2.5 实验：用单摆测量重力加速度（举一反三）【三大题型】-2024-2025学年高二物理举一反三系列（人教版2019选择性必修第一册）

2.5 实验：用单摆测量重力加速度【三大题型】 【人教版2019】 目录 知识点1：实验：用单摆测量重力加速度 1 【题型1 用单摆测量重力加速度的实验】 3 【题型2 实验数据处理和误差分析】 10 【题型3 测量重力加速度的创新实验方案】 16 知识点1：实验：用单摆测量重力加速度 一、实验原理 在偏角很小时单摆做简谐运动，其固有周期为，由此可得 ，因此只要测出摆长l和周期T，即可计算出当地的重力加速度。 二、实验器材 铁架台及铁夹、中心有小孔的金属小球、约1m长的细线、停表、刻度尺、游标卡尺。 三、实验步骤 （1）制作单摆 让线的一端穿过小球上的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆；把线的上端固定在铁架台的铁夹上。让铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。在单摆平衡位置处做标记。 （2）测摆长：用毫米刻度尺量出悬线长l'，用游标卡尺测量出摆球的直径D，则摆长 。 （3）测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°的角，然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30~50次全振动的时间，计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T。 （4）重复实验：改变摆长，重做几次实验。 四、数据处理 （1）公式法：根据公式，将每次实验的l、n、t数值代入，计算重力加速度g，然后取平均值。 （2）图像法：由得，以为纵轴，以l为横轴，作出的图像，其斜率为，由图像的斜率即可求出重力加速度g。 五、实验注意事项和误差分析 1、注意事项 （1）选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1m左右，不要过长或过短，太长测量不方便，太短摆动太快，不易计数。小球应选用密度较大、直径较小的金属球，这样可以减小空气阻力。 （2）注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的偏角小于5°，可通过估算振幅的办法加以控制。摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。 （3）计算摆长时要将摆线长加上摆球半径，不要把摆线长当作摆长。 （4）应从摆球通过平衡位置时开始计时，并且采用倒数到0开始计时的方法，即“4、3、2、1、0、1、2、3、4……”。 （5）应测量多次全振动的时间后计算出振动周期，并取平均值。 2、误差分析 （1）系统误差 主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即悬挂点是否固定，摆球是否可看成质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动等。 （2）偶然误差 ①测量长度时引起的误差：测摆长时绝对误差是 （l是测量值，l0是真实值），相对误差是 ，为了减小相对误差，应尽量增大l0，所以实验时要用长度约为1m的摆线。 ②测量周期时引起的误差：测量时间要注意测准时间。不能多计或漏计全振动次数，为了减小偶然误差,应进行多次测量取平均值。 【题型1 用单摆测量重力加速度的实验】 【例1】（24-25高三上·广西南宁·月考）如图（a）所示，某兴趣小组用单摆测量重力加速度。选用的实验器材有：智能手机、小球、细线、铁架台、夹子、游标卡尺、刻度尺等，实验操作如下： （1）用铁夹将细线上端固定在铁架台上，将小球竖直悬挂； （2）用刻度尺测出摆线的长度为l，用游标卡尺测出小球直径为d； （3）将智能手机置于小球平衡位置的正下方，启用APP《手机物理工坊》的“近距秒表”功能； （4）将小球由平衡位置拉开一个角度（），静止释放，软件同时描绘出小球与手机间距离随时间变化的图像，如图（b）所示。 请回答下列问题： ①根据图（b）可知，单摆的周期 s。 ②重力加速度g的表达式为 （用测得的物理量符号表示）； ③改变摆线长度l，重复步骤（2）、（3）、（4）的操作，可以得到多组T和l的值，进一步描绘出如图（c）的图像，若图线的斜率为k，则重力加速度的测量值为 。 【答案】①2 ② ③ 【解析】（4）[1]根据单摆的运动规律一个周期内应该有两个小球与手机间距离的最小值。由图（b）可得出，单摆的周期为 [2]根据单摆周期公式 解得重力加速度g的表达式为 [3]由上一问中重力加速度的表达式可得 结合图（c）的图像，可知则该图像以为横坐标。若图线的斜率为k，则 可知重力加速度的测量值为 【变式1-1】（24-25高二上·四川成都·月考）在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，测得摆球经过n次全振动的总时间为，在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为，再用游标卡尺测量摆球的直径为D。 回答下列问题： （1）该单摆的周期为 。 （2）若用表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝ 。 （3）如果测得的g值偏小，可能的原因是________。 A．测摆长时摆线拉得过紧 B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了 C．开始计时时，停表过迟按下 D．实验时误将49次全振动记为50次 （4）为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，从而得出几组对应的L和T的数值，以L为横坐标、为纵坐标作出图线，但同学们不小心每次都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的图像是图乙中的 （选填“①”“②”或“③”）。 【答案】（1） （2） （3）B （4）① 【解析】（1）经过n次全振动的总时间为，则单摆的周期为 （2）根据单摆周期公式有 解得 （3）A．测摆长时，摆线拉得过紧，使摆线长度测量值变大，由 可知测得的g值偏大，故A错误； B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了，则摆线长度测量值比实际的摆长偏小，由 可知测得的g值偏小，故B正确； C．开始计时时，停表过迟按下，偏小，则周期T偏小，由 可知测得的g值偏大，故C错误； D．实验时误将49次全振动记为50次，即n值偏大，则周期T偏小，由 可知测得的g值偏大，故D错误。 故选B。 （4）根据题意可知，单摆的实际摆长为 由单摆周期表达式得 化简可得 可知，由此得到的图像是图乙中的①。 【变式1-2】（23-24高一下·上海·期末）实验小组的同学们用图甲所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。 （1）用L表示单摆的摆长，用T表示单摆的周期，则重力加速度 。 （2）在这个实验中，应该选用 和 两组材料构成单摆。 A．长约1m的细线    B．长约1m的橡皮绳 C．直径约1cm的铁球    D．直径约1cm的塑料球 （3）王同学多次改变摆长L，测量对应的单摆周期T，用测得的多组实验数据绘制图像，直线的斜率为k，如图乙所示，可求得重力加速度大小 （用含k的式子表示）。 （4）张同学用公式法处理数据后，发现测得的重力加速度数值大于当地的实际值，造成达一情况的原因可能是（    ） A．计算摆长时直接用摆线长度 B．计算摆长时用摆线长度加上小球直径 C．测量周期时，误将摆球次全振动的时间记为n次全振动的时间 D．测量周期时，误将摆球次全振动的时间记为n次全振动的时间 【答案】（1） （2）A C （3） （4）BC 【解析】（1）用L表示单摆的摆长，用T表示单摆的周期，根据 可得重力加速度为 （2）[1][2]为了保证小球摆动过程，摆长保持不变，应选用长约1m的细线；为了减小空气阻力的影响，应选用直径约1cm的铁球；故应选用A和C两组材料构成单摆。 （3）根据 可得 可知图像的斜率为 可得重力加速度大小为 （4）根据 可得重力加速度为 A．计算摆长时直接用摆线长度，可知摆长测量值偏小，则重力加速度测量值偏小，故A错误； B．计算摆长时用摆线长度加上小球直径，可知摆长测量值偏大，则重力加速度测量值偏大，故B正确； C．测量周期时，误将摆球次全振动的时间记为n次全振动的时间，可知周期测量值偏小，则重力加速度测量值偏大，故C正确； D．测量周期时，误将摆球次全振动的时间记为n次全振动的时间，可知周期测量值偏大，则重力加速度测量值偏小，故D错误。 故选BC。 【变式1-3】（2024·广东·一模）某实验小组利用单摆周期公式测量当地重力加速度的值。 （1）为了较精确地测量重力加速度的值，以下四种单摆组装方式，应选择__________。 A． B． C． D． （2）组装好单摆，先用刻度尺测量摆线长度，再用游标卡尺测量小球的直径，其示数如图甲，则小球直径为 mm。 （3）周期公式中的L是单摆的摆长，其值等于摆线长与 之和。 （4）某次实验时，改变摆长并测出对应的周期，得到如下表的实验数据并描点在图乙的坐标中，请在图乙中作出图像 。 次数 1 2 3 4 5 L/m 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 T/s 1.42 1.55 1.67 1.85 1.90 2.02 2.40 2.79 3.42 3.61 （5）根据图像算出重力加速度 （结果保留3位有效数字）。 【答案】（1）D （2）18.9 （3）小球半径 （4）见解析 （5）9.86（9.83~9.89均可） 【解析】（1）为了较精确地测量重力加速度的值，减小空气阻力的影响，应选择小钢球，小球在摆动的过程中，要固定摆长不发生变化。 故选D。 （2）该游标卡尺的分度值为，则小球的直径为 （3）周期公式中的L是单摆的摆长，其值等于摆线长与小球半径之和。 （4）描点连线如图所示 （5）根据单摆的周期公式 化简可得 根据图像的斜率为 解得当地的重力加速度大小为 【题型2 实验数据处理和误差分析】 【例2】（24-25高三上·湖南长沙·月考）在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，测得摆球经过次全振动的总时间为，在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为，再用游标卡尺测量摆球的直径为。回答下列问题: （1）为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的____________。 A．最高点 B．最低点 C．任意位置 （2）该单摆的周期为 ，重力加速度 （用题干中字母表示）。 （3）如果测得的值偏小，可能的原因是____________。 A．实验时误将49次全振动记为50次 B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了 C．开始计时时，停表过迟按下 （4）为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长并测出相应的周期，从而得出几组对应的和的数值，以为横坐标、为纵坐标作出图线，但同学们不小心每次都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的图像是图乙中的 （选填“①”“②”或“③”）。 【答案】（1）B （2） （3）B （4）① 【解析】（1）为了减小测量周期的误差，应该将小球经过最低点时作为计时开始和终止的位置更好些，实际摆动中最高点的位置会发生变化，且靠近最高点时速度较小，计时误差较大。故选B。 （2）[1]因为摆球经过次全振动的总时间为，则该单摆的周期为 [2]由单摆周期公式 其中 可得，重力加速度的表达式为 （3）根据 可知 A．实验中误将49次全振动次数记为50次，所测周期偏小，则所测重力加速度偏大，故A错误； B．摆线上端量点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了，故所测重力加速度偏小，故B正确； C．开始计时时，秒表过迟按下，所测周期偏小，则所测重力加速度偏大，故C错误； 故选B。 （4）由题意可得，单摆的实际摆长为 由单摆周期表达式得 化简可得 由此得到的图像是图乙中的①。 【变式2-1】（24-25高三上·浙江杭州·月考）小王同学在“用单摆测量重力加速度实验”时，用游标卡尺测得小铁球的直径为 cm（如图）。他计算得出的重力加速度比实际测量的重力加速度要大，其原因可能是 。 A．摆球太重                                  B．摆角太小 C．计时开始时停表按下过迟      D．实验中全振动次数记少了 【答案】 1.75 C 【解析】[1]根据题意，由图可知，游标为10分度，且第5个小格与主尺对齐，则小铁球的直径为 [2]根据题意，由单摆周期公式可得 AB．可知，值的测量与摆球质量和摆角无关，故AB错误； C．计时开始时停表按下过迟，使记录时间变小，次数不变，测量周期偏小，则值偏大，故C正确； D．实验中全振动次数记少了，记录时间不变，测量周期偏大，则值偏小，故D错误。 故选C。 【变式2-2】（23-24高二上·江苏南京·期末）利用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示。已知摆线长度为，小球直径为，实验中测出摆球完成50次全振动的时间为，则下列说法中正确的是（　　） A．实验中，为便于观测，释放小球时应使摆线与竖直方向夹角大些 B．应从摆球处于最高点开始计时 C．实验测出当地重力加速度为 D．误把51次全振动记为50次全振动会导致的测量值偏小 【答案】D 【解析】A．当摆角不超过5°时单摆的振动才可看做简谐振动，则实验时释放小球时不应使摆线与竖直方向夹角太大，选项A错误； B．应从摆球处于最低点开始计时，选项B错误； C．单摆振动的周期 根据 可知实验测出当地重力加速度为 选项C错误； D．误把51次全振动记为50次全振动，则周期测量值偏大，根据 可知会导致的测量值偏小，选项D正确。 故选D。 【变式2-3】（23-24高二下·天津·期末）在“用单摆测重力加速度”的实验中 （1）下列器材和操作最合理的是__________；（图中的球均较小） A． B． C． D． （2）实验过程中，下列做法正确的是__________； A．用刻度尺量出从悬点到摆球间细线长的距离，作为单摆摆长 B．用秒表测量单摆完成一次全振动所用时间并作为单摆的周期 C．单摆偏离平衡位置的角度越大越好 D．为了减小误差，应该在摆球经过最低点时开始计时 （3）实验测得的重力加速度数值小于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是__________。（选填字母序号）。 A．开始摆动时振幅较小，其他操作与计算均正确 B．小球的质量较大，其他操作与计算均正确 C．开始计时时，过早按下秒表，其他操作与计算均正确 D．测量周期时，误将摆球次全振动的时间记为次全振动的时间，其他操作与计算均正确 （4）某同学为了提高实验精度，多次改变摆线长（记为）并测出相应的周期，他根据实验数据在坐标纸上绘制出的图线如图所示则当地的重力加速度 。（用和及表示） 【答案】（1）D （2）D （3）C （4） 【解析】（1）为了保证小球摆动过程摆线长度保持不变，摆线应选用细丝线，摆线上端用铁夹固定；为了减小空气阻力的影响，摆球应选择密度较大的铁球。 故选D。 （2）A．用刻度尺量出从悬点到摆球间细线长的距离，再加上小球半径作为单摆摆长，故A错误； B．为了减小误差，应用秒表测量单摆完成次全振动所用时间，然后求出单摆的周期 故B错误； C．为了保证小球摆动做简谐运动，单摆偏离平衡位置的角度应小于，故C错误； D．为了减小误差，应该在摆球经过最低点时开始计时，故D正确。 故选D。 （3）实验测得的重力加速度数值小于当地的重力加速度的实际值，根据单摆周期公式 可得 A．开始摆动时振幅较小，其他操作与计算均正确，不影响重力加速度的测量，故A错误； B．小球的质量较大，其他操作与计算均正确，不影响重力加速度的测量，故B错误； C．开始计时时，过早按下秒表，其他操作与计算均正确，则周期测量值偏大，使得重力加速度测量值偏小，故C正确； D．测量周期时，误将摆球次全振动的时间记为次全振动的时间，其他操作与计算均正确，则周期测量值偏小，使得重力加速度测量值偏大，故D错误。 故选C。 （4）设小球半径为，根据单摆周期公式 可得 可知图像的斜率为 解得重力加速度为 【题型3 测量重力加速度的创新实验方案】 【例3】（2023·河北·高考真题）某实验小组利用图装置测量重力加速度。摆线上端固定在点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。 （1）关于本实验，下列说法正确的是 。（多选） A．小钢球摆动平面应与光电门形平面垂直    B．应在小钢球自然下垂时测量摆线长度 C．小钢球可以换成较轻的橡胶球                 D．应无初速度、小摆角释放小钢球 （2）组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度，用螺旋测微器测量小钢球直径。螺旋测微器示数如图，小钢球直径 ，记摆长。 （3）多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长对应的小钢球摆动周期，并作出图像，如图。 根据图线斜率可计算重力加速度 （保留3位有效数字，取9.87）。 （4）若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将 （填“偏大”“偏小”或“不变”）。 【答案】（1） ABD （2）20.035/20.036/20.034 （3）9.87 （4）不变 【解析】（1）[1]A．使用光电门测量时，光电门形平面与被测物体的运动方向垂直是光电门使用的基本要求，故A正确； B．测量摆线长度时，要保证绳子处于伸直状态，故B正确； C．单摆是一个理想化模型，若采用质量较轻的橡胶球，空气阻力对摆球运动的影响较大，故C错误； D．无初速度、小摆角释放的目的是保持摆球在竖直平面内运动，不形成圆锥摆，且单摆只有在摆角很小的情况下才可视为简谐运动，使用计算单摆的周期，故D正确。 故选ABD。 （2）[2]小钢球直径为 （3）[3]单摆周期公式 整理得 由图像知图线的斜率 解得 （4）[4]若将摆线长度误认为摆长，有 则得到的图线为 仍用上述图像法处理数据，图线斜率不变，仍为，故得到的重力加速度值不变。 【变式3-1】（2023·广东江门·一模）某同学做“用单摆测重力加速度”的实验，实验装置如图甲所示，在摆球的平衡位置处安放一个光电门，连接数字计时器，记录小球经过光电门的次数。 （1）下列说法中正确的是 A．测出摆球做一次全振动的时间作为周期的测量值 B．质量相同的铁球和软木球，应选用铁球作为摆球 C．可将摆球从平衡位置拉开一个任意角度然后释放摆球 D．可以选择有弹性的细绳作为摆线 （2）在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺测得从悬点至摆球顶端的长度为L，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图乙所示，则摆球直径d= cm； （3）将摆球从平衡位置拉开一个合适的角度，静止释放摆球，摆球在竖直平面内稳定摆动后，启动数字计时器，摆球通过平衡位置时从1开始计数，同时开始计时，当摆球第n次（为大于3的奇数）通过光电门时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期T= （用t、n表示），重力加速度的大小为 （用L、d和T表示）； （4）实验中该同学测得的重力加速度值经查证明显大于当地的重力加速度值，下列原因可能的是 。 A．摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了 B．计算时用作为单摆的摆长 C．摆球的振幅偏小 D．把n当作单摆全振动的次数 【答案】（1）B （2） 1.07 （3） （4） BD/DB 【解析】（1）[1]A．为了减小实验误差应测多次全振动的时间，再求出一次全振动的时间作为周期，根据公式计算重力加速度会增大实验误差，故A错误； B．为减小实验误差，提高测量精度，相同质量下应选择体积小的铁球做为摆球，故B正确； C．单摆在摆角小于5°时的振动才是简谐振动，因此单摆的摆角不能过大，故C错误； D．根据单摆的周期公式 可知，单摆的周期跟摆线与摆球半径之和有关，若使用弹性绳，在摆球下降或是上升的过程中，式中的会不断发生变化，从而导致重力加速度测量不准确，故D错误。 故选B。 （2）[2]该游标游标卡尺的游标尺为10分度值，因此最小精度为0.1mm，则读数可得 （3）[3][4]由题意可知在时间内摆球全振动的次数为，则可得小球做简谐振动的周期为 由单摆的周期公式 其中 可得 （4）[5]A．摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了，则实际所测摆线长度偏小，所测重力加速度将偏小，故A不符合题意； B．若计算重力加速度时用作为单摆的摆长，则摆长比实际偏大，因此计算的得到的重力加速度值比实际偏大，故B符合题意； C．摆球的振幅偏小不影响重力加速度的测量，故C不符合题意； D．若把n当作单摆全振动的次数，则会导致测量周期偏小，从而导致所测重力加速度偏大，故D符合题意。 故选BD。 【变式3-2】（23-24高一下·安徽铜陵·期末）某同学利用如图甲所示装置测量重力加速度g。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另端连接一小钢球，如图甲所示。拉起小钢球至某一位置由静止释放，使小钢球在竖直平面内摆动记录钢球摆动过程中拉力传感器示数的最大值和最小值。改变小钢球的初始释放位置，重复上述过程。根据测量数据在直角坐标系中绘制的图像是一条直线，如图乙所示： （1）拉力传感器示数的最大值、最小值、小球质量m以及重力加速度g的关系为 。 （2）若小球质量，由图乙可得重力加速度g的数值为 （结果保留三位有效数字）。 （3）由图乙可得图像直线的斜率与理论值之差的绝对值为 （结果保留一位小数），导致该差值的主要因素为 。 【答案】（1） （2）9.83 （3）0.1 小钢球摆动过程中有空气阻力 【解析】（1）小钢球由静止释放时，细线与竖直方向夹角为，细线拉力最小，此时 小球由静止运动到最低点的过程，根据动能定理有 小球运动到最低点时细线拉力最大，则 联立可得 （2）由图乙得直线的纵截距为 解得重力加速度 （3）[1]由图乙得直线的斜率为 该斜率的理论值为，两者的差值为，绝对值为。 [2]导致该差值的主要因素为小钢球摆动过程中有空气阻力。 【变式3-3】（23-24高二下·辽宁·月考）在“利用单摆测重力加速度”的实验中，两名同学采用了不同类型的传感器来完成实验。一同学利用智能手机软件中的“磁传感器”功能，能实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，“磁传感器”记录下的磁感应强度越大。现用智能手机、磁化小球、铁架台、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置，来测量重力加速度，实验步骤如下： ①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住； ②打开夹子释放磁化小球，小球运动，取下夹子； ③运行软件，点开“磁传感器”功能，手机记录下磁感应强度的变化； ④改变摆线长和夹子的位置，测量出每次实验的摆线长度L及相应的周期T。 根据以上实验过程，回答下列问题： （1）图乙记录了实验中磁感应强度的变化情况，测得连续N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，则单摆周期T的测量值为 。 （2）实验中得到多组摆线长度L及相应的周期T后，作出了图线，图线的斜率为k，在纵轴上的截距为c，由此得到当地重力加速度 ，小球的半径 。 （3）另一同学利用了位移传感器，他将单摆固定在铁架台上，使其做小角度左右摆动，摆动路径如图丙中虚线所示，通过位移传感器得到了摆球位移随时间的变化曲线，如图丁所示，已知摆长，根据图丁中的信息可得，重力加速度 。（结果保留3位有效数字，取） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）测得连续N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，相邻的磁感应强度最大值之间时间间隔为。则 解得 （2）[1][2]单摆摆长为 由单摆周期公式 得 图线的斜率为 纵轴上的截距为 解得，当地重力加速度 小球的半径 （3）由图丁可得，周期为 由单摆周期公式 解得 g 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5 实验：用单摆测量重力加速度【三大题型】 【人教版2019】 目录 知识点1：实验：用单摆测量重力加速度 1 【题型1 用单摆测量重力加速度的实验】 3 【题型2 实验数据处理和误差分析】 6 【题型3 测量重力加速度的创新实验方案】 9 知识点1：实验：用单摆测量重力加速度 一、实验原理 在偏角很小时单摆做简谐运动，其固有周期为，由此可得 ，因此只要测出摆长l和周期T，即可计算出当地的重力加速度。 二、实验器材 铁架台及铁夹、中心有小孔的金属小球、约1m长的细线、停表、刻度尺、游标卡尺。 三、实验步骤 （1）制作单摆 让线的一端穿过小球上的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆；把线的上端固定在铁架台的铁夹上。让铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。在单摆平衡位置处做标记。 （2）测摆长：用毫米刻度尺量出悬线长l'，用游标卡尺测量出摆球的直径D，则摆长 。 （3）测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°的角，然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30~50次全振动的时间，计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T。 （4）重复实验：改变摆长，重做几次实验。 四、数据处理 （1）公式法：根据公式，将每次实验的l、n、t数值代入，计算重力加速度g，然后取平均值。 （2）图像法：由得，以为纵轴，以l为横轴，作出的图像，其斜率为，由图像的斜率即可求出重力加速度g。 五、实验注意事项和误差分析 1、注意事项 （1）选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1m左右，不要过长或过短，太长测量不方便，太短摆动太快，不易计数。小球应选用密度较大、直径较小的金属球，这样可以减小空气阻力。 （2）注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的偏角小于5°，可通过估算振幅的办法加以控制。摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。 （3）计算摆长时要将摆线长加上摆球半径，不要把摆线长当作摆长。 （4）应从摆球通过平衡位置时开始计时，并且采用倒数到0开始计时的方法，即“4、3、2、1、0、1、2、3、4……”。 （5）应测量多次全振动的时间后计算出振动周期，并取平均值。 2、误差分析 （1）系统误差 主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即悬挂点是否固定，摆球是否可看成质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动等。 （2）偶然误差 ①测量长度时引起的误差：测摆长时绝对误差是 （l是测量值，l0是真实值），相对误差是 ，为了减小相对误差，应尽量增大l0，所以实验时要用长度约为1m的摆线。 ②测量周期时引起的误差：测量时间要注意测准时间。不能多计或漏计全振动次数，为了减小偶然误差,应进行多次测量取平均值。 【题型1 用单摆测量重力加速度的实验】 【例1】（24-25高三上·广西南宁·月考）如图（a）所示，某兴趣小组用单摆测量重力加速度。选用的实验器材有：智能手机、小球、细线、铁架台、夹子、游标卡尺、刻度尺等，实验操作如下： （1）用铁夹将细线上端固定在铁架台上，将小球竖直悬挂； （2）用刻度尺测出摆线的长度为l，用游标卡尺测出小球直径为d； （3）将智能手机置于小球平衡位置的正下方，启用APP《手机物理工坊》的“近距秒表”功能； （4）将小球由平衡位置拉开一个角度（），静止释放，软件同时描绘出小球与手机间距离随时间变化的图像，如图（b）所示。 请回答下列问题： ①根据图（b）可知，单摆的周期 s。 ②重力加速度g的表达式为 （用测得的物理量符号表示）； ③改变摆线长度l，重复步骤（2）、（3）、（4）的操作，可以得到多组T和l的值，进一步描绘出如图（c）的图像，若图线的斜率为k，则重力加速度的测量值为 。 【变式1-1】（24-25高二上·四川成都·月考）在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，测得摆球经过n次全振动的总时间为，在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为，再用游标卡尺测量摆球的直径为D。 回答下列问题： （1）该单摆的周期为 。 （2）若用表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝ 。 （3）如果测得的g值偏小，可能的原因是________。 A．测摆长时摆线拉得过紧 B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了 C．开始计时时，停表过迟按下 D．实验时误将49次全振动记为50次 （4）为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，从而得出几组对应的L和T的数值，以L为横坐标、为纵坐标作出图线，但同学们不小心每次都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的图像是图乙中的 （选填“①”“②”或“③”）。 【变式1-2】（23-24高一下·上海·期末）实验小组的同学们用图甲所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。 （1）用L表示单摆的摆长，用T表示单摆的周期，则重力加速度 。 （2）在这个实验中，应该选用 和 两组材料构成单摆。 A．长约1m的细线    B．长约1m的橡皮绳 C．直径约1cm的铁球    D．直径约1cm的塑料球 （3）王同学多次改变摆长L，测量对应的单摆周期T，用测得的多组实验数据绘制图像，直线的斜率为k，如图乙所示，可求得重力加速度大小 （用含k的式子表示）。 （4）张同学用公式法处理数据后，发现测得的重力加速度数值大于当地的实际值，造成达一情况的原因可能是（    ） A．计算摆长时直接用摆线长度 B．计算摆长时用摆线长度加上小球直径 C．测量周期时，误将摆球次全振动的时间记为n次全振动的时间 D．测量周期时，误将摆球次全振动的时间记为n次全振动的时间 【变式1-3】（2024·广东·一模）某实验小组利用单摆周期公式测量当地重力加速度的值。 （1）为了较精确地测量重力加速度的值，以下四种单摆组装方式，应选择__________。 A． B． C． D． （2）组装好单摆，先用刻度尺测量摆线长度，再用游标卡尺测量小球的直径，其示数如图甲，则小球直径为 mm。 （3）周期公式中的L是单摆的摆长，其值等于摆线长与 之和。 （4）某次实验时，改变摆长并测出对应的周期，得到如下表的实验数据并描点在图乙的坐标中，请在图乙中作出图像 。 次数 1 2 3 4 5 L/m 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 T/s 1.42 1.55 1.67 1.85 1.90 2.02 2.40 2.79 3.42 3.61 （5）根据图像算出重力加速度 （结果保留3位有效数字）。 【题型2 实验数据处理和误差分析】 【例2】（24-25高三上·湖南长沙·月考）在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，测得摆球经过次全振动的总时间为，在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为，再用游标卡尺测量摆球的直径为。回答下列问题: （1）为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的____________。 A．最高点 B．最低点 C．任意位置 （2）该单摆的周期为 ，重力加速度 （用题干中字母表示）。 （3）如果测得的值偏小，可能的原因是____________。 A．实验时误将49次全振动记为50次 B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了 C．开始计时时，停表过迟按下 （4）为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长并测出相应的周期，从而得出几组对应的和的数值，以为横坐标、为纵坐标作出图线，但同学们不小心每次都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的图像是图乙中的 （选填“①”“②”或“③”）。 【变式2-1】（24-25高三上·浙江杭州·月考）小王同学在“用单摆测量重力加速度实验”时，用游标卡尺测得小铁球的直径为 cm（如图）。他计算得出的重力加速度比实际测量的重力加速度要大，其原因可能是 。 A．摆球太重                                  B．摆角太小 C．计时开始时停表按下过迟      D．实验中全振动次数记少了 【变式2-2】（23-24高二上·江苏南京·期末）利用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示。已知摆线长度为，小球直径为，实验中测出摆球完成50次全振动的时间为，则下列说法中正确的是（　　） A．实验中，为便于观测，释放小球时应使摆线与竖直方向夹角大些 B．应从摆球处于最高点开始计时 C．实验测出当地重力加速度为 D．误把51次全振动记为50次全振动会导致的测量值偏小 【变式2-3】（23-24高二下·天津·期末）在“用单摆测重力加速度”的实验中 （1）下列器材和操作最合理的是__________；（图中的球均较小） A． B． C． D． （2）实验过程中，下列做法正确的是__________； A．用刻度尺量出从悬点到摆球间细线长的距离，作为单摆摆长 B．用秒表测量单摆完成一次全振动所用时间并作为单摆的周期 C．单摆偏离平衡位置的角度越大越好 D．为了减小误差，应该在摆球经过最低点时开始计时 （3）实验测得的重力加速度数值小于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是__________。（选填字母序号）。 A．开始摆动时振幅较小，其他操作与计算均正确 B．小球的质量较大，其他操作与计算均正确 C．开始计时时，过早按下秒表，其他操作与计算均正确 D．测量周期时，误将摆球次全振动的时间记为次全振动的时间，其他操作与计算均正确 （4）某同学为了提高实验精度，多次改变摆线长（记为）并测出相应的周期，他根据实验数据在坐标纸上绘制出的图线如图所示则当地的重力加速度 。（用和及表示） 【题型3 测量重力加速度的创新实验方案】 【例3】（2023·河北·高考真题）某实验小组利用图装置测量重力加速度。摆线上端固定在点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。 （1）关于本实验，下列说法正确的是 。（多选） A．小钢球摆动平面应与光电门形平面垂直    B．应在小钢球自然下垂时测量摆线长度 C．小钢球可以换成较轻的橡胶球                 D．应无初速度、小摆角释放小钢球 （2）组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度，用螺旋测微器测量小钢球直径。螺旋测微器示数如图，小钢球直径 ，记摆长。 （3）多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长对应的小钢球摆动周期，并作出图像，如图。 根据图线斜率可计算重力加速度 （保留3位有效数字，取9.87）。 （4）若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将 （填“偏大”“偏小”或“不变”）。 【变式3-1】（2023·广东江门·一模）某同学做“用单摆测重力加速度”的实验，实验装置如图甲所示，在摆球的平衡位置处安放一个光电门，连接数字计时器，记录小球经过光电门的次数。 （1）下列说法中正确的是 A．测出摆球做一次全振动的时间作为周期的测量值 B．质量相同的铁球和软木球，应选用铁球作为摆球 C．可将摆球从平衡位置拉开一个任意角度然后释放摆球 D．可以选择有弹性的细绳作为摆线 （2）在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺测得从悬点至摆球顶端的长度为L，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图乙所示，则摆球直径d= cm； （3）将摆球从平衡位置拉开一个合适的角度，静止释放摆球，摆球在竖直平面内稳定摆动后，启动数字计时器，摆球通过平衡位置时从1开始计数，同时开始计时，当摆球第n次（为大于3的奇数）通过光电门时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期T= （用t、n表示），重力加速度的大小为 （用L、d和T表示）； （4）实验中该同学测得的重力加速度值经查证明显大于当地的重力加速度值，下列原因可能的是 。 A．摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了 B．计算时用作为单摆的摆长 C．摆球的振幅偏小 D．把n当作单摆全振动的次数 【变式3-2】（23-24高一下·安徽铜陵·期末）某同学利用如图甲所示装置测量重力加速度g。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另端连接一小钢球，如图甲所示。拉起小钢球至某一位置由静止释放，使小钢球在竖直平面内摆动记录钢球摆动过程中拉力传感器示数的最大值和最小值。改变小钢球的初始释放位置，重复上述过程。根据测量数据在直角坐标系中绘制的图像是一条直线，如图乙所示： （1）拉力传感器示数的最大值、最小值、小球质量m以及重力加速度g的关系为 。 （2）若小球质量，由图乙可得重力加速度g的数值为 （结果保留三位有效数字）。 （3）由图乙可得图像直线的斜率与理论值之差的绝对值为 （结果保留一位小数），导致该差值的主要因素为 。 【变式3-3】（23-24高二下·辽宁·月考）在“利用单摆测重力加速度”的实验中，两名同学采用了不同类型的传感器来完成实验。一同学利用智能手机软件中的“磁传感器”功能，能实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，“磁传感器”记录下的磁感应强度越大。现用智能手机、磁化小球、铁架台、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置，来测量重力加速度，实验步骤如下： ①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住； ②打开夹子释放磁化小球，小球运动，取下夹子； ③运行软件，点开“磁传感器”功能，手机记录下磁感应强度的变化； ④改变摆线长和夹子的位置，测量出每次实验的摆线长度L及相应的周期T。 根据以上实验过程，回答下列问题： （1）图乙记录了实验中磁感应强度的变化情况，测得连续N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，则单摆周期T的测量值为 。 （2）实验中得到多组摆线长度L及相应的周期T后，作出了图线，图线的斜率为k，在纵轴上的截距为c，由此得到当地重力加速度 ，小球的半径 。 （3）另一同学利用了位移传感器，他将单摆固定在铁架台上，使其做小角度左右摆动，摆动路径如图丙中虚线所示，通过位移传感器得到了摆球位移随时间的变化曲线，如图丁所示，已知摆长，根据图丁中的信息可得，重力加速度 。（结果保留3位有效数字，取） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$