精品解析：上海市宜川中学2024-2025学年高三上学期数学阶段测试数学试卷

宜川中学2024学年第一学期阶段测试 高三数学试卷 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸，答案写在答题纸上，写在试卷上无效. 2．答题前，考生务必在答题纸上清楚填涂班级、姓名和准考证号. 3．本试卷共4页，考试时间120分钟，试卷满分150分. 一、填空题：（第1—6题每小题4分，第7—12题每小题5分，满分54分） 1. 根式写成指数幂形式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由指数幂的定义改写，注意化简． 【详解】， 故答案为：. 2. 已知集合，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式确定集合，再由交集的定义计算. 【详解】由已知， 所以， 故答案为： 3. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数有求参数，再由奇函数性质求函数值即可. 【详解】由题意，，则时有， 所以. 故答案为： 4. 若不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的解集，然后其解集与的交集为空集可求出实数的取值范围. 【详解】由，得， 因为不等式组的解集为空集， 所以， 即实数的取值范围为. 故答案为： 5. 已知圆：与圆：外切，则实数_________． 【答案】或 【解析】 【分析】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和，先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据圆心距公式求出的值. 【详解】由圆：中，圆心坐标为，半径为， 圆：中，圆心坐标为，半径为， 若两圆外切，则， 即，解得：或， 故答案为：或. 6. 若函数的一个零点是，则函数的最大值为______ 【答案】2 【解析】 【分析】根据求得，再用辅助角公式化简，从而得到的最大值. 【详解】由题意，所以， 所以， 又，所以，故的最大值为2. 故答案为：2. 7. 为等差数列的前项和，，则与的等比中项为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过已知条件可求得，再根据等比中项的定义即可求得答案. 【详解】解：因为为等差数列，且， 所以， 所以， 解得， 所以与的等比中项为. 故答案为： 8. 如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道绕月飞行，则椭圆轨道的短轴长为________万公里．（近似到0.1） 【答案】2.8 【解析】 【分析】根据题意，可得椭圆的半长轴，半短轴，根据的关系，可求得的值，即可求得，又椭圆的中，，可求得的值，进而可求得的值，即可得答案. 【详解】设椭圆的长轴长，短轴长，焦距为，，； 设椭圆的长轴长，短轴长，焦距为，，． 因此，，， 所以， 又，所以， 所以， 故椭圆轨道的短轴长为2.8万公里． 故答案为：2.8 9. 菱形ABCD的对角线，沿BD把平面ABD折起与平面BCD成的二面角后，点A到平面BCD的距离为________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】做辅助线，可得，即，可证平面，进而可得点到面的距离. 【详解】为了区别，设折起后的点A为， 设，连接，可知为的中点，， 则，可知，即， 过点作，垂足为， 则，，平面， 可知平面，由平面，可知， 且，，平面， 可得平面， 所以点到平面BCD的距离为即为. 故答案为：. 10. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用辅助角公式求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可． 【详解】， ∴，则，故， ， 故答案为： 11. 已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数是奇函数结合得出函数的周期，再应用数形结合转化为零点是函数的交点横坐标，最后应用对称性即可求出零点和. 【详解】奇函数，对于都有， ，则，即， 则函数是周期为4的周期函数．且关于直线对称， 作出函数与的图象知共有5个交点，其横坐标从小到大依次为， 所以，，，， 则，故在内所有的零点之， 故答案为:． 12. 已知函数，，且，，若，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】令，得到关于的函数式，进而可得关于的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值. 【详解】令，则，，， ，，即， 若，则， 易知在上单调递增，且， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； ，即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：令确定关于的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值. 二、选择题（第13—14题每小题4分，第15—16题每小题5分，共18分） 13. 下图是某地区2010年至2019年污染天数（单位：天）与年份的折线图．根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据折线图中各阶段的数据，计算其样本中心纵坐标、极差，并结合数据的变化趋势画出近似回归直线，即可确定回归方程参数之间的大小关系. 【详解】根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，， ∴由图知：2010年至2014年数据为； 2015年至2019年数据为； 2010年至2019年数据为；均成递减趋势. 又，，，且极差分别为6、51、65， 三条回归方程的直线大致图象，如下图示： ∴回归方程的斜率大小关系为，且截距. 故选：C. 14. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是异面直线，，则 D. 平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项中的线面关系条件，利用面面平行的判定定理和线面平行的判定定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则与可能相交，故A错误． 对于B，若，则或，故B错误． 对于C，假设，因则，又因，则，故，这与是异面直线矛盾，故假设不成立，即，故C正确． 对于D，平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交， （这三点中有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧）故D错误． 故选：C． 15. 已知的三边长分别为4、5、7，记的三个内角的正切值所组成的集合为，则集合中的最大元素为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的三边长分别为，根据余弦定理确定三角形最大角角为钝角，利用大边对大角及正切函数的性质，可知三个内角的正切值最大为，再利用余弦定理及同角三角关系即可求得得值. 【详解】不妨设的三边长分别为，则由大边对大角可得， 所以最大角为，由余弦定理得，又，故角为钝角， 所以， 又函数在上递增，此时，在上递增，此时， 所以三个内角的正切值最大为， 由余弦定理得：，则， 所以， 故选：B. 16. 已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用导数研究函数的性质，确定方程的解的情况，然后结合二次方程根的分布知识求参数范围． 【详解】， 时，，当时，，递减，时，，递增， 时，，时，，是极小值， 时，，在上是增函数， 时，，时，，且， 作出函数的大致图象，如图， 由图象知时，无实解，时，有一解，时，有两解，时，有三解， 方程有四解， 则方程有两解且， 记， 则，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查用导数研究方程根的问题，解题方法是把函数的性质与二次方程根的分布知识结合起来求解，即利用导数研究函数的性质得出方程的解的情况，再利用二次方程根的分布知识求解，这对于把作为一个整体，方程是关于这个整体的二次方程可适用． 三、解答题（共78分，在答题纸上写出必要的步骤．） 17. 已知函数的表达式为， （1）设，求函数，的单调增区间； （2）设实数，的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围． 【答案】（1）增区间是，减区间是； （2）． 【解析】 【分析】（1）结合正弦函数的单调性求解； （2）由，得，考虑正弦函数在上的零点，可得关于的不等式，解之可得． 【小问1详解】 ，，，则， 时，， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 因此增区间是，减区间是； 【小问2详解】 的最小正周期为，则，即， ，则， 由题意，解得． 18. 如图，、、为圆锥三条母线，. （1）证明:； （2）若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，则，故可得面，从而得到. （2）利用向量法可求面、面的法向量，计算出它们的夹角的余弦值后可得二面角的余弦值. 【小问1详解】 取中点，连接、， 因为，所以， 又因为面面，所以面， 因为面，所以. 【小问2详解】 因为为直径，故为底面圆的圆心，故平面，而 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为圆锥侧面积为为底面直径，，所以底面半径为1，母线长为， 所以， 则可得， 故， 设为平面的法向量，则， 令，则，所以. 设为平面的法向量， 则， 令，则，所以. 则， 设二面角为，则为钝角， 所以二面角的大小为. 19. 某市中学体育节开展趣味运动比赛，其中、两个班级进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每局比赛不存在平局，获胜者得分，失败者不得分，其中累计得分领先对方分即可赢得最终胜利，或者局比赛结束积分领先赢得最终胜利．假设每局比赛中班获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立． （1）求趣味比赛班以比赢得最终胜利的概率； （2）此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的局数为，求的分布及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布见解析， 【解析】 【分析】（1）趣味比赛班以比赢得最终胜利，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜，根据独立重复试验的概率公式计算即可； （2）的可能取值为，分别求出概率，即可写出分布列，根据数学期望的公式计算即可． 【小问1详解】 记班以比赢得最终胜利，为事件， 则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜时，此时班以比赢得最终胜利， 因此. 【小问2详解】 的可能取值为， 当时，即班前两局获胜，或者班前两局获胜， 则， 当时，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜， 或者第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局班获胜， 则， 当时，则第一局和第二局、两个班级各胜一局，第三局，第四局、两个班级各胜一局， 则， 所以的分布为： 所以数学期望. 20. 已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. （1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离； （2）若，求直线的方程； （3）若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，求出点的坐标和渐近线方程，根据点到直线的距离公式计算即可求解； （2）易知直线不与x轴重合，设其方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理表示，结合计算求得即可； （3）如图，由（2），利用弦长公式求出，利用平行线之间的距离公式求出平行线与之间的距离，进而表示，结合换元法计算即可求解. 【小问1详解】 由题，右焦点，渐近线方程为， 因此焦点到渐近线的距离为. 【小问2详解】 显然，直线不与x轴重合，设直线方程为， 由，得， 由，得， 其中，恒成立， ，， 代入，消元得，， 即，解得， 所以，直线的方程为. 【小问3详解】 延长交双曲线于点P，延长交双曲线于点Q.则由对称性得， 四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍. 由题，设，直线程为，直线方程， 由第（2）问，易得， 因为，得，因而， 平行线与之间的距离为， 因此，. 令，则， 得在上是严格增函数， 故（等号当且仅当时成立）， 所以，四边形面积的取值范围为. 21. 如图，在区间上，曲线与轴围成的阴影部分面积记为面积，若（为函数的导函数），则.设函数 （1）若，求的值； （2）已知，点，过点的直线分别交于两点（在第一象限），设四边形的面积为，写出的表达式（用表示）并证明：： （3）函数有两个不同的零点，比较与的大小，并说明理由. 【答案】（1）； （2），证明： 依题意，四边形为梯形或矩形，又，则， ，下证， 而，只需证， 令，只需证， ，设，则， 在上单调递增，则在上单调递增， 因此，所以. （3），理由： ，因为为的零点，则， 设，则有，即，于是， 由（2）知，则有，因此， ，则，即，所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定信息，令，直接代入计算即得. （2）利用矩形或梯形面积公式计算，再利用分析法推理构造函数，利用导数证明不等式即得. （3）利用函数零点的意义，结合（2）的结论及不等式性质推理即得. 【小问1详解】 设，则， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜川中学2024学年第一学期阶段测试 高三数学试卷 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸，答案写在答题纸上，写在试卷上无效. 2．答题前，考生务必在答题纸上清楚填涂班级、姓名和准考证号. 3．本试卷共4页，考试时间120分钟，试卷满分150分. 一、填空题：（第1—6题每小题4分，第7—12题每小题5分，满分54分） 1. 根式写成指数幂形式为_________． 2. 已知集合，，则_________． 3. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_____________. 4. 若不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为________． 5. 已知圆：与圆：外切，则实数_________． 6. 若函数的一个零点是，则函数的最大值为______ 7. 为等差数列的前项和，，则与的等比中项为______. 8. 如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道绕月飞行，则椭圆轨道的短轴长为________万公里．（近似到0.1） 9. 菱形ABCD的对角线，沿BD把平面ABD折起与平面BCD成的二面角后，点A到平面BCD的距离为________． 10. 已知，则______. 11. 已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______． 12. 已知函数，，且，，若，则的最小值为_________. 二、选择题（第13—14题每小题4分，第15—16题每小题5分，共18分） 13. 下图是某地区2010年至2019年污染天数（单位：天）与年份的折线图．根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 14. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是异面直线，，则 D. 平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 15. 已知的三边长分别为4、5、7，记的三个内角的正切值所组成的集合为，则集合中的最大元素为（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共78分，在答题纸上写出必要的步骤．） 17. 已知函数的表达式为， （1）设，求函数，的单调增区间； （2）设实数，的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围． 18. 如图，、、为圆锥三条母线，. （1）证明:； （2）若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小 19. 某市中学体育节开展趣味运动比赛，其中、两个班级进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每局比赛不存在平局，获胜者得分，失败者不得分，其中累计得分领先对方分即可赢得最终胜利，或者局比赛结束积分领先赢得最终胜利．假设每局比赛中班获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立． （1）求趣味比赛班以比赢得最终胜利的概率； （2）此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的局数为，求的分布及数学期望． 20. 已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. （1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离； （2）若，求直线的方程； （3）若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 21. 如图，在区间上，曲线与轴围成的阴影部分面积记为面积，若（为函数的导函数），则.设函数 （1）若，求的值； （2）已知，点，过点的直线分别交于两点（在第一象限），设四边形的面积为，写出的表达式（用表示）并证明：： （3）函数有两个不同的零点，比较与的大小，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $