专题03 直线的方程（知识归纳+分层练习）-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第一册）

03直线的方程 一、知识归纳： 1.曲线方程的概念 在一个平面直角坐标系中给定一条曲线和一个关于x与y的二元方程，如果给定曲线上的每一个点的坐标都是该给定 ，而且以给定方程的解为坐标的点都在该 上，那么称这个给定的方程是给定曲线的方程，也称这条给定的曲线是给定方程的曲线． 2.直线的五种方程 名称 条件 方程 图形 适用范围 点斜式 直线过定点斜率为 y－y0＝k（x－x0）    不表示垂直于轴的直线 斜截式 直线的斜率为，且与轴的交点为    不表示垂直于轴的直线 两点式 和其中    不表示 于坐标轴的直线 截距式 在轴上截距，在轴上截距    不表示垂直于坐标轴的直线及过 的直线 一般式 为系数， 所有直线 3.若直线的一般方程为， （1）当时，直线的斜率为 ，横截距为 ，纵截距为 ； （2）当时，直线的斜率为 ，横截距为 ，纵截距为 ； （3）当时，直线的斜率 ，横截距为 ，纵截距 . 自检自纠： 1．方程的解，给定曲线 2.，垂直，原点 3. （1） ，， （2） 0，不存在， （3）不存在，，不存在 二、分层小练： A.基础练习 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．过两点，的直线方程为（     ） A． B． C． D． 2．直线与两坐标轴所围成三角形的面积为（    ） A． B． C．3 D．6 3．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 5．经过点且倾斜角为的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的2倍，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 7．直线mx–（2m–1）y+1=0恒过定点（    ） A．（–2，–1） B．（–2，1） C．（2，–1） D．（2，1） 8．已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．若且，则直线经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．关于直线，下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为4 B．当时，直线的倾斜角为0 C．当时，直线不经过第二象限 D．当时，直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知点，，则过点Q且与OP（O是坐标原点）平行的直线方程是 ． 13．在中，，则AC边上的高所在的直线方程为 . 14．若直线不经过第四象限，则k的取值范围为 ． B.能力强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．若直线的倾斜角为，则=（    ） A．0 B． C． D． 2．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．已知直线l过点且方向向量为，则l在x轴上的截距为（ ） A． B． C． D． 4．已知点，，则线段的垂直平分线所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则k值是（    ） A． B． C． D． 6．过点且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 7．直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是（    ） A．（-2，1） B．（2，1） C．（1，-2） D．（1，2） 8．已知直线l过原点，且平分平行四边形的面积，若平行四边形的两个顶点分别为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知直线l的倾斜角为，且过点，则在直线上的点是（    ） A． B． C． D． 10．已知直线m方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．直线m斜率为 B．直线m横截距为1 C．直线m纵截距为 D．点不在直线m上 11．已知直线l的方程是，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则直线l不过原点 B．若，则直线l必过第四象限 C．若直线l不过第四象限，则一定有 D．若且，则直线l不过第四象限 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．直线l经过点，且倾斜角是直线倾斜角的2倍，则直线l的方程是 . 13．在中，，则AC边上的高所在的直线方程为 . 14．已知是直线上任意一点，则直线恒过定点的坐标为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 03直线的方程 一、知识归纳： 1.曲线方程的概念 在一个平面直角坐标系中给定一条曲线和一个关于x与y的二元方程，如果给定曲线上的每一个点的坐标都是该给定 ，而且以给定方程的解为坐标的点都在该 上，那么称这个给定的方程是给定曲线的方程，也称这条给定的曲线是给定方程的曲线． 2.直线的五种方程 名称 条件 方程 图形 适用范围 点斜式 直线过定点斜率为 y－y0＝k（x－x0）    不表示垂直于轴的直线 斜截式 直线的斜率为，且与轴的交点为    不表示垂直于轴的直线 两点式 和其中    不表示 于坐标轴的直线 截距式 在轴上截距，在轴上截距    不表示垂直于坐标轴的直线及过 的直线 一般式 为系数， 所有直线 3.若直线的一般方程为， （1）当时，直线的斜率为 ，横截距为 ，纵截距为 ； （2）当时，直线的斜率为 ，横截距为 ，纵截距为 ； （3）当时，直线的斜率 ，横截距为 ，纵截距 . 自检自纠：1．方程的解，给定曲线 2.，垂直，原点 3. （1） ，， （2） 0，不存在， （3）不存在，，不存在 二、分层小练： A.基础练习 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．过两点，的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据直线方程的两点式,将两点,代入可得: 整理可得:,过两点,的直线方程为:,故选:A. 2．直线与两坐标轴所围成三角形的面积为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【详解】令，则；令，则；所以两坐标轴所围成三角形的面积为. 故选：D 3．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的斜率为，故倾斜角为.故选：B 4．直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：直线的斜率为，所以直线的一个方向向量，或，故选：D． 5．经过点且倾斜角为的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】斜率，因此，其直线方程为，即,故选：B 6．已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的2倍，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由题意设与轴的交点为，则其与轴的交点为，当时，过原点，斜率为，故方程为；当时，斜率为，故方程为，即；故选：C. 7．直线mx–（2m–1）y+1=0恒过定点（    ） A．（–2，–1） B．（–2，1） C．（2，–1） D．（2，1） 【答案】A 【详解】由mx–（2m–1）y+1=0，得mx–2my+y+1=0，即m（x–2y）+（y+1）=0．所以，解得．∴直线mx–（2m–1）y+1=0恒过定点（–2，–1）．故选A． 8．已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误，将两点式化为斜截式：，故B错误，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确.故选：C. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为，因为直线过点，代入可得，即；当所求直线过原点时，设直线方程为，因为直线过点，代入可得，即，综上可得，所求直线的方程为或.故选：BC. 10．若且，则直线经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【详解】因为且，所以，又直线可化为，斜率为，在轴截距为，因此直线过第一，二，三象限，不过第四象限.故选：ABC 11．关于直线，下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为4 B．当时，直线的倾斜角为0 C．当时，直线不经过第二象限 D．当时，直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8 【答案】BCD 【详解】对于A，直线可化为，由斜截式可知直线在轴上的截距为，故A错误；对于B，当时，直线为，即，故直线的倾斜角为0，故B正确；对于C，当时，有，在轴上的截距为，如图易得直线不经过第二象限，故C正确； 对于D，当时，直线为，如图，易知直线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，且两条边长度都为，故，故D正确；故选：BCD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知点，，则过点Q且与OP（O是坐标原点）平行的直线方程是 ． 【答案】 【详解】由题知，，则与OP平行的直线斜率为，又改直线过点，则直线方程为,故答案为： 13．在中，，则AC边上的高所在的直线方程为 . 【答案】 【详解】，设是所求直线上除B外任意一点，则，所以AC边上的高所在的直线方程为.故答案为： 14．若直线不经过第四象限，则k的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为可化为，故直线过定点，而为第二象限中的点，且直线不经过第四象限，故斜率.故答案为：. B.能力强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．若直线的倾斜角为，则=（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】直线，垂直于轴，故倾斜角为,故选：C 2．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知，设直线的倾斜角为，则，又，所以.故选：C 3．已知直线l过点且方向向量为，则l在x轴上的截距为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率，又直线过点，所以直线方程为，即，令，得，所以在x轴上的截距为.故选：A 4．已知点，，则线段的垂直平分线所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】线段的中点为，的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，所以由点斜式即，故选：B. 5．已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则k值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于直线，能与两坐标轴围成三角形，则，令，得，所以直线与轴交点坐标为，令，得，所以直线与轴交点坐标为，所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，解得.故选：D 6．过点且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】直线过原点时，过点的直线方程为，即，此时符合题意；直线不过原点时，因为两坐标轴上的截距和为，可设直线方程为，将点代入直线方程，可得，解得，即.综上可得：所求直线方程为或.故选：D. 7．直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是（    ） A．（-2，1） B．（2，1） C．（1，-2） D．（1，2） 【答案】A 【详解】对直线方程mx-y+2m+1=0进行变形可得：，∴ 当时，取任意值等式恒成立，即有直线mx-y+2m+1=0经过点，故选A． 8．已知直线l过原点，且平分平行四边形的面积，若平行四边形的两个顶点分别为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于直线l平分平行四边形的面积，因此其必过平行四边形对角线的交点，而，所以对角线的交点为，又直线l过原点，所以其方程为．故选：D. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知直线l的倾斜角为，且过点，则在直线上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】直线的斜率，故直线方程为，即，将A、B、C、D中各点坐标代入知，，适合方程，则A、B正确.故选：AB 10．已知直线m方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．直线m斜率为 B．直线m横截距为1 C．直线m纵截距为 D．点不在直线m上 【答案】AC 【详解】A选项，变形为，故直线m斜率为，A正确； B选项，中令得，，故直线m横截距为-1，B错误； C选项，中令得，，故直线m纵截距为，C正确； D选项，当时，，故点在直线m上，D错误. 故选：AC 11．已知直线l的方程是，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则直线l不过原点 B．若，则直线l必过第四象限 C．若直线l不过第四象限，则一定有 D．若且，则直线l不过第四象限 【答案】ABD 【详解】对A，若，则都不等于0，当时，，所以直线l不过原点，故A正确； 对B，若，则直线斜率，则直线一定过第二四象限，故B正确； 对C，若直线l不过第四象限，若有直线过第一二象限时，此时，则，故C错误； 对D，若且，则，所以直线的斜率大于0，在轴上截距小于0，所以直线经过第一二三象限，不经过第四象限，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．直线l经过点，且倾斜角是直线倾斜角的2倍，则直线l的方程是 . 【答案】 【详解】由已知可得，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，所以，直线l的倾斜角为. 又直线l经过点，所以直线l的方程是.故答案为：. 13．在中，，则AC边上的高所在的直线方程为 . 【答案】 【详解】，设是所求直线上除B外任意一点，则，所以AC边上的高所在的直线方程为.故答案为： 14．已知是直线上任意一点，则直线恒过定点的坐标为 ． 【答案】 【详解】由题可得，∴，∴直线，可化为，即，由，可得，故直线直线恒过定点.故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$