精品解析：福建省福州第十九中学2024-—2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

福州第十九中学2024-2025学年第一学期10月份校本练习 九年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分；在给出的四个选项中，只有一个正确选项） 1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、是中心对称图形，故选项符合题意； 、不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线顶点坐标．根据抛物线顶点式顶点坐标公式可直接得到答案．抛物线顶点式顶点坐标为． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 3. 如图，，直线d、e与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据即可得到结果． 【详解】解∶， 故选∶C． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 4. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得， ， 故选：B． 5. 如图，圆的弦的长度为2，点A，B，C为圆周上三点，若，则圆半径为（） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理等知识，根据圆周角定理求出的度数，再根据勾股定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：， ， 又，, ∴在中，, 即， 故选：C． 6. 如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的x的值，进而可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得： 当时，， 当水位上升时，则此时， 则：， 解得：或， 水面宽为：， 故选C． 7. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可． 【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为， 故选：D． 8. 若关于的方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则此方程的根的情况是（） A. 无法确定 B. 无实根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，根据一元二次方程根的判别式得，根据在数轴上的对应点可得，即可确定判别式的符号，进一步确定根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：在一元二次方程中， ， 由数轴可知，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 9. 已知点，在抛物线图象上，则该抛物线的顶点可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象性质，根据抛物线的对称性以及抛物线的图象性质进行判定，即可作答． 【详解】解：∵点，在抛物线图象上 ∴ ∴抛物线的顶点坐标的横坐标为1 则B和C选项是错误的 ∵抛物线是对称性的光滑的曲线 ∴抛物线的顶点坐标的纵坐标不等于3 故选：A． 10. 程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ ②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ ③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ ④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ 其中所有正确结论的序号是( ) A. ②③ B. ③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】分别在以上四种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出后可得答案． 【详解】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，所以不唯一，所以①错误． 如下图，当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以②正确． 如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以唯一，所以③正确． 如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以④正确． 综上：②③④正确． 故选C． 【点睛】本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q是关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，据此解答即可 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 12. 如图，点A、B、C、D都在上，，则________． 【答案】50 【解析】 【分析】根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧，等弧所对的圆周角等于圆心角的一半可解． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理等知识点，解题的关键在于理解定理． 13. 汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．由题意可知当汽车停下来时，s最大，故将写成顶点式，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴当秒时，s取得最大值，即汽车停下来， 故答案为：． 14. 如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，若，则图中___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，圆的知识，根据题意得，点坐标为，将点坐标代入抛物线的解析式为即可求得抛物线的解析式，令即可求得点的坐标，从而可求出的长，解题的关键是求出抛物线的解析式，从而求出点的坐标． 【详解】解：∵，是半圆的直径， ∴点坐标为，点坐标为， 将点坐标代入抛物线的解析式， 得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点坐标为， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝________． 【答案】45° 【解析】 【分析】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD,证明为等腰直角三角形，从而可得答案． 【详解】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD． 由题意可得AP2＝PE2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10． ∴AE2＝AP2+PE2． ∴△APE是等腰直角三角形． ∴∠PAE＝45 ∴∠PAB－∠PCD＝∠PAB－∠BAE＝∠PAE＝45°． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 16. 我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形，中心为O，在矩形外有一点P，，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分别求出当过的中点E时，此时点P与矩形上所有点的连线中，；当过顶点A时，此时点P与矩形上所有点的连线中，；当过顶点边中点F时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，即可求解． 【详解】解：如图，当过的中点E时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，， ∴； 如图，当过顶点A时，此时点P与矩形上所有点的连线中，， 矩形，中心为O， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当过顶点边中点F时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，， ∴； 综上所述，点P到矩形的距离d的取值范围为． 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，根据题意得出临界点时点d的值是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解一元二次方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，先把方程化为一般式，再利于因式分解法把方程化为或，然后据解两个一次方程即可，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 18. 如图，，，求证：． 【答案】 解：， ． ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据两个角分别相等的三角形为相似三角形，据此即可作答． 【详解】略 19. 按要求画图． （1）将向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出平移后的图形； （2）将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的图形． （3）连接，、，则的面积为______． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： （3）15 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点即可； （2）分别作出的对应点即可； （3）利用割补法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为， 故答案为：15． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20. 如图，已知，是的半径，为的中点，M，N分别是，的中点，求证：． 【答案】 证明：如图，连接， ∵为的中点， ， ， 又∵，分别是，的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了圆的有关知识，全等三角形的判定与性质，连接，由为的中点，得到，再得到，根据，分别是，的中点，得到，进而证明，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】略 21. 【情境探究】小明和小强做弹力球游戏．游戏规则如下：小明抛出弹力球，弹力球落地后弹起再落下，小强在某个位置放置一块接球板，若弹力球在第二次落地前碰到接球板则小强胜（球与接球板触碰），否则小明胜． 【数学建模】弹力球两次运动轨迹均可近似看成抛物线，如图所示．一次游戏过程中：小明站在起点O处抛弹力球，以O为坐标原点，水平方向直线和竖直方向直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，弹力球从离地面2米的A处抛出，第一次落地前，球在距离起点O水平距离为2m处，达到飞行最大高度为3.6m，弹力球在B处落地后再次弹起，第二次飞行的水平距离米，且飞行的最大高度为第一次的一半． 【问题解决】 （1）求弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式； （2）小强在距起点8米处放置接球板，垂直地面于点E，且m，请通过计算判断谁会获胜． 【答案】（1）； （2）小明获胜，理由： 令，得，解得：， ∴， ∵，且飞行的最大高度为第一次的一半． ∴设弹力球第二次着地前抛物线的函数表达式：， 把代入得：，解得：， ∴， 把代入，得， ∵， ∴小强的接球板没有触碰到球，小明获胜 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法是关键 （1）设弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出B坐标，再求出弹力球第二次着地前抛物线的函数表达式：，把代入，求得y的值与比较大小即可 【小问1详解】 解：由题意：设弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式：， 把代入，得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 略； 22. 如图，抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接BC． （1）直接写出：_________，_________； （2）如图，连接、、，与交于点，设和的面积分别为和，求的最大值． 【答案】（1），； （2）的最大值为． 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，相似的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）把，代入抛物线即可求解； （2）根据题意计算出直线的解析式，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点，设，且，可证，可得，即，再根据三角形的面积计算方法得，，由此结合二次函数最值的计算方法即可求解； 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点， 把，代入得： ， 解得：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）可得抛物线的解析式为：， 令，则， 解得：，， ∴点， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线所在直线的解析式为：， 如图，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点， ∴当时， ， ，则， ∵点是第一象限内二次函数图象上的一个动点， 设，且，则， ∴， ∵轴，轴， ∴， ， ， 即 ，， ， ∴当时，有最大值，最大值为． 23. 已知实数a，b，c满足：，． （1）若，请求出b，c的值； （2）求的最小值． 【答案】（1），； （2）的最小值为． 【解析】 【分析】本题考查了代数式的求值，绝对值的意义，一元二次方程的解，根的判别式等知识，根据题意列出等式是解题的关键． （1）根据已知条件，列出关于b、c的方程组，解出b、c的值即可； （2）用分类讨论的思想，解决问题即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：不妨设a是a，b，c中的最大者，则，， 由题设知，且，， 于是b，c是一元二次方程的两实根， ∴， ∴， ∴， ∴， 又当，时，满足题意， ∴a，b，c中最大者的最小值为， ∵， ∴a，b，c为全大于或一正二负， ①若a，b，c均大于，a，b，c中的最大者不小于，这与矛盾； ②若a，b，c为或一正二负，设，，，则： ， ∵， ∴， 当，时，满足题设条件且使得不等式等号成立， ∴的最小值为． 24. 关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“2倍—勾系方程”，请解决下列问题： （1）求证：关于的“2倍—勾系方程”必有实数根； （2）如图，已知、是半径为4的的两条平行弦，，，且关于的方程是“2倍—勾系方程”； ①求的度数； ②直接写出的长（用含、的式子表示）． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程是“勾系方程”， 且，， ， ， ， 方程必有实数根； （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了“勾系方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是明白“勾系方程”的定义． （1）根据一元二次方程根的判别式即可判断； （2）①作于，延长交于，连接，，由垂径定理可得，，有勾股定理得，再由关于的方程是“2倍—勾系方程”，得到，即可证明，最后证明得到，最后根据求解即可； ②过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形，根据得出，进而利用勾股定理列式解答，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①作于，延长交于，连接，，如图， ∵， ， ，， ， ， 关于的方程是“2倍—勾系方程”， ∴， ， ，， ∴ ， ， ， ， ； ②过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形，如图， ， ∵， ． 25. 在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质． 【操作探究】（1）如图1，已知，，将绕着直角边中点旋转，得到，当的顶点恰好落在的斜边上时，斜边与交于点． ①猜想：__________； ②证明：； 【问题解决】（2）在（1）的条件下，已知，，求的长； 【拓展提升】（3）如图2，在菱形中，，，将菱形绕着中点顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点N，请直接写出的长． 【答案】（1）①， ②证明：由旋转的性质可知， ， ； （2）；（3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）①依据题意，可得从而在以G为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理可得到的度数； ②依据题意，由旋转的性质可知，，又，进而可以得解； （2）依据题意可求出的长，又的锐角顶点恰好落在的斜边上，从而可得在以为圆心，为半径的圆上，则，进而求出，再结合，可得设，则，，进而建立方程计算可以得解； （3）依据题意，分两种情形进行讨论：①当落在上时，②当落在上时，分别求解即可． 【详解】解：①由题意可知，， ∴、、在以为圆心，为半径的圆上， ， 故答案为：； ② 略 （2）∵，，， ∴，， 的锐角顶点恰好落在的斜边上， ， ∴在以为圆心，为半径的圆上， ， ， ， ， ∵， ， 设，则，， ， ∴解得：， 经检验，是方程的解， ∴， ， （3）①当E落在上时，如图所示，连接， 由是中点和旋转可知，， 又∵， ， ， ， 又∵四边形是菱形， ， ∴和在同一直线，在的延长线上，由（1）①可知，(已证)， ， ， ∵菱形中，，，如图所示， ，， ， ， 又∵， ， 在中，，， ， 和菱形等底等高， ， ， ， ； ②当落在上时，如图所示，作交于点，如图： 由旋转可知，， ， ∵四边形是菱形， ，， ∴在对角线的中点上，即在和的交点上， ∵是的中点，是的中点， ，，，， 由旋转可知，， ， ， ， ∴四点共圆， 如图所示，连接和， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ∴的长为或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质、菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第十九中学2024-2025学年第一学期10月份校本练习 九年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分；在给出的四个选项中，只有一个正确选项） 1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，直线d、e与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，圆的弦的长度为2，点A，B，C为圆周上三点，若，则圆半径为（） A. 1 B. 2 C. D. 6. 如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为（ ） A. B. C. D. 7. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则此方程的根的情况是（） A. 无法确定 B. 无实根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 9. 已知点，在抛物线图象上，则该抛物线的顶点可能是（ ） A. B. C. D. 10. 程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ ②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ ③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ ④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ 其中所有正确结论的序号是( ) A. ②③ B. ③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 如图，点A、B、C、D都在上，，则________． 13. 汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是________． 14. 如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，若，则图中___________． 15. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝________． 16. 我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形，中心为O，在矩形外有一点P，，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为__________． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解一元二次方程：． 18. 如图，，，求证：． 19. 按要求画图． （1）将向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出平移后的图形； （2）将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的图形． （3）连接，、，则的面积为______． 20. 如图，已知，是的半径，为的中点，M，N分别是，的中点，求证：． 21. 【情境探究】小明和小强做弹力球游戏．游戏规则如下：小明抛出弹力球，弹力球落地后弹起再落下，小强在某个位置放置一块接球板，若弹力球在第二次落地前碰到接球板则小强胜（球与接球板触碰），否则小明胜． 【数学建模】弹力球两次运动轨迹均可近似看成抛物线，如图所示．一次游戏过程中：小明站在起点O处抛弹力球，以O为坐标原点，水平方向直线和竖直方向直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，弹力球从离地面2米的A处抛出，第一次落地前，球在距离起点O水平距离为2m处，达到飞行最大高度为3.6m，弹力球在B处落地后再次弹起，第二次飞行的水平距离米，且飞行的最大高度为第一次的一半． 【问题解决】 （1）求弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式； （2）小强在距起点8米处放置接球板，垂直地面于点E，且m，请通过计算判断谁会获胜． 22. 如图，抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接BC． （1）直接写出：_________，_________； （2）如图，连接、、，与交于点，设和的面积分别为和，求的最大值． 23. 已知实数a，b，c满足：，． （1）若，请求出b，c的值； （2）求的最小值． 24. 关于的一元二次方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“2倍—勾系方程”，请解决下列问题： （1）求证：关于的“2倍—勾系方程”必有实数根； （2）如图，已知、是半径为4的的两条平行弦，，，且关于的方程是“2倍—勾系方程”； ①求的度数； ②直接写出的长（用含、的式子表示）． 25. 在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质． 【操作探究】（1）如图1，已知，，将绕着直角边中点旋转，得到，当的顶点恰好落在的斜边上时，斜边与交于点． ①猜想：__________； ②证明：； 【问题解决】（2）在（1）的条件下，已知，，求的长； 【拓展提升】（3）如图2，在菱形中，，，将菱形绕着中点顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点N，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $