第六章 概率（B单元重点综合卷）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第一册）

第六章 概率单元测试（B综合卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 1、 单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知随机变量，若随机变量，则（    ） A．10 B．12 C．30 D．32 【答案】B 【详解】由题意可得，则． 故选：B. 2．体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为（   ） A．0.38 B．0.24 C．0.14 D．0.5 【答案】A 【详解】甲、乙两人恰好有一人投中的概率为， 故选：A 3．已知随机变量服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【详解】由于服从正态分布，则， 故. 故选：B 4．某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为，第二次面试通过的概率为，若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为第一次通过面试的概率为，第二次面试通过的概率为， 所以两次面试都没有通过的概率为：， 所以该同学通过面试的概率为：. 故选：C. 5．某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件为选到的是团员，事件为选到的是男生， 根据题意可得， ，， 故． 故选：B． 6．如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，即， 又因为随机变量，且， 则，解得. 故选：D. 7．抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为5；事件；事件.则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件为互斥事件 B．事件与事件为互斥事件 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立 【答案】D 【详解】解：由题意可知； ； ； ； 对于A，因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误； 对于B，因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误； 对于C，因为，，，所以事件与事件不相互独立，故错误； 对于D，因为，，， 所以事件与事件相互独立，故正确. 故选：D. 8．巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，有，，） A．0.977 B．0.9725 C．0.954 D．0.683 【答案】A 【详解】因为，所以，， ， 根据正态曲线的对称性可得， . 故选：A. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．以下命题为真命题的是（    ） A．若样本数据，，，，，的方差为2，则数据，，，，，的方差为8 B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C．数据0，1，2，4的极差与平均数之积为6 D．已知一组不完全相同的数据，，，的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，，，，，其平均数为，则 【答案】ABD 【详解】对A，，，，，，的方差为2， ，，，，，的方差为，故A对； 对B，数据8，9，10，11，12共个数，， 故数据8，9，10，11，12的第80百分位数是：，故B对； 对C，数据0，1，2，4的极差为：，平均数为：， 故极差与平均数之积为：，故C错； 对D，一组不完全相同的数据，，，的平均数为， ，故， 故，故D对. 故选：ABD. 10．若随机变量X，Y满足：，．其中，，，且，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由正态分布的期望公式得，，故A正确； 对于B，由正态分布的方差公式得，，， 与大小关系不能确定，故B错误； 对于C，由正态分布的对称性得，， 所以，故C正确； 对于D，由，，则，， 根据方差的性质知，X分布更集中，所以 ，故D正确． 故选：ACD． 11．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时10min，样本方差为9；骑自行车平均用时15min，样本方差为1.已知坐公交车所花时间与骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出和的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（    ） A． B．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%以上的可能性会迟到 C．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车 D．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车 【答案】ACD 【详解】由题意知，坐公交车所花时间，骑自行车所花时间，A正确. 对于B，若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，有50%以上的可能性会超过10min，即8点之后到校会迟到，错误； 对于C、D， 由， 且， 应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具， 小明早上7：42出发，有18min可用，则应选择骑自行车，故C正确； 小明早上7：47出发，有13min可用，则应选择坐公交车，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为，，，则甲恰好连胜两局的概率为 . 【答案】 【详解】甲恰好连胜两局有：前两局获胜，第三局失利和第一局失利，后两局获胜两种情况， 甲恰好连胜两局的概率. 故答案为：. 13．有三台车床加工同一型号的零件，第一台为旧车床加工的次品率为，第二，三台为新车床加工的次品率均为，三台车床加工出来的零件混放在一起.已知一，二，三台车床加工的零件数分别占总数的，，.任取一个零件，计算它是次品的概率为 . 【答案】/ 【详解】设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”， 则，且，，两两互斥， 根据题意得， ， 由全概率公式得. 故任取一个零件，它是次品的概率为. 故答案为：. 14．某项实验的随机误差为实验次数．要求的概率低于，则至少需做 次实验（，在该实验的误差估计中，可认为）． 【答案】 【详解】由题可得，即， 而，所以． 又因为，所以， 所以，即， 解得，故至少需做次实验． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面的点数分别为1，2，3，4）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y， (1)记事件A为“”，求； (2)记事件B为“”，求. 【详解】（1）投掷骰子2次得到的所有结果为： 共16种， 事件A包含的结果有：共10种， 则. （2）事件AB包含的结果有：共2种，则， . 16．某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递． (1)求客户满意的概率； (2)若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？ 【详解】（1）从该中转站随机运送一件快递，是甲运送且被客户评为满意的概率为：； 从该中转站随机运送一件快递，是乙运送且被客户评为满意的概率为：； 从该中转站随机运送一件快递，是丙运送且被客户评为满意的概率为：. 所以从该中转站随机运送一件快递，客户满意的概率为：. （2）设“客户满意”为事件，此快递由甲，乙，丙运送分别记为事件， 则客户满意且是甲运送的概率为：, 客户满意且是乙运送的概率为：, 客户满意且是丙运送的概率为：. 17．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 【详解】由题意得，的可能取值为0，1，2． ， ， ． 故的分布列为 0 1 2 ， ． ． 18．甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人有3面小红旗.一局比赛后输者需给赢者一面小红旗；若是平局就不需要给红旗，当其中一方无小红旗时，比赛结束，有6面小红旗者最终获胜.根据以往两人的比赛结果可知，在一局比赛中甲胜的概率为，乙胜的概率为 (1)设第一局比赛后甲的红旗个数为，求的分布列和数学期望； (2)求比赛共进行五局且甲获胜的概率； (3)若比赛一共进行五局且第一局是乙胜，求此条件下甲最终获胜的概率（结果保留两位有效数字）. 【详解】（1）的可能取值为， 其中，，， 所以分布列为 2 3 4 0.4 0.1 0.5 数学期望为 （2）比赛共进行五局且甲获胜，则前4场甲赢2场，平局2场，最后一场甲赢， 或前3场甲赢2场，输1场，第4场和第5场最后一场甲均赢， 故概率为， （3）设比赛一共进行五局且甲最终获胜为事件， 比赛一共进行五局且第一局是乙胜为事件， 故， 事件包含三种情况，一共进行五局，甲后4局获胜， 第2场，第3场和第4场中乙胜1场，平局2场，第5场乙胜， 第2场或第3场甲胜，剩余3场乙胜， ， 故比赛一共进行五局且第一局是乙胜，此条件下甲最终获胜的概率为 19．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，，，则译码为1，若依次收到，，，则译码为1）. (1)已知，， （i）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； （ii）若采用单次传输方案，依次发送，，，判断事件“第三次收到的信号为”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并说明理由； (2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率不大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围. 【详解】（1）（i）记事件为“至少收到一次0”， 则至少收到一次0的概率为． （ii）证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，事件为“三次收到的数字之和为2”， 则， ， ， ， 事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”不相互独立． （2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，事件为“采用单次传输方案时译码为0”， ，， 根据题意得，， ，，， 解得， 的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 概率单元测试（B综合卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 1、 单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知随机变量，若随机变量，则（    ） A．10 B．12 C．30 D．32 2．体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为（   ） A．0.38 B．0.24 C．0.14 D．0.5 3．已知随机变量服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 4．某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为，第二次面试通过的概率为，若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（    ） A． B． C． D． 5．某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（   ） A． B． C． D． 6．如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 7．抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为5；事件；事件.则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件为互斥事件 B．事件与事件为互斥事件 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立 8．巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，有，，） A．0.977 B．0.9725 C．0.954 D．0.683 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．以下命题为真命题的是（    ） A．若样本数据，，，，，的方差为2，则数据，，，，，的方差为8 B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C．数据0，1，2，4的极差与平均数之积为6 D．已知一组不完全相同的数据，，，的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，，，，，其平均数为，则 10．若随机变量X，Y满足：，．其中，，，且，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 11．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时10min，样本方差为9；骑自行车平均用时15min，样本方差为1.已知坐公交车所花时间与骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出和的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（    ） A． B．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%以上的可能性会迟到 C．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车 D．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为，，，则甲恰好连胜两局的概率为 . 13．有三台车床加工同一型号的零件，第一台为旧车床加工的次品率为，第二，三台为新车床加工的次品率均为，三台车床加工出来的零件混放在一起.已知一，二，三台车床加工的零件数分别占总数的，，.任取一个零件，计算它是次品的概率为 . 14．某项实验的随机误差为实验次数．要求的概率低于，则至少需做 次实验（，在该实验的误差估计中，可认为）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面的点数分别为1，2，3，4）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y， (1)记事件A为“”，求； (2)记事件B为“”，求. 16．（15分） 某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递． (1)求客户满意的概率； (2)若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？ 17．（15分） 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 18．（17分） 甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人有3面小红旗.一局比赛后输者需给赢者一面小红旗；若是平局就不需要给红旗，当其中一方无小红旗时，比赛结束，有6面小红旗者最终获胜.根据以往两人的比赛结果可知，在一局比赛中甲胜的概率为，乙胜的概率为 (1)设第一局比赛后甲的红旗个数为，求的分布列和数学期望； (2)求比赛共进行五局且甲获胜的概率； (3)若比赛一共进行五局且第一局是乙胜，求此条件下甲最终获胜的概率（结果保留两位有效数字）. 19．（17分） 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，，，则译码为1，若依次收到，，，则译码为1）. (1)已知，， （i）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； （ii）若采用单次传输方案，依次发送，，，判断事件“第三次收到的信号为”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并说明理由； (2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率不大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$