第09讲 函数的概念及表示（十二大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第09讲 函数的概念及表示 学习目标： 1．理解函数的概念，能识别是否是函数 2．了解构成函数的三要素：定义域，对应关系及值域 3．能正确使用函数、区间符号． 4．掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法；理解函数图象的作用,并正确画出函数的图象 重点难点： 重点：函数的概念，根据具体问题选择恰当的函数表示法，分段函数 难点：对函数概念的理解 一、函数的概念 1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域：函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 注意： （1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数． （2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性． （3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样． 二、同一个函数 1．函数三要素：由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域． 2．相同函数：值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数． 三、区间 1．区间的概念(为实数,且) 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 2．其他区间的表示 定义 符号 四、常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 五、函数的表示法 函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 六、分段函数 1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． （2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的． （3）分段函数的图象要分段来画． 考点01函数关系的判断 1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 2．下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（    ） A．B．C．D． 3．下列各图中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 4．在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（     ） A．B．C．D． 5．已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）下列对应关系是集合A到集合的函数的为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 考点02区间的表示 7．下列叙述正确的是（    ） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 8．区间表示的集合是（    ） A．或 B． C． D． 9．已知区间，则实数a的取值范围为 ．（用区间表示） 10．已知条件：，条件：，命题A：若成立，则成立.若命题是真命题，则实数的取值范围是 . 11．用区间表示下列集合 ： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 考点03求具体函数的定义域 12．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 13．函数的定义域是（   ） A．且 B．且 C． D． 14．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 15．函数的定义域为 ． 16．.求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3). 考点04求抽象函数的定义域 17．已知的定义域为，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 18．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 19．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 20．若的定义域是，则的定义域为 ． 21．定义域是一个函数的三要素之一.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 22．设函数，则的定义域为 ． 考点05同一函数的判断 23．下列四组函数中，与不相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 24．在下列函数中，与函数是同一函数的为（    ） A． B． C． D． 25．下列哪一组中的函数与表示同一个函数（   ） A．， B．， C．， D．， 26．（多选）下列各组函数是相等函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 27．（多选）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与. C．与 D．与 考点06三种函数表示法的应用 28．下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（   ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速. A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（4）（1）（3） D．（4）（1）（2） 29．已知函数，如下表所示：则不等式的解集为（    ） x 0 1 1 x 0 1 1 1 A． B． C． D． 30．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 31．已知函数的图象如图所示，则 . 32．已知函数分别由下表给出： 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 3 1 则 ． 33．某学校为了美化校园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度相等且为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植三种不同的花（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示下图中的，并写出的取值范围： (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积是多少？ 考点07求函数值或值域 34．已知函数满足，则（    ） A． B．1 C．4 D．7 35．已知，，则（   ） A． B． C． D． 36．已知集合， 集合， 则（    ） A． B． C． D． 37．已知函数，若对于任意的正实数都满足，则 . 38．函数，的值域为 . 39．函数的值域是 . 40．求下列函数的值域: (1)， (2)， (3)， (4) 考点08待定系数法求解析式 41．若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 42．已知二次函数f（x）的图象经过点（-3，2），顶点是（-2，3），则函数f（x）的解析式为 . 43．已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为 . 44．已知函数（a，b为常数，且）满足，方程有唯一解，则函数的解析式为 ． 45．已知反比例函数的图象过点，则 ． 考点09换元法（配凑法）求解析式 46．已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 47．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 48．已知，则函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 49．已知是一次函数，且，求的解析式 ． 50．已知，则 ， ． 考点10解方程组求解析式 51．已知函数满足，且，则 . 52．已知满足，则 ． 53．设定义在上的函数满足，则 . 54．已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 考点11分段函数求值 55．已知函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 56．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 57．已知，求 . 58．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得 . 59．已知函数且，则实数的值为 . 考点12分段函数的图象与应用 60．设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 61．已知，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 62．当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 63．设， ，则不等式的解集为 . 64．已知函数的解析式为. (1)求， ，的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求的最大值． 65．画出函数的大致图象． 基础试炼 一、单选题 1．下列各组函数表示相同函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A． B．-3 C． D． 4．若函数，且，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．3 二、多选题 5．下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．函数满足，则 6．函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   三、填空题 7．已知为二次函数，满足，则函数 ． 8．函数的定义域为 ． 9．设函数，则 ；若，则的取值范围是 四、解答题 10．已知函数 (1)求的值； (2)画出函数的图象． 11．（1）已知，求； （2）已知是一次函数，且满足．求 （3）已知，求及值域． 12．已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)若在上的值域为，求的取值范围； 高阶突破 1．已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．已知函数，且若，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则x的值是 C．的解集为 D．的值域为 4．若函数的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（    ）    A． B． C． D． 5．已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 6．已知函数表示不大于的最大整数，如，则不等式的解集为 . 7．已知函数的定义域是R，则的取值范围是 . 8．已知二次函数（）满足，且． (1)求的解析式； (2)解关于的不等式； (3)集合，，若，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第09讲 函数的概念及表示 学习目标： 1．理解函数的概念，能识别是否是函数 2．了解构成函数的三要素：定义域，对应关系及值域 3．能正确使用函数、区间符号． 4．掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法；理解函数图象的作用,并正确画出函数的图象 重点难点： 重点：函数的概念，根据具体问题选择恰当的函数表示法，分段函数 难点：对函数概念的理解 一、函数的概念 1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域：函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 注意： （1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数． （2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性． （3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样． 二、同一个函数 1．函数三要素：由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域． 2．相同函数：值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数． 三、区间 1．区间的概念(为实数,且) 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 2．其他区间的表示 定义 符号 四、常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 五、函数的表示法 函数的表示法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 六、分段函数 1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． （2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的． （3）分段函数的图象要分段来画． 考点01函数关系的判断 1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】C 【详解】A：因为集合是整数集合，其中奇数除以的结果不是整数， 所以不是的函数，因此本选项不符合题意； B：显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义， 因此本选项不符合题意； C：因为任意一个实数的平方是一个确定的实数，符合函数的定义， 所以本选项符合题意； D：因为，但是没有意义，因此不符合题意，所以本选项不符合题意， 故选：C 2．下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 对于A，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故A不符合题意； 对于B，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故B不符合题意； 对于C，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故C不符合题意； 对于D，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象有两个交点，故D符合题意； 故选：D． 3．下列各图中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的定义知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应， 由选项A，C和D的图象可知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应，所以选项A，C和D错误， 由选项B的图象知，存在的取值，一个的取值，有两个值与之对应，所以不能表示是的函数， 故选：B. 4．在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据函数的定义可知，中的每一个元素在中都有唯一的元素与之对应， 显然A、B、C符合题意， 而D选项中，E中的元素在中有两个元素对应，不符合函数的定义. 故选：D 5．已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对应关系若能构成从M到N的函数，则应满足：对M中的任意一个数，通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应. A选项中，当时，，故A不能构成函数； B选项中，当时，，故B不能构成函数； C选项中，当时，，故C不能构成函数； D选项中，当时，，当时，，当时， ，故D能构成函数. 故选：D. 6．（多选）下列对应关系是集合A到集合的函数的为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ACD 【详解】根据函数定义，集合A中的每一个元素，对应集合中唯一元素． 对于选项A：符合函数的定义，是从A到B的函数，故A正确； 对于选项B：A中有元素0，在对应关系下，不在集合B中，不是函数，故B错误； 对于选项C：A中任意元素，在对应关系下，都在集合B中，是从A到B的函数，故C正确； 对于选项D：符合函数的定义，是从A到B的函数，故D正确； 故选：ACD． 考点02区间的表示 7．下列叙述正确的是（    ） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【详解】对于A，用区间可表示为，错误； 对于B，用区间可表示为，错误； 对于C，用集合可表示为，错误； 对于D，用集合可表示为，正确； 故选：D 8．区间表示的集合是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】区间表示的集合是. 故选：C． 9．已知区间，则实数a的取值范围为 ．（用区间表示） 【答案】 【详解】由，得．即. 故答案为：． 10．已知条件：，条件：，命题A：若成立，则成立.若命题是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知：且， 所以且，解得， 故答案为：. 11．用区间表示下列集合 ： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）转化为区间为 （2）不等式的所有解组成的集合为，转化为区间为. 考点03求具体函数的定义域 12．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设， ∴， ∴. 故选：D 13．函数的定义域是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 14．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以所求定义域为. 故选：D 15．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】要使得有意义，即，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 16．.求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）函数的定义域为. （2）要使函数有意义，需满足，解得. 所以函数的定义域为. （3）要使函数有意义，需满足，解得. 所以函数的定义域为. 考点04求抽象函数的定义域 17．已知的定义域为，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的定义域为，则， 则，解得. 故选：B 18．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】因为的定义域为， 所以满足，即， 又函数有意义，所以，即 所以函数的定义域为. 故答案为：. 19．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】依题意，函数的定义域为， 所以对于函数，有， 解得，所以函数的定义域为. 故答案为： 20．若的定义域是，则的定义域为 ． 【答案】 【详解】∵， ∴， ∴的定义域为． 故答案为：. 21．定义域是一个函数的三要素之一.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】已知函数的定义域为, 则函数，得， 则，则函数定义域为. 故答案为：. 22．设函数，则的定义域为 ． 【答案】 【详解】函数的定义域满足：，故， 的定义域满足：，解得，故定义域为. 故答案为： 考点05同一函数的判断 23．下列四组函数中，与不相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】对A：因为，且两个函数定义域相同，所以与表示相同的函数； 对B：因为两个函数只是表示自变量的字母不同，函数的定义域，对应关系都一样，所以它们表示相同的函数； 对C：因为，所以它们表示相同的函数； 对D：由或，所以函数的定义域为， 由，所以的定义域为：，所以两个函数定义域不同，所以与表示不同的函数. 故选：D 24．在下列函数中，与函数是同一函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域是，函数式化简为， 的定义域是，函数式可化简为，是同一函数， 的定义域是，不是同一函数， 的定义域是，函数式可化简为，对应法则不相同，不是同一函数， 的定义域是，不是同一函数， 故选：A． 25．下列哪一组中的函数与表示同一个函数（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A：的定义域为，的定义域为，故不是同一函数，故A错误； 对于B：的定义域为，的定义域为，故不是同一函数，故B错误； 对于C：的定义域为，，函数解析式不一致， 故不是同一函数，故C错误； 对于D：的定义域为，的定义域为，且， 两函数的定义域相同，函数解析式一致，故是同一函数，故D正确. 故选：D 26．（多选）下列各组函数是相等函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【详解】A：定义域为，定义域为， 即和定义域不同，不是相等函数，故A错误； B：定义域为，定义域为， 即和定义域和对应关系都相等，是相等函数，故B正确； C：定义域为或，定义域为， 即和定义域不同，不是相等函数，故C错误； D：定义域为，定义域为， 即和定义域和对应关系都相等，是相等函数，故D正确； 故选：BD. 27．（多选）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与. C．与 D．与 【答案】ABC 【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于选项B：的定义域为， 的定义域为， 定义域相同对应关系相同，是同一个函数，故B正确； 对于选项C：的定义域，的定义域， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确； 对于选项D：的定义域为，的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D错误. 故选：ABC. 考点06三种函数表示法的应用 28．下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（   ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速. A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（4）（1）（3） D．（4）（1）（2） 【答案】D 【详解】（1）因为中途返回家中，所以离开家的距离先增大，后减小至0，中间保持一段时间，最后再增大，为图（4）， （2）开始匀速增加，中间不变，再增大，为图（1）， （3）开始增加的比较缓慢，后增加的速度比较快，为图（2）， 所以顺序为（4），（1），（2）， 故选：D 29．已知函数，如下表所示：则不等式的解集为（    ） x 0 1 1 x 0 1 1 1 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，根据表格，解得， 根据下表格，当，解得：或， 故选：D. 30．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，而， 所以. 故选：C 31．已知函数的图象如图所示，则 . 【答案】 【详解】由函数的图象，可得，则. 故答案为：. 32．已知函数分别由下表给出： 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 3 1 则 ． 【答案】3 【详解】由表可知，，故 故答案为：3. 33．某学校为了美化校园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度相等且为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植三种不同的花（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示下图中的，并写出的取值范围： (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)的值为20，最大面积是 【详解】（1）设矩形花园的一条边长为，面积为，则另一边为， ，即， ，，即， 又，， ； （2） ， 当且仅当，即时，等号成立， 当的值为20时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积是. 考点07求函数值或值域 34．已知函数满足，则（    ） A． B．1 C．4 D．7 【答案】C 【详解】函数满足，当，即时，. 故选：C 35．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，可得，所以，故， 将，代入，得，即. 故选：C. 36．已知集合， 集合， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，集合， 由，集合， 所以. 故选：B. 37．已知函数，若对于任意的正实数都满足，则 . 【答案】 【详解】因为函数，对于任意的正实数都满足， 令，可得， 令，可得. 故答案为：. 38．函数，的值域为 . 【答案】 【详解】， 因为，所以，所以，所以， 所以函数，的值域为. 故选： 39．函数的值域是 . 【答案】 【详解】易知函数的值域为， 再根据反比例函数性质可得的值域即为. 故答案为： 40．求下列函数的值域: (1)， (2)， (3)， (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由题意可得：， 因为，则， 所以原函数的值域为. （2）因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以原函数的值域为. （3）令，解得， 可得函数的定义域为， 因为，可得 所以原函数的值域为. （4）设，则， 所以原函数转化为， 因为函数的图象开口向下，对称轴方程为， 可知当时，函数取到最大值， 所以原函数的值域为. 考点08待定系数法求解析式 41．若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 【答案】 【详解】设一次函数， ， 化简得：， 因为对任意，上式都满足，取和代入上式得： ，解得：， 所以. 故答案为：. 42．已知二次函数f（x）的图象经过点（-3，2），顶点是（-2，3），则函数f（x）的解析式为 . 【答案】 【详解】根据顶点为（-2，3），设， 由f（x）过点（-3，2），得 解得a=-1， 所以 故答案为： 43．已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为 . 【答案】 【详解】因为的对称轴为，函数在上最小值为， 所以可设， 将代入，得，解得， 故. 故答案为：. 44．已知函数（a，b为常数，且）满足，方程有唯一解，则函数的解析式为 ． 【答案】或 【详解】因为，且，可知， 令，整理可得，解得或， 若方程有唯一解，则或或， 解得或， 当时，又因为，解得， 所以； 当时，又因为，解得， 所以； 所以或 故答案为：或. 45．已知反比例函数的图象过点，则 ． 【答案】 【详解】设反比例函数， 由题意可得：，解得， 可得，所以. 故答案为：. 考点09换元法（配凑法）求解析式 46．已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 所以， 所以， 故选：D． 47．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，. 故选：B. 48．已知，则函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 所以 所以，即. 故选：C. 49．已知是一次函数，且，求的解析式 ． 【答案】或 【详解】设，则， 故，所以， 解得或， 故或. 故答案为：或. 50．已知，则 ， ． 【答案】 【详解】因为，令，则，， 所以， 所以， 故答案为：， 考点10解方程组求解析式 51．已知函数满足，且，则 . 【答案】 【详解】由①， 用替换，得②， ①×2－②，得，得. 故答案为：. 52．已知满足，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 联立，解得. 故答案为：. 53．设定义在上的函数满足，则 . 【答案】 【详解】因为定义在上的函数满足， 将换成可得：，将其代入上式可得： ， 所以， 故答案为：. 54．已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 【答案】 【详解】因为，取，则，即，两式相加可得，所以， 故答案为： 考点11分段函数求值 55．已知函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 可得，所以. 故选：C. 56．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 当时，； 当时，； 当时，； 令，则由，得， 由上述分析可得且，解得，即， 所以且，解得. 故选：D. 57．已知，求 . 【答案】7 【详解】，. 故答案为：7 58．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得 . 【答案】1 【详解】由题意， 故答案为：1. 59．已知函数且，则实数的值为 . 【答案】13或. 【详解】函数若， 当时，，解得，符合； 当时，，解得（舍去）或， 综上可得或. 故答案为：13或. 考点12分段函数的图象与应用 60．设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，令，解得或， , 则作图如下：    由图可得不等式的解集是. 故选：A. 61．已知，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，， 所以，即，解得， 当时，， 所以，即，解得， 所以，的取值范围是 故选：D 62．当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：分别作出，，的图象， 根据，如下图： 由图象可得取得最小值时，点为，即为和的交点， ，解得：， 由图可知点在第二象限，， 故选：A． 63．设， ，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】当时,首先求出的表达式， 因为，根据，而，所以，则. 然后解不等式，即，移项得到. 对于二次函数，其判别式， 且二次项系数，所以恒成立，所以时不等式的解为. 当时,求出的表达式，因为，根据的定义. 解不等式，即，移项得到， 因式分解得.解为，又，所以此时不等式解为. 故答案为：. 64．已知函数的解析式为. (1)求， ，的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求的最大值． 【答案】(1)；； (2)答案见解析； (3) 【详解】（1），； ，； ，； （2）此分段函数的图象如图所示． 在函数的图象上截取的部分， 在函数的图象上截取的部分， 在函数的图象上截取的部分， 图中实线组成的图形就是函数的图象； （3）由函数图象可知，当时，取最大值. 65．画出函数的大致图象． 【答案】作图见解析 【详解】由题意知， 结合二次函数性质，函数图象如下： 基础试炼 一、单选题 1．下列各组函数表示相同函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A项，两函数的对应关系不同，故A错误； 对于B项，，两函数定义域不一样，故B错误； 对于C项，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不一样，故C错误； 对于D项，，与， 两函数定义域一样，对应关系一样，故D正确. 故选：D. 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为， 所以，对于有， 由，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D 3．已知函数，则（    ） A． B．-3 C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，所以. 故选:C. 4．若函数，且，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．3 【答案】B 【详解】令（或），，，，. 故选；B 二、多选题 5．下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．函数满足，则 【答案】AD 【详解】对于A，因为的定义域为， 对于函数，则，解得，即的定义域为，故A正确； 对于B，定义域为，定义域为， 所以和不是同一个函数，故B错误； 对于C，令，则， 所以， 因为，所以在上单调递减，所以， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，因为，所以， 两边同乘以2得， 两式相加得，解得，故D正确． 故选：AD． 6．函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BC 【详解】对于A：函数的定义域为，值域不为，故A错误； 对于B：函数的定义域为，值域为，符合题意，故B正确； 对于C：函数的定义域为，值域为，符合题意，故C正确； 对于D：图象不满足函数的定义，故D错误. 故选：BC 三、填空题 7．已知为二次函数，满足，则函数 ． 【答案】 【详解】设， 由，得， 则， ∴，解得. 所以. 故答案为：. 8．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】解不等式组得，故函数的定义域是． 故答案为：. 9．设函数，则 ；若，则的取值范围是 【答案】 【详解】由题， 若，则或， 解得或， 若，则的取值范围是. 故答案为：； 四、解答题 10．已知函数 (1)求的值； (2)画出函数的图象． 【答案】(1) (2)图象见详解 【详解】（1）因为， 则，； 所以. （2）函数的图象如下图所示：    11．（1）已知，求； （2）已知是一次函数，且满足．求 （3）已知，求及值域． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）由函数， 所以函数的解析式为； （2）设一次函数，可得 因为， 因为，所以，解得， 所以函数的解析式为； （3）因为，令，可得且， 因为，可得， 所以函数的解析式为. 12．已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)若在上的值域为，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）二次函数，则， 而，于是，，解得，， 则，又，解得， 所以的解析式是． （2），所以，又因为，， 所以在上的值域为时，，所以的取值范围为. 高阶突破 1．已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为， 则，即， 所以函数的定义域为. 又函数的值域为， 所以的值域为. 故选：D. 2．已知函数，且若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由逆推得， ； ； ； ； ； . 所以，. 故选：D. 3．（多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则x的值是 C．的解集为 D．的值域为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，则， 所以，故A正确； 对于B，当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：（舍）或； 的解为， 故B正确； 对于C，当时，，解得：； 当时，，解得：； 的解集为，故C错误； 对于D，当时，； 当时，； 的值域为， 故D正确. 故选：ABD. 4．若函数的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由的定义域为知，中，不符合图2，故排除B，D； 对于C，当时，，不满足图2，故C错误； 将函数的图关于轴对称，得到的图，向右平移1个单位得到的图， 最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数的图可能为图2. 故选:A. 5．已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【详解】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 6．已知函数表示不大于的最大整数，如，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】不等式，得， 所以，所以不等式的解集为. 故答案为： 7．已知函数的定义域是R，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，可得或， 当时，符合题意； 当时，，显然不符合题意. 当时，由于定义域为R，可得，解得：， 综上所述：的取值范围是 故答案为： 8．已知二次函数（）满足，且． (1)求的解析式； (2)解关于的不等式； (3)集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）由题有， 则，解得，所以， 又，所以，得到， 所以. （2）由（1）知，由，得到， 即，变形得到， 令，得到或， 当，即时，原不等式的解集为， 当，即时，原不等式的解集为， 当，即时，原不等式的解集为. （3）由，得到，即， 令，因为，且， 所以，得到，解得， 所以实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$