4.7 一元二次方程的实际应用（教学课件）数学青岛版九年级上册

4.7 一元二次方程的实际应用 青岛版九年级上册第4章——一元二次方程 学习目标： 1、使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、增长率、销售利润、传播问题方面的应用问题． 2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生用数学的意识。 重点： 会用列一元二次方程的方法解有关面积、增长率、销售利润、传播问题方面的应用问题． 难点： 会用列一元二次方程的方法解有关面积、增长率、销售利润、传播问题方面的应用问题． 1.审:读懂题意，弄清题目中哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系 2.设:设未知数，语句要完整，有单位的要注明单位: 3.列:根据等量关系列出方程(组); 4.解:1解所列方程(组) 5.验:检验所求方程(组)的解是否正确，是否符合题意 6.答:答案也必需是完整的语句，注明单位 一、列方程解应用题的一般步骤是: 二、列方程解应用题的关键是: 找等量关系 一、课堂导入 问题1 将一根长为64cm的铁丝剪成两段，再将每段分别围成正方形（图4-2），如果两个正方形的面积的和等于160cm2，求两个正方形的边长。   图4-2 面积问题 二、探究新知 解：设其中一个正方形的边长为xcm，那么该正方形的周长为4xcm，另一个正方形的边长为(16-x)cm. 根据题意得 x2+(16-x)2=160 整理，得 x2-16x+48=0 解这个方程，得 x1=12,x2=4 面积问题 当x=12时，16-x=4; 当x=4时，16-x=12. 经检验，当两个正方形的边长分别是12cm和4cm时，两个正方形的周长之和为64cm，面积之和为160cm2，即 x=12cm或x=4cm均符合题意。 所以，两个正方形的边长分别为4cm和12cm。 面积问题 例题1 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽. 解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米.列方程,得 （20-x)(32-x)=540， 整理,得 x2-52x+100=0， 解得 x1=50(舍去），x2=2. 答：道路宽为2米. 图1 面积问题 如果图形不规则应割或补、平移成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程。 方法点拨 面积问题 例题2 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 m2时，求AB的长． 解：设AB长为x m，则BC长为(50－2x)m. 根据题意，得 解得 当x＝10时，AD＝BC＝50－2x＝30>25，不合题意，所以x＝10应该舍去． 当x＝15时，AD＝BC＝50－2x＝20<25，所以x＝15满足条件． 答：AB的长为15 m. x(50－2x)＝300. x1＝10，x2＝15. 面积问题 围墙问题一般先设其中的一条边为x，然后用x表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解. 方法点拨 面积问题 问题2 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3600 元. 哪种药品成本的年平均下降率较大？ 平均变化率问题 问： 甲种、乙种药品年平均下降额分别是多少？ 甲：(5000-3000)÷2=1000(元)； 乙：(6000-3600)÷2=1200(元). 问： 甲种、乙种药品年平均下降额分别是多少？它们和下降额相同吗？ 下降率 = 下降前的量−下降后的量 下降前的量 ×100% 请自己动手写出分析过程并尝试解答. 下降 下降 现在成本 一年前成本 两年前成本 成本价 成本价(1-下降率) 一年前成本(1-下降率) 甲 乙 5000 6000 设甲下降率 x，设下降率 y . 5000(1 - x) 6000(1 - y) 5000(1 - x)(1 - x) 6000(1 - y)(1 - y) 平均变化率问题 解：设甲、乙种药品成本的年平均下降率为 x、y. 由题意得： 甲种药品： 5000(1 - x)2 = 3000 乙种药品： 6000(1 - y)2 = 3600 解方程，得 x1 ≈ 0.225，x2 ≈ 1.775(舍). 解方程，得 y1 ≈ 0.225， y2 ≈ 1.775(舍). 综上可知，甲、乙两种药品的下降率相同. 为什么呢？ 平均变化率问题 经过计算，你能得出什么结论呢? 经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率___________，应比较_________________. 不一定较大 降前及降后的价格 一般下降率不可为负，且不大于 1. 平均变化率问题 例4 某市政府工作报告：某年全市生产总值为 1585亿元，经过连续两年增长后，预计两年后达到 2180 亿元，求某市的平均每年增长率. 某年 一年后 二年后 1585 增长 x 增长 x 1585(1+ x) 1585(1+ x)(1+ x) 平均变化率问题 解：设某市的平均每年增长率为 x. 由题意得：1585(1 + x)2 = 2180 解得：x1≈ 0.172 ，x2≈ -2.172(不符合题意，舍). 答：某市的平均每年增长率约为 17.2%. 注意：年均增长率需要考虑实际情况取值. 小结 ________ ________ ________ ________ 第 n 次增长 增长率问题 平均变化率问题 第一次增长 a(1 + x) 第二次增长 基数为 a，平均增长率/下降率为 x 第 n 次下降 下降率问题 第一次下降 第二次下降 a(1 + x)2 ________ a(1 + x)n ________ a(1 - x) a(1 - x)2 a(1 - x)n 平均变化率问题 问题3  某花圃用花盆培育某种花卉，经市场调查发现，出售一盆花的盈利与该盆中花的棵树有关。当每盆栽种3棵时，平均每棵盈利3元。以同样的栽培条件，每盆增加1棵，平均每棵盈利将减少0.5元。要使每盆的盈利达到10元，每盆应当种植改种花卉多少棵？ 解：设每盆增加种植x棵，则每盆种花（3+x）棵，平均每棵盈利为（3-0.5x）元。 根据题意得 （3-0.5x）（3+x）=10 整理，得 x2-3x+2=0 解这个方程，得 x1=1,x2=2 经检验， x=1或x=2均符合题意。 所以，每盆应当种植改种花卉4棵或5棵。 销售、利润问题 传播问题 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 第一轮 第二轮 第三轮 每轮平均一台电脑感染电脑数量 x x x 被感染的电脑总数 1+x 1+x+x(1+x) (1+x)2+x(1+x)2 分析：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑 (1+x)2 (1+x)3 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台 传播问题 解:设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，由题意得 =81 解得=8,=-10(负值，不合题意，舍去)经过三轮感染后，有台电脑被感染， 则==729 >700 答:每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；经过三轮感染后被感染的电脑会超过700台 从正方形铁片的边截去2cm宽的一个长方形，余下的 面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ） A.8cm B.64cm C.8cm2 D.64cm2 2.直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2.则其两条直角边长分别是 、 . D 6cm 8cm 三、课堂练习 3. 在长方形钢片上裁掉一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框 .已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm, 要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的边框宽. 解：设长方形框的边框宽为xcm . 依题意得，(30-2x)(20-2x)= 600-400 . 整理，得x2-25x+100=0, 解得x1=5, x2=20(舍去) . ∴x=5. 答：这个长方形框的边框宽为5cm . 4 某种药品经过两次降价后，每盒售价为原售价的64℅，求该药品平均每次的降价率。 分析：设每次降价为x． 第一次降价后，每盒为原价的（1-x）． 第二次降价后，每盒原价的（1-x）2 解：设每次降价为x，据题意得（1-x）2=64℅ 解这个方程得X1=0.2,x2=1.8 根据题意，降价率应满足0﹤x﹤1， 因而x2=1.8不符合题意，应当舍去，而x=0.2符合题意。 所以，该药品每次的降价率为0.2，即20℅. 5. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P沿AC边 从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B 以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm²？ AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm，则可列方程为： 解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm²，由题意得： 整理，得 解得 x1=x2=3 答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm². x2-6x+9=0， （6-x)2x=9 面积 一元二次方程实际应用 增长率 割补、平移 销售利润 四、知识总结 传播问题 售价－进价 重不重复，用不用除以2 a(1 - x)n 1.必做作业： ①课本P154页，复习与巩固1-7； ②预习下一课时; 2.选做作业： P149拓展与延伸9 五、课后作业 感谢观看 $$