第1-2章阶段重难点检测卷-2024-2025学年数学八年级上册北师大版

第1-2章阶段重难点检测卷-数学八年级上册北师大版 一、单选题 1．在实数，，（每相邻两个1之间依次增加1个0），，，中，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．6、7、10 B．12、16、20 C．1、2、3 D． 3．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．已知，则的平方根是（      ） A． B． C． D． 5．在Rt中，已知其两边长分别为，，且满足，则该直角三角形的斜边长为（   ） A．5 B． C．5或 D．5或4 6．若，则a的值为（    ） A．0 B．0，1 C．，0 D．1 7．如图，在长方体中，，，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是（    ） A． B． C． D．10 8．如图所示，中边在数轴上，若，则以点A为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（    ） A．3 B．4 C．3或 D．4或 9．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? ”翻译成数学问题是：如图所示，在 中，， 求的长， 如果设，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 10． ；的平方根是 ； ． 11．已知，，则代数式的值为 ． 12．已知某正数的两个不同平方根分别是和，则这个正数为 ． 13．是的整数部分，是的整数部分，则 ． 14．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ． 15．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 16．如图， 一块直角三角形的纸片， 两直角边， ． 现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合， 则 ． 三、解答题 17．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 18．已知的平方根为，的立方根为2，求的平方根． 19．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1) ； (2)求的值； (3)在数轴上还有点C表示实数c，且A与C的距离比A与B的距离多，求点C表示的实数c． 20．阅读下列材料： ； ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，直接写出的结果为 ． (2)利用上述解法，请化简： ． (3)请化简：． 21．在中，，，，． (1)若，，求c的值； (2)若，，求b的值． 22．已知：如图，长方形中，，沿直线把折叠，点O恰好落在上一点F处． (1)求的长度． (2)求的长度． 23．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 24．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C B B B D B D D B 1．C 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】是有限小数，属于有理数； ，是整数，属于有理数： 是分数，属于有理数： 是无限循环小数，属于有理数． 无理数有（每相邻两个1之间依次增加1个0），，，共3个， 故选C． 2．B 【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数是勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴6，7，10不是勾股数，不符合题意； B、∵， ∴12、16、20是勾股数，符合题意； C、∵， ∴1，2，3不是勾股数，不符合题意； D、∵都不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，分母中含有二次根式的也不是最简二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、的被开方数含有能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、是最简二次根式，故此选项符合题意； C、的分母中含有根号，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、的被开方数是小数，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．B 【分析】本题考查算术平方根与绝对值的非负性，求一个数的平方根． 根据算术平方根与绝对值的非负性求出a、b的值，进而即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意求出，分类讨论是斜边，，是直角边两种情况即可求解． 【详解】解：∵， ∴； 若，是直角边，则斜边长为：； 若是斜边，则斜边长为4． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可. 【详解】解：∵， ∴或0， 故选：B. 7．D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，做此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，由于在平面内线段最短，再根据勾股定理即可计算． 【详解】解：如图1所示： 由题意得：，， 在中，由勾股定理得， 如图2所示： 由题意得：，， 在中，由勾股定理得；， 展开左边与上面同理可得： ． 第一种方法蚂蚁爬行的路线最短，最短路程是10． 故选：D． 8．D 【分析】本题考查了数轴，勾股定理，数轴上两点之间的距离公式，掌握勾股定理是解题关键．由数轴可知，，根据勾股定理得到，则点D表示的数与点A距离为5，据此即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， 在中，， 点D表示的数与点A距离为5， 点D表示的数是或， 故选：D． 9．B 【分析】此题考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据列得等式，熟练掌握勾股定理是解题的关键 【详解】解：设，则， ∵， ∴ ∴， 故选：B 10． 【分析】本题考查了平方根，算术平方根的定义．根据，，，再进一步解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴的平方根是， ； 故答案为：4；；． 11．13 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式等知识，先化简x、y的值，然后把变形为，再把x、y的值代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：13． 12．64 【分析】本题考查平方根的定义，明确平方根是一对相反数是解决此题的关键； 先根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，进而可得m的值， 再由平方根的定义可得这个正数． 【详解】解：∵该正数的两个不同平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴， ∴这个正数为． 故答案为：64． 13． 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算得出整数部分计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．/45度 【分析】本题考查了勾股定理，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数． 【详解】解：连接， 根据勾股定理可以得到：，， ∵，即， ∴是等腰直角三角形． ∴． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，先求出小正方形的边长，再根据4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积解答即可． 【详解】解：由图可知，小正方形的边长为， ∵4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， ∴， ∴． 故答案为：，，． 16．/1.5 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，先利用勾股定理求得，然后由翻折的性质得到，，则，设，则，然后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，， 由翻折的性质可知：，， 则． 设，则． 中，由勾股定理得：， 即，解得：． ∴． 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】此题考查了求代数式的值、利用平方差公式和完全平方公式进行计算、二次根式的混合运算等知识，熟练掌握求解的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形得到，代入计算即可； （2）先根据平方差公式进行展开得，带入数值进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 18． 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，求一个数的平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此可得，即，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵的立方根为2， ∴，即， ∴的平方根是． 19．(1) (2)2 (3)或2 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据（1）所求推出，再化简绝对值后计算求解即可； （3）先求出A与C的距离为，再分当点C在点A右边时， 当点C在点A左边时，两种情况根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：由题意得，点A到点B的距离为2， ∵A与C的距离比A与B的距离多， ∴A与C的距离为， 当点C在点A右边时，点C表示的数为， 当点C在点A左边时，点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数为或2，即或． 20．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化： （1）仿照题意对式子进行分母有理化即可； （2）仿照题意根据分母有理化的方法得到，再把所求式子裂项求解即可； （3）根据分母有理化的方法证明，再把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∴ ； （3）解： ， ∴ ． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ； （2）解：在中，，，， 22．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质等知识．熟练掌握勾股定理，折叠的性质是解题的关键． （1）由题意知，由勾股定理得，，计算求解即可； （2）由折叠的性质可知，，，，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长度为； （2）解：由折叠的性质可知，，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长度为． 23．(1)风筝的高度为21.6米 (2)他应该往回收线8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米)， 答：风筝的高度为21.6米； （2）解：由题意得，米， 米， （米)， （米)， 他应该往回收线8米． 24．（1）见解析；（2）新路比原路少5千米；（3） 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少5千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$