2024-2025学年七年级上册第三章 实数 单元检测A卷(2024新浙教版）

· 2024-2025学年七年级第一学期(2024新浙教版) · 第三章 实数 单元检测A卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．1的平方根与算术平方根都是1 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D．4的平方根是 3．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，结构与三阶魔方相近，可以利用复原三阶魔方的公式进行复原．已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（    ） A． B． C． D． 5．估计与最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 7．有下列结论：①数轴上的点只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数是有限小数；无理数是无限小数；其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 8．如图，四边形是长方形，正方形，正方形的面积分别是4，2，则图中阴影部分的面积是（    ）． A． B． C． D．2 9．在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 10．已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．一个正数的平方根是与，则 ． 12．计算： ； ． 13．比较大小： 9．（填“”、“ ”或“” 14．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示0的点重合，将圆沿数轴向右无滑动地滚动一周，点到达点的位置，则点表示的数是 ．（结果保留） 15．如图，数轴上四个点，，， 中的一个点表示实数 ，这个点是 ． 16．底面积为，高为19cm的圆柱形容器内有若干水，水位高度为，现将一个边长为6cm的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为acm的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为，若，则 cm． 第16题 第18题 17．计算： ． 18．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．用边长为的正方形，做了如图①所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图②所示的图形，则图②中阴影部分的面积为 ． 19．有一种“24点”的扑克牌游戏规则是：任抽四张牌，用各张牌上的数（A表示1）和加、减、乘、除、乘方、算术平方根（可用括号）列一个算式，使得计算结果为24．现抽到的四张牌如图所示，按上述规则列式如：．请你再列出一个符合要求的不同的算式： ． 第19题 第20题 20．如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题6分）计算： (1)． (2)． 22．（本题6分）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 23. （本题6分）已知一列数： ，0，，，，．    (1)将上面的数表示在如图所示的数轴上； (2)将上面的数用“”连接起来． 24．（本题6分）如图，正方形网格中的小正方形边长与数轴的单位长度都是1． (1)图1中的阴影部分为正方形，它的面积是_________； (2)请利用（1）的解答，在图1的数轴上画出表示的点；并简洁地说明理由． (3)如图2，请你利用正方形网格，设计一个面积方案，在数轴上画出表示，的点，并简洁地说明理由． 25．（本题8分）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试． 第一步：， ， 它的立方根是一个两位数． 第二步：的个位数是9，． 能确定的个位数是9． 第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59 而，可得． 由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39． [解答问题] 根据上面的材料解答下面的问题： （1）求110592的立方根，写出步骤． （2）填空：______． 26．（本题8分）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________； （2）请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 2024-2025学年七年级第一学期(2024新浙教版) · 第三章 实数 单元检测A卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、是有限小数，属于有理数； B、是整数，属于有理数； C、是无限不循环小数，属于无理数； D、，属于有理数； 故选：C． 2．下列说法正确的是（    ） A．1的平方根与算术平方根都是1 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D．4的平方根是 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的计算，理解这两个概念及区别是解题的关键．注意仔细审题．分别对各选项进行计算即可． 【详解】解：A、1的平方根是，1算术平方根是1，原说法错误，不符合题意； B、负数没有算术平方根，原说法错误，不符合题意； C、，而4的平方根是，原说法错误，不符合题意； D、4的平方根是，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方根和算术平方根的定义运算．根据“()的平方根为，算术平方根为”求解即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，结构与三阶魔方相近，可以利用复原三阶魔方的公式进行复原．已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每个方块的边长为，可得，则，再利用立方根的含义解方程即可． 【详解】解：设每个方块的边长为， ∴， ∴， ∴， 故选C 5．估计与最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算法则得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴与最接近的整数是4， 故选：B． 6．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，求出正方形的边长是解题的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可表示点E． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， ∴， 点A在数轴上表示的数为1， ∴点E表示的数为． 故选：D． 7．有下列结论：①数轴上的点只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数是有限小数；无理数是无限小数；其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的分类，熟知掌握实数的相关知识是解题的关键． 【详解】解：①数轴上的点能表示无理数，也能表示有理数，原结论错误； ②任何一个无理数都能用数轴上的点表示，原说法正确； ③实数与数轴上的点一一对应，原说法正确； ④有理数是有限小数或者无限循环小数；无理数是无限不循环小数，原说法错误； ∴说法正确的有②③， 故选：B． 8．如图，四边形是长方形，正方形，正方形的面积分别是4，2，则图中阴影部分的面积是（    ）．    A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据正方形的面积求出其边长，再根据即可作答． 【详解】∵正方形，正方形的面积分别是4，2， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 9．在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴小美所说的另一个值是． 故选：A． 10．已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题分别计算的x值，找到满足条件的x值即可． 【详解】解：当时，，，不合题意； 当时，，当时，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．一个正数的平方根是与，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根与解一元一次方程，解题的关键是掌握：一个正数的两个平方根互为相反数．据此构建方程求解即可． 【详解】解：∵与是一个正数的两个平方根， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．计算： ； ． 【答案】 4 【分析】根据平方根和立方根的定义求出即可． 【详解】解： 故答案为：，4． 13．比较大小： 9．（填“”、“ ”或“” 【答案】 【分析】本题考查实数比大小，能够熟练的将9写成的形式是解题的关键，然后再比较大小即可． 【详解】解：， ， 即， 故答案为：． 14．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示0的点重合，将圆沿数轴向右无滑动地滚动一周，点到达点的位置，则点表示的数是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴、圆的周长公式等知识．求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系解答即可． 【详解】解：由题意得：圆的周长为， ∴点表示的数是， 故答案为：． 15．如图，数轴上四个点，，， 中的一个点表示实数 ，这个点是 ． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选D， 故答案为D． 16．底面积为，高为19cm的圆柱形容器内有若干水，水位高度为，现将一个边长为6cm的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为acm的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为，若，则 cm． 【答案】4 【分析】根据是两个立方体放入水中后水位上升的高度，利用水位上升的高度等于浸没在水中部分的立方体的体积÷圆柱体的底面积，列式进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故答案为：4． 17．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再去绝对值后计算加减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 18．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．用边长为的正方形，做了如图①所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图②所示的图形，则图②中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查七巧板各个部分面积特点与阴影部分面积求法，图②中阴影部分形状不规则，不便于求解，将图②中的阴影部分转化为求图①中的阴影部分，图①中阴影部分的面积等于正方形面积的一半减去一个中等大小的等腰直角三角形的面积，根据七巧板各个部分面积特点“大的等腰三角形面积占原正方形面积，中等等腰三角形面积占原正方形面积等”即可解题． 【详解】解：图②所示的图形是由图①所示的七巧板拼成， 图②中阴影部分的面积与图①中阴影部分的面积相等． 图①中阴影部分的面积正方形面积一半中等等腰三角形面积． 又正方形的边长为， 阴影部分面积． 故答案为：． 19．有一种“24点”的扑克牌游戏规则是：任抽四张牌，用各张牌上的数（A表示1）和加、减、乘、除、乘方、算术平方根（可用括号）列一个算式，使得计算结果为24．现抽到的四张牌如图所示，按上述规则列式如：．请你再列出一个符合要求的不同的算式： ．    【答案】答案不唯一，如：或或等 【分析】本题考查实数的运算，理解实数的加、减、乘、除、开方、乘方运算法则，综合运算法则是解题的关键． 【详解】解：如：或或等， 故答案为：或或等 20．如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 【答案】18 【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解． 【详解】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b， ∴， ∵， ∴， ∴阴影面积为， ∵ ∴， ∴， 故答案为：18． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题6分）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了实数的运算： （1）先计算立方根，算术平方根，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算立方根，乘方，算术平方根，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 22．（本题6分）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)21 (2)37 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）将代入关系式计算即可； （2）将代入关系式求解即可． 【详解】（1）解：当时， （厘米）， 答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米． （2）解：当时， 即， ， 答：冰川约是在37年前消失的． 23. （本题6分）已知一列数： ，0，，，，．    (1)将上面的数表示在如图所示的数轴上； (2)将上面的数用“”连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握实数的大小比较是解题的关键． （1）先根据绝对值以及有理数的乘方化简，然后将各数表示在数轴上； （2）根据轴右边的数大于左边的数，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：，，    （2）解：． 24．（本题6分）如图，正方形网格中的小正方形边长与数轴的单位长度都是1． (1)图1中的阴影部分为正方形，它的面积是_________； (2)请利用（1）的解答，在图1的数轴上画出表示的点；并简洁地说明理由． (3)如图2，请你利用正方形网格，设计一个面积方案，在数轴上画出表示，的点，并简洁地说明理由． 【答案】(1)10 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）用大正方形的面积减去三角形的面积即可； （2）找到阴影部分面积为的正方形即可得到答案； （3）找到阴影部分面积为的正方形即可得到答案． 【详解】（1）解：图1中的阴影部分面积为：； 故答案为：10． （2）解：图1中的正方形面积为10， 它的边长为， 在数轴取， 则点A表示的数分别为， （3）解：如图，阴影部分为正方形，面积为5； 所以，其边长为， 在数轴上截取，（数轴的1个单位长度）， 则点K表示的数为，点D表示的数． 25．（本题8分）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试． 第一步：， ， 它的立方根是一个两位数． 第二步：的个位数是9，． 能确定的个位数是9． 第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59 而，可得． 由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39． [解答问题] 根据上面的材料解答下面的问题： （1）求110592的立方根，写出步骤． （2）填空：______． 【答案】（1）110592的立方根是48，步骤见解析；（2）． 【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可； （2）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可． 【详解】解：（1）第一步：，，， ∴， ∴能确定110592的立方根是个两位数． 第二步：∵的个位数是2，， ∴能确定110592的立方根的个位数是8． 第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110， 而，则，可得， 由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48； （2）第一步：∵ ，，， ∴， ∴能确定85184的立方根是个两位数． 第二步：∵的个位数是4，， ∴能确定85184的立方根的个位数是4． 第三步：如果划去85184后面的三位184得到数85， 而，则，可得， 由此能确定85184的立方根的十位数是4，因此85184的立方根是44， 即． 故答案为：44． 26．（本题8分）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________； （2）请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 【答案】（1），；（2）①图见解析，；②见解析 【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数 （2）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可； （3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N． 【详解】（1）由图1知，小正方形的对角线长是， ∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案是：，； （2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5， ∴正方形的边长是， 如图所示： 故答案是：； ②如图所示： 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$