期中测试卷01（测试范围：第1-2章+函数的概念与性质）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（沪教版2020必修第一册，上海专用）

2024-2025学年高一数学上学期期中测试卷01 测试范围：第1-2章+函数的概念与性质 一、填空题 1．设全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【解析】由补集的含义得， 故答案为：. 2．命题“存在，使得”的否定是 【答案】“对任意，都有” 【分析】根据特称命题的否定是全称命题书写即可. 【解析】命题“存在，使得”， 则命题的否定为“对任意，都有”， 故答案为：“对任意，都有” 3．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式的求解步骤，可得答案. 【解析】不等式，等价于，则，解得， 所以该不等式的解集为. 故答案为：. 4．已知，若，则 . 【答案】或 【分析】分别令分段函数中的每一段解析式的函数值为列方程，由此解得的值. 【解析】由，得； 由， 得； 由，得（舍）； 综上或. 故答案为：或. 5．若集合有且仅有两个子集，则实数 ； 【答案】0或2或18 【分析】集合有且仅有两个子集，由于空集是任何集合的子集，所以集合是单元素集合，即方程只有一个根或两个相等的实数根，分和两种情况求出实数即可. 【解析】∵集合有且仅有两个子集, ∴集合中有且仅有一个元素, 即方程有一个根或者两个相等的实数根. 当时, 方程仅有一个实数根, 满足题意; 当时, 令, 解得或. 综上, 或或. 故答案为：0或2或18. 6．函数的值域是 . 【答案】 【分析】换元后利用二次函数图像即可得出值域，但注意换元后的定义域. 【解析】令……① 将①式代入可得：…...② 的定义域为， 由二次函数图像可知，开口向下；且. 故答案为：. 7．已知是关于的方程的两个实数根，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】利用可以得到，利用韦达定理可构建关于的方程，解方程即可求解. 【解析】由是关于的方程的两个实数根， 则，， 因为，故，即， 所以， 化简得， 解得或 故答案为：或. 8．若偶函数满足：当时，为减函数，且，则的解集为 ． 【答案】 【分析】由偶函数的性质得到，且的单调区间，从而得到和的解集，然后得出解集. 【解析】函数为偶函数，则， ∵当时，为减函数， ∴当时，为增函数； ∴时，；时， ∴当时， 故答案为： 9．设， 则使方程成立的x的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】利用分类讨论解绝对值方程即可. 【解析】当时，原式化为恒成立，符合题意； 当时，原式化为，与前提矛盾，不符题意； 当时，原式化为，与前提矛盾，不符题意； 当时，原式化为恒成立，符合题意； 综上可知： 故答案为： 10．去年8月，上海发放了“爱购上海”为主题的“消费满100元抵50元”的电子消费券．A商家是“爱购上海”的活动商户，同时举行促销活动，每件商品按原价6折销售，但折扣不能与“爱购上海”消费券同时使用．如果你在这个商家购买商品原价的范围在（100，150）元．若使用消费券更便宜，则原价范围为 ． 【答案】 【分析】设商品原价为元，结合题意可知，运算求解即可. 【解析】设商品原价为元，则， 使用消费券后的价格为，打6折后的价格为， 若使用消费券更便宜，则，解得，即. 故答案为： 11．已知不等式对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求得最值，列不等式求解即可. 【解析】已知正实数x，y，a为正实数， 则， 当且仅当时等号成立， 由题意不等式对任意的正实数x，y恒成立，所以， 即，解得或舍去，所以， 即正实数a的取值范围是. 故答案为：. 12．用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，，则实数a的所有可能取值构成集合S，则 . 【答案】 【分析】先由题中条件，得到或，结合方程分别求解，即可得出结果. 【解析】因为，，所以或. 当时，关于x的方程有1个实数解， 所以，解得. 当时，关于x的方程有3个实数解， 方程有两个解为0和，则和都不是方程的根， 所以需满足，解得. 当时，的解为，符合题意； 当时，的解为，符合题意. 综上，a的所有可能取值为0，，，即所求集合S为. 故答案为：. 二、单选题 13．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】首先求解不等式，再根据集合的包含关系，即可判断选项. 【解析】不等式，得或， 而或， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 14．下列各组函数中，同组的两个函数是相同函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据函数相等的定义逐项判断即可. 【解析】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是相同函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，，所以两函数对应关系不同，不是相同函数，故B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是相同函数，故C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，，两函数定义域相同，对应关系相同，是相同函数，故D正确. 故选：D 15．如图，U是全集，M、P、S是U的子集，则阴影部分表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次判断四个选项中所表示的集合范围，得到答案. 【解析】A选项，表示的为④，错误； B选项，表示的为③④⑤⑥⑦，错误； C选项，表示的为⑤，正确； D选项，表示的为①②③④⑧，错误. 故选：C 16．已知函数的定义域均为，且．对任意的均有成立，且．则下列说法正确的个数有（    ） ①．    ②．为奇函数    ③．的周期为6    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对①：通过，即可直接求得结果；对②：令，求得，再令，即可求得，即可判断；对③：对原式通过赋值法，结合已知数据，以及周期性的定义，即可求得结果；对④：根据③中所求，结合的取值，以及函数周期性，即可求得结果. 【解析】根据题意可得， 对①：，故①正确； 对②：对，令，则，则； 再令，则，整理得， 又，故为偶函数，故②错误； 对③：对，令，则； 故，，则， ，也即，故的周期为，故③正确； 对④：由③可知：，又， 故，解得；同理，解得； ，解得，，解得，，解得； 即； 则，故④正确； 故说法正确的个数有个. 故选：C. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 三、解答题 17．已知全集为R，集合，集合． (1)求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合内元素的不等式，再求出交集即可； （2）由得到，然后分成是否为空集对分类讨论即可. 【解析】（1），或， 所以或， 即； （2）因为，所以， ①若，此时； ②若，此时需满足，不等式无解， 综上可知. 18．已知. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由. （2）若，判断函数在区间上的单调性，并证明. 【答案】（1）当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数；（2）单调递增，证明见解析. 【解析】（1）分和两种情况利用定义讨论奇偶性； （2）可得，利用定义可判断单调性. 【解析】（1）的定义域关于原点对称， 当时，，此时，是偶函数， 当时，， ，是非奇非偶函数； （2）若，时，， 任取， ， ，，，即， ， 函数在区间上单调递增. 19．培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（）小时后，水中含有物质N的浓度增加ymol/L，y与t的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2mol/L时，物质N才能有效发挥作用． (1)若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用的时长； (2)若时在水中首次投放1个单位的物质N，时再投放1个单位的物质N，试判断当时，水中含有物质N的浓度是否始终不超过3mol/L，并说明理由． 【答案】(1)物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时； (2)当时，水中含有物质N的浓度始终不超过3mol/L. 【分析】（1）对分两种情况讨论解不等式即得解； （2）求出，再利用基本不等式判断求解. 【解析】（1）解：当时，由题得，解之得； 当时，由题得，解之得； 所以. 所以物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时. （2）解；当时，水中含有物质N的浓度为ymol/L， 则. 当且仅当时等号成立. 所以当时，水中含有物质N的浓度的最大值为3mol/L. 所以当时，水中含有物质N的浓度始终不超过3mol/L. 20．已知关于x的不等式的解集为M． (1)若，求x的取值范围； (2)若，求实数k的取值范围； (3)是否存在实数k，满足：“对于任意正整数n，都有；对于任意负整数m，都有”，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）直接求解不等式，即可得到结果. （2）讨论二次项系数及不为0时，求出原不等式的解集为时的取值范围． （3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可． 【解析】（1）当时，不等式为，即，解得， 即x的取值范围为. （2）当时，解得，或， ①当时，不等式化为，时，解集为； ②当时，不等式化为，对任意实数不等式不成立； ③当时，可得， 则k的取值范围为； 综上所述，实数k的取值范围为. （3）根据题意，得出解集，， 当时，解得，或， 时，不等式的解集为，满足条件， 时，恒成立，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 综上，存在满足条件的值为5． 21．已知集合．对集合中的任意元素，定义，当正整数时，定义．（约定）． (1)若，求和； (2)若满足且，求的所有可能结果； (3)是否存在正整数使得对任意都有？若存在，求出的所有取值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)、、、； (3)存在，n的所有取值为，理由见解析. 【分析】（1）根据定义依次写出、即可得结果. （2）由题设有或，再依据定义确定的所有可能结果； （3）由定义得，依次写出直到即可判断存在性，并确定n的所有取值. 【解析】（1） 由题意，，，， ，，，. （2）由且， ①， 当或1时，， 同理，或1时，， 或1时，， 或1时，， 所以①等价于，则，， 当，，则为满足； 当，，则为满足， 当，，则为满足， 当，，则为满足， 综上，的所有可能结果、、、. （3）存在正整数n使且，理由如下： 由，则， 所以， 若，， 所以， 若，则，，， 所以，对都有， 当时，恒成立， 综上，n所有取值为使成立. 【点睛】关键点点睛：第二、三问，根据已知条件及的定义依次写出结果，判断存在性并列举出结果. ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学上学期期中测试卷01 测试范围：第1-2章+函数的概念与性质 一、填空题 1．设全集，集合，则 ． 2．命题“存在，使得”的否定是 3．不等式的解集是 ． 4．已知，若，则 . 5．若集合有且仅有两个子集，则实数 ； 6．函数的值域是 . 7．已知是关于的方程的两个实数根，若，则的值为 ． 8．若偶函数满足：当时，为减函数，且，则的解集为 ． 9．设， 则使方程成立的x的取值范围是 ． 10．去年8月，上海发放了“爱购上海”为主题的“消费满100元抵50元”的电子消费券．A商家是“爱购上海”的活动商户，同时举行促销活动，每件商品按原价6折销售，但折扣不能与“爱购上海”消费券同时使用．如果你在这个商家购买商品原价的范围在（100，150）元．若使用消费券更便宜，则原价范围为 ． 11．已知不等式对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的取值范围是 . 12．用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，，则实数a的所有可能取值构成集合S，则 . 二、单选题 13．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．下列各组函数中，同组的两个函数是相同函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 15．如图，U是全集，M、P、S是U的子集，则阴影部分表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 16．已知函数的定义域均为，且．对任意的均有成立，且．则下列说法正确的个数有（    ） ①．    ②．为奇函数    ③．的周期为6    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题 17．已知全集为R，集合，集合． (1)求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 18．已知. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由. （2）若，判断函数在区间上的单调性，并证明. 19．培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（）小时后，水中含有物质N的浓度增加ymol/L，y与t的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2mol/L时，物质N才能有效发挥作用． (1)若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用的时长； (2)若时在水中首次投放1个单位的物质N，时再投放1个单位的物质N，试判断当时，水中含有物质N的浓度是否始终不超过3mol/L，并说明理由． 20．已知关于x的不等式的解集为M． (1)若，求x的取值范围； (2)若，求实数k的取值范围； (3)是否存在实数k，满足：“对于任意正整数n，都有；对于任意负整数m，都有”，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由． 21．已知集合．对集合中的任意元素，定义，当正整数时，定义．（约定）． (1)若，求和； (2)若满足且，求的所有可能结果； (3)是否存在正整数使得对任意都有？若存在，求出的所有取值；若不存在，说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$