精品解析：福建省南安市侨光中学2024-2025学年高二上学期第1次阶段考试（10月）数学试题

侨光中学2024年秋季高二年第1次阶段考数学试卷 （考试时间：120 分钟 满分：150 分 ） 命题者：李垂锴 审核者： 吴钰明 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】代入空间向量垂直的数量积坐标表示的公式，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 整理得：，解得. 故选：A 2. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】由直线经过两点，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，有，又，所以. 故选：C. 3. 两条平行直线和间的距离为，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知列出关系式，求出的值.然后根据两条平行线之间的距离公式，即可求出的值. 【详解】由已知可得，，解得. 代入化简可得，. 根据两条平行线之间的距离公式可得， . 故选：B. 4. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量夹角的坐标表示求得，即，进而可知直线和平面的位置关系. 【详解】由，，， 所以，即， 所以. 故选：A 5. 已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（ ）． A. B. 0 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到存在使得，从而得到方程组，得到答案. 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以共面， 故存在使得， 即， 故，解得. 故选：C 6. 已知直线l的倾斜角等于，且l经过点，则下列结论中不正确的是（ ） A. l的一个方向向量为 B. l在x轴上的截距等于 C. l与直线垂直 D. 点到直线l上的点的最短距离是1 【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角求出直线l的斜率，再判断其方向向量即可判断A；求出直线l的方程，再求出l在x轴上的截距即可判断B；由两直线的斜率关系可判断C；求出点到直线l的距离即可判断D. 【详解】对于A，因为直线l的倾斜角等于，所以直线l的斜率， 所以直线l的一个方向向量为，又， 所以是直线l的一个方向向量，故A正确； 对于B，由选项A可知直线l的斜率，又l过点， 所以直线l的方程为，即， 令，得， 所以l在x轴上的截距等于，故B错误； 对于C，直线的斜率为，因为， 所以l与直线垂直，故C正确； 对于D，点到直线l：的距离为， 所以点到直线l上的点的最短距离是1，故D正确. 故选：B 7. 如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于线对称求出C点标,结合反射光线的性质应用两点间距离公式求出距离的最小值即可. 【详解】 一束光线从出发，经直线反射,与交于点P, 由题意可得，点关于直线的对称点在反射光线上， 设,则,, 故光线从A到B所经过的最短路程是. 故选：C. 8. 如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积求出，再利用三棱锥体积公式计算即得. 【详解】取中点，连接，则， 而平面， 于是平面，，， 又，则， 解得，，而，则， ， 所以三棱锥的体积为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列四个选项中，说法错误的是（ ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线与直线互相平行，则 C. 过两点的所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角与斜率判断A；根据两直线平行求出参数的值，即可判断B；根据两点式方程判断C；分截距都为与都不为两种情况讨论，即可判断D. 【详解】对于A：坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角， 但是与轴平行（重合）的直线的倾斜角为，斜率不存在，故A错误； 对于B：因为直线与直线互相平行， 则，解得或， 当时直线与直线重合，故舍去， 当时直线与直线平行，符合题意， 综上可得，故B正确； 对于C：过两点的所有直线的方程为，故C正确； 对于D：当截距都为时直线方程为， 当截距都不为时，设直线方程为，则，解得， 所以直线方程为， 综上可得满足条件的直线方程为或，故D错误. 故选：AD 10. 已知空间向量，则（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 若向量，则点E在平面ABC内 D. 向量是与平行的一个单位向量 【答案】ABD 【解析】 【分析】由空间向量垂直和平行坐标运算判断AD，由空间向量基本定理判断C，由投影向量判断B. 【详解】对于A，因为，所以，A正确； 对于B，由于，所以在上的投影向量即为，B正确； 对于C，若在平面ABC内，则存在实数x，y，使得， 而， 所以，无解，故点E不在平面ABC内，C错误； 对于D，因为， 所以，且，正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若，则P的轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D. 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则 对于B，，使得与所成的角满足： ， 因为，故，故， 而，B错误； 对于C，平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为：， 因为，故 故， 而，， 故即的取值范围为，C正确； 对于D，，由， 可得，化简可得， 在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为 ，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值_________． 【答案】 【解析】 【分析】联立方程组解得交点坐标，列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可. 【详解】由解得，所以的交点坐标为， 过定点， 若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得； 当与平行时，，解得； 当与平行时，，解得. 故的值为. 故答案为：（只需写出其中一个即可）. 13. 在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据与平面的法向量垂直可求出，然后利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】因为、，所以, 记平面的一个法向量为， 则，解得， 故平面的一个法向量为. 因为，所以, 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 14. 长方体中，，点是线段上异于的动点，记．当为钝角时，实数的取值范围是______；当点到直线的距离为时，的值为______． 【答案】 ①. ②. ##0.25 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共线表示出点的坐标，由为钝角建立不等式求解的范围；由空间点到直线距离公式计算的值. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直线坐标系， 则，令， 则有，，， 由为钝角，得，解得， ，因此； 显然，点到直线的距离 ，整理得， 解得，所以. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：求空间点的坐标，可以借助向量共线，结合向量的坐标运算求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量， （1）求与的夹角； （2）若与垂直，求实数t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)结合向量数量积性质夹角公式的坐标表示即可求解； (2)由向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 ，， ，， ， 令与的夹角为， 则， 则与的夹角为. 【小问2详解】 ，， 又与垂直，， 即，解得. 16. 在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的一般式方程； （2）求直线的一般式方程及点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两直线垂直得到直线斜率，用点斜式写出直线方程. （2）由倾斜角关系得到直线斜率，由点斜式写出直线方程，联立直线方程组，解出交点坐标. 【小问1详解】 ∵，∴且，∴， ∵，∴直线：，即 【小问2详解】 ∵，∴，∴ 方程，令，则，∴， ∴，∴， ∴直线： 联立方程，解得 即 17. 如图，已知平行六面体的底面是矩形，且，，，为与的交点，设，，. （1）用，，表示，； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合空间向量基本定理求解即可； （2）根据空间向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为是平行六面体， 所以， 【小问2详解】 因为，底面是矩形，所以， 又因为，，所以，， 因此 ， ， 若异面直线与所成角为， 则， 因此异面直线与所成角的余弦值为． 18. 如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明:因为平面，平面，所以； 底面为菱形，所以； 又因为，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】由线面垂直性质定理得，菱形对角线垂直，可证； 建立空间直角坐标系，用平面与平面的法向量，求夹角余弦值，再转换为正弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图：  设，取的中点，连接，则 ，所以平面. 故可以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为为直线与平面所成的角，所以. 又， 所以，，，，， 则，. 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为， ，则， ，即平面与平面所成角的正弦值为. 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，和 【解析】 【分析】（1）代入和的公式，即可求解； （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解； （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，即可判断直线方程. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． 【小问3详解】 易知，设，则 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和． 【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 侨光中学2024年秋季高二年第1次阶段考数学试卷 （考试时间：120 分钟 满分：150 分 ） 命题者：李垂锴 审核者： 吴钰明 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 2. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 两条平行直线和间的距离为，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（ ）． A. B. 0 C. 5 D. 6. 已知直线l的倾斜角等于，且l经过点，则下列结论中不正确的是（ ） A. l的一个方向向量为 B. l在x轴上的截距等于 C. l与直线垂直 D. 点到直线l上的点的最短距离是1 7. 如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列四个选项中，说法错误的是（ ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线与直线互相平行，则 C. 过两点的所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为. 10. 已知空间向量，则（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 若向量，则点E在平面ABC内 D. 向量是与平行的一个单位向量 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若，则P的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值_________． 13. 在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为______． 14. 长方体中，，点是线段上异于的动点，记．当为钝角时，实数的取值范围是______；当点到直线的距离为时，的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量， （1）求与的夹角； （2）若与垂直，求实数t的值． 16. 在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的一般式方程； （2）求直线的一般式方程及点的坐标. 17. 如图，已知平行六面体的底面是矩形，且，，，为与的交点，设，，. （1）用，，表示，； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 18. 如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值． 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $