精品解析：福建省泉州市永春县第二中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

2024-2025学年永春第二中学高一数学上学期月考试卷 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求集合M，进而根据并集运算求解. 【详解】因为，解得，即， 且，所以． 故选：C． 2. 设集合，则集合A的真子集个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】由题意列举出集合中的元素，再用真子集个数公式（为集合中元素个数）计算即可． 【详解】因为， 所以， 所以集合A真子集个数是， 故选：B． 3. 已知命题，，，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. p和都是真命题 C. 和q都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】先判断命题的真假，再判断命题否定的真假，即可得到正确答案. 【详解】当时，命题成立，所以命题p是真命题，命题是假命题； 当时，命题不成立，所以命题q是真命题，命题是真命题. 故选：B. 4. 设集合，若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的结果列出方程求解即得. 【详解】集合，而，则， 经验证符合题意，所以. 故选：C 5. 学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（　　）人． A. 3 B. 9 C. 19 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】利用文氏图，列式求解. 【详解】设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为，只参加球类的人数为，则由韦恩图得： ，解得，所以只参加一项比赛的有人， 故选：C． 6. 下列四个说法中，正确的有（ ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】根据空集的性质判断即可. 【详解】①空集是任何集合的子集，所以①错； ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错； ③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错； ④空集只有自己本身一个子集，所以④错 故选：A. 7. 给出下列四个结论： ①“”是“”的充分不必要条件； ②若命题，则； ③若，则是的充分不必要条件； ④若命题q：对于任意为真命题，则 其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断①③；利用存在量词命题的否定判断②；利用全称量词为真求出的范围判断④即可得解. 【详解】对于①，不能推出，“”不是“”的充分不必要条件，①错误； 对于②，，②错误； 对于③，若，则且，反之，，， 成立， 因此是的充分不必要条件，③正确； 对于④，，而，则，④正确， 所以正确结论的个数为2. 故选：B 8. 已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（ ） A. B. C. 或 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，按方程是一元一次方程和一元二次方程分类求解即得. 【详解】因为集合中至多有一个元素，则： ①当时，只有一个元素，符合题意； ②当时，方程有两个相等的实数根或没有实数根， 于是，即，解得， 所以实数a应满足或． 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 至少有一个实数，使 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“”的否定是假命题 D. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】由在实数范围内，可得A错误；举反例可得必要性不成立，可得B正确；由全称与特称命题的性质和二次函数的性质可得C错误；由集合中只有一个元素可得或，再由必要性可得D正确； 【详解】对于A，在实数范围内，，，故A错误； 对于B，若，则，充分性成立， 若，如，此时，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，命题“”的否定是， 由二次函数的性质可得开口向上，，所以恒成立，故C错误； 对于D，若集合中只有一个元素， 当时，；当时，可得， 所以必要性成立，故D正确； 故选：BD. 10. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举反例即可判断；对于BCD，由作差法或者不等式的基本性质即可判断. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，若，显然，即，则，故B正确； 对于C，若，且，则，故C正确； 对于D，若，则，即，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断． 【详解】对于A，因为，，且， 所以，即，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，根据A可知，，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确． 对于D，要证明，只需要证明，由于，则只需要证明，只需证明， 由于，当且仅当时等号成立，此时，故等号不能取到，故，即，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若集合，，且，则实数的值是_________. 【答案】或0 【解析】 【分析】分、和分别计算即可. 【详解】当时，，符合题意； 当时，； 当时，， 综上，的值为或. 故答案为：或. 13. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化命题“，”是真命题求解. 【详解】解：因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 又当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 14. 已知实数x，y满足，，则的范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】用、表示出，然后可算出答案. 【详解】设，则，解得， ∴ ∵，∴， ∵，∴ ∴． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）求，，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集、并集和补集的定义结合已知条件求解即可； （2）由，得，从而可列出关于的不等式，进而可求得结果. 【小问1详解】 因为， 所以，， 所以， 因为， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 因为， 所以，解得． 所以实数a的取值范围是． 16. 解决下列问题： （1）求函数的最小值； （2）若，且，求的最小值. （3）求函数的最小值； 【答案】（1）3； （2）9； （3）10. 【解析】 分析】（1）由基本不等式可得答案； （2）注意到，后由基本不等式可得答案； （3）令，则，后由基本不等式可得答案. 【小问1详解】 ∵， ∴（当且仅当，即时取等号） ∴的最小值为3； 【小问2详解】 因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，， 所以的最小值为9. 【小问3详解】 令，则， ∴ 当且仅当即时取等号 ∴的最小值为10. 17. 已知集合，，. （1）求，； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用并集概念求解，先求出，然后再求解即可； （2）根据题意知集合是集合的真子集，分和讨论求解即可. 【小问1详解】 因为集合，，所以； 又或，则. 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，解得，满足题意； 当时，由题意或，所以； 综上所述：的取值范围为. 18. 如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD）上修建两个绿化带，矩形ABCD的面积为800m2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道，且这两个梯形之间也留有5m的人行道.设m. （1）用x表示绿化带的面积； （2）求绿化带面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）两个形状、大小完全相同的直角梯形可合并成一个小矩形，再结合题干的数据可求绿化带面积； （2）利用基本不等式求最大值即可. 【小问1详解】 因为矩形ABCD的面积为，，所以， 两个形状、大小完全相同直角梯形可合并成一个小矩形， 则，解得， 则绿化带面积为； 【小问2详解】 由（1）知 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以绿化带面积最大值为. 19. 定义1：对于一个数集A，定义一种运算，对任意都有，则称集合A关于运算是封闭的（例如：自然数集N对于加法运算是封闭的）. 定义2：对于一个数集A，若存在一个元素，使得任意，满足，则称a为集合A中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称b为集合A中的单位元（例如：0和1分别为自然数集N中的零元和单位元）. 定义3：对于一个数集A，如果满足下列关系： ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集A是一个数域. （1）指出常用数集N，Z，Q，R中，哪些数集可以构成数域（不需要证明）； （2）已知集合，证明：集合A关于乘法运算是封闭的； （3）已知集合，证明：集合A是一个数域. 【答案】（1）Q，R （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意中关于数域的定义可得答案； （2）设，，通过计算可完成证明； （3）通过数域定义，依次验证集合A满足即可完成证明. 【小问1详解】 由于，而，因此N不是数域； 由于，而，因此不是数域； Q，R中，都有零元：0和单位元：1； 关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； 对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律， 所以Q，R可以是数域； 【小问2详解】 设， （，，，都为整数），则显然，且， 则 显然，，因此， 所以集合A关于乘法运算是封闭的； 【小问3详解】 ①显然，当时，；当，时，， 显然对任意，都有，，所以集合A中有零元0和单位元1； ②设，，则， 因为，，，都为有理数，则，也都为有理数， 因此；又由（2）同理可得，，，，都为有理数时， ，也都为有理数，于是；当时，令 ， 显然，都是有理数，则，于是， 因此集合A关于加、减、乘、除运算都是封闭的； ③显然任意，都有，由中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律，因此集合A中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律，所以集合A是一个数域. 【点睛】关键点睛：本题关键为读懂数域的定义，随后仿照复数的加减乘除运算方式验证A满足数域定义. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年永春第二中学高一数学上学期月考试卷 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，则集合A的真子集个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 15 3. 已知命题，，，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. p和都是真命题 C. 和q都是真命题 D. 和都是真命题 4. 设集合，若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5. 学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（　　）人． A. 3 B. 9 C. 19 D. 14 6. 下列四个说法中，正确的有（ ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 给出下列四个结论： ①“”是“”的充分不必要条件； ②若命题，则； ③若，则是的充分不必要条件； ④若命题q：对于任意真命题，则 其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（ ） A. B. C. 或 D. 不确定 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 至少有一个实数，使 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“”的否定是假命题 D. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 10. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 11. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若集合，，且，则实数的值是_________. 13. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为________． 14. 已知实数x，y满足，，则的范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 已知集合． （1）求，，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 解决下列问题： （1）求函数的最小值； （2）若，且，求的最小值. （3）求函数的最小值； 17. 已知集合，，. （1）求，； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18. 如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD）上修建两个绿化带，矩形ABCD的面积为800m2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道，且这两个梯形之间也留有5m的人行道.设m. （1）用x表示绿化带的面积； （2）求绿化带面积的最大值. 19. 定义1：对于一个数集A，定义一种运算，对任意都有，则称集合A关于运算是封闭的（例如：自然数集N对于加法运算是封闭的）. 定义2：对于一个数集A，若存在一个元素，使得任意，满足，则称a为集合A中零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称b为集合A中的单位元（例如：0和1分别为自然数集N中的零元和单位元）. 定义3：对于一个数集A，如果满足下列关系： ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法分配律，则称这个数集A是一个数域. （1）指出常用数集N，Z，Q，R中，哪些数集可以构成数域（不需要证明）； （2）已知集合，证明：集合A关于乘法运算是封闭的； （3）已知集合，证明：集合A是一个数域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$