专题06 期中填选压轴题（三大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题06 期中填选压轴题（三大题型） 集合与逻辑 1．（23-24高一上·上海·期中）设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为 . 2．（23-24高一上·上海·期中）已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 . 3．（23-24高一上·上海·期中）定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和，可以表示下列集合中的 （填序号） ①；②；③. 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”. ①集合是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且. 其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号） 5．（22-23高一上·上海浦东新·期中）Q是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合M相等的集合序号是 ． 6．（21-22高一上·上海普陀·阶段练习）已知集合和，使得，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合 . 7．（23-24高一上·上海·期中）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 8．（21-22高一上·上海黄浦·阶段练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，，则实数a的所有可能取值构成集合S，则 . 9．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 . 10．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知均为正数，并且，给出下列2个结论： ①中小于1的数最多只有一个； ②中最小的数不小于.则（    ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①，②都错 D．①，②都对 11．（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 12．（22-23高一上·上海宝山·期中）用表非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．9 13．（21-22高一上·上海黄浦·期中）对集合，2，3，，的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减或加后继的数所得的结果．如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为10，则集合所有非空子集的“交替和”的总和为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（    ） A．若P有2个元素，则Q有3个元素 B．若P有2个元素，则有4个元素 C．若P有2个元素，则有1个元素 D．存在满足条件且有3个元素的集合P 15．（20-21高二上·上海徐汇·期中）非空向量集合，对于任意，以及任意，都有，则称为“类集”，现有四个命题： ①若为“类集”，则集合也是“类集”； ②若、都是“类集”，则也是“类集”； ③若、都是“类集”，且至少有两个公共元素，则也是“类集”； ④若、都是“类集”，则集合也是“类集”； 其中所有正确的命题是（    ） A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④ 等式与不等式 16．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ． 17．（18-19高一上·上海浦东新·期中）定义区间、、、的长度均为，已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为（    ） A． B． C．4 D．2 18．（21-22高一上·上海杨浦·期中）对于实数x，y，记，下列选项错误的是（    ） A．对于任意实数，， B．对于任意实数，，其中成立当且仅当 C．对于任意实数，，其中 D．对于任意实数，存在正实数r和实数z，使得且 19．（23-24高一上·上海黄浦·期中）（1）已知关于的方程有两个实数根、，则的取值范围是 ； （2）对于区间我们规定是这个区间的“长度”．已知、都是集合的子集，，，则集合“长度”的取值范围是 ． 20．（21-22高三上·上海黄浦·期中）当且仅当（其中）时，函数的图像在函数图像的下方，则的取值范围为 . 21．（23-24高一上·上海浦东新·期中）根据三角不等式我们可以证明：，当且仅当，，时等号成立．若等式对任意x，y，都成立，则符合要求的有序数组数量为（    ） A．有且仅有6组 B．有且仅有12组 C．大于12组，但为有限多组 D．无穷多组 函数的概念与性质 22．（23-24高一上·上海·期中）已知，若实数a、b、c、d满足，则的取值范围为 . 23．（2015·江苏南通·一模）已知函数若是函数的最小值，则实数的取值范围为 ． 24．（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为 . 25．（22-23高三上·上海闵行·期中）设是定义在上的函数若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：①；②；③；④.具有性质的函数有 个. 26．（22-23高二上·上海宝山·期中）定义在上的函数、，且满足对任意恒成立，请判断以下命题： （1）若是周期函数，则函数也是周期函数； （2）若是偶函数，则函数也是偶函数； （3）若是上的严格增函数，则函数是上的严格增函数或者严格减函数； （4）若是上的增函数，则函数与函数也都是上的增函数. 其中真命题的序号是 . 27．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域均为，且．对任意的均有成立，且．则下列说法正确的个数有（    ） ①．    ②．为奇函数    ③．的周期为6    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 28．（22-23高一上·上海松江·期末）关于函数，给出下列两个结论： ①方程一定有实数解； ②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数. 则（    ） A．①正确，②正确 B．①错误，②错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 29．（23-24高一下·上海·期中）已知二次函数，，，若且，则下列说法正确的是（    ） A．对任实数，均有 B．对任意满足实数，均有 C．对任意满足的实数，均有 D．存在实数，使得 30．（23-24高一上·上海浦东新·期中）如果同时满足以下三个条件： ①；②对任意，成立；③当，，时，总有成立，则称为“理想函数”.有下列两个命题： 命题：若为“理想函数”，则存在且，使成立； 命题：若为“理想函数”，则对任意，都有成立. 则下列说法正确的是（    ） A．命题为假命题，命题为真命题 B．命题为真命题，命题为假命题 C．命题、命题都是真命题 D．命题、命题都是假命题 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 期中填选压轴题（三大题型） 集合与逻辑 1．（23-24高一上·上海·期中）设集合，，若且，则所有满足条件的集合的个数为 . 【答案】12 【分析】正面求解复杂，先求集合的子集的个数即可 【解析】按题意，集合是的子集，且与的交集不为空集 集合的子集有个 其中与的交集为空集的子集，即的子集，有个 故满足题意的集合的个数为 故答案为：12 2．（23-24高一上·上海·期中）已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 . 【答案】 【分析】集合的任意一个不含的集合与集合的“交替和”之和应为，则由对应思想两两结组求和可得. 【解析】由题意知，集合的“交替和”为. 集合的所有个子集中，除去集合外，还有个非空子集. 这个非空子集中不含元素的集合，即的非空子集，共有个， 设为； 则这个非空子集中含元素的集合，也共有个， 这样的集合都可以看成相应地在每个不含的集合中再加上元素得到，即. 对中的任意集合，记， 则“交替和”，其中， 由，则集合的“交替和”为 ， 则集合与集合的“交替和”之和为， 下面举例说明： 如集合与集合， 的“交替和”为， 的“交替和”为 ， 即集合与集合的“交替和”之和为. 综上，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和， 且每组中“交替和”之和都为，共有组. 故集合所有“交替和”之和，由各组之和再加集合的“交替和”即可， 综上所述，当时，集合的所有子集的所有“交替和”之和为 . 故答案为：. 【点睛】 “对应”是数学的基本概念和基本思想，正是基于“对应”，问题才可以抽象或者转化.对应思想在相等关系、对称转化、分组求和等问题的处理中比较常见. 3．（23-24高一上·上海·期中）定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和，可以表示下列集合中的 （填序号） ①；②；③. 【答案】①②③ 【分析】根据新定义运算逐个判断即可. 【解析】由nand定义知的意义是集合的补集与补集的并集，即， 则或，或， 所以或 或， 所以， 综上，，， . 故答案为：①②③ 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求解决问题. 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”. ①集合是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且. 其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质，可判定①②③正确；设A中，得到，分和，两种情况分类讨论，可判定④正确. 【解析】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系和相当于的两根， 由，解得或（舍去），所以， 所以、至少有一个大于2，所以②正确； 对于③中，由②知，一元二次方程，当t取不同的值时，的值是不同的， 所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④中，不妨设A中， 由，得， 当时，即有，所以，于是，无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”A只有一个，为． 当时，由，即有， 事实上，，矛盾， 所以当时不存在完美集，所以④正确. 故答案为：①②③④. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 5．（22-23高一上·上海浦东新·期中）Q是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合M相等的集合序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】集合相等条件为集合元素相同，根据此条件分别判断①②③④四个集合中元素是否与集合M一致即可. 【解析】对于①.，设，则，故①的集合与M相等； 对于②.令 ，则，其中，故②的集合与M相等； 对于③.当 时，，故③的集合与M不相等； 对于④.令， ， 其中，故④的集合与M相等； 故答案为:①②④ 6．（21-22高一上·上海普陀·阶段练习）已知集合和，使得，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合 . 【答案】或或. 【分析】求得中所有元素之和后，根据中元素个数得到其元素所满足的关系式，依次判断中元素不同个数时可能的结果即可. 【解析】，中所有元素之和为； 若中仅有一个元素，设，则，解得：，不合题意； 若中有且仅有两个元素，设，则， 当，时，，； 若中有且仅有三个元素，设，则； 当，，时，， 若中有且仅有四个元素，设， 则， 当，，，时，，； 若中有且仅有五个元素，若，此时， 中最多能有四个元素； 综上所述：或或. 故答案为：或或. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过对中元素个数的分类讨论，依次从小至大排列中元素可能的取值，根据满足的关系式分析即可得到满足题意的集合. 7．（23-24高一上·上海·期中）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【答案】 【分析】利用题设规定的子集的定义，将211化为的形式，从而得解. 【解析】由于， 因为集合，的子集为的第个子集，其中， 所以的第211个子集是. 故答案为：. 8．（21-22高一上·上海黄浦·阶段练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，，则实数a的所有可能取值构成集合S，则 . 【答案】 【分析】先由题中条件，得到或，结合方程分别求解，即可得出结果. 【解析】因为，，所以或. 当时，关于x的方程有1个实数解， 所以，解得. 当时，关于x的方程有3个实数解， 方程有两个解为0和，则和都不是方程的根， 所以需满足，解得. 当时，的解为，符合题意； 当时，的解为，符合题意. 综上，a的所有可能取值为0，，，即所求集合S为. 故答案为：. 9．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 . 【答案】120 【分析】确定最小值分别为时相应的集合A的个数，再求和即可. 【解析】设，对M的任意非空子集A共有个， 其中最小值为1的有，最小值为2的有个，…，最小值为6的只有个， ． 故答案为：120 10．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知均为正数，并且，给出下列2个结论： ①中小于1的数最多只有一个； ②中最小的数不小于.则（    ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①，②都错 D．①，②都对 【答案】A 【分析】对于①用反证法可以证明；对于②，举出反例说明其错误. 【解析】对于①，假设存在两个小于1的正数，不妨设, 则,则, 这与矛盾, 故中小于1的数最多只有一个, ①正确; 对于②，不妨假设中最小数为，取, 则取, 则, 即说明中最小的数可以小于，②错误, 故选：A. 11．（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断. 【解析】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对； 对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错； 对于③，集合， 在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数， 则，， ， 集合为“完美集合”，③对； 对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错. 故选：A. 12．（22-23高一上·上海宝山·期中）用表非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【分析】由新定义，确定，再由新运算确定，并由集合的定义确定，然后由判别式求得值，得集合，从而得结论． 【解析】由已知，又，所以或， 又中显然是一个解，即，因此，所以， 所以有两个相等的实根且不为0， ，，经检验符合题意，， 所以． 故选：C． 13．（21-22高一上·上海黄浦·期中）对集合，2，3，，的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减或加后继的数所得的结果．如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为10，则集合所有非空子集的“交替和”的总和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为集合A的非空子集有个，逐个计算“交替和”再求总和是不可能的，必须通过分析“交替和”的特点，寻找“交替和”的规律.为了找到“交替和”的规律，令，则的非空子集共有15个，写出它们的全部“交替和”如下：    ；      ；       ；      ；             ；              3；      ；           ；         4.        ；                 ；        ；                ；          1；                            2； 从以上写出的“交替和”我们发现，除了集合以外，可以把集合A的子集分成两类：一类子集中包含4，另一类不包含4，并且可以在这两类集合之间建立起一个一一映射：设是集合A的一个不包含4的子集，则令与集合相对应，显然与的“交替和”之和为4.因为这样的共有个，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的总和为 【解析】解：集合，2，3，，的非空子集中，除去集合，还有个非空子集，将这个子集分成两类：第一类是包含元素的子集；第二类是不包含元素的子集；在第二类子集与第一类子集之间建立如下对应关系，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射，设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的总和为. 故选: A. 14．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（    ） A．若P有2个元素，则Q有3个元素 B．若P有2个元素，则有4个元素 C．若P有2个元素，则有1个元素 D．存在满足条件且有3个元素的集合P 【答案】C 【分析】若集合中有个元素，设，根据集合中元素的特性和题设条件进行分析推导，可判断出选项ABC；假若有个元素，设，再根据题设条件推导分析，可得到中还有第四个元素，推出矛盾，从而可判断出D选项. 【解析】若有2个元素，设，则， 因为至少有个元素，所以中除外至少还有一个元素， 不妨设，，则， 若，则且， 所以，与假设矛盾，所以， 所以或， 当时，则，所以， 若，则，与矛盾，所以，同理可知， 所以此时，； 当时，则，所以， 若，则，与矛盾，所以，同理可知， 此时，； 由上可知，当有2个元素，则有个元素，有个元素，有个元素， 故A错误，B错误，C正确； 不妨假设有个元素，设，则为互不相等的正数， 由③可知：， 又因为为互不相等的正数，所以也为互不相等的正数， 由②可知：都是集合的元素， 因为为互不相等的正数，所以都是不等于的正数，所以， 又因为为互不相等的正数，所以， 考虑到和，若，则为互不相等的正数， 又因为，所以，所以是与不相等正数， 因为都是集合的元素，所以集合中至少有个元素，这与假设矛盾， 因此考虑的情况，所以，同理可得，所以， 所以，这与集合中元素的互异性矛盾，所以有个元素不可能成立，故D错误； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系以及集合运算后集合中元素个数的判断，本题的难点在于如何通过假设推导出矛盾，解答过程中主要利用集合中元素的互异性去检验元素，从而达到确定集合中元素个数的目的. 15．（20-21高二上·上海徐汇·期中）非空向量集合，对于任意，以及任意，都有，则称为“类集”，现有四个命题： ①若为“类集”，则集合也是“类集”； ②若、都是“类集”，则也是“类集”； ③若、都是“类集”，且至少有两个公共元素，则也是“类集”； ④若、都是“类集”，则集合也是“类集”； 其中所有正确的命题是（    ） A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据“类集”的定义，结合各选项描述逐项判断它们的真假. 【解析】①为“类集”且，令，则，故，有且，满足“类集”； ②、都是“类集”，若取两个元素，、且、，此时不一定有使，不满足“类集”； ③、都是“类集”，显然中的元素同时属于、，故满足“类集”； ④、都是“类集”且，取，则，而，，则，满足“类集”； 综上，①③④为真命题. 故选：D 等式与不等式 16．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】 将拆开为，同时用两次均值不等式构造相同结构即可. 【解析】 ， 所以， 当且仅当时取到等号， 故答案为： 17．（18-19高一上·上海浦东新·期中）定义区间、、、的长度均为，已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】将不等式转化为高次分式不等式，求得不等式的解集，由此求得构成的区间的长度和. 【解析】原不等式可转化为①，对于，其判别式，故其必有两不相等的实数根，设为，由求根公式得，. 下证： 构造函数，其两个零点为，且.而，所以，由于，且，由二次函数的性质可知. 故不等式①的解集为，其长度之和为. 故选D. 【点睛】本小题主要考查高次分式不等式的解法，考查一元二次方程、一元二次不等式的关系，考查新定义的理解和运用，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题. 18．（21-22高一上·上海杨浦·期中）对于实数x，y，记，下列选项错误的是（    ） A．对于任意实数，， B．对于任意实数，，其中成立当且仅当 C．对于任意实数，，其中 D．对于任意实数，存在正实数r和实数z，使得且 【答案】C 【分析】利用作差法可得，进而可判断A； 根据二次根式的取值范围即可判断B； 通过举例说明即可判断C； 根据、即可判断D. 【解析】A：由， 得，，， 所以 ，， 则， 即， 所以，故A正确； B：由知或， 当时，， 当时，， 所以，当且仅当时等号成立.故B正确； C：由知，存在，此时， 又无法确定与的大小关系，所以无法确定与的大小关系， 所以，故C错误； D：设()为一个实数，由， 得，， 所以存在正实数()使得且，故D正确. 故选：C 19．（23-24高一上·上海黄浦·期中）（1）已知关于的方程有两个实数根、，则的取值范围是 ； （2）对于区间我们规定是这个区间的“长度”．已知、都是集合的子集，，，则集合“长度”的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）结合判别式，韦达定理及二次函数的性质求解； （2）先由都是集合的子集，可得，由区间长度定义分析可得集合长度最大不超过的区间长度1，最小不小于，再取及分析即得解． 【解析】（1）根据题意，，解得， ∴， ∴ ， ∵，∴当时，取最小值4， 则的取值范围是． （2）由题意，，故，解得； ，故，解得， 由于，区间长度为2； ，区间长度为1， ，区间长度为， 故集合长度最大不超过区间的区间长度1，最小不小于 又由于当时，，区间长度为1，取得最大值； 当时，，区间长度为，取得最小值， 故集合长度的取值范围是 故答案为：（1），（2）． 20．（21-22高三上·上海黄浦·期中）当且仅当（其中）时，函数的图像在函数图像的下方，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】取，得到时，与相切，然后时，得到，然后根据的范围，进一步求得，最后进行计算即可. 【解析】取,则，当时， 所以可知与相切 当时，可得 所以或（舍，因为为此值时，当时图象不在图象下方） 由，当时， 令， 设两根分别为， 所以 当时， 令 所以 所以 又，所以 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对的取值以及分别用来表示. 21．（23-24高一上·上海浦东新·期中）根据三角不等式我们可以证明：，当且仅当，，时等号成立．若等式对任意x，y，都成立，则符合要求的有序数组数量为（    ） A．有且仅有6组 B．有且仅有12组 C．大于12组，但为有限多组 D．无穷多组 【答案】A 【分析】利用赋值法结合三角不等式等号成立的条件进行分析即可. 【解析】若等式对任意x，y，都成立， 则当或者时，等式均成立， 故， ， ，当且仅当，，时等号成立． 故，，. ，， ，等号成立， ， ，当且仅当时，等号成立 故，，， 结合，，得：，，. 且 所以或 此时对任意x，y，都成立. 故符合要求的有序数组有且仅有6组. 故选：A 函数的概念与性质 22．（23-24高一上·上海·期中）已知，若实数a、b、c、d满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用的单调性和不等式的性质可得答案. 【解析】当时，，且在上单调递减， 因为，所以， 所以， 因为在上单调递减，， ， ，， 所以. 故答案为：. 23．（2015·江苏南通·一模）已知函数若是函数的最小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用定义可知在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值为，再根据是的最小值，可知且，解得结果即可得解. 【解析】当时，， 任设，则， 当时，，， 所以，所以， 当时，，， 所以，所以， 所以在上递减，在上递增， 所以当时，取得最小值为， 又因为是的最小值，所以且，解得. 故答案为：. 24．（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为 . 【答案】 【分析】对、、的取值进行分类讨论，计算出不同情况下函数的个数，即可得解. 【解析】分以下几种情况讨论： ①当、、全为时，只有种； ②当、、中有两个为，一个为时，有种； ③当、、中有两个为，一个为时，有种； ④当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种； ⑤当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种. 综上所述，满足条件的函数的个数为个. 故答案为：. 25．（22-23高三上·上海闵行·期中）设是定义在上的函数若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：①；②；③；④.具有性质的函数有 个. 【答案】3 【分析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，，使得． 【解析】①和②一样，函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如两个函数都满足，故函数满足性质； ③函数为偶函数，令，，或 则，故函数满足性质； ④假设存在不相等，，使得，即，则， 得，这与矛盾，故函数不满足性质. 故答案为：3 26．（22-23高二上·上海宝山·期中）定义在上的函数、，且满足对任意恒成立，请判断以下命题： （1）若是周期函数，则函数也是周期函数； （2）若是偶函数，则函数也是偶函数； （3）若是上的严格增函数，则函数是上的严格增函数或者严格减函数； （4）若是上的增函数，则函数与函数也都是上的增函数. 其中真命题的序号是 . 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）令，代入条件即可判断；（2）令，代入条件即可判断；（3）（4）令，根据函数的单调性定义判断正误即可. 【解析】（1）若是周期为的函数，则， 令，，故， 所以，即； （2）若是偶函数，则， 令，，故， 所以，即； （3）若是上为增函数，令，则， 所以，或， 即或，故是上的严格增函数或者严格减函数； （4）是上的增函数，令，则， 所以， 即，故为增函数或为常数函数； ，故为增函数或为常数函数； 综上，（1）（2）（3）正确，（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3） 27．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域均为，且．对任意的均有成立，且．则下列说法正确的个数有（    ） ①．    ②．为奇函数    ③．的周期为6    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对①：通过，即可直接求得结果；对②：令，求得，再令，即可求得，即可判断；对③：对原式通过赋值法，结合已知数据，以及周期性的定义，即可求得结果；对④：根据③中所求，结合的取值，以及函数周期性，即可求得结果. 【解析】根据题意可得， 对①：，故①正确； 对②：对，令，则，则； 再令，则，整理得， 又，故为偶函数，故②错误； 对③：对，令，则； 故，，则， ，也即，故的周期为，故③正确； 对④：由③可知：，又， 故，解得；同理，解得； ，解得，，解得，，解得； 即； 则，故④正确； 故说法正确的个数有个. 故选：C. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 28．（22-23高一上·上海松江·期末）关于函数，给出下列两个结论： ①方程一定有实数解； ②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数. 则（    ） A．①正确，②正确 B．①错误，②错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】由函数解析式可推出是偶函数，在上单调递增，在上单调递减，结合图形判断各项的正误. 【解析】令，解得，可知的定义域为， 且，所以函数是偶函数， 当时，则， 因为在上单调递增，且恒成立，所以在上单调递减， 当时，则， 因为在上单调递减，且恒成立，所以在上单调递增， 可得的函数图象如下：    对于①：方程根的个数即为函数与的交点个数， 由图象可得：当时，函数与函数的图像一定有交点， 由对称性可知，当时，函数与函数的图像也一定有交点，故①正确； 对于②：当时，方程只有1个解，故②错误； 故选：C. 【点睛】关键点睛：根据函数解析式确定单调区间，奇偶性，进而结合图象判断各项的正误，注意一次函数的性质和函数对称性的应用. 29．（23-24高一下·上海·期中）已知二次函数，，，若且，则下列说法正确的是（    ） A．对任实数，均有 B．对任意满足实数，均有 C．对任意满足的实数，均有 D．存在实数，使得 【答案】B 【分析】由题意可知， 化简得，根据与的大小关系确定的范围判断各个选项. 【解析】 对称轴为 ， ， 令 ， 则 ， ， ， ， ， ， 正确，C错误， 对A：，故A错误， 对D: ，故不存在实数，使得，D错误. 故选：B. 30．（23-24高一上·上海浦东新·期中）如果同时满足以下三个条件： ①；②对任意，成立；③当，，时，总有成立，则称为“理想函数”.有下列两个命题： 命题：若为“理想函数”，则存在且，使成立； 命题：若为“理想函数”，则对任意，都有成立. 则下列说法正确的是（    ） A．命题为假命题，命题为真命题 B．命题为真命题，命题为假命题 C．命题、命题都是真命题 D．命题、命题都是假命题 【答案】A 【分析】令，结合性质②③可得，即可判断真假，由此有在上有递增趋势的函数(不一定严格递增)，进而得到，应用反证法：若为“理想函数”，存在，使成立，讨论、，结合递归思想判断的存在性，判断真假. 【解析】令，则， 所以， 又对任意成立，则，即， 所以，即对任意，都有，命题为假命题； 由命题为假，即在上非递减，有递增趋势的函数(不一定严格递增)， 令，则，而任意成立； 所以，又，故， 反证法：若为“理想函数”，存在，使成立， 对于，，而，此时不存在使成立； 对于，若存在使成立，则， 而，则，即， 由，依次类推，必有，且趋向于无穷大， 此时，而必然会出现大于1的情况，与矛盾， 所以，在上也不存在使成立， 综上，若为“理想函数”，则对任意，都有成立，命题为真命题； 故选：A. 【点睛】关键点点睛：对于的真假判断，应用反证及递归思想推出情况下矛盾结论. 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