24.1.2.2 垂径定理的推论及应用课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 24.1.2.2 垂径定理的推论及应用 1. 理解垂直于弦的直径的推论，并能应用它 解决一些简单的计算、证明和作图问题；（重点） 2. 灵活运用垂径定理的推论解决有关圆的问题.（难点） 学习目标 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如. 垂径定理 · O A B C D P 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB，(条件) 知识回顾 推导格式： ∴ AP = BP， (结论) 3 如果把垂径定理 (垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧) 的结论与题设交换一条，命题还是真命题吗？ ①过圆心(是直径)； ②垂直于弦；③平分弦； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 思考探索 4 D O A B E C 举例证明其中一种组合方法. 已知: 求证： ① CD 是直径 ② CD⊥AB，垂足为 E ③ AE = BE 证明猜想 ④ 5 如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD 平分弦 AB 于点 E. （1）CD⊥AB 吗？为什么？ （2） · O A B C D E 解：(1) 连接 AO、BO，则 AO = BO. 又∵ AE = BE， ∴∠AEO =∠BEO = 90°. ∴ CD⊥AB. 证明举例 ∴△AOE≌△BOE(SSS). (2) 由垂径定理可得 与 相等吗？ 与 相等吗？ 为什么？ 6 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？ 如果不能，请举出反例. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 垂径定理的推论 圆的两条直径是互相平分的. 归纳总结 特别说明： · O A B C D 7 【例1】如图，CD是⊙O的弦，点B是CD的中点，则下列结论错误的是 (　　) A．BC＝BD B．OA⊥CD C．＝ D．OB＝AB 知识点1 垂径定理的推论 D　 8 【变式1】如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，点C为AB的中点，则下列说法正确的是________. ①OC⊥CB； ②CA＝CB； ③OC＝4 cm； ④OC＝AC. ①②③　 9 【例2】如图，点D为弦AB的中点，OD＝8，AB＝12，求⊙O的半径． 知识点2 垂径定理的推论有关计算 解：∵点D为弦AB的中点，OC是⊙O的半径，　 ∴OC⊥AB，AD＝AB＝6.　 如图，连接OA.　 在Rt△OAD中， OA＝＝10.　 即⊙O的半径为10.　 10 【变式2】如图，点D为的中点，CD＝2，AB＝12，求⊙O半径． 解：如图，连接AO.　 设⊙O的半径为R， 则OA＝R，OC＝R－2.　 ∵点D是的中点，半径OD与AB相交于点C，　 ∴OC⊥AB.　 ∴AC＝BC＝AB＝6.　 在Rt△AOC中，∵AO2＝OC2＋AC2，　 ∴R2＝(R－2)2＋62，　 解得R＝10.　 答：⊙O的半径长为10.　 11 证明：作直径 MN⊥AB，如图. ∵ AB∥CD，∴ MN⊥CD. 则 = ， = （垂直 平分弦的直径平分弦所对的弧）. ∴ － = － . ∴ = . 例3 已知：⊙O 中弦 AB∥CD，求证： = . . M C D A B O N 12 解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件. 归纳总结 13 【例4】兴隆蔬菜基地圆弧形蔬菜小棚的剖面如图所示，已知高度 CD＝2 m，半径OA＝5 m，则宽度AB为________m. 知识点3 垂径定理及其推论的应用 8　 14 【变式3】如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝6米，拱高CD＝1米，则拱桥的半径为________． 5米　 15 课堂小结 这节课，你学到了什么？ 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 两条辅助线：连半径，作弦心距 构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 课堂小结 17 1．如图，∠A＝45°，点C为⊙O的弦AB的中点，AB＝2，求⊙O的面积． 解：∵AC＝CB，　 ∴OC⊥AB.　 ∵∠A＝45°，　 ∴AC＝OC＝AB＝1.　 ∴OA＝＝＝.　 ∴⊙O的面积＝π×()2＝2π.　 当堂练习 18 2．往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48 cm，则水的最大深度为 (　　) A．8 cm B．10 cm C．16 cm D．20 cm C　 19 3．如图，AB为⊙O的直径，点E为OB与CD的中点，CD＝4，求⊙O的周长． 解：如图，连接OC.　 设⊙O的半径为r.　 ∵点E为OB与CD的中点，　 ∴OE⊥CD，CE＝CD＝2， OE＝OB＝r.　 在Rt△OCE中， ∵OE2＋CE2＝OC2，　 ∴＋(2)2＝r2，　 解得r＝4.　 ∴⊙O的周长＝2π×4＝8π.　 20 4．(易错)如图，AC垂直平分⊙O的半径OB，垂足为点P，四边形OABC是什么特殊的四边形？证明你的结论． 解：四边形OABC是菱形．　 证明如下：∵AC是OB的垂直平分线，　 ∴AO＝AB，CO＝CB.　 ∵AO＝CO，　 ∴AO＝AB＝BC＝OC.　 ∴四边形OABC是菱形．　 21 $$