第四章 基本平面图形知识归纳与题型突破（题型清单）（十一题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（北师大版2024）

第四章 基本平面图形知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1 直线、射线与线段的概念 知识点2 ：基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 知识点3： 基本概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 知识点4：双中点模型： C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 知识点5： 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 知识点6 ：角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 知识点7： 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点8： 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 知识点9：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点10：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 知识点11：角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 知识点12： 多边形及正多边形 1． 定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图： 2. 正多边形 1.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 2.正多边形的每个内角 3.正多边形每个外角的度数： （3）平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 3．相关概念： 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 多边形公式 1. n 边形一个顶点的对角线数： n-3 2. n 边形的对角线总数： 3. n 边形的外角和： 360° 4. 补充拓展：n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 知识点12 ：圆及扇形 1. 圆的定义 如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.扇形 （1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图： （2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形. 注意：圆可以分割成若干个扇形. （3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角. 03 题型归纳 题型一 直线/射线和线段及作图 例题：如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹） (1)画直线，画射线，连接； (2)延长线段到E．使得； (3)在线段上取点P，使的值最小． 巩固训练 1．下列说法错误的是（   ） A．画线段厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得 2．如图，下列说法正确的是（    ） A．射线和射线表示同一条射线 B．射线和射线表示同一条射线 C．射线和射线表示同一条射线 D．以点为端点的射线有4条 3．如图，已知四点，请按要求作图并解答．   (1)按要求作图： ①作射线； ②连接； ③在射线上截取，使； ④在线段上取点，使的值最小； (2)小明同学根据图形写出了四个结论：①图中有8条线段；②点在线段的延长线上；③射线和射线是两条射线；④点在射线的延长线上；其中正确的结论是_________． 题型二直线和线段的性质 例题：如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．过一点，有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 巩固训练 1．如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（   ） A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短 2．媛媛一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，，，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（    ） A．两点确定一条直线B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．公垂线段最短 3．下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A．两钉子固定木条 B．木板上弹墨线 C．测量跳远成绩 D．弯曲河道改直 题型三 线段的运用 例题：如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 巩固训练 1．一条火车线路上共有5个车站，则用于这条线路上的车票共有（　　　） A．10种 B．15种 C．20种 D．25种 2．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长厘米的线段，则线段盖住的整点共有（　　）个 A．或 B．或 C．或 D．或 3．由汕头开往广州东的D7511动车，运行途中须停靠的车站依次是：汕头→潮汕→普宁→汕尾→深圳坪山→东莞→广州东．那么要为D7511动车制作的车票一共有（    ） A．6种 B．7种 C．21种 D．42种 题型四 线段的运算 例题：如图，已知线段，，点M是的中点． (1)求线段的长； (2)在上取一点N，使得，求线段的长． 巩固训练 1．如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（　　） A．4 B．15 C．3或15 D．4或10 2．如图，点是线段上一点，，点到点的距离比点到点的距离多2，则 ． 3．如图，是线段的中点，点在线段上，是线段的中点． (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 4．如图，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)求线段的长； (2)若在线段上有一点E，，求的长． 5．如图，线段．C是线段的中点，D是线段的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上有一点E，满足，求的长． 题型五 度分秒的运算 例题：计算（结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固训练 1．将用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 3．用度、分、秒表示 ′ ″ 题型六钟面角 例题：钟表上显示8时45分时，时针与分针所夹的角度是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．时钟在6点10分时，时针和分针所成角度是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在下午四点半的时候，时针和分针所夹的锐角度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，钟表上2点半时，时针与分针所成的角是 题型七 方位角 例题：在灯塔处测到轮船位于北偏西的方向，轮船位于南偏东的方向，轮船A在的角平分线上，则在灯塔处观测轮船A的方向为（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 巩固训练 1．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（　　） A． B． C． D． 2．如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，若，则的方向是（    ）    A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 3．如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，则的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 4．如图，已知轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向，则 ． 题型八 角平分线的有关运算 例题：如图，已知平分，平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，列式表示的大小． 巩固训练 1．如图，已知、、三点在同一条直线上，平分，平分，若，求的度数． 2．如图，已知平分，射线在内，，，求的度数． 3．如图，平分，平分．若，． (1)求出的度数； (2)判断与是否互补，并说明理由． 4．如图，直线，相交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型九 余角﹑补角的基本运算 例题：如图，与互为补角，与互为余角，且．   (1)求∠的度数； (2)若平分，求的度数． 巩固训练 1．如图，是内三条射线，平分，平分． (1)已知，，求的度数； (2)若与互余，求的度数． 2．如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起． (1)猜想与的大小关系，并说明理由； (2)求的度数； (3)若，求的度数． 题型十 多边形的性质 例题：(1)试验分析： 如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形； (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示） (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形． 巩固训练 1．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 2．真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下： 多边形的边数n 3 4 5 6 … 对角线的条数y 0 2 5 9 … (1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）； (2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式子表示y． (3)求一个十边形的对角线的条数． 题型十一 扇形的面积 例题：如图，大圆的半径是，小圆的半径是大圆半径的，求阴影部分的面积． 巩固训练 1．随着城市的发展，住宅小区的建设也越来越人性化．为响应国家“加强全民健身设施建设，发展全民体育”的号召．哈市某小区在一片足够大的空地中，改建出一个休闲广场，规划设计如图所示．（π取3） （1）求塑胶地面休闲区的面积； （2）求广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值． 2．如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 基本平面图形知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1 直线、射线与线段的概念 知识点2 ：基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 知识点3： 基本概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 知识点4：双中点模型： C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 知识点5： 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 知识点6 ：角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 知识点7： 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点8： 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 知识点9：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点10：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 知识点11：角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 知识点12： 多边形及正多边形 1． 定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图： 2. 正多边形 1.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 2.正多边形的每个内角 3.正多边形每个外角的度数： （3）平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 3．相关概念： 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 多边形公式 1. n 边形一个顶点的对角线数： n-3 2. n 边形的对角线总数： 3. n 边形的外角和： 360° 4. 补充拓展：n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 知识点12 ：圆及扇形 1. 圆的定义 如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.扇形 （1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图： （2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形. 注意：圆可以分割成若干个扇形. （3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角. 03 题型归纳 题型一 直线/射线和线段及作图 例题：如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹） (1)画直线，画射线，连接； (2)延长线段到E．使得； (3)在线段上取点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，直线、射线、线段，两点间的距离，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据基本作图方法即可画直线，画射线，连接； （2）延长线段到E，利用尺规使，可得； （3）连接线段交于点P，根据两点之间线段最短可得的值最小． 【详解】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所求； （2）解：如图，点E即为所求： （3）解：如图，点P即为所求． 巩固训练 1．下列说法错误的是（   ） A．画线段厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得 【答案】B 【分析】本题主要考查了画线段和射线，射线无法度量，线段可以度量，据此结合线段的画法可得答案． 【详解】解：A、线段可以度量，因此可以画线段厘米，原说法正确，不符合题意； B、射线无法度量，因此不可以画射线厘米，原说法错误，符合题意； C、在射线上可以截取厘米，原说法正确，不符合题意； D、延长线段到C，使得，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．如图，下列说法正确的是（    ） A．射线和射线表示同一条射线 B．射线和射线表示同一条射线 C．射线和射线表示同一条射线 D．以点为端点的射线有4条 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，掌握射线的表示方法是解题的关键. 根据射线的表示方法逐项判定即可． 【详解】解：A、射线和射线的端点不同，不是表示同一条射线，故此选项不符合题意； B、射线和射线的端点相同，方向相同，是表示同一条射线，故此选项符合题意； C、射线和射线的端点不相同，方向也不相同，不是表示同一条射线，故此选项不符合题意； D、以点为端点的射线有2条，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，已知四点，请按要求作图并解答．    (1)按要求作图： ①作射线； ②连接； ③在射线上截取，使； ④在线段上取点，使的值最小； (2)小明同学根据图形写出了四个结论：①图中有8条线段；②点在线段的延长线上；③射线和射线是两条射线；④点在射线的延长线上；其中正确的结论是_________． 【答案】(1)见解析 (2)②③ 【分析】（1）①根据射线的定义作图即可；②直接连接即可；③以A为圆心，以为半径画圆弧，与射线直线交于M；④连接与的交点即为所求； （2）根据直线、线段、射线的定义逐个判断即可解答． 【详解】（1）解：①射线即为所求； ②线段即为所求； ③线段即为所求； ④点P即所求．    （2）解：①图中的线段有，共9条，则①错误； ②由与的交点，则点P是点在线段的延长线上，即②正确； ③图中射线，共2条，则③正确；图中共有6条线段的说法是正确的； ④由射线本来就无限延伸，故不需要延长，则④错误． 故答案为②③． 【点睛】本题主要考查了基本作图，直线、线段、射线的定义，线段的性质等知识点，掌握直线，射线，线段的定义是解题的关键． 题型二直线和线段的性质 例题：如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．过一点，有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 【答案】C 【分析】根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论． 本题考查了直线的性质，掌握“经过两点有且只有一条直线”是解题的关键． 【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线， ∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线． ∴能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线． 故选：C． 巩固训练 1．如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（   ） A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短 【答案】C 【分析】此题考查了直线的性质，根据两点确定一条直线，即可解答． 【详解】解：根据两点确定一条直线，可使每一层砖在一条直线上． 故答案为：C． 2．媛媛一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为，，，而两地的直线距离为，解释这一现象的数学知识最合理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．公垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了线段的性质，由两点之间，线段最短即可得出答案，熟练掌握线段的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：解释这一现象的数学知识最合理的是两点之间线段最短， 故选：C． 3．下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A．两钉子固定木条 B．木板上弹墨线 C．测量跳远成绩 D．弯曲河道改直 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质，直线的性质的数学常识在生活中的应用，，熟练掌握数学常识是解题的关键． 用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上是两点确定一条直线；木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，可用两点确定一条直线来解释的现象；测量跳远成绩是垂线段最短求脚后跟到起跳线的距离；把弯曲的公路改直，就能够缩短路程是两点之间，线段最短；据此分别判断即可． 【详解】A．两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； B．木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识均为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； C．测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； D．把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； 故选：C． 题型三 线段的运用 例题：如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：，， ∴需印制20种车票，共有10种票价． 故选：C． 【点睛】本题在线段的基础上，考查了排列与组合的知识，解题关键是要理解题意，每个车站都既可以作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站． 巩固训练 1．一条火车线路上共有5个车站，则用于这条线路上的车票共有（　　　） A．10种 B．15种 C．20种 D．25种 【答案】C 【分析】本题考查了线段的数量问题，由题意可知：由第一站点分别要经过4个不同的站点，所以要4种车票；由第二站点要经过3个不同的地方，所以要制作3种车票；依此类推，则分别要制作的车票种数为4，3，2，1种．由于同一条线路的起点和终点是可以变化的，所以同一线路对应2种车票． 【详解】解：由题意，得：这段铁路上的火车票价共有种． 故选：C． 2．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长厘米的线段，则线段盖住的整点共有（　　）个 A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，分线段的端点与整点重合和不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论； 【详解】解：若线段的端点恰好与整点重合，则厘米长的线段盖住个整点，个整点， 若线段的端点不与整点重合，则厘米的线段盖住个整点． ∴厘米的线段盖住或个整点． 故选：B． 3．由汕头开往广州东的D7511动车，运行途中须停靠的车站依次是：汕头→潮汕→普宁→汕尾→深圳坪山→东莞→广州东．那么要为D7511动车制作的车票一共有（    ） A．6种 B．7种 C．21种 D．42种 【答案】D 【分析】从汕头要经过6个地方，所以要制作6种车票；从潮汕要经过5个地方，所以制作5种车票；以此类推，则应分别制作4、3、2、1种车票，因为是来回车票，所以需要×2，即可得出答案． 【详解】共制作的车票数＝2×（6＋5＋4＋3＋2＋1）＝42（种）． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段、射线、直线等知识点，解此题的关键是能得出规律，学会用数学来解决实际问题． 题型四 线段的运算 例题：如图，已知线段，，点M是的中点． (1)求线段的长； (2)在上取一点N，使得，求线段的长． 【答案】(1)4 (2)10 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，以及线段的和差关系以及线段比例的计算． （1）由线段的和差关系得出，再根据线段中点的定义求解即可． （2）先根据线段的比例求出，再根据线段的和差关系得出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点M是的中点． ∴ （2）∵，， ∴， 由（1）知， ∴ 巩固训练 1．如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（　　） A．4 B．15 C．3或15 D．4或10 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，根据线段中点的定义得到，，求得，分两种情况：当点在点右侧，当点在点左侧，根据线段的和差分别讨论，是解决问题关键． 【详解】解：∵D为的中点，， ∴，， ∵， ∴， 如图1，当点在点右侧， ∵， ∴， ∴； 如图2，当点在点左侧， ∵， ∴， 故的长为4或10， 故选：D． 2．如图，点是线段上一点，，点到点的距离比点到点的距离多2，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，由题意得出，结合，计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，是线段的中点，点在线段上，是线段的中点． (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点，找准线段之间的关系是解此题的关键． （1）由线段中点的定义得出，再结合计算即可得解； （2）设，则．由线段中点的定义得出，根据求出，再结合即可得解． 【详解】（1）解：是线段的中点，， ． ， ∴． （2）解：∵， ∴设，则． 是线段的中点， ∴． ∵，即， 解得． ∵， ． 4．如图，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)求线段的长； (2)若在线段上有一点E，，求的长． 【答案】(1)12 (2)6或10 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点，熟练掌握线段的和差的计算方法进行求解是解决本题的关键． （1）根据线段的中点的性质可得，，再根据代入计算即可得出答案； （2）根据题意分两种情况，当点E在C点的左边时，，当点E在C点的右边时，．分别计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，点C是的中点，点D是的中点， ∴，， ∴； （2）解：由（1）知， ∵， 当点E在C点的左边时，， 当点E在C点的右边时，． 综上：的长为6或10． 5．如图，线段．C是线段的中点，D是线段的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上有一点E，满足，求的长． 【答案】(1)的长为18 (2)的长为10或14 【分析】本题主要考查线段的和差运算，掌握中点的运算是解题的关键． （1）根据线段的中点先算出的长，再根据线段的和差即可求解； （2）根据题意可算出的长，分类讨论，当点E在之间时；当点E在之间时；由此即可求解． 【详解】（1）∵点C是线段的中点， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴， ∴线段的长为18； （2）∵， ∴， 当点E在之间时，； 当点E在之间时，； 综上所述，的长为10或14． 题型五 度分秒的运算 例题：计算（结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查度，分，秒的计算，解题的关键是掌握，进行计算，即可． （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可； （3）根据，，进行计算，即可； （4）根据，，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 巩固训练 1．将用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了角度间的换算，先把乘以得，再乘以得，最后加上整数部分即可，解题的关键熟练掌握度、分、秒之间是进制，将高级单位化为低级单位时，乘以，反之，将低级单位转化为高级单位时除以． 【详解】解：， ， ∴用度、分、秒表示为， 故选：． 2．已知，，，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了度分秒之间的换算，属于基础题，注意两者之间的进位关系．将各角的单位统一，继而可得出答案． 【详解】解：， ， ， ∴， 故选B． 3．用度、分、秒表示 ′ ″ 【答案】 34 10 48 【分析】本题考查了度、分、秒的转化运算．进行度、分、秒的转化运算，注意以为进制．，． 【详解】解： ． 故答案为：34；10；48． 题型六钟面角 例题：钟表上显示8时45分时，时针与分针所夹的角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了钟面角，根据钟面被分成12大格，每大格，分针每分钟转，时针每分钟转度，计算即可得出答案． 【详解】解：钟表上显示8时45分时，时针与分针所夹的角度是， 故选：D． 巩固训练 1．时钟在6点10分时，时针和分针所成角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．确定时针与分针相距的份数是解题关键． 【详解】解：6点10分时时针与分针相距份， 在6点10分时，时针和分针所成角度是， 故选：． 2．如图，在下午四点半的时候，时针和分针所夹的锐角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用钟表表盘的特征解答．用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为． 【详解】解：下午四点半钟，时针和分针中间相差1.5个大格． 钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， 下午四点半钟分针与时针的夹角是． 故选：C 3．如图，钟表上2点半时，时针与分针所成的角是 【答案】/105度 【分析】本题考查了钟面角，根据每一大格为度，钟表上2点半时，所成的角的度数为三个大格个大格，即可得出答案． 【详解】解：钟表上2点半时，时针与分针所成的角是， 故答案为：． 题型七 方位角 例题：在灯塔处测到轮船位于北偏西的方向，轮船位于南偏东的方向，轮船A在的角平分线上，则在灯塔处观测轮船A的方向为（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】A 【分析】本题主要考查了方向角及角平分线的定义，解题的关键是正确理解方向角． 利用方向角的定义及角平分线的定义求解即可． 【详解】解∶如图， 在灯塔处测到轮船位于北偏西20°的方向， ， 轮船位于南偏东50°的方向， ， ， ， 是的角平分线， ， ， 则在灯塔处观测轮船A的方向为北偏东， 故选∶A． 巩固训练 1．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方向角的相关计算，解题的关键是正确理解方向角的定义．由已知条件可得出，进而得出，再根据，利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴． 又∵， ∴． 故选：C． 2．如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，若，则的方向是（    ）    A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 【答案】A 【分析】先根据角的和差得到的度数，再运用的度数加上，即可作答．考查了方位角，方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． 【详解】解：∵的方向是北偏东，的方向是北偏西， ， ， ， ， 故的方向是北偏东． 故选：A． 3．如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若，则的方向是（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】C 【分析】本题主要考查方向角的计算，熟练掌握方向角的计算是解题的关键．根据题意，求出，即可得到答案． 【详解】解：依题意可得，的方向是北偏东，的方向是西北方向，若， ， 故的方向是北偏东． 故选C． 4．如图，已知轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了方向角，用减去两个方向角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向， ∴ 故答案为： 题型八 角平分线的有关运算 例题：如图，已知平分，平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，列式表示的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义， （1）利用角的和表示出的度数，利用角平分线的定义分别求得和，利用角的差即可求得结论； （2）利用角平分线的定义分别表示出和的度数，再利用角的差即可求得结论； 结合图形，正确利用角的和差表示出角的度数是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是直角即，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴的大小为． 巩固训练 1．如图，已知、、三点在同一条直线上，平分，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 根据角平分线得出，再由邻补角确定，继续利用角平分线即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵ ∴， ∵平分， ∴． 2．如图，已知平分，射线在内，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义是解答此题的关键． 根据平分可得出，再由可设，则，，再由可得出的值，进而得出结论． 【详解】解：平分， ． ， 设，则，， ， ，解得， ． 3．如图，平分，平分．若，． (1)求出的度数； (2)判断与是否互补，并说明理由． 【答案】(1) (2)互补，理由见详解． 【分析】本题考查了角平分线的定义，互补，解题的关键是求出的度数． （1）利用角平分线的定义得出，再根据，代入计算即可； （2）先利用角平分线的定义求出的度数，再根据，即可得答案． 【详解】（1）解：∵平分．， ∴， ； （2）与互补． 理由：平分，平分， ， ， ， 与互补． 4．如图，直线，相交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，利用邻补角的定义、余角的定义是解题关键． （1）根据补角，余角的关系，可得，根据角平分线的定义，可得答案； （2）根据邻补角，可得关于x的方程，根据解方程，可得，再根据余角的定义，可得答案． 【详解】（1）解：∵与是邻补角， ∴． ∵与互为余角， ∴． ∵与是邻补角， ∴． ∵平分， ∴； （2）解：， 设，． ∵与是邻补角， ∴， 即， 解得． ∵与互为余角， ∴． 题型九 余角﹑补角的基本运算 例题：如图，与互为补角，与互为余角，且．    (1)求∠的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，角平分线的定义： （1）根据度数之和为90度的两个角互为余角得到，再由，即可求出； （2）根据度数之和为180度的两个角互为补角得到，进而求出，再由角平分线的定义，则． 【详解】（1）解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵与互为补角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 巩固训练 1．如图，是内三条射线，平分，平分． (1)已知，，求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差和余角的定义， （1）先由角平分线的定义得出，继而求出，再由角平分线的定义得出，最后根据求解即可； （2）由角平分线的定义和角的和差得出，再根据余角得出，进而求解即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）∵平分，平分， ∴， ∴， ∵与互余，即， ∴， ∴， ∴． 2．如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起． (1)猜想与的大小关系，并说明理由； (2)求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)的度数为； (3)的度数为． 【分析】（1）通过同角的余角相等，即可得出，（2）通过等量代换即可求解，（3）通过比例关系结合图形列式，即可求解，本题考查了同角或等角的余角相等，解题的关键是，熟练掌握同角或等角的余角相等的性质，并结合图形，并正确列式求解． 【详解】（1） 解：， 理由是：， ， ； （2）， ， ， 故答案为：的度数为； （3）， 设，则， ， ， ， 又， ，解得：， ， 故答案为：的度数为． 题型十 多边形的性质 例题：(1)试验分析： 如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形； (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示） (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形． 【答案】(1)1，2； (2)3，4； (3) (4)8 【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案； （2）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答； （3）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答； （4）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答． 【详解】（1）解：如下图： 经过点可以做1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2； （2）解：拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得： 图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形； 故答案为：3，4； （3）解：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为个三角形， 故答案为：； （4）解：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为个三角形， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，正确理解多边形的对角线的条数，与所分成的三角形的个数的关系，是解决本题的关键． 巩固训练 1．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 【答案】(1)，，， (2)过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复） (3)边形的对角线条数的为 【分析】此题考查了多边形的对角线的知识． （1）过点和任意不相邻的两点连接可得出到一条对角线；同理可得过点、的情况． （2）过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）过每一点有条对角线，除去重复的即可得出总对角线的条数． 【详解】（1）解：过顶点可以画条对角线，它们分别是； 过顶点可以画条对角线， 过顶点可以画条对角线； 故答案为：，，，； （2）解：过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）解：边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出条， 共有个顶点，应为条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． 即边形的对角线条数的为． 2．真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下： 多边形的边数n 3 4 5 6 … 对角线的条数y 0 2 5 9 … (1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）； (2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式子表示y． (3)求一个十边形的对角线的条数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了对角线的条数与多边形的边数的关系，理解题意、得出对角线的条数与多边形的边数的关系是解题的关键． （1）根据“一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其它顶点连线，得到对角线”，得出答案即可； （2）根据“n边形有n个顶点，所以所有对角线有条．但每条对角线重复一次”，得出答案即可； （3）把代入，计算得出答案即可． 【详解】（1）解：∵一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其它顶点连线，得到对角线， ∴过n边形的每一个顶点的对角线条数为， 故答案为：； （2）解：∵n边形有n个顶点，所以所有对角线有条．但每条对角线重复一次， ∴n边形所有对角线的条数为； （3）解：把代入，得， ∴一个十边形的对角线的条数为． 题型十一 扇形的面积 例题：如图，大圆的半径是，小圆的半径是大圆半径的，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】阴影部分的面积等于大圆减去小圆的面积，大圆的面积为，小圆的面积为，两式相减即可得到阴影部分的面积． 【详解】． 【点睛】本题考查了圆的面积公式，解题的关键是掌握圆的面积公式进行计算． 巩固训练 1．随着城市的发展，住宅小区的建设也越来越人性化．为响应国家“加强全民健身设施建设，发展全民体育”的号召．哈市某小区在一片足够大的空地中，改建出一个休闲广场，规划设计如图所示．（π取3） （1）求塑胶地面休闲区的面积； （2）求广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值． 【答案】（1）塑胶地面休闲区的面积为350平方米；（2） 【分析】根据圆的面积公式和长方形的面积公式计算相应的面积即可． 【详解】解：（1）S塑胶地面＝S长方形+S半圆＝10×20π×（）2＝200+50π≈350（平方米）， 答：塑胶地面休闲区的面积为350平方米； （2）S种花卉＝S长方形﹣S半圆＝200﹣150＝50（平方米）， S种草坪＝S半圆＝50π≈150（平方米）， 所以，广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值为． 【点睛】本题考查平面图形面积的计算方法，掌握圆、长方形、扇形的面积计算方法是得出正确结果的关键． 2．如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？    【答案】． 【分析】根据扇形所占的百分比即可求出圆心角． 【详解】∵周角是360°， ∴， ， ． 【点睛】此题考查了扇形所占的百分比和扇形圆心角之间的关系，解题的关键是熟练掌握扇形所占的百分比和扇形圆心角之间的关系．扇形的圆心角=360°×百分比． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$