精品解析：福建省厦门外国语学校2024-2025学年高一上学期阶段性测试数学试题

厦门外国语学校2024-2025学年第一学期高一阶段性测试 数学学科试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整. 第Ⅰ卷（本卷共计60分） 一．单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围（ ） A. 或 B. C. D. 5. 已知两个正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式的解集是，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 不等式的解集是 8. 已知函数在区间［－1,2］上的最大值为2，则的值等于（ ） A. 2或3 B. －1或3 C. 1 D. 3 二、多选题 9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 以下命题正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. ，的值域为 C. 若函数，则对，不等式恒成立 D. 若，则函数的解析式为 11. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 第Ⅱ卷 三、填空题 12. 已知，若，则______. 13. 在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是_______．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 14. 已知函数的值域是，那么函数的定义域是___________. 四、解答题 15. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 16. 求下列函数的解析式 （1）已知，求函数的解析式． （2）已知函数对于任意x都有，求函数的解析式． （3）已知，求二次函数的解析式． 17. 我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶. （1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）若不等式对一切恒成立，求的取值范围： （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 19. 问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数x，y满足，求的最小值； （2）若正实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门外国语学校2024-2025学年第一学期高一阶段性测试 数学学科试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁和平整. 第Ⅰ卷（本卷共计60分） 一．单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将集合化简，然后求解即可. 【详解】由题可知， 所以 又因为 所以 故选：C 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】因为，所以或，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 3. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法求解. 【详解】解：A. ， 与1的大小不定，故错误； ，故正确； C. ，故错误； D. ，故错误； 故选：B 4. 若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即， 因为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：C. 5. 已知两个正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，化简得，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出的定义域，结合函数列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意可知函数的定义域为，即， 故，则的定义域为， 则对于，需满足， 即的定义域为， 故选：C 7. 已知关于的不等式的解集是，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 不等式的解集是 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的解集可得且，再代入各个选项即可判断正误. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 则，且1，3是方程的两个根， 于是得，解得， 对于A，由，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，不等式化为， 即，解得或，故D正确. 故选：C. 8. 已知函数在区间［－1,2］上的最大值为2，则的值等于（ ） A. 2或3 B. －1或3 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】函数，，根据绝对值的最大值为2进行分类讨论检验即可. 【详解】由题函数，， 的最大值为，或 当时，即时，最大值解得：； 当时，即时，最大值解得： 综上所述：的值等于2或3. 故选：A 【点睛】此题考查绝对值函数值域问题，重在分类讨论，先求出绝对值内函数值域，再根据绝对值的性质分析最大值的取值. 二、多选题 9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数. 【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确； 对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误； 对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确； 对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误. 故选：AC 10. 以下命题正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. ，的值域为 C. 若函数，则对，不等式恒成立 D. 若，则函数的解析式为 【答案】BC 【解析】 【分析】直接解分式不等式判断A，举例说明函数的值域可能是，判断B，用作差法判断C，用换元法求函数解析式，注意函数的定义域，求解后判断D． 【详解】对选项A，，A错； 对选项B，例如时，函数是上的减函数，值域是，B正确； 对选项C，，， 所以恒成立，C正确； 对选项D，若，设，则且，代入得，所以，D错． 故选：BC． 11. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D. 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故的最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷 三、填空题 12. 已知，若，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】分别令分段函数中的每一段解析式的函数值为列方程，由此解得的值. 【详解】由，得； 由， 得； 由，得（舍）； 综上或. 故答案为：或. 13. 在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是_______．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证即证可判断③. 【详解】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确. 对于④，，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 14. 已知函数的值域是，那么函数的定义域是___________. 【答案】. 【解析】 【分析】由可解得结果. 【详解】，由得，即，解得，所以的定义域是. 故答案为：. 四、解答题 15. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解． （2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解． 【小问1详解】 由题意可知：集合是集合的真子集， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 若命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而，， 则，无解， 所以“，则”是真命题，实数的取值范围． 那“，则”是假命题时， 16. 求下列函数的解析式 （1）已知，求函数的解析式． （2）已知函数对于任意x都有，求函数的解析式． （3）已知，求二次函数的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】 （1）利用换元法求函数解析式； （2）以代得到，再解关于、的方程组，即可得解； （3）利用待定系数法求函数解析式； 【详解】解：（1）令，则，， （2）在，以－x代x可得，联立可得，消去可得 （3）设， 则，，所以： 所以，解得所以． 【点睛】本题考查常见函数的解析式的计算，换元法、方程组法、待定系数法，属于中档题. 17. 我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶. （1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润. 【答案】（1） （2）当每瓶售价元时，下月的月总利润最大为万元 【解析】 【分析】（1）设提价元，则每瓶饮料利润为元，由此算出月销量，得到总利润的表达式，根据月总利润不低于原来的月总利润得到关于的不等式，即可求出的范围，进而求解； （2）由题意可得每瓶利润为元，得出月销量，从而得到月总利润的函数解析式，最后利用基本不等式求解. 【小问1详解】 设提价元，由题意知每瓶饮料利润为元， 则月销量为万瓶， 所以提价后月总销售利润为万元， 因为原来月销售总利润为万元，且要求月总利润不低于原来的月总利润， 所以，即，解得， 所以售价最多为元， 故该饮料每瓶售价最多为元； 【小问2详解】 由题意，每瓶利润为元， 月销售量为万瓶， 设下月总利润为，， 整理得：， ， ， 当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当时取等号， 故当售价元时，下月的月总利润最大为万元. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）若不等式对一切恒成立，求的取值范围： （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，当时，利用根的判别式列出不等式，即可得解； （2）利用分离参数法可得对一切恒成立，分离常数结合基本不等式求出即可； （3）将看成主元，则不等式变为，令，根据一次函数的单调性求出函数的最小值即可. 【小问1详解】 解：不等式即， 当时，，解得，不符题意， 当时， 则，解得， 综上所述，的取值范围为； 【小问2详解】 解：不等式对一切恒成立， 即对一切恒成立， 因为， 则不等式等价于对一切恒成立， 由， 得， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以； 【小问3详解】 解：不等式对一切恒成立， 即对一切恒成立， 令， 因为， 所以函数在上递增， 则，解得， 所以的取值范围. 19. 问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数x，y满足，求的最小值； （2）若正实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 【答案】（1） （2），当时，等号成立 （3）的最小值为， 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，结合基本不等式，即可求解； （2）由，结合,即可求解； （3）令,得到,结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：若正实数满足,则， 所以,当且仅当且, 即时，取等号,所以的最小值. 【小问2详解】 解：若正实数满足,且， 由 因为,当且仅当时取等号,所以 ，所以. 【小问3详解】 解：若, 令,则, 所以, 当且仅当即时取等号, 又因为,解得,即,所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $