期中测试卷01（测试范围：第10-11章+空间向量及其应用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（沪教版2020，上海专用）

2024-2025学年高二数学上学期期中测试卷01 测试范围：第10-11章+空间向量及其应用 一、填空题 1．“平面经过直线”用集合符号语言可表示为 ． 2．已知一个球的半径是，则它的表面积是 ． 3．设空间两个角与，若它们的两边分别平行，，则 . 4．已知空间向量，且与垂直，则等于 . 5．在平行六面体中，E，F分别是棱，的中点，记，，，则等于 （用，，表示）． 6．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的面积为 . 7．平面的法向量为，，那么直线与平面的关系是 ． 8．已知，，是不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题中： （1）若，，，则； （2）若，，，则； （3）若，，，则且； （4）若，，，则， 所有真命题的序号是 . 9．若圆锥的侧面展开图是半径为，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的该圆锥的截面面积的最大值为 . 10．如图，正方的棱长为2，若空间中的动点P满足，若，则二面角的平面角的大小为 .    11．已知三棱柱及空间中一点P，且，（，m为常数），若三棱的体积为24，则三棱锥的体积为 ． 12．正方形中，，分别为线段，的中点，连接，，，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥外接球半径与内切球半径的比值为 ．    二、单选题 13．给出下面四个命题： ①三个不同的点确定一个平面； ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④两条平行直线确定一个平面． 其中正确的命题是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 14．已知正方体的体积是，则这个正方体的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 15．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（    ） A．与垂直 B．与平面垂直 C．与平行 D．与平面平行 16．在棱长为1的正方体中，为底面ABCD的中心，是棱上一点，且，，N为线段AQ的中点，则下列命题中正确的是（    ） A．CN与QM是异面直线 B．三棱锥的体积跟的取值有关 C．当时， D．当时，过A、Q、M三点的平面截正方体所得截面的周长为 三、解答题 17．已知空间中的三点，，. (1)求的面积； (2)当与的夹角为钝角时，求k的范围． 18．如图，在直三棱柱中，，D，E，F分别是棱，BC，AC的中点，.    (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 19．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． (1)求该蒙古包的侧面积． (2)求该蒙古包的体积． 20．如图，在四棱锥中，底面，，，，，． (1)求证：平面； (2)试在棱PB上确定一点，使截面把该几何体分成的两部分与的体积比为； (3)H是PB中点，求二面角大小的余弦值． 21．已知矩形 中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体. (1)求三棱锥外接球的表面积； (2)若点为底面内部一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比； (3)若的取值范围是，求二面角的取值范围. 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(1)求的面积； (2)当与的夹角为钝角时，求k的范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用向量坐标表示有，，由向量夹角的坐标运算可得，再求其正弦值，应用三角形面积公式求面积； （2）向量坐标表示得，，它们的夹角为钝角，即，即可求参数范围，注意排除向量反向共线的情况. 【解析】（1）由题设，，则， 所以，故在中， 故的面积为. （2）由（1）知：，，且它们夹角为钝角， 所以，即， 所以，可得， 当它们反向共线，即且时，有，无解， 综上，. 18．如图，在直三棱柱中，，D，E，F分别是棱，BC，AC的中点，.    (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明线面平行，再由面面平行判定定理得证； （2）利用三棱锥中等体积法求高即可. 【解析】（1）在中，因为E，F分别是BC，AC的中点， 所以. 因为，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理平面， 又因为，平面， 所以平面平面. （2）如图所示，连接.    利用勾股定理计算得， 所以的面积为. 设点到平面的距离为， 则三棱锥的体积为. 又易知平面， 所以三棱锥的体积为. 所以，解得， 即点到平面的距离为. 19．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． (1)求该蒙古包的侧面积． (2)求该蒙古包的体积． 【答案】(1)平方米 (2)立方米 【分析】（1）先求出圆锥和圆柱的侧面积，再求和即可； （2）先求出圆锥和圆柱的体积，再求和即可. 【解析】（1）依题意得米，米，米， 所以米， 所以圆锥的侧面积为平方米， 圆柱的侧面积为平方米， 所以该蒙古包的侧面积为平方米. （2）圆锥的体积为立方米， 圆柱的体积为立方米， 所以该蒙古包的体积为立方米. 20．如图，在四棱锥中，底面，，，，，． (1)求证：平面； (2)试在棱PB上确定一点，使截面把该几何体分成的两部分与的体积比为； (3)H是PB中点，求二面角大小的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)点为的中点 (3) 【分析】（1）根据已知可得，，进而即可根据线面垂直的判定定理得出证明； （2）过点作，证明四边形是平行四边形.进而求出梯形的各个边长以及面积，得出四棱锥的体积，进而得出三棱锥的体积为.过点作，求出的面积，即可得出，即可得出点位置； （3）建立空间直角坐标系，得出相关点以及向量的坐标，求出平面以及平面的法向量，根据向量求解即可得出答案. 【解析】（1）因为底面，平面， 所以，. 又，， 所以，. 因为平面，平面，， 所以，平面. （2） 因为，所以. 过点作，则. 又， 所以，四边形是平行四边形， 所以，. 因为， 所以，，点为中点， 所以，. 所以，梯形的面积为， 四棱锥的体积. 由已知与的体积比为， 所以，三棱锥的体积为. 过点作，则，且是三棱锥的高， 因为，所以有. 因为， 所以，，， 所以，三棱锥的体积为， 所以，， 所以，点为的中点. （3） 如图2，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，. 因为底面，所以即为平面的一个法向量. 设为平面的一个法向量， 则，取，可得为平面的一个法向量. 所以，. 由图象可知，二面角为锐角， 所以二面角大小的余弦值为. 21．已知矩形 中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体. (1)求三棱锥外接球的表面积； (2)若点为底面内部一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比； (3)若的取值范围是，求二面角的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用该三棱锥的性质找出外接球的球心与半径计算即可；（2）将三棱锥体积之比转化为底面积之比，然后利用，求出底面积之比即可;（3）该图像不好建立空间直角坐标系，就利用几何法画出二面角，然后计算各个线段的长度，利用余弦定理得到，然后利用余弦定理得到，最后利用的取值范围求出二面角的取值范围即可. 【解析】（1）在矩形中，连接与相交于点， 则 在翻折后点为中点，还是有 故三棱锥外接球球心为点，半径 所以外接球表面积. （2）由题可知， 所以 因为， 则 因为 故 所以 （3）过点作的垂线，与相交于点，在平面上，过点做的垂线，与相交于点； 则二面角为 显然， 所以有， 由题可知，， 故，，， 由余弦定理可知 所以有 在中，利用余弦定理得 又因为，的取值范围是 所以有， 得 因为 所以 即二面角的取值范围是. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$