精品解析：2024年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨港澳台学生入学考试数学试题

中华人民共和国普通高等学校联合招收港澳台侨学生 2024年入学考试数学试题 一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的定义直接求解即可. 【详解】因为， 所以，故C正确. 故选：C 2. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则即可得出． 【详解】由复数的运算法则可得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3. 函数 的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】整理可得，结合正弦函数最值分析求解. 【详解】因为， 当，即时，函数取到最大值2. 故选：A. 4. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，故，即，， 解得，故，即渐近线方程是，故D正确. 故选：D 5. 向量，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的充分条件 C. “”是“”的必要条件 D. “”是“”的充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】对A，根据向量平行得到的关系式，再根据必要条件的定义即可判断；对B，根据向量平行得到的关系式，再根据充分条件的定义即可判断；对C，根据向量垂直得到的关系式，再根据必要条件的定义即可判断；对D，根据向量垂直得到的关系式，再根据充分条件的定义即可判断； 【详解】对A，若， 则， 即，无法推出， 即必要性不成立，故A错； 对B，由A知：，不满足， 即与不平行，故充分性不成立，故B错； 对C，若， 则，无法推出， 即必要性不成立，故C错； 对D，由C知：，可以推出， 故“”是“”的充分条件，故D对. 故选：D. 6. 函数（ ） A. 是奇函数，不是增函数 B. 是增函数，不是奇函数 C. 既是奇函数，也是增函数 D. 既不是奇函数，也不是增函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数可得，即可知是奇函数，再根据复合函数单调性以及奇函数性质判断单调性. 【详解】因为，可知的定义域为， 且， 即，所以是奇函数， 当时，在内单调递增，可知内单调递增， 且在定义域内单调递增，可知在内单调递增， 由奇函数性质可知在内单调递增， 所以在内单调递增. 故选：C. 7. 若的展开式中的系数为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合二项式定理运算求解即可. 【详解】因为展开式的通项为， 令，可知展开式中的系数为，解得. 故选：C. 8. 圆与圆交于两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两圆相交的性质，将两个圆方程相减，得到公共弦方程即可. 【详解】因为圆与圆， 所以的一般方程为， 的一般方程为， 因为两个圆相交，且对两个圆的方程进行联立， 所以的方程为， 化简得，故D正确. 故选：D 9. 已知和都是函数的极值点，则的最小值是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知：直线和直线都是函数的对称轴，结合正弦型函数的对称性以及周期性可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：直线和直线都是函数的对称轴， 设函数的最小正周期为， 由题意可得：，可得， 且，则，解得， 所以的最小值是4. 故选：A. 10. 抛物线的焦点为上的点到的距离等于到直线的距离，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的定义建立方程，求解参数即可. 【详解】因为抛物线上的点到的距离等于到直线的距离， 所以是抛物线的准线，故，解得，故A正确. 故选：A 11. 正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，且O到该正四棱柱侧面的距离为，则该正四棱柱的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用球的性质结合勾股定理建立方程，得到后再利用正四棱柱体积公式求解即可. 【详解】因为正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上， 所以该球是正四棱柱的外接球，其半径为正四棱柱体对角线的一半， 故正四棱柱的体对角线长度为2，因为O到该正四棱柱侧面的距离为， 所以正四棱柱底面边长为1，设正四棱柱高为， 所以，解得， 故该四棱柱的体积为，故B正确. 故选：B 12. 已知偶函数的图像关于直线对称，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的对称性和奇偶性得到周期性，再求解解析式即可 【详解】因为是偶函数，所以， 因为的图像关于直线对称，所以， 故，故是周期为2的周期函数， 当时，， 所以， 故当时，，故B正确. 故选：B 二、填空题: 本题共6小题，每小题5分，共30分 13. 用组成3位数，数字不能重复，其中奇数有_______个； 【答案】280 【解析】 【分析】先分析得到奇数的条件，再利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】我们要组成数字不能重复的3位数，在求解奇数个数时， 我们首先考虑奇数的个数来自个位数字，而个位数字有5种选择， 百位数字有8种选择，十位数字有7种选择， 故由分步乘法计数原理得奇数有个. 故答案为：280 14. 等差数列的前项和，，，则______； 【答案】 【解析】 【分析】设出基本量，利用给定条件建立方程，求解参数，最后结合等差数列的性质求解即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，所以，因为， 所以，即， 解得，，故. 故答案为： 15. 不等式的解集为_______； 【答案】 【解析】 【分析】利用同时平方法求解绝对值不等式即可. 【详解】左右两侧同时平方得， 所以，故， 化简得，解得. 故答案为： 16. 函数的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导得到函数的单调性，进而得到函数的最值. 【详解】因为.令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以. 故答案为 【点睛】这个题目考查了函数的单调性，涉及导数在研究函数的单调性中的应用，属于基础题. 17. 已知是定义在上的函数，，且，则_______； 【答案】11 【解析】 【分析】利用给定条件结合赋值法求解即可. 【详解】因为，， 所以令，故，解得， 令，故，解得， 令，故，解得， 令，故，解得. 故答案为：11 18. 已知二面角的大小为，正方形在平面内，等边在平面内，则异面直线所成角的余弦值为______ 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用异面直线夹角的向量求法求解即可. 【详解】 如图，过作，在平面内过作轴， 因为二面角的大小为，所以平面, 设正方形的边长为2，由勾股定理得 可得， 则 所以， ，， 故设异面直线所成角为， 所以异面直线所成角的余弦值为 . 故答案为：. 三、解答题：本题共4小题，共15*4=60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19. 设的内角的对边分别为，已知. （1）求; （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式化简给定条件，求解角度即可. （2）利用两角和差的正弦公式求解出所有角度的正弦值，再求和即可. 【小问1详解】 因为，所以，故， 由正弦定理得，所以， 而，所以，即， 所以，由两角差的正弦公式得， 则，故， 可得，即， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，，所以，， 故， 而， 故. 20. 某工人在一个工作日内至少使用甲、乙仪器中的一个，使用甲仪器的概率为0.6，使用乙仪器的概率为且不同工作日使用仪器的情况相互独立. （1）求在一个工作日中该工人既使用甲仪器又使用乙仪器的概率； （2）记为在100个工作日中，该工人仅使用甲仪器的天数，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用概率的性质求解即可. （2）利用二项分布的均值公式求解即可. 【小问1详解】 设事件为一个工作日中该工人使用甲仪器，事件为一个工作日中该工人使用乙仪器， 由题意， 所以在一个工作日中该工人既使用甲仪器又使用乙仪器的概率, 【小问2详解】 在一个工作日中，该工人仅使用甲仪器的概率为， 而由题意得服从二项分布，由均值公式得. 21. 设数列的前n项和，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，再通过化简结合等比数列的定义即可证明； （2）先结合（1）求出，再根据时，求出，最后验证即可. 【小问1详解】 ， ， 即， 即， 即， 即， 又， 数列是以首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知：， 即， 当时，， ， 又也适合上式， 故. 22. 已知椭圆的左焦点为F，已知点，过F的直线交C于B，P两点. （1）求点P的坐标； （2）若点在直线AB上，证明： FR是的角平分线. 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意，联立直线与椭圆方程求交点坐标； （2）根据题意求得，求点到直线、的距离，结合角平分线的性质分析证明. 【小问1详解】 由直线可知，即，可得， 所以椭圆， 联立方程，消去y可得，解得或， 可得或，所以点P的坐标. 【小问2详解】 由（1）可知：，则直线，即， 将点代入可得，解得， 即， 则点到直线（即x轴）的距离为， 且点到直线的距离为， 即点到直线、的距离相等， 结合图形可知：FR是的角平分线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中华人民共和国普通高等学校联合招收港澳台侨学生 2024年入学考试数学试题 一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 计算（ ） A. B. C. D. 3. 函数 的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 4. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 向量，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的充分条件 C. “”是“”的必要条件 D. “”是“”的充分条件 6. 函数（ ） A. 是奇函数，不是增函数 B. 是增函数，不是奇函数 C. 既是奇函数，也是增函数 D. 既不是奇函数，也不是增函数 7. 若的展开式中的系数为，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 圆与圆交于两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知和都是函数的极值点，则的最小值是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 10. 抛物线的焦点为上的点到的距离等于到直线的距离，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 11. 正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，且O到该正四棱柱侧面的距离为，则该正四棱柱的体积是（ ） A. B. C. D. 12. 已知偶函数的图像关于直线对称，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 二、填空题: 本题共6小题，每小题5分，共30分 13. 用组成3位数，数字不能重复，其中奇数有_______个； 14. 等差数列的前项和，，，则______； 15. 不等式的解集为_______； 16. 函数的最小值为______． 17. 已知是定义在上的函数，，且，则_______； 18. 已知二面角的大小为，正方形在平面内，等边在平面内，则异面直线所成角的余弦值为______ 三、解答题：本题共4小题，共15*4=60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19. 设的内角的对边分别为，已知. （1）求; （2）求. 20. 某工人在一个工作日内至少使用甲、乙仪器中的一个，使用甲仪器的概率为0.6，使用乙仪器的概率为且不同工作日使用仪器的情况相互独立. （1）求在一个工作日中该工人既使用甲仪器又使用乙仪器的概率； （2）记为在100个工作日中，该工人仅使用甲仪器的天数，求 21. 设数列的前n项和，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式. 22. 已知椭圆的左焦点为F，已知点，过F的直线交C于B，P两点. （1）求点P的坐标； （2）若点在直线AB上，证明： FR是的角平分线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $