精品解析：福建省泉州实验中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

泉州实验中学2025届高三上学期10月月考数学试卷 满分150分 时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求集合，注意，再求. 【详解】，又因为，所以，得． 故选：D． 2. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，求得不等式对应的解集，再根据选项进行选择. 【详解】等价于，即， 因为可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，其它选项均不满足； 所以“”的一个必要不充分条件是． 故选：B． 3. 在的展开式中的系数是（ ） A. 30 B. 35 C. 55 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理求出所有含的项，计算可得系数. 【详解】由二项展开式的通项可得展开式中含的项包括两项， 即， 所以展开式中的系数是55. 故选：C 4. 已知为奇函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，可直接得出结果. 【详解】因为为奇函数， 所以， 即，所以. 故选：A 5. 设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分段作出函数的图象，结合图象得函数为上的增函数，再判断函数的奇偶性，再利用单调性与奇偶性性质将不等式转化为，化简求解可得. 【详解】，，则， 作出函数的图象，可知是上的增函数. 又，是奇函数. 不等式可化为， 所以，则，即，解得， 不等式的解集是. 故选：B. 6. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得b＝3a，c＝－4a，再由基本不等式计算即可得出结论． 【详解】由的解集为可知， 1和是方程的两个实数根，且a＜0， 由根与系数的关系可得，即可得，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立； 因此． 故选：D． 7. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设切点，再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式得到切线方程；再根据切线过点，得到的关系，利用有两解求的取值范围. 【详解】设切点， 又，所以切线斜率为：. 由点斜式，切线方程为：. 因为切线过点，所以. 所以：. 因为过原点的切线有两条，所以关于方程有两解. 由（）， 设，则， 由得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，且当时，. 所以有两解，则. 故选：A 8. 设，，，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先通过构造函数得到当时，，再通过构造函数进一步得到，，由此即可比较，通过构造函数即可比较，由此即可得解. 【详解】设，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 令，则， 所以在上单调递增， 从而，即，， 所以，， 从而当时，， 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 综上所述：. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：在比较的大小关系时，可以通过先放缩再构造函数求导，而在比较大小关系时，关键是通过构造适当的函数，通过导数研究函数单调性，从而来比较大小. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据两角和差公式判断AC；根据倍角公式判断BD. 【详解】因为，， 对于选项A：因为， 解得，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：因为，故D错误； 故选：AB. 10. 已知函数，则（ ） A. 1是的极小值点 B. 的图象关于点对称 C. 有3个零点 D. 当时， 【答案】AB 【解析】 【分析】利用导数求函数极值点判断选项A；通过证明得函数图象的对称点判断选项B；利用函数单调性判断选项C；利用单调性比较函数值的大小判断选项D. 【详解】对于A，函数，，令，解得或， 故当时，当时，，当时， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故1是的极小值点，故A正确： 对于B，因为， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，，易知的单调性一致，而， 故至多有2个零点，故C错误； 对于D，当时，，而在上单调递增，故，故D错误. 故选：AB. 11. 已知定义域为的函数满足，且，则（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】A.， 令，则，故A错误； 令，则，又，所以， 令，则， 所以函数关于对称， 令，则， 令，且，则，所以， 又函数的定义域，所以函数为偶函数，故B正确； 令，则， 又，所以，故C正确； 因为，所以，所以函数的一个周期为8， 令，则，所以， 所以，所以， ， 所以 ， 所以，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考察抽象函数的性质，关键是根据条件等式，将赋值数字或变量. 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的递减区间为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数的单调性只需求出的单调递增区间，且要满足，从而求出答案. 【详解】因为在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，的递减区间为的单调递增区间， 且要满足，解得或， 其中在上单调递增， 故的递减区间为. 故答案为： 13. 已知函数，若关于x的方程有3个不等实根.则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，函数与直线有3个交点，数形结合求得实数a的取值范围. 【详解】当时，，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，且当时，， 又时，，则函数图象如图， 关于x的方程有3个不等实根，即函数与直线有3个交点， 由图象可知，即实数a的取值范围为. 故答案为：. 14. 如图，甲从A到B，乙从C到D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有________对. （用数字作答） 【答案】1750 【解析】 【分析】先分析甲乙分别到B,D的走法，各有种不同的走法，由分步乘法计数原理知共有路径， 分析相同的路径，甲从A走到D与乙从C走到B的路径都相交，共有对相交路径，故孤立路共有. 【详解】甲从A到B，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A到B共有种走法， 乙从C到D，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A到B共有种走法， 根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径对， 甲从A到D，需要向右走6步，向上走4步，共需10步，所以从A到D共有种走法, 乙从C到B，需要向右走2步，向上走4步，共需6步，所以从C到B共有种走法, 所以相交路径共有对， 因此不同的孤立路一共有对. 故答案为：1750 【点睛】本题主要考查了组合的实际应用，组合数的计算，分步乘法计数原理，属于难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知在等差数列中，，前项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，． （1）求与； （2）定义新数列满足，求前10项的和． 【答案】（1） （2）1389 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差和等比数列的公比分别为，根据等差数列和等比数列的基本量运算，列出方程组，解之即得数列通项； （2）根据数列的奇偶性特征，运用分组求和法，及等差数列和等比数列的求和公式计算即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则由题意可得： 解得：， 所以； 【小问2详解】 由（1）得： 所以 . 16. 已知的内角所对的边分别是. （1）求角； （2）若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，可得，再结合余弦定理，即可求得角B； （2）求出的外接圆半径，由正弦定理结合三角恒等变换可表示出，结合角A的范围，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 化简可得，由余弦定理得， 因为为三角形内角，，所以. 【小问2详解】 因为的外接圆面积为，故其外接圆半径为， 因为，所以由正弦定理可得 故， 所以 ， 因为为锐角三角形，则， ， 即的周长的取值范围为. 17. 已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）O为坐标原点，若的面积为，求直线AB的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用点到直线距离公式列出方程，求出，结合离心率和得到，求出双曲线方程； （2）点差法得到，设出直线的方程，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出弦长，利用的面积列出方程，求出，得到直线方程. 【小问1详解】 由题意得，右焦点坐标为，双曲线渐近线方程为， 故，解得， 又，故， 故双曲线方程为； 【小问2详解】 设，则，两式相减得， 若或，则的中点在坐标轴上， 又，故或， 所以，即，解得， 设直线，与联立得， 故， 则， 点到直线的距离， 故, 解得， 故直线AB的方程为或. 【点睛】结论点睛：圆锥曲线中点弦相关结论及其推广： 椭圆与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为， 则， 推广：已知椭圆的两顶点分别为，则椭圆上一点（除两点），满足； 双曲线与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为， 则， 推广：已知双曲线的两顶点分别为，则双曲线上一点（除两点），满足； 18. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. ) （2）（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大. 【答案】（1） （2）（i） 0 1 2 3 . （ii） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率. （2）（i）先求出的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可； （ii）先根据二项分布的期望求出，然后构造函数，利用导数求出最大值时的即可. 【小问1详解】 由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为： ． 即，，所以， 因为质量指标值近似服从正态分布， 所以， 所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为. 【小问2详解】 （i），所以所取样本的个数为20件， 质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3， 相应的概率为： ，， ，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望. （ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件， 设每箱产品的利润为元， 由题意知：， 由（1）知：每箱零件中A等品的概率为， 所以，所以， 所以 . 令，由得，， 又，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值. 所以当时，每箱产品利润最大. 19. 设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”． （1）试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由； （2）已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围； （3）若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值． 【答案】（1）为区间上的“均值函数”，且为其“均值点” （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到方程，求得，即可得到答案； （2）设为该函数的“均值点”，则，根据题意转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数性质，即可求解； （3）根据题意，得到方程，求得，得出，利用导数求得函数的单调性，得到，求得，结合，进而求得，利用指数幂的运算性质，即可求解. 【小问1详解】 解：设函数是区间上的“均值函数”，且均值点为， 可得，解得或(舍). 故为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”. 【小问2详解】 解：设为该函数的“均值点”，则， 且， 即关于的方程在区间上有解， 整理得， ①当时，，方程无解. ②当时，可得. 令，则，且， 可得， 又由对勾函数性质，可得函数在上是严格减函数， 在上是严格减函数，在上严格增函数， 所以当时，可得，当，可得， 所以. 即实数的取值范围是. 【小问3详解】 解：由函数是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”， 可得，即， 解得，所以， 则， 当时，，即在上单调递减， 所以()， 则， 又因为， 从而，， 所以，可得.， 由，即，可得， 故使得的最小整数的值为. 【点睛】方法指数总结：对于函数的新定义题型的求解策略： （1）关于函数的新定义问题，关键是理解函数新定义的概念，根据函数的新定义的概念，挖掘其隐含条件，把新定义问题转化为函数关系或不等关系式等是解答的关键； （2）关于函数的新定义问题，通常关联着函数的基本性质的综合应用，解答中要熟练掌握和应用函数的有关性质和一些重用的结论，同时注意合理应用数形结合、导数、均值不等式等知识点的应用，以及它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州实验中学2025届高三上学期10月月考数学试卷 满分150分 时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中的系数是（ ） A. 30 B. 35 C. 55 D. 60 4. 已知为奇函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 1是的极小值点 B. 的图象关于点对称 C. 有3个零点 D. 当时， 11. 已知定义域为的函数满足，且，则（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的递减区间为____________. 13. 已知函数，若关于x的方程有3个不等实根.则实数a的取值范围为______. 14. 如图，甲从A到B，乙从C到D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有________对. （用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知在等差数列中，，前项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，． （1）求与； （2）定义新数列满足，求前10项的和． 16. 已知的内角所对的边分别是. （1）求角； （2）若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围. 17. 已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）O为坐标原点，若的面积为，求直线AB的方程. 18. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. ) （2）（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大. 19. 设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”． （1）试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由； （2）已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围； （3）若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $