数学游戏，游戏方式简单易学，能健脑益智．比如给出四个数字3、8、8、9，就可用加、减、乘、除（可加括号）把这四个数算成24，而且每个数字必须用一次且只能用一次，那么算式是或者，下面给出数字1、3、4、6，请你用加减乘除列出算式，算出24，此算式是 ． 【答案】 【分析】根据加减乘除运算法则列出算式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 一．选择题（共6小题） 1．（2024春•嘉定区校级月考）在，，，，，，中，负数共有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：，是正数； ，是负数； ，是负数； ，是负数； ，0既不是正数，也不是负数； ，是负数； ，是负数； 负数有，，，，，共5个． 故选：． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 2．（2024春•普陀区校级月考）下列说法正确的是　　 A．任何数都有相反数 B．平方等于本身的数只有0 C．一定是负数 D．绝对值是本身的是正数 【分析】利用相反数，绝对值，平方，负数的定义逐一判断即可解答． 【解答】解：、任何数都有相反数，选项正确． 、平方等于本身的数只有0和1，选项不正确． 、不一定是负数，例，选项不正确． 、绝对值是本身的是非负数，选项不正确． 故选：． 【点评】本题考查了相反数，绝对值，平方，负数的定义，熟记相关定义是解题的关键． 3．（2024春•宝山区校级期末）下列各数中，结果相等的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【分析】根据乘方的意义对各个选项的式子进行计算，然后根据计算结果进行判断即可． 【解答】解：．，，，故此选项不符合题意； ．，，，故此选项符合题意； ．，，，故此选项不符合题意； ．，，，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键是熟练掌握乘方的意义． 4．（2024春•杨浦区期中）下列各式中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据有理数的乘方的运算法则进行计算． 【解答】解：、，题干计算错误，不符合题意； 、，题干计算错误，不符合题意； 、，题干计算正确，符合题意； 、，题干计算错误，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． 5．（2024春•上海期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据有理数的乘方，有理数的乘方运算法则分别判断即可． 【解答】解：， ， 故不符合题意； ， ， 故不符合题意； ， ， 故符合题意； ， 故不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的乘法，熟练掌握这些知识是解题的关键． 6．（2024春•黄浦区校级期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据有理数的混合运算法则逐一计算并判断即可． 【解答】解：、，故选项不符合题意； 、，故选项不符合题意； 、，故选项不符合题意； 、，故选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 二．填空题（共15小题） 7．（2024春•宝山区期末）计算：　　． 【分析】根据有理数的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．（2023春•松江区期末）将一张纸对折一次可裁2张，对折两次可裁4张，对折四次可裁 　16　张． 【分析】根据已知找到规律，即可列式求出答案． 【解答】解：根据题意得： 将一张纸对折四次可裁（张， 故答案为：16． 【点评】本题考查有理数的乘方运算，解题的关键是掌握有理数乘方的意义和运算法则． 9．（2024春•上海期中）的底数为　5　． 【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可． 【解答】解：的底数为5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念是解题的关键． 10．（2024春•闵行区期中）计算：　　． 【分析】先算乘方，再算减法即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的乘方运算，注意：的奇数次幂是，的偶数次幂是1． 11．（2023春•宝山区期末）计算：　　． 【分析】理解乘方的意义，然后再计算． 【解答】解：原式的意义是2023个相乘，进而得， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数乘方，掌握有理数的乘方运算，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值是解题的关键． 12．（2023春•宝山区校级期中）计算：　　． 【分析】根据有理数的乘方法则计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是掌握乘方运算法则． 13．（2024春•普陀区校级月考）计算：　0　． 【分析】先计算乘方，再计算加减法即可得到答案． 【解答】解： ， 故答案为：0． 【点评】本题主要考查了有理数混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 14．（2024春•杨浦区期末）有一种扑克牌游戏叫做“24点”．要求是可以用加、减、乘、除、乘方五种运算把扑克牌牌面上的数算成24．每张牌必须用且只能用一次．如果有四张牌如图所示，请列出一种“24点”算式 　　． 【分析】根据题意和图形，可以写出一个结果为24的算式． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． 15．（2024春•松江区期中）若表示的5倍与的一半的差，已知，则　1.1　． 【分析】首先根据表示的5倍与的一半的差，可得，求出的值，然后根据，列出一元一次方程，求出的值即可． 【解答】解：表示的5倍与的一半的差， ， ， ， ， 解得． 故答案为：1.1． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确“”的运算方法． 16．（2023春•普陀区期中）化简：　　． 【分析】先将乘方化简，再进行计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有含乘方的有理数的计算，解题的关键是掌握负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数． 17．（2023春•宝山区校级期中）计算：的结果是 　　． 【分析】根据乘方法则计算，再相加． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是注意乘方运算中的符号问题． 18．（2022春•崇明区校级期中）如果有4个不同的正整数、、、满足，那么的最大值为 　8078　． 【分析】根据、、、是四个不同的正整数，可知四个括号内是各不相同的整数，结合乘积为8，进行分类讨论． 【解答】解：、、、是四个不同的正整数， 四个括号内是各不相同的整数， 不妨设， 又， 这四个数从小到大可以取以下几种情况：①，，1，2；②，，1，4． ， ， 当越小，越大， 当时，取最大值． 故答案为：8078． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，根据题意得出四个括号中的数是解答此题的关键． 19．（2023春•黄浦区期末）、表示两个有理数，规定新运算“※”为：※（其中为有理数），如果2※，那么3※4的值为　　． 【分析】根据※（其中为有理数），2※，可以得到的值，然后即可求得3※4的值． 【解答】解：※，2※， ， 解得，， ※， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法，利用新运算解答问题． 20．（2024春•黄浦区校级期中）若规定用表示不超过的最大的整数，如，，计算：　6　． 【分析】根据题目中的规定进行求解即可． 【解答】解：规定用表示不超过的最大的整数， 原式 ， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算和比较大小，根据题目中的规定进行计算是解题的关键． 21．（2023春•长宁区期末）为有理数，定义运算符号△：当时，△；当时，△；当时，△．根据这种运算，则△△的值为 　　． 【分析】原式利用已知的新定义计算即可得到结果． 【解答】解：根据题中的新定义得：△△， 则原式△△， 故答案为： 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 三．解答题（共6小题） 22．（2020春•金山区期末）计第：． 【分析】先算乘方和括号内的，再算乘除，最后算加减． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查有理数混合运算，解题的关键式掌握有理数相关运算的法则． 23．（2024春•金山区校级期末）计算：． 【分析】先进行乘方运算，化简绝对值，再进行加减运算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查了有理数混合运算，熟记有理数混合运算法则是解题的关键． 24．（2020春•崇明区期末）计算：． 【分析】根据有理数的乘方，乘法分配律计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握与的区别是解题的关键． 25．（2024春•宝山区校级期末）计算：． 【分析】先计算乘方，绝对值，再利用乘法运算律计算，最后计算加减即可 【解答】解： ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握乘方，乘法运算律是关键． 26．（2021春•浦东新区月考）请认真阅读下面材料，并解答下列问题 如果的次幂等于，即指数式，那么数叫做以为底的对数，对数式记作：．例如： ①因为指数式，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：； ②因为指数式，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：． （1）填空：指数式对应的对数式是　　；对数式对应的指数式是　　． （2）计算：． 【分析】（1）直接利用对数式的定义分析得出答案； （2）直接利用对数式的定义得出各数求出答案． 【解答】解：（1）指数式对应的对数式是：， 对数式对应的指数式是：； 故答案为：，； （2） ． 【点评】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解对数式定义是解题关键． 27．（2024春•上海期中）材料一：对任意有理数，定义运算“”． ． 如：，． 材料二：规定表示不超过的最大整数，如，，． （1）　　，　　； （2）求的值； （3）若有理数，满足，请直接写出的结果． 【分析】（1）根据新定义把新运算的代数式转化为常规代数式进行解答便可； （2）根据新定义把原式转化为进行计算便可； （3）设，为整数，由已知条件，列出的方程求得与的值，进而求得的值，再代入代数式，根据新定义进行计算便可． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：；； （2） ； （3）设，为整数，则，， ， ， 解得，， ， ． 【点评】本题考查了新定义，列代数式，有理数的混合运算，解一元一次方程，关键是理解和应用新定义解题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$