24.1.2.2 垂径定理的推论导学案 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 24.1.2.2 垂径定理的推论 学习目标：1.理解垂直于弦的直径的推论，并能用它解决一些简单的计算、证明和作图问题. 2.灵活运用垂径定理的推论解决有关圆的问题. 知识回顾 垂径定理——垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧. 推导格式：∵ ， ∴ . 要点探究 探究点：垂径定理的推论 思考探索 如果把垂径定理的结论与题设交换一条，命题还是真命题吗？ ①过圆心(是直径)；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 证明举例 如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD平分弦AB于点E. (1) CD⊥AB吗？为什么？ (2) 与相等吗？与相等吗？为什么? 归纳总结：垂径定理的推论——平分弦(不是直径)的直径 于弦，并且 弦所对的弧. 例1 如图，CD是⊙O的弦，点B是CD的中点，则下列结论错误的是 (　　) A．BC＝BD B．OA⊥CD C． D．OB＝AB 变式1 如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，点C为AB的中点，则下列说法正确的是________. ①OC⊥CB； ②CA＝CB； ③OC＝4 cm； ④OC＝AC. 例2 如图，点D为弦AB的中点，OD＝8，AB＝12，求⊙O的半径． 变式2 如图，点D为的中点，CD＝2，AB＝12，求⊙O半径． 例3 已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：. 归纳总结： 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件. 例4 兴隆蔬菜基地圆弧形蔬菜小棚的剖面如图所示，已知高度 CD＝2 m，半径OA＝5 m，则宽度AB为________m. 变式4 如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝6米，拱高CD＝1米，则拱桥的半径为________． 课堂小结 垂径定理 图示 垂径定理的推论 垂直于弦的直径________弦， 并且平分弦所对的两条____． 几何语言： ∵__________________________， ∴___________________________. 平分弦(不是直径)的直径 于弦，并且 弦所对的弧. 几何语言： ∵__________________________， ∴___________________________. 课堂检测： 1．如图，∠A＝45°，点C为⊙O的弦AB的中点，AB＝2，求⊙O的面积． 2．往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48 cm，则水的最大深度为 (　　) A．8 cm B．10 cm C．16 cm D．20 cm 3．如图，AB为⊙O的直径，点E为OB与CD的中点，CD＝，求⊙O的周长． 4．如图，AC垂直平分⊙O的半径OB，垂足为点P，四边形OABC是什么特殊的四边形？证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$