精品解析：上海市闵行中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学卷

高一数学试卷 时间：120分钟 满分150分 一．填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分． 1. 已知集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合交集运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 2. 不等式的解集是____． 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为整式不等式，即可求解. 【详解】不等式等价于，解得. 故不等式的解集为. 故答案为：. 3. 集合 可以用列举法表示为______. 【答案】 【解析】 【分析】解出方程组的解，利用列举法可得答案. 【详解】因为，所以， 所以用列举法表示为. 故答案为： 4. 设方程的两根为,，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据韦达定理即可求得答案. 【详解】解：由题意得： 由韦达定理，得， 故 故答案为： 5. 已知不等式的解集为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为和是方程的根，且，结合根与系数的关系，即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 可得和是方程的根，且， 所以，解得，所以. 故答案为：. 6. 若要用反证法证明“对于三个实数、、，若，则或”，应假设 _____． 【答案】且成立 【解析】 【分析】假设结论的反面成立，即可求解． 【详解】解：假设结论的反面成立，即且成立． 故答案为：且成立． 7. 某班共50人，其中21人喜爱篮球运动，18人喜爱乒乓球运动，20人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_____． 【答案】12 【解析】 【详解】试题分析：设有人既喜爱篮球也喜爱乒乓球，则，解得，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为． 考点：集合的运算． 8. 已知集合是单元素集，则实数的取值集合为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合只有一个解，分类讨论，即可求解. 【详解】由集合是单元素集， 可得方程只有一个解， 当，即时，方程为，解得，此时，符合题意； 当，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值集合为. 故答案为：. 9. 已知集合，，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】化简两集合，根据，可知或，解之即可. 【详解】解：因为， 或 又因为，所以或， 所以. 故答案为：. 10. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次不等式和绝对值不等式的性质，即可求解. 【详解】因为，且， 所以，不能同时为0， 所以当时，或；当时，； 所以，即， 故答案为：. 11. 已知、，关于的不等式组解集为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】分，和进行讨论，结合一元二次不等式的解集特点得到结果. 【详解】①当时显然不成立； ②当时，不等式组可化为， 设的两根为，则有，即， 故不等式组化为，根据不等式组的解集为，可知不符合题意； ③当时，不等式组可化为， 即，根据不等式组的解集为，可得 ，解得，故，， 所以. 故答案为：. 12. 已知集合，集合，且，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】通过分析可得，进而结合可得，进而得到不等式恒成立，再根据一元二次不等式恒成立问题求解即可. 【详解】由于， ， 所以， 则，所以， 则不等式恒成立， 当时，不等式不一定成立，不符合题意，则. 若恒成立，则，解得， 若恒成立，则，解得， 同理，若恒成立，则， 若恒成立，则， 所以要使恒成立， 则或， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，13-14选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一律得零分． 13. 给出下列关系式，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合之间的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】A中，根据元素与集合间的关系，可得，所以A正确； B中，根据空集是任何集合的子集，可得，所以B正确； C中，根据集合与集合间的关系，可得，所以不正确； D中，根据集合的定义，可得，所以D正确. 故选：C. 14. “”是“或”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件，必要条件的概念进行判断即可. 【详解】首先，对于命题： “若，则或”. 其逆否命题为： “若且，则”为真. 根据原命题与其逆否命题同真同假，可知命题“若，则或”为真， 所以“”是“或”的充分条件； 其次，对于命题：“若或，则”， 当时，满足“或”，但“”不成立， 故命题“若或，则”为假. 所以“”不是“或”的必要条件. 综上可知：“”是“或”的充分不必要条件. 故选：A 15. 已知关于x的不等式，下列结论正确的是（ ） A. 不等式的解集不可以是； B. 不等式的解集可以是； C. 不等式的解集可以是； D. 不等式的解集可以是． 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值判断AB；利用假设成立法判断CD. 【详解】对于A，当时，不等式为恒成立， 则解集是，故A错误； 对于B，当时，不等式， 所以解集不可能为，故B错误； 对于C，假设不等式的解集可以是， 则，即，， 所以不等式的解集可以是，故C正确； 对于D，假设不等式的解集可以是， 则，无解，故D错误. 故选：C. 16. 已知a、b都是正数，集合，，若任意的，都有或，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式和，结合题意得，列出不等式即可求解. 【详解】因为都是正数， ，解得或，所以或， ，即，解得， 所以， 因为任意的，都有或，即， 所以且，所以. 故选：. 三．解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知集合，集合． （1）求集合； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式即可求得集合； （2）解一元二次不等式可求得集合，由补集和交集定义可得结果. 【小问1详解】 由得：，即，解得：， . 【小问2详解】 由（1）知：； 由得：，解得：，即， . 18. 已知命题：实数满足，命题：实数满足（其中）． （1）若，且命题和中至少有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式解出和，再取并集即可； （2）解含有参数的一元二次不等式得到，再根据是的充分条件得到结果即可； 【小问1详解】 ：实数满足，解得， 当时，：，解得， ∵和至少有一个为真，∴或，∴， ∴实数的取值范围为； 【小问2详解】 ∵，由，解得， 即：， ∵是的充分条件， ∴，∴， 实数的取值范围是. 19. 如图所示，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形）．使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且． （1）设米（），求出四边形的面积关于的表达式； （2）为使绿地面积不小于空地面积的一半，求长的最大值． 【答案】（1） （2）100 【解析】 【分析】（1）根据矩形与三角形的面积公式计算，即可; （2）解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 设米，则， ，， 即； 【小问2详解】 若绿地面积不小于空地面积的一半，则，即 解得，故AE的长的最大值为100米. 20. 解决下列问题： （1）已知、，设，．比较与的大小； （2）已知命题：如果实数、为正数，且满足，则和中至少有一个成立．判断命题是否正确，并说明理由； （3）请根据矩形图表信息，补齐不等式______．（其中，，，都为正数）并给出它的代数证明． 【答案】（1） （2）命题正确，证明： 假设和都不成立， 则且， 由已知，实数、为正数实数， 所以且， 故，可得， 与已知矛盾，故假设不成立， 所以和中至少有一个成立． （3），证明： 又因为 所以 因为，，，都为正数，所以 所以， 即，原式得证. 【解析】 【分析】（1）利用作差法，将与比较大小，将式子化简即可； （2）利用反证法，假设都不成立，化简后和已知条件发现矛盾，即可证明； （3）利用作差法，将与比较大小，将式子化简即可. 【小问1详解】 因为 ， 所以，即 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 已知函数和，定义集合． （1）设，，求； （2）设，，，若任意，都有，求实数的取值范围； （3）设，，，若存在，使得且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别解不等式，即可得解； （2）依题意可得不等式①恒成立，且不等式②恒成立，分别求出①、②参数的取值范围，即可得解； （3）依题意可得不等式组有解，又，又，再分、、三种情况讨论，分别求出的取值范围. 【小问1详解】 已知， 由，即 当时，不等式化为，得， 此时，不等式的解为． 当时，不等式化为，即，恒成立， 此时，不等式的解为． 当时，不等式化为，得． 此时，不等式的解为． 综上所述，的解集为，即． 【小问2详解】 由题意知，不等式①恒成立， 且不等式②恒成立； 由①得，， 则，解得； 由②得，， 当时，不等式化为恒成立， 当时，应满足，解得； 综上知，的取值范围是． 【小问3详解】 已知，，， 由题意得，不等式组有解， 由， 又， ①当，即时，上式为，对任意恒成立． 此时不等式组有解，满足题意； ②当，即时，或， 要使不等式组有解，则或，解得， 则有； ③当，即时，或． 要使不等式组有解， 则或，解得， 则有； 综上所述，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 时间：120分钟 满分150分 一．填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分． 1. 已知集合，则__________. 2. 不等式的解集是____． 3. 集合 可以用列举法表示为______. 4. 设方程的两根为,，则______． 5. 已知不等式的解集为，则______. 6. 若要用反证法证明“对于三个实数、、，若，则或”，应假设 _____． 7. 某班共50人，其中21人喜爱篮球运动，18人喜爱乒乓球运动，20人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_____． 8. 已知集合是单元素集，则实数的取值集合为__________． 9. 已知集合，，若，则实数的取值范围是______． 10. 不等式的解集是______． 11. 已知、，关于的不等式组解集为，则的值为______． 12. 已知集合，集合，且，则实数的取值范围是______． 二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，13-14选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一律得零分． 13. 给出下列关系式，错误的是（ ） A. B. C. D. 14. “”是“或”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知关于x的不等式，下列结论正确的是（ ） A. 不等式的解集不可以是； B. 不等式的解集可以是； C. 不等式的解集可以是； D. 不等式的解集可以是． 16. 已知a、b都是正数，集合，，若任意的，都有或，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 三．解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知集合，集合． （1）求集合； （2）求． 18. 已知命题：实数满足，命题：实数满足（其中）． （1）若，且命题和中至少有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 19. 如图所示，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形）．使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且． （1）设米（），求出四边形的面积关于的表达式； （2）为使绿地面积不小于空地面积的一半，求长的最大值． 20. 解决下列问题： （1）已知、，设，．比较与的大小； （2）已知命题：如果实数、为正数，且满足，则和中至少有一个成立．判断命题是否正确，并说明理由； （3）请根据矩形图表信息，补齐不等式______．（其中，，，都为正数）并给出它的代数证明． 21. 已知函数和，定义集合． （1）设，，求； （2）设，，，若任意，都有，求实数的取值范围； （3）设，，，若存在，使得且，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $