31.2随机事件的概率” 教学设计2024－2025学年冀教版数学九5年级下册

指定课题“31.2随机事件的概率” (冀教版)教学设计 石家庄第二外国语学校 戈砚辉 一、教学内容解析 1.单元教学分析: 概率的研究对象是随机现象,其本质特征是: 一 次观测,结果具有偶然性; 大量重复观测,结果呈现规律性 . 概率是对随机现象中规律性的揭示与量化 . ( 1 ) 教 学 定 位:在小学,学生已经“能在实际情境中对 一 些简单随机现象 发生的可能性大小做出定性描述” . 在高中,学生将以抽象的数学语言理解样本 点、有限样本空间、随机事件,掌握古典概型的基本特征,根据实际问题构建概 率模型,解决简单的实际问题 . 初中阶段介于两者之间,以简单随机现象为研究 主体;在研究方式上,对随机事件发生可能性大小由定性描述逐渐转为定量刻 画 . 本单元承担的主要育人功能是发展学生认识和分析随机现象的能力. ( 2 ) 单 元 目 标:本单元教学目标,亦即义务教育第四学段的课程目标是“能 通过列表、画树状图等方法列出简单随机试验所有可能的结果,以及指定随机事 件发生的所有可能结果,了解随机事件的概率 . ”由于现阶段不能严格定义随机 事件,只能通过实例感受随机事件的含义,认识简单随机试验中所有可能发生结 果个数的有限性、每个结果发生的等可能性,并了解等可能随机事件概率的计算 方法,建立理论模型(经验公式)来刻画随机事件的概率. (3)单元教学重点: 了解概率的意义,能够计算等可能随机事件的概率 . 2.本课时教学分析: ( 1 ) 教 学 内 容:概率的意义;在试验结果等可能发生的条件下计算事件的 概率 . ( 2 ) 内 容 解 析:本节课是 一 节概念课,是对随机事件发生的可能性大小进 行定量刻画的起始课,是定性描述随机事件发生可能性大小的延续 . 本节课将在 获得概率描述性定义的基础上,归纳概括古典概型特征,建立古典概型概率的计 算公式,研究概率的取值范围 . 本节课对后续学习用列表法、树状图法列举试验 结果并计算简单随机事件的概率具有奠基作用,对用频率估计概率具有启示作用, 将为高中学习有限样本空间、严格定义随机事件、深入研究古典概型和概率的基 本性质等内容打好基础. 本节课的核心内容是在感悟概率的意义上,归纳概括古典概型随机试验的共 同特点及在这类试验中求事件概率的方法,在这个过程中发展学生数学抽象能力; 感悟许多古典概型随机试验能够归结为“摸球模型”,发展学生的模型观念;在 观察随机试验,计算机模拟随机试验过程中体会数据的随机性,发展学生数据观 念 . (3)教学重点: 基于以上分析,确定本节课的教学重点是:了解概率的意义,并在试验结果 等可能出现情况下计算随机事件的概率; 二 、教 学 目 标 设 置 ; 1.教学目标: (1)通过简单随机事件发生的可能性大小分析,了解概率的意义,体会概 率是刻画随机事件发生可能性大小的数值,了解概率的取值范围; (2)经历“观察随机试验—列举试验结果—抽象概括特征—建立计算模型” 的研究过程,归纳古典概型随机试验的特点,掌握古典概型的概率计算公式,发 展数据观念、模型观念和抽象能力. 2.教学目标解析: 达成目标(1)的标志是:学生能正确描述随机事件发生可能性的大小,知 道概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值,知道概率的取值范围,知道随机 事件发生的可能性越大其概率越接近1,随机事件发生的可能性越小其概率越接 近0 . 达成目标(2)的标志是:学生通过观察随机试验,能确定随机试验的结果, 能用数值度量简单的随机事件发生可能性的大小,能根据试验条件判断不同试验 结果发生可能性是否相等,学生能够采取直接列举试验结果的方法计算一些简单 事件的概率:若在一次试验中,有n 种可能的结果,并且它们发生的可能性相等, 事件A 包含其中的k 种结果,那么事件A 发生的概率为. 三 、学生学情分析 ; 1.学情分析: (1)已经具备的认知基础:在小学,学生已能定性描述随机事件发生可能 性的大小,上节课又认识了确定事件和随机事件,这为本节课的学习奠定了知识 基础;九年级学生思维趋向理性,理解能力有较大提升,这为本节课学习奠定了 能力基础.同时,学生基于生活经验已经形成了一定的概率直觉,其中正确的直 觉为本节课的学习奠定了心理基础. (2)可能存在的认知障碍: ①缺乏经验基础.概率研究的思想方法与学生已经养成的确定性思维有重大 区别,学生往往忽视计算的前提条件或直接诉诸经验估计概率,缺乏观察随机试 验,分析试验结果特征的意识和经验.需要教师借助课堂活动引导学生感悟随机 现象的研究方法和路径. ②易受直觉影响 .相当一部分学生在确定概率时会诉诸经验而不是理性分析, 基于经验形成的不正确的直觉对概率学习会起到消极作用.当学生掌握概率研究 的方法后,直觉的影响将逐步减弱. ③概念理解困难 .在课前调查中发现,学生对“等可能性”的理解存在较大 困难.容易忽略概率计算方法的适用范围和条件,在列举试验结果时往往忽略“等 可能性”的要求,其深层原因是根本不理解研究“等可能性”的意义和价值.这 需要教师设计课堂活动,引导学生充分体会并理解古典概型的特征. 2.教学难点: 基于以上分析,确定本节课的教学难点是: (1)建立研究概率的一般观念(分析试验条件,列举试验结果,判断试验 是否属于古典概型,在满足条件时进行计算). (2)理解等可能性的研究价值,能有条理地列举试验结果,借助理性分析 消除不良直觉. 四、教学策略分析; (1)结构化教学策略 为了学生更好地体会“数学的整体性、逻辑的连贯性”,本节课采取结构化 教学策略,设计了如下教学主线,将知识地生长过程以结构化的方式呈现.以核 心问题驱动教学,在师生互动、自主探究、小组交流、总结反思等课堂活动中推 进学生数学思考,实现本节课的教学目标. 教学主线 核心问题 获得定义 如何用数值来刻画随机事件发生的可能性大小? 概括特征 现阶段,什么情况下能通过计算来求随机事件的概率? 建立模型 如何计算随机事件概率?分为几步? 综合运用 求随机事件的概率,随机事件概率的取值范围是多少? 借助随机事件的概率,如何设计随机试验? 回顾展望 在本节课,我们是如何学习“随机事件的概率”的? 关于概率,你认为还有哪些需要研究的问题? (2)启发式教学策略 为了学生更好地突破教学难点,帮助学生理解“等可能性”的研究价值,尽 快建立研究概率的一般观念,本节课采取启发式教学策略,设计了“观察随机试 验”、 “分析试验结果”、“计算机模拟试验”、“学生设计试验”等课堂活动 启发学生思考,突破教学难点. ( 观察试验特征 分析试验结果 计算机模拟试验 学生设 计试验 理解等可能性的研 更有条理的列举试 用实践检验理论的 综合运用本节知识 究价值 验结果 可靠性、合理性 全面理解研究路径 ) ( 天阴了,很 可能要下 雨,带把伞 吧! )五、教学过程设计 大千世界处处有随机现象,偶然中蕴含着必然规律.前面我们从很多生活实 例中研究了随机现象,认识了确定事件和随机事件. 1. 关注随机现象,感悟概率的意义. 问题1: 请用上节课所学的知识分析以下生活中的现象 ( 在足球比赛时,通 过掉硬币,以正、 反面朝上来决定 谁先挑边,你认为 公平吗? ) 师生活动:由学生分析并指出以上随机现象中可能发生的随机事件. 教师点拨:以上实例中“很难”、 “公平?”、“很可能”是什么意思呢? 引导学生描述随机事件发生可能性的大小. 师生总结:随机事件发生的可能性是有大小之分的。 问题2:上述三个情境中,事件“中头等奖”“正面朝上”“下雨”发生的 可能性究竟有多大?如何用一个数值精确刻画随机事件发生的可能性大小呢? 师生活动: 学生根据经验:抛硬币时,事件“正面朝上”与“反面朝上”发生可能性大 小相等,分别是. ;彩票中一等奖的可能性很小,大概是千万分之一. 在此基础上,给出概率定义: 像这样,我们用一个数来刻画随机事件A 发生的可能性大小,这个数就叫 作事件A 的概率,记作P(A); 教学意图:通过创设情境、引导学生分析随机现象,感悟随机事件发生的可 能性有大小之分,体会借助数值刻画随机事件发生可能性大小的实际价值,逐步 实现从定性描述向定量分析的转变. 2. 观察随机试验,概括古典概型的特征 通过刚才的问题我们发现,有些随机事件的概率是可以精确求出的.那么, 什么情况下才能够通过计算来求随机事件发生的概率呢? 下面,我们通过观察小学曾经接触的简单实例来思考. 观察与思考 观察下列试验,思考什么情况下能通过计算来求随机事件的概率? 1.掷一枚质地均匀的骰子,观察朝上的点数.记事件A=“6 点朝上”. 2.在手动摇号机种放入标号为1-10的10个质地、大小完全相同的小球.经充 分搅拌后从下方的洞口漏出1个球,观察其号码.记事件B=“球的号码为5”. 问题1: 请估计以上随机事件的概率是多大?你是怎么想的? 师生活动:学生估计以上随机事件的概率,并尝试从比值角度进行分析.如 掷骰子, 一共有6种可能结果,“6点朝上”占其中1种,所以事件A 发生的概率 为: (但学生并未注意到以上结论成立的前提——骰子每个面朝上的可能性相 等) 教学意图:鉴于学生在学习本节课之前,已经积累了一定的直觉经验,这里 基于学生学情,借助简单实例呈现学生思维形态,充分暴露学生思维盲区,为体 会试验结果“等可能性”的价值创造条件. 问题2: 请拿出课前为大家准备的教具.观察试验用的器材,小组交流:骰 子和小球满足什么条件时,以上估计才可靠? 师生活动:学生观察试验器材,感受随机试验,小组交流骰子的形状、小球 的大小和质地等因素对试验结果可能性大小的影响.引导学生发现:只有试验器 材的质地、大小、形状等满足一定条件时,才能使试验的每个结果发生的可能性 相等,从而才能用比值来计算. 教学意图:借助对试验器材的实际观察,引发学生认知冲突,进而形成对原 有想法的质疑和思辨,感受试验结果具有“等可能性”是用比值计算概率的前提 条件,为概括古典概型特征做好铺垫,为研究随机现象积累活动经验.渗透概率 研究的一般观念:分析试验条件,列举试验结果,判断试验类型,在试验结果满 足“有限性”和“等可能性”条件时,再进行计算. 问题3: 在满足“大小一致、质地均匀”等试验条件时,从试验结果个数、 和结果发生的可能性大小来看,以上随机试验有何共同特点? 师生概括总结:对于一个随机试验, ①试验的所有可能结果只有有限个(有限性) ; ②每个结果出现的可能性都相等(等可能性) ; 教师点拨:在现阶段,要通过计算求概率,随机试验的结果需要具备“有限 性”和“等可能性”的特征 . 教学意图: 概括古典概型的共同特征,体会试验结果具备“有限性”和“等 可能性”是一类特殊的随机现象,在此特殊条件下可以借助计算的方式求随机事 件的概率 . 3. 分析试验结果,探索古典概型概率计算方法 通过刚才的研究,我们发现只有在特定的条件下,才能通过计算获得概率.那 么计算随机事件概率的 一 般方法是什么呢?请借助以下问题进行探究. 一起探究 如何计算随机事件概率? (1)一个项目学习小组由5名同学组成,其中,男生3人,女生2人。现随机选 出一名同学做组长,设事件A=“选到男生” (2)抛掷两枚质地均匀的硬币,硬币落地后,观察硬币朝上的面.设事件B=“一 枚正面朝上,另一枚反面朝上” 问题1:首先,凭直觉估计事件A和B发生的概率分别是多少? 问 题 2 : 估计的对不对呢?请独立思考,深入探究如何计算事件A 和 B 的 概 率 ? 师生活动:引导学生独立思考,教师巡视了解学生思考情况并组织小组交流 与展示 . 学生将小组内产生的计算方法进行汇总,并选派代表进行展示 . 教师根据学生思考和讲解的情况,作适当点拨 . 如当试验结果重复出现时, 应按顺序进行编号以示区别等 . 对“抛两枚硬币”试验结果的分布情况,部分学 生并不了解,针对这种情况提出问题3,启发学生思考. 教学意图: 在估计概率的基础上,引导学生通过独立思考、小组交流等方式 探索计算概率的方法 .通过深入的分析和计算,进一 步体会古典概型的特征,发 展理性思维. 问 题 3 :用什么样的方式,能更直观、更清楚地分析抛两枚硬币的试验结果? 师生活动:在前面学生思考和交流的过程中,已经有部分学生能够通过枚举 法和画示意图的方法进行思考,在此由这些学生讲解他们的思路,直观呈现所有 等可能结果 . 教学意图:引导学生更有条理、更有次序的思考,发展学生数据分析能力; 直观呈现试验结果,为后续学习列表法、树状图法作必要铺垫.同时,进一步体 会按照“等可能性”的要求列举所有试验结果是进行计算概率的首要条件,感悟 研究方法的一致性. 问题4: 前面的分析很清楚,但也许有同学还是感觉“一枚正面朝上,另一 枚反面朝上”这种情况的概率是1/3,该怎么办呢? 师生活动:师生共同想办法,借助真实试验,用实践来检验理论的可靠性.向 学生展示计算机模拟实验的统计表和统计图. 教学意图:通过计算机模拟试验,使学生直观的看到随机事件概率计算的合 理性、可靠性和准确性,用试验数据消除某些学生不正确的概率直觉;初步感悟 概率作为理论分析的结果是一个固定值,不受试验次数的影响;为后期学习用频 率估计概率提供了一次试验经历. 问题5: 通过以上两个问题的解决,请归纳:确定随机事件概率应分为哪几 步?需要注意什么? 师生活动:学生根据以上实例的探究过程,归纳对不同实例研究的共同特点, 概括确定随机事件概率的关键步骤. (1)分析试验条件及结果;(试验条件是否保证试验结果随机性,如搅匀…… , 试验可能结果有哪些); (2)判断试验类型; (试验结果是否具备有限性和等可能性) (3)统计结果个数;(试验等可能结果总数n, 事件包含的可能结果种数k) (4)计算比值; (事件包含的可能结果种数k 与试验等可能结果总数n 的 比值) . 进而给出: 一般的,如果一个试验有n 种等可能结果,事件A 包含其中的k ( )种结果,那么,事件4发生的概率为, 教学意图:通过归纳,建立研究概率的一般步骤,强化研究随机现象的一般 观念. 4. 巩固计算方法,丰富对概率的认识 问题1:请借助计算概率的一般方法,求出以下随机事件的概率并相关解决 问题. 一副扑克牌除去"大、小王"后共有52张,充分洗匀后从中任意抽取1张牌. 4 (1)抽到红心牌的概率是多大? (2)抽到A 牌的概率是多大? (3)请借助以上情境,分别举出一个必然事件、 一个不可能事件并求其发生 的概率. 师生活动:在学生独立计算概率的基础上,教师关注学生是否能够分析试验 条件,是否注意分析试验结果的特征,是否能借助概率计算公式进行计算,是否 能够规范解题步骤等,并作相应要求; 问题2:请借助以上情境,分别举出一个必然事件和一个不可能事件,并求 其发生的概率. 师生活动:学生回顾上节课随机事件、必然事件、不可能事件的相关概念, 按要求举例并求相应事件的概率. 问题3: 通过计算以上事件的概率,你认为随机事件概率的取值范围是多 少? 师生活动:学生借助具体实例,归纳随机事件、必然事件及不可能事件的概 率取值,师生共同总结: 随机事件A: 包含试验的部分结果,0≤k≤n, 所以O≤P(A)≤1; 必然事件A: 包含试验的全部结果,k=n, 所以P(A)=1; 不可能事件A: 不包含试验的任何结果,k=0, 所以P(A)=0; 教学意图:巩固计算概率的一般方法,规范随机事件及其概率的数学表达, 举出必然事件和不可能事件并求其概率,通过特例感受,归纳随机事件概率的取 值范围,丰富对概率性质的认识. 5. 设计随机试验,发展模型观念 问题1:请设计一个随机试验,使其中三个随机事件A,B, C 的概率分别 为. , 问题2:你是怎样设计试验的?设计试验时要注意什么? 师生活动:学生分析概率的意义,在实际生活中寻找符合条件的模型,综合 运用本节课所学知识进行随机试验的设计,并将试验内容与要求写到课前准备的 卡纸上,向全班进行展示. 教学意图:学生设计随机试验时,要依据所给数据在实际生活中寻找符合条 件的模型,按照“有限性”和“等可能性”的要求全面考察试验的条件和结果, 深化学生对随机性的理解,是对本节课所学知识的综合运用和深入理解,在这个 过程中发展学生数据观念和模型观念 . 6. 课 堂 小 结 问 题 1 : 请同学们回顾:在本节课,我们是如何学习随机事件的概率的?关于概率, 你认为还有哪些需要研究的问题? 师 生 活 动:由学生回顾本节课的学习过程和主要学习内容,对本节课的研究 方法做出提炼;由于本节课所研究的是随机现象中极其特殊的 一 类,学生自然有 疑 问 : 对 不 符 合 古 典 概 型 特 征 的 随 机 现 象 该 如 何 研 究 ? 进 而 , 提 出 研 究 设 想 , 由 教师明确后续学习的方向 . 教学意图: 通过回顾本节课的学习过程,明确研究方法,总结研究成果和随 机事件概率计算方法的适用范围;通过提出需要研究的问题,明确后续学习的内 容,帮助学生进 一 步建构单元学习的框架,了解数学的整体性;学生类比用样本 估计总体提出后续问题的研究设想,体会研究思想的 一 致性 . 布置课后作业: 巩固性作业:借助本节所学知识,计算随机事件的概率; 1. 掷一颗质地均匀的骰子,观察朝上一面上的点数.设A=“点数为偶数”,B=“点数为奇数”, C=“点数能被3整除”,分别求事件A,B,C 的 概 率 . 2. 在猜一商品价格的游戏中,参与者事先不知道该商品的价格,主持人要求他 从图中的 4张卡片中任意章走1张,使剩下的卡片从左到右连成一个三位数,该数就是他猜的价 格.若商品的价格是480元,则参与者一次就能精中的概率是 4 5 8 0 (1) 电灯 小人儿 房子 (2) 第 2 题 图 第 3 题 图 3. 现有3张硬纸片,正面如图(1)所示,背面完全一样.将它们背面朝上混匀后,随机抽 出2张,拼成如图(2)所示的图案 .分别求能拼成电灯、小人儿和房子的概率 . 拓展性作业:请在以下两个题目中任选一题完成. 1. 某商家要举办一次抽奖促销活动.请为该商家设计一个用于抽奖的转动圆盘,并说明设 计意图 . 2. 根据今天所学内容,绘制一幅“随机事件的概率”学习的思维导图. 设计意图:巩固性作业面向全体学生,侧重巩固本节课基础知识和基本技能,达 成本课时的基本目标;拓展性作业设计了开放性问题,为本节课及未来有关知识 的学习奠定较为开放的空间. 六、课堂教学目标检测 1.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”,3张”梅花”,1张“红桃”.将这6张牌背面朝 上,从中任意抽取1张,是“红桃”的概率为( ) A. B. c. D. 2. 一个不透明的盒子中装一些球(除了颜色外无其他差别),从中随机抽取一个小球,共 有三种可能的情况:红球、黄球和绿球,则随机摸出一球是红球的概率为( ). A.0 C. D. 无法确定 B. 3.目前,体质健康测试已成为中学生的必测项目之一.某校某班学生针对该班体质健康测 试数据开展调查活动,先收集本班学生八年级的《体质健康标准登记表》,再算出每位 学生的最后得分,最后得分记为x, 得到下表: 成绩 频数 频率 不及格(0≤x≤59) 6 及格(60≤x≤74) 20% 良好(75≤x≤89) 18 40% 优秀(90≤x≤100) 12 (1)请求出该班总人数! (2)从该班任选一名同学参加体质健康复测,选中成绩为“优秀”的同学的概率是多少? (3)该班有三名学生的最后得分分别是68,88,91,将他们的成绩随机填入表格 ( 的概率; ),求恰好得到的表格是 88 91 68 设计意图:第1题,主要检测学生概率的意义和应用概率计算公式的基本技 能,能够做对说明掌握了本节课的基本知识和基本技能;第2题,主要检测学生 对随机试验条件和结果的理解,能够做对说明学生解决了本节课的学习难点,即 能够区别一次试验中“个体出现的所有可能的结果数”与“某一类现象发生的可 能的结果数”.第3题,主要检测学生在现实问题背景下,借助概率解决统计问 题的综合运用能力,学生能够做对,说明学生对本节课所学的知识达到了灵活运 用程度,同时本题的设计意在引导学生了解统计与概率之间的内在关联,理解随 机抽样即随机试验,样本中的个体即试验结果,引导学生从整体上理解数学,达 成对知识的系统化认知. 学科网(北京)股份有限公司 $$