专题05 期中解答压轴题（三大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题05 期中解答压轴题（三大题型） 集合与逻辑 1．（21-22高一上·上海黄浦·期中）设集合为非空数集，定义，． (1)若，写出集合、； (2)若，，且，求证：； (3)若，且，求集合元素个数的最大值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1347 【分析】（1）根据定义，，直接求解即可， （2）由题意利用集合中的元素间的关系及可证明， （3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式求的范围，即可求出最大值． 【解析】（1）由题意，得，， （2）证明：因为，，且， 所以集合也有四个元素，且都为非负数，因为， 又因为，所以且， 所以集合中其他元素为，，， 即，剩下的， 因为，所以， 即，即，所以 （3）设，满足题意，其中， 因为， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 中最小的元素为0，最大的元素为， 所以， 实际当，时满足题意，证明如下： 设，， 则，， 由题意得， 即，故的最小值为674． 即时，满足题意， 综上所述，集合中元素的个数为（个． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是能够结合题意得到，进而证明符合题意. 2．（23-24高一上·上海·期中）已知实数R的子集均满足规律：，已知数集具有性质P：对任意的，与 两数中至少有一个属于A（如与中至少有一个属于A）. (1)求证：集合不可能为单元素集； (2)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； (3)数集A中的_____集合（选填“”或“”），请写出一个自然数：________，使其不可能属于集合； (4)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)A不具有，B具有，理由见解析 (3)∉，2 (4)证明见解析 【分析】(1)假设为单元素集，则，化简后可得不存在，所以即可证明； (2)根据定理罗列出与值 ，看是否属于数集与数集，即可判断； (3) 已知数集具有性质P，则，所以只有，再根据已知条件可求得，假设，代入可发现矛盾，所以可判断； (4)根据数集具有性质P，可判定且，则可以证得结论. 【解析】（1）根据题意设为单元素集，即，且， 代入可得，可以算出无解，所以， 故不可能为单元素集； （2）由于均不属于数集，所以数集不具有性质P， 由于都属于数集， 所以数集具有性质P； （3）已知数集具有性质P，则， 所以只有，又因， 则可得，若，则有，与矛盾， 所以； 若，设，均满足规律：， 则，根据集合元素互异性，所以. 故答案为：；2. （4）由(3)知，所以 由于数集具有性质P， 故，所以， ，所以， 则， 所以 【点睛】思路点睛：对于新定义题关键在于对定义的理解，通常通过类比、举例分析等方法加深对新概念的理解，然后围绕所给定义进行求解. 3．（23-24高一上·上海·期中）集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 【答案】(1)不是“可分集合”，为“可分集合” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由“可分集合”的定义判断； （2）不妨设，讨论当在集合中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立； （3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明. 【解析】（1）解：对于，去掉后，不满足题中条件，故不是“可分集合”， 对于，集合所有元素之和为. 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意. 综上所述，集合是“可分集合”. （2）证明：不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③得，矛盾，由①④得，矛盾， 由②③得矛盾，由②④得矛盾， 故当时，集合一定不是“可分集合”． （3）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同， ①若为奇数，则为奇数，易得为奇数， ②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“可分集合”， 若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由①知为奇数 综上，集合中元素个数为奇数. 【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性. 4．（23-24高一上·上海·期中）对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是． (1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素； (2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过； (3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是． 【答案】(1)、 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“协同子集”的定义直接写出另外两个元素； （2）若为的一个“协同子集”，考虑元素，进行判断证明即可； （3）根据“协同子集”的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论. 【解析】（1）解：由题意可知，中两个元素分别为和，这两个元素第个分量都是， 故中另外两个元素分别为、. （2）解：对于，考虑元素； 显然，、、，对于任意的，、、不可能都为， 可得、不可能都在“协同子集”中． 又因为取定，则一定存在且唯一，而且， 由的定义知道，，，， 这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为，所以中元素个数不超过． （3）证明：，， 定义元素、的乘积为，显然． 我们证明“对任意的，都有.” 假设存在、使得， 则由（2）知，． 此时，对于任意的，、、不可能同时为，矛盾，所以． 因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积， 根据上面的结论，我们知道， 显然这个元素的分量不能都为，不妨设， 根据的定义，可以知道中所有元素的第个分量都为． 下面再证明的唯一性： 若还有，即中所有元素的第个分量都为， 此时由（2）可知集合中元素个数至多为个，矛盾． 所以结论成立． 【点睛】方法点睛：解决集合新定义问题的方法： （1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． （2）用“协同子集”的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用“协同子集”的性质． 5．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 【解析】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以， 所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （2）已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； （3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素， 因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含， 若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含， 所以的元素个数最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交. 6．（21-22高一上·上海普陀·期中）已知集合，，，对任意，定义.若存在正整数，使得对任意，都有，则称集合具有性质.如集合、都具有性质.记是集合中的最大值. (1)判断集合和集合是否具有性质（直接写出结论）； (2)若集合具有性质，求证：和； (3)若集合具有性质，求证：. 【答案】(1)具有，不具有 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据性质的定义直接判断即可； （2）根据性质的定义可得，结合与是集合中的最大值可得，再根据裂项方法证明即可； （3）先假设，再根据分别推导的最小正整数值，进而推出矛盾即可. 【解析】（1）对集合，因为，，，故 具有性质. 对集合，，故不具有； （2）因为集合具有性质，所以对于、有； 因为，所以， 因为是集合中的最大值， 则 ； （3）假设集合的元素个数大于，即 因为集合具有性质，所以，因为，所以， 所以，所以，所以，所以， 因为，所以，所以， 以此类推，得，，，，，，， ，所以， 所以，与矛盾， 所以假设不成立，故. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 7．（22-23高一上·上海嘉定·期中）已知，集合，对于，定义A与B之间的距离为：． (1)对任意的，请写出可能的值（不必证明）； (2)设，且P中有4个元素，记P中所有元素间的距离的平均值为，求的最大值； (3)对，定义：．求证：对任意的，有以下结论成立： ①． ②三个数中至少有一个是偶数． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）（2）由新定义计算， （3）由新定义与反证法证明， 【解析】（1）由题意得， ，则可能的值为， （2）设，4个元素中第1个位置共个，个0， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 若要使最大，则，同理得第2，3，4个位置各有2个，2个0， 的最大值为， （3）①由题意得，， 若，则，，， 若，则，，， 故， ②由①可设，，， 则中有个1，中有个1， 设是使得成立的的个数， 则， 假设均为奇数，则为偶数，矛盾，故假设不成立， 故三个数中至少有一个是偶数． 8．（22-23高一上·上海宝山·期中）对于任意有限集，定义集合表示的元素个数.已知集合为实数集的非空有限子集，设集合. (1)若，求集合和； (2)已知为有限集，若，证明：. (3)若，求的值. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据给定的定义，求出集合C及其元素个数作答. （2）分中至少含有一个不在D中的元素、两种情况分别推理作答. （3）根据给定条件，确定集合中的元素个数即可计算作答. 【解析】（1）集合，而， 所以，. （2）依题意，，，当且仅当时取等号， 若中至少含有一个不在D中的元素，则有， 当时，则有，因为有限集，且，令的最小元素为， 此时集合A中最小的元素，集合B中最小的元素，因此集合C中最小的元素，即， 于是得，有， 所以. （3），因集合，若或，则，不符合题意，因此且， 当集合中有存在3元素的集合时，不妨令，令，若， 则有，即集合C中至少有4个元素，不符合题意，同理，因此，， 当集合都只有1个元素时，集合C只有1个元素，不符合题意， 当集合中一个只有1个元素，另一个有两个元素时，集合C只有2个元素，不符合题意， 当集合都有2个元素时，令，， ，若，有，满足，此时， 若，有，此时，不符合题意， 所以或的值可能为4. 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 9．（22-23高一上·上海杨浦·期中）对于一个数集，若满足下列条件：①中至少有两个非零元素；②；③任取中的两个非零元素，它们加､减､乘､除后的结果都仍属于，则称数集为数域，如有理数集为有理数域，实数集为实数域. (1)证明整数集不是数域； (2)判断集合是否为数域，并说明理由； (3)若为任意两个数域且中至少存在两个非零元素，判断是否为数域，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)集合是数域，证明见解析 (3)为数域，不一定是数域，，证明见解析 【分析】（1）按照数域的定义，找到不符合除法运算的元素，即可证明； （2）集合是数域，按照数域的定义分别证明满足三个条件即可； （3）为数域，不一定是数域，，按照数域的定义分别证明是否满足三个条件即可. 【解析】（1）证明：任取，且互质，那么一定是分数，即，故根据数域的概念得整数集不是数域. （2）解：集合是数域，理由如下： ①当或时，则，则至少有两个非零元素； ②当时，，则； ③取， 则，又，所以； ，又，所以； ，又，所以； ，又，所以， 综上，集合是数域. （3）解：为数域，不一定是数域，理由如下： 为任意两个数域且中至少存在两个非零元素，任取，则， 由于为个数域，则，；， 所以，则，同样，则，，则，所以为数域； 当且两集合无包含关系时，不妨设，则， 若是数域，则，即或， 当时，，即，与假设不符； 当时，，即，与假设不符； 所以此时不是数域； 当或两集合有包含关系时，或，此时是数域； 所以不一定是数域. 等式与不等式 10．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于两个实数，，规定， (1)证明：关于的不等式解集为； (2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； (3)设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或或 【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式即可证明； （2）解集非空转化为最大值大于1解不等式即可； （3）先解一元二次不等式和绝对值不等式确定，再分和两种情况讨论求解可得的值. 【解析】（1）不等式化为， 当时，，解得，又，所以； 当时，，符合题意，则； 当时，，解得，又，所以； 综上所述：，即关于的不等式解集为. （2）不等式即解集非空， 记，则， ，当等号成立. 故，解得或，故实数的取值范围. （3）由得，解得； 不等式即，也即， 当时，，解得，故； 当时，，解得，故. 综上所述：. 故. 不等式即，也即， 当时，，解得，满足条件； 当时，设， 因为，所以， 所以，解得或. 当，， 当，， 当，，，符合题意， 当，， 当，，， 当，，，符合题意. 综上，或或. 【点睛】关键点点睛：对于解集非空问题即有解问题，可以分离变量转化为函数的最值问题， 即有解，有解. 11．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 【答案】(1)不满足性质1，不满足性质1. (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）分别举反例证明和时性质1不成立； （2）先分别就，讨论证明若，且，则，再利用这个结论可得证； （3）结合（2）的结论可得解. 【解析】（1）记，， 假如，则当时，对任意，均有，不满足要求； 假如，则当，时，对任意，均有，， 若，同正或同负，则，其余情况下总有，不满足要求. （2）先来证明：若，且，则，同时该结论记为引理. 当时，， 当时，不妨设，则，又，所以. 所以若，且，则. 下面证当时，对任意，总存在，使得， 若，则取，此时， 其中，，且， 由引理可得， 若，则取，此时， 其中，，且，故由引理可得， 综上，当时，对任意，总存在，使得. （3）当时，当时，可取，使得，理由如下： 当时，取，则； 当时，取，则，则，故， 同理，可取，使得，此时， 所以当时，对任意，总存在，使得. 结合（2）的结论可得，对任意，总存在，使得. 综上，所有满足性质1的实数. 【点睛】思路点睛：此题考查等式和不等式的新定义问题，属于难题. （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，分别举反例证明和时性质1不成立； （3）分别就，分类讨论证明若，且，则，再利用这个结论证明当时，对任意，总存在，使得；再证明当时，对任意，总存在，使得，注意完备性. 12．（23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)时，取得最小值． 【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值； （2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件． （3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得． 【解析】（1）因为,， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足. （3）令，，由得， ， 又，所以， 构造， 由，可得，因此， 由（2）知， 取等号时，且同正， 结合，解得，即，． 所以时，取得最小值． 【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用，考查了学生的灵活运用数学知识的能力．对学生的创新性思维要求较高，本题属于难题． 13．（23-24高一上·上海松江·期中）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 【答案】(1)答案见详解 (2)证明见详解 (3)答案见详解 【分析】（1）根据的定义直接运算求解； （2）根据的定义结合充分必要条件分析证明； （3）设，则，，结合基本不等式求的取值范围，并结合根式分析求解. 【解析】（1）由题意可得：， . （2）若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的充分条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. （3）设， 则，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以实数的取值范围. 若取到最大值，则，即， 可得，即， 所以. 14．（22-23高一上·上海浦东新·期中）定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数． (1)设，都是正实数，且，求； (2)解不等式：； (3)设，都是正实数，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式即可求解； （2）分段讨论得出，然后解不等式即可； （3）设出后由基本不等式进行求解. 【解析】（1）由题意得，即，当且仅当时等号成立， 故； （2）令，得， 当时，当时， 而即恒成立， 故， 可化为或或， 解得，故原不等式的解集为； （3）设，由题意得， 则， 当且仅当即时等号同时成立， 故的最小值为． 15．（22-23高一上·上海闵行·期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素 ，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由． 【答案】(1)“上位点”为，“下位点”为； (2)是，证明见解析 (3) 【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标. （2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“下位点”. （3）借助（2）的结论证明点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数的值. 【解析】（1）根据题设中的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个“下位点”坐标分别为和； （2）点是点的“下位点”， 证明：点是点的“上位点”，      又均大于，     ，       ，即， 所以点是点的“下位点”. （3）可证点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”， 证明：点是点的“上位点”， 均大于，     ，       ， 即，所以点是点的“上位点”， 同理可得，即， 所以点是点的“下位点”， 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”． 根据题意知点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”对时恒成立， 根据上述的结论可知，当，时，满足条件. 故： 【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键. 16．（21-22高一上·上海杨浦·期中）定理（三角不等式），对于任意的、，恒有.定义:已知且，对于有序数组、、、，称为有序数组、、、的波动距离，记作，即，请根据上述俼息解决以下几个问题: (1)求函数的最小值，并指出函数取到最小值时的取值范围； (2)①求有序数组、、、的波动距离； ②求证：若、、、且，则；题（注：该命题无需证明，需要时可直接使用）.设两两不相等的四个实数、、、，求有序数组、、、的波动距离的最大值. 【答案】(1)函数的最小值为，此时的取值范围是. (2)①；②. 【分析】（1）利用三角不等式可求得的最小值及其对应的的取值范围； （2）①由题中定义可求得的值； ②利用题中定理可求得的最大值. 【解析】（1）解：由三角不等式可知，当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 由三角不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，函数的最小值为，此时的取值范围是. （2）解：①由题中定义可得； ②若、、、且，则， 当时，， ， 所以， ，即， 且有， 当取到最大值时，或， 同理或， 若，则，所以，， 故 ， 当且仅当，，，时，等号成立， 所以，为的最大值； 若，则，所以，， 同理可知为的最大值. 综上所述，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查绝对值不等式的应用，求解的最大值在于确定、的大小关系，确定这两者为四个数的最大值和最小值，结合题中定理进行求解. 函数的概念与性质 17．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，称其为“团结集合”. (1)分别判断与是否是“团结集合”，并说明理由； (2)若集合是“团结集合”，且，求集合； (3)设函数，求． 【答案】(1)集合不是“团结集合”， 集合是“团结集合” (2) (3) 【分析】（1）由“团结集合”定义判断即可； （2）由定义知，，可得，再由，，可分析出，即可得解； （3）由得， 再由，可得，，即可得到，，，，，用累加法即可得到的值，进而代入求解即可得答案. 【解析】（1）集合中，因为，，所以集合不是“团结集合”. 集合中，因为，，，，，，，所以集合是“团结集合”； （2）因为，且是“团结集合”，由于， 所以，则，所以， 又因为，所以，则， 由集合的互异性可知，，而，所以， 故集合. （3）因为是“团结集合”， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 所以，，，，， 所以， 即， 所以， 故. 【点睛】集合新定义问题的处理方法： 找：要抓住新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一都不是“新定义”哦，然后找出要素分别是什么； 看：看所求是什么？ 代：将已知条件代入新定义的要素； 解：结合数学知识进行解答. 18．（23-24高一上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，两点、的“曼哈顿距离”定义为，记为．如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为． (1)动点在直线上，点，若，求点的横坐标的取值范围； (2)动点在直线上，动点在函数图象上，求的最小值； (3)动点在函数的图象上，点，的最大值记为．如，当点的坐标为时，．求的最小值，并求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，点 【分析】（1）利用“曼哈顿距离”的定义，分类讨论去绝对值解不等式即可； （2）设出动点，利用曼哈顿距离的定义列出二元函数，将它视为以为参数，为自变量的函数，分类讨论求其最值即可； （3）先取特值确定出最小值，再验证有实数a，b即可． 【解析】（1）由已知，则根据“曼哈顿距离”定义得 ，， 当时，成立，解得； 当时，，解得； 当时，，解得 综上所述点的横坐标的取值范围是； （2）设出动点，则， 又，所以， 当时，， 此时， 当时，， 此时 当时，， 此时 又 所以 综合得，当时取等号. 即的最小值为 （3）设点，则， 若存在实数使得，则对任意成立， 取，有，取,有， 得， 所以 取，是上是偶函数， 当时，若，， 若，，当且仅当时取等． 所以存在实数且，使得最小值为，点 19．（23-24高一上·上海浦东新·期中）定义在上的非常值函数、，若对任意实数x、y，均有，则称为的相关函数. (1)判断是否为的相关函数，并说明理由； (2)若为的相关函数，证明：为奇函数； (3)在（2）的条件下，如果，，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由. 【答案】(1)不是，理由见详解； (2)证明见详解； (3) 【分析】（1）利用相关函数的定义代入计算验证即可； （2）根据奇函数的定义及相关函数的概念计算即可； （3）根据奇函数的性质及赋值法，结合递推关系判定周期性，再用反证法判定最小正周期即可. 【解析】（1）不是相关函数， 易知①， 而②，显然①②两式不相等， 即不是的相关函数， （2）令，则有， 令，则有， 两式相加得， 因为是定义在上的非常值函数，所以， 所以，所以是奇函数； （3）令，则， 因为，所以， 令，则， 令，则 若， 若，， 则， 综上可知满足题意. 再用反证法证是满足题意的最小正数， 若存在满足要求，令，则，即， 故， 而，所以，矛盾，故不符题意. 所以存在是满足题意的最小正数. 【点睛】本题关键是利用函数的奇偶性，周期性，结合反证法及赋值法来处理问题. 20．（22-23高一下·上海宝山·期中）已知函数与的定义域为R，若对任意区间，存在且，使，则是的生成函数． (1)求证：是的生成函数； (2)若是的生成函数，判断并证明的单调性； (3)若是的生成函数，实数，求的一个生成函数． 【答案】(1)证明见解析； (2)函数在R上单调递增； (3). 【分析】（1）由生成函数的定义，判断是否满足，即可证明； （2）由题意可得，由可得，结合单调函数的定义即可求解； （3），且，设，则，由生成函数的定义可得，分两种情况讨论即可. 【解析】（1），且， ， 由，得， 则满足， 所以是的生成函数； （2）因为是的生成函数， 所以对任意区间且，使， 即，由， 得，又， 所以，即， 所以函数在R上单调递增； （3），且，设， 则，， 当时，的值域为， 对任意区间且，使且， 满足， 即， 此时是的一个生成函数. 同理，当时，的值域为， 对任意区间且，使且， 满足， 即， 此时也是的一个生成函数. 综上：是的一个生成函数. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解新定义“生成函数”的性质，以学习过的函数相关的知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题. 21．（22-23高三上·上海嘉定·期中）已知，其中a为常数. (1)当时，解不等式； (2)已知是以2为周期的偶函数，且当时，有.若，且，求函数的解析式； (3)若在上存在n个不同的点，使得，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）分类讨论去绝对值，转化为不等式组，进而即得； （2）利用函数的奇偶性及周期性结合条件即得； （3）分，，，讨论，根据二次函数的性质结合条件进而即得. 【解析】（1）当时，则， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，原不等式的解集为； （2）当时，， 因为是以2为周期的偶函数， 所以， 由，且，得， 所以当时，， 所以当时，， ， 即当时，； （3）①当时，函数在上单调递增， 所以， 所以， 解得； ②当时，函数在上单调递增， 所以， 所以， 解得； ③当时，则，所以在上单调递增，在上单调递减， 于是 令，解得或，不符合题意； ④当时，则函数分别在、上单调递增，在上单调递减， 所以 ， 令，解得或，不符合题意； 综上，所求实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是去绝对值后，转化为最值问题，然后结合二次函数的图象和性质即得． 22．（21-22高一上·上海杨浦·期中）设的定义域是，在区间上是严格减函数；且对任意，，若，则． (1)求证：函数是一个偶函数； (2)求证：对于任意的，． (3)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令可得，再令代入所给条件即可求解； （2）令，代入所给条件即可得证； （3）原不等式可化为，由二次不等式解法得出或， 再由及函数的单调性求解. 【解析】（1）令，则，即， 因为的定义域是，在区间 上是严格减函数，所以不恒为0， 所以，即， 再令， 则，即 ， 所以函数是一个偶函数. （2）令， 则， 所以，得证. （3）令， 则，即 ， 所以， 由可得 ，即， 解得或， 所以或 ， 因为在区间上是严格减函数， 所以或， 解得或或 ， 又，即， 所以或或 ， 所以不等式的解集为 23．（21-22高一上·上海徐汇·期中）已知实数不全为0，给定函数，．记方程的解集为，方程的解集为，若满足，则称为一对“太极函数”．问： (1)当，时，验证是否为一对“太极函救”； (2)若为一对“太极函数”，求的值； (3)已知为一对“太极函数”，若，，方程存在正根，求的取值范围（用含有的代数式表示）． 【答案】(1)不是一对“太极函救” (2) (3)时，，时，． 【分析】（1）根据新定义检验； （2）利用新定义计算求解； （3）设，由新定义得关于的方程无实根，记，由二次函数性质求得的范围，由可得的范围． 【解析】（1）若是否为一对“太极函救”，由，得， 所以，不是的零点， 所以不是一对太极函救； （2）设为方程的一个根，即，由题设， 所以； （3）因为，由，得，所以， ， 由得或，易得， 据题意，的零点均为的零点， 故无实数根， 设，则无实根，记 时，，， ，即时，，解得， ，即时，，． 综上，时，，时，． 【点睛】本题考查函数新定义，解题关键是正确理解新定义并能应用，由新定义判断，求值等，难点是第（3）小问的范围问题，解题关键是引入变量，利用新定义确定关于的方程无实根，记，只要即可得结论． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 期中解答压轴题（三大题型） 集合与逻辑 1．（21-22高一上·上海黄浦·期中）设集合为非空数集，定义，． (1)若，写出集合、； (2)若，，且，求证：； (3)若，且，求集合元素个数的最大值． 2．（23-24高一上·上海·期中）已知实数R的子集均满足规律：，已知数集具有性质P：对任意的，与 两数中至少有一个属于A（如与中至少有一个属于A）. (1)求证：集合不可能为单元素集； (2)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； (3)数集A中的_____集合（选填“”或“”），请写出一个自然数：________，使其不可能属于集合； (4)证明：. 3．（23-24高一上·上海·期中）集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 4．（23-24高一上·上海·期中）对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是． (1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素； (2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过； (3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是． 5．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 6．（21-22高一上·上海普陀·期中）已知集合，，，对任意，定义.若存在正整数，使得对任意，都有，则称集合具有性质.如集合、都具有性质.记是集合中的最大值. (1)判断集合和集合是否具有性质（直接写出结论）； (2)若集合具有性质，求证：和； (3)若集合具有性质，求证：. 7．（22-23高一上·上海嘉定·期中）已知，集合，对于，定义A与B之间的距离为：． (1)对任意的，请写出可能的值（不必证明）； (2)设，且P中有4个元素，记P中所有元素间的距离的平均值为，求的最大值； (3)对，定义：．求证：对任意的，有以下结论成立： ①． ②三个数中至少有一个是偶数． 8．（22-23高一上·上海宝山·期中）对于任意有限集，定义集合表示的元素个数.已知集合为实数集的非空有限子集，设集合. (1)若，求集合和； (2)已知为有限集，若，证明：. (3)若，求的值. 9．（22-23高一上·上海杨浦·期中）对于一个数集，若满足下列条件：①中至少有两个非零元素；②；③任取中的两个非零元素，它们加､减､乘､除后的结果都仍属于，则称数集为数域，如有理数集为有理数域，实数集为实数域. (1)证明整数集不是数域； (2)判断集合是否为数域，并说明理由； (3)若为任意两个数域且中至少存在两个非零元素，判断是否为数域，并说明理由. 等式与不等式 10．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于两个实数，，规定， (1)证明：关于的不等式解集为； (2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； (3)设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 11．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 12．（23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 13．（23-24高一上·上海松江·期中）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 14．（22-23高一上·上海浦东新·期中）定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数． (1)设，都是正实数，且，求； (2)解不等式：； (3)设，都是正实数，求的最小值． 15．（22-23高一上·上海闵行·期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素 ，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由． 16．（21-22高一上·上海杨浦·期中）定理（三角不等式），对于任意的、，恒有.定义:已知且，对于有序数组、、、，称为有序数组、、、的波动距离，记作，即，请根据上述俼息解决以下几个问题: (1)求函数的最小值，并指出函数取到最小值时的取值范围； (2)①求有序数组、、、的波动距离； ②求证：若、、、且，则；题（注：该命题无需证明，需要时可直接使用）.设两两不相等的四个实数、、、，求有序数组、、、的波动距离的最大值. 函数的概念与性质 17．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，称其为“团结集合”. (1)分别判断与是否是“团结集合”，并说明理由； (2)若集合是“团结集合”，且，求集合； (3)设函数，求． 18．（23-24高一上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，两点、的“曼哈顿距离”定义为，记为．如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为． (1)动点在直线上，点，若，求点的横坐标的取值范围； (2)动点在直线上，动点在函数图象上，求的最小值； (3)动点在函数的图象上，点，的最大值记为．如，当点的坐标为时，．求的最小值，并求此时点的坐标． 19．（23-24高一上·上海浦东新·期中）定义在上的非常值函数、，若对任意实数x、y，均有，则称为的相关函数. (1)判断是否为的相关函数，并说明理由； (2)若为的相关函数，证明：为奇函数； (3)在（2）的条件下，如果，，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由. 20．（22-23高一下·上海宝山·期中）已知函数与的定义域为R，若对任意区间，存在且，使，则是的生成函数． (1)求证：是的生成函数； (2)若是的生成函数，判断并证明的单调性； (3)若是的生成函数，实数，求的一个生成函数． 21．（22-23高三上·上海嘉定·期中）已知，其中a为常数. (1)当时，解不等式； (2)已知是以2为周期的偶函数，且当时，有.若，且，求函数的解析式； (3)若在上存在n个不同的点，使得，求实数a的取值范围. 22．（21-22高一上·上海杨浦·期中）设的定义域是，在区间上是严格减函数；且对任意，，若，则． (1)求证：函数是一个偶函数； (2)求证：对于任意的，． (3)若，解不等式． 23．（21-22高一上·上海徐汇·期中）已知实数不全为0，给定函数，．记方程的解集为，方程的解集为，若满足，则称为一对“太极函数”．问： (1)当，时，验证是否为一对“太极函救”； (2)若为一对“太极函数”，求的值； (3)已知为一对“太极函数”，若，，方程存在正根，求的取值范围（用含有的代数式表示）． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$