第四章 一次函数 讲义 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级上册第四单元一次函数讲义 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 知识点清单： 知识点一．函数的概念 知识点二．函数关系式 知识点三．函数自变量的取值范围 知识点四．函数的图象 知识点五．函数的表示方法 知识点六．一次函数的定义 知识点七．正比例函数的定义 知识点八．一次函数的性质 知识点九．一次函数图象与系数的关系 知识点十．一次函数图象上点的坐标特征 知识点十一．一次函数图象与几何变换 知识点十二．待定系数法求一次函数解析式 知识点十三．待定系数法求正比例函数解析式 知识点十五．根据实际问题列一次函数关系式 知识点十四．一次函数与一元一次方程 知识点十六．一次函数的应用 知识点十七．一次函数综合题 知识点一．函数的概念 1．下列曲线中表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 知识点二．函数关系式 2．小明一家自驾车到离家500km的某景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了行驶路程x（km）与油箱余油量y（L）之间的部分数据： 行驶路程x（km） 0 50 100 150 200 … 油箱余油量y（L） 45 41 37 33 29 … 下列说法不正确的是（　　） A．该车的油箱容量为45L B．该车每行驶100km耗油8L C．油箱余油量y（L）与行驶路程x（km）之间的关系式为y＝45﹣8x D．当小明一家到达景点时，油箱中剩余5L油 知识点三．函数自变量的取值范围 3．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　． 4．函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　． 知识点四．函数的图象 5．如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间的关系图，下列说法中错误的是（　　） A．A地与B地之间的距离是180千米 B．前3小时汽车行驶的速度是40千米/时 C．汽车中途共休息了5小时 D．汽车返回途中的速度是60千米/时 知识点五．函数的表示方法 6．某校七年级数学兴趣小组利用同一块长为1米的光滑木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度h（cm）与小车下滑时间t（s）之间的关系如下表所示： 支撑物高度h（cm） 10 20 30 40 50 60 70 小车下滑时间t（s） 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是（　　） A．支撑物的高度为40cm，小车下滑的时间为2.13s B．支撑物的高度h越大，小车下滑时间t越小 C．若小车下滑的时间为2s，则支撑物的高度在40cm至50cm之间 D．若支撑物的高度每增加10cm，则对应的小车下滑的时间每次至少减少0.5s 知识点六．一次函数的定义 7．函数①y＝5x；②y＝2x﹣1；③；④；⑤y＝x2﹣2x+1，是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知y＝3xm﹣1+5是y关于x的一次函数，则m的值为 　 　． 知识点七．正比例函数的定义 9．若函数y＝﹣7x+m﹣2是正比例函数，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣2 D．2 10．若y关于x的函数y＝﹣7x+2+m是正比例函数，则m＝　 　． 知识点八．一次函数的性质 11．若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则函数y＝bx﹣k的大致图象是（　　） A． B． C． D． 12．若点A（x1，﹣1），B（x2，﹣2），C（x3，3）在一次函数y＝﹣2x+m（m是常数）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＞x2＞x3 B．x2＞x1＞x3 C．x1＞x3＞x2 D．x3＞x2＞x1 13．已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3 （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若函数的图象平行直线y＝3x﹣3，求m的值； （3）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． 14．（1）如图所示，∠AOB＝α，∠AOB内有一点P，在∠AOB的两边上有两个动点Q、R（均不同于点O），现在把△PQR周长最小时∠QPR的度数记为β，则α与β应该满足关系是　 　． （2）设一次函数y＝mx﹣3m+4（m≠0）对于任意两个m的值m1、m2分别对应两个一次函数y1、y2，若m1m2＜0，当x＝a时，取相应y1、y2中的较小值P，则P的最大值是　 　． 知识点九．一次函数图象与系数的关系 15．已知一次函数y＝（a﹣2）x+1，y随着自变量x的增大而增大，则a的取值范围为 　 　． 知识点十．一次函数图象上点的坐标特征 16．一次函数y＝mx+m2（m≠0）的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m的值为（　　） A．﹣2 B．﹣2或2 C．1 D．2 17．关于x的一次函数y＝﹣4x+8的图象，下列说法不正确的是（　　） A．直线不经过第三象限 B．直线经过点（1，4） C．直线与x轴交于点（2，0） D．y随x的增大而增大 18．直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，M是y轴上一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上，则点M的坐标为　 　． 19．如图，直线y＝﹣2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A，B的坐标． （2）若点C在x轴上，且S△ABC＝2S△AOB，求点C的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，2），若直线y＝﹣2x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，连接PA、PB． （1）求点A、点B的坐标； （2）求△PAB的面积． 21．如图，直线y＝﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（8，0），P（x，y）是直线y＝﹣x+10在第一象限内一个动点． （1）求△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围； （2）当△OPA的面积为10时，求点P的坐标． 22．如图，在平面直角坐标系中，点C（﹣3，0），直线y＝﹣分别交x轴、y轴于点A、B． （1）求点A、B的坐标； （2）若点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AP．设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 知识点十一．一次函数图象与几何变换 23．将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（　　） A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3 24．将一次函数y＝﹣2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为（　　） A．y＝﹣2（x﹣4） B．y＝﹣2x+4 C．y＝﹣2（x+4） D．y＝﹣2x﹣4 25．在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度后恰好经过点（﹣1，﹣2），则n的值为 　 　． 26．如图，直线l1：y＝x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1平移到直线l2，直线l2与x轴交于点C，点A与点C，点B与点D分别是平移前后的对应点，若线段AB在平移过程中扫过的图形面积为20，求点D的坐标． 知识点十二．待定系数法求一次函数解析式 27．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为（　　） A．y＝x+2 B．y＝﹣x+2 C．y＝x+2或y＝﹣x+2 D．y＝﹣x+2或y＝x﹣2 28．如图，若点P（﹣2，4）关于y轴的对称点在一次函数y＝x+b的图象上，则b的值（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6 29．已知某直线经过点A（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2．则该直线的一次函数表达式是　 　． 30．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求一次函数的解析式； （2）求点C和点D的坐标； （3）求△AOB的面积． 31．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）． （1）求直线AB的解析式； （2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标． 知识点十三．待定系数法求正比例函数解析式 32．正比例函数y＝kx经过点（1，3），则k＝　 　． 33．已知y与x成正比例，且当x＝3时，y＝4． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当x＝﹣1时，求y的值． 知识点十四．一次函数与一元一次方程 34．如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x的方程kx+b＝4的解是（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 35．一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），则关于x的方程﹣kx+b＝0的解为（　　） A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝0 D．x＝2 36．已知直线y＝﹣3x与y＝kx+2相交于点P（m，3），则关于x的方程kx+2＝﹣3x的解是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 37．如图一次函数y＝kx+2的图象分别交y轴，x轴于点A、B，则方程kx+2＝0的解为（　　） A．x＝0 B．x＝2 C． D． 38．如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的方程ax+b＝1的解为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 39．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是 　 　． 知识点十五．根据实际问题列一次函数关系式 40．已知等腰三角形的周长是20cm，底边长y（cm）是腰长x（cm）的函数关系式为　 　，自变量x的取值范围是　 　． 知识点十六．一次函数的应用 41．甲、乙两船沿直线航道AC匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道AC中途的点B出发，向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图．下列说法： ①乙船的速度是40千米/时； ②甲船航行1小时到达B处； ③甲、乙两船航行0.6小时相遇； ④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是0≤t≤2.5．其中正确的说法的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 42．声音在空气中传播的速度（简称声速）v（m/s）与空气温度t（℃）满足一次函数的关系（如表格所示），则下列说法错误的是（　　） 温度t/℃ … ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 … 声速v/（m/s） … 318 324 330 336 342 348 …… A．温度越高，声速越快 B．当空气温度为20℃时，声速为342m/s C．声速v（m/s）与温度t（℃）之间的函数关系式为 D．当空气温度为40℃时，声速为350m/s 43．甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售，活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克，若在甲园采摘需总费用y1元，在乙园采摘需总费用y2元．y1、y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．乙园草莓优惠前的销售价格是30元/千克 B．甲园的门票费用是60元 C．乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠 D．顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多 44．某中学开展春季越野赛，小明、小颖两名同学同时从起点出发，他们所跑的路程y（千米）与时间x（分）之间的关系如图所示，小刚由图示得出下列信息： ①在比赛中小明的速度始终比小颖快，所以小明先到达终点； ②比赛开始20分钟时，小明和小颖第一次相遇； ③越野赛全程为6千米； ④小明最后冲刺速度为0.3千米/分钟． 在小刚得出的信息中正确的有 　 　（填序号即可）． 45．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象可知，下列结论：①两车出发后4小时相遇；②动车的速度是普通列车速度的2倍；③两车相遇后，普通列车还需行驶6小时到达目的地；④C点的坐标是（5，1000），其中正确的有 　 　.（填所有正确结论的序号） 46．某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式： 薪酬方式一：底薪+提成，其中底薪为3000元，每销售一件商品另外获得15元的提成； 薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得30元的提成． 设销售人员一个月的销售量为x（件），方式一的销售人员的月收入为y1（元），方式二的销售人员的月收入为y2（元）． （1）请分别写出y1、y2与x之间的函数表达式； （2）哪种薪酬计算方式更适合销售人员？ 47．甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价20元，乒乓球拍每副定价100元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球，乙店按八折优惠．某俱乐部需购球拍4副，乒乓球x（x≥10）盒． （1）若在甲店购买付款y甲（元），在乙店购买付款y乙（元），分别写出：y甲，y乙与x的函数关系式． （2）若该俱乐部需要购买乒乓球30盒，在哪家商店购买合算？ 48．科学调查结果显示：当中学生电子产品日平均使用时间小于30分钟时，近视率较低．使用时长从30分钟到1小时的过程中，近视率会急剧上升，研究发现近视率y是日平均使用时长x（分钟）的一次函数，当日平均使用时长为30分钟时，近视率为10%，当日平均使用时间为60分钟时，近视率为70%． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当日平均使用时间为40分钟时，近视率是多少？ 49．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； （2）求线段CD对应的函数表达式； （3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米． 知识点十七．一次函数综合题 50．如图，直线l1：y＝2x+6与过点B（3，0）的直线l2交于点C（﹣1，m），且直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点D． （1）求直线l2的解析式； （2）若点M是直线l2上的点，且在y轴左侧，过点M作MN⊥直线x＝1于点N，点Q在直线x＝1上，要使△MNQ≌△AOD，求所有满足条件的点Q的坐标． 51．【阅读理解】已知M，N为平面内不重合的两点．给出以下定义：将M绕N顺时针旋转α（0°＜α＜360°）的过程记作变换（N，α）．例如：在平面直角坐标系xOy中，已知点M（1，0），N（2，0），则M经过变换（N，90°）后所得的点B的坐标为（2，1）． 【迁移应用】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+b分别与x轴，y轴交于点A（﹣1，0），B，设A经过变换（B，180°）后得到C． （1）求点C的坐标； （2）过C作CD⊥x轴于D，点E是线段CD上一动点，设E经过变换（B，90°）后得到点F，连接BE，BF． ⅰ）若△ABF的面积为3，求点F的坐标； ⅱ）设点M是y轴上一动点，当以A，B，F，M（四点为顶点的四边形为平行四边形时，求点M的坐标． 52．如图，平面直角坐标系中，直线AB：交y轴于点A（0，1），交x轴于点B．直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）． （1）求直线AB的解析式和点B的坐标； （2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）； （3）当S△ABP＝2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，求点C的坐标． 53．如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为（1，n）． （1）则k＝　 　，b＝　 　，n＝　 　； （2）求四边形AOCD的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P的坐标． 54．如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC． （1）求点A、C的坐标； （2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）； （3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 55．如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线BC的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q． ①若△PQB的面积为，求点M的坐标； ②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标． 56．（1）认识模型： 如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA； （2）应用模型： ①已知直线y＝﹣2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B顺时针旋转90度，得到线段CB，求点C的坐标； ②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（5，4），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣3上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形ADPQ是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标． 57．如图，直线l1：y＝﹣x+3与x轴相交于点A，直线l2：y＝kx+b经过点（3，﹣1），与x轴交于点B（6，0），与y轴交于点C，与直线l1相交于点D． （1）求直线l2的函数关系式； （2）点P是l2上的一点，若△ABP的面积等于△ABD的面积的2倍，求点P的坐标； （3）设点Q的坐标为（m，3），是否存在m的值使得QA+QB最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 58．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′． （1）若点O′恰好落在直线AB上，求OP的长． （2）若Q是直线AB上的一个动点，当△AOQ的面积为10时，求Q的坐标． （3）在x轴上是否存在点C，使得△ABC为等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标，若不存在，说明理由． （4）若C是y＝﹣x+3上的动点，当△ABC是以BC为底的等腰三角形，求出点C的坐标． 59．问题提出 （1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P为高AE上的动点，过点P作PH⊥AC于H，则的值为 　 　； 问题探究 （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点 A、B．若点P是直线AB上一个动点，过点P作PH⊥OB于H，求OP+PH的最小值． 问题解决 （3）如图3，在平面直角坐标系中，长方形OABC的OA边在x轴上，OC在y轴上，且B（6，8）．点D在OA边上，且OD＝2，点E在AB边上，将△ADE沿DE翻折，使得点A恰好落在OC边上的点A′处，那么在折痕DE上是否存在点P使得EP+A′P最小，若存在，请求最小值，若不存在，请说明理由． 60．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C． （1）求出点A、点B的坐标； （2）求△COB的面积； （3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别于l1、l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． $$