专题05 期中解答压轴（六大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（沪教版2020，上海专用）

专题05 期中解答压轴（六大题型） 10-11章+空间向量 存在性问题 1．（23-24高二上·上海同济大学第二附中·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，为的中点，为上一点，为上一点，且平面平面.    (1)求证：为线段中点； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求；若不存在，说明理由. 2．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，长方体中，，，点是棱的中点.    (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)是否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由； (3)若.设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等. 3．（22-23高二下·上海杨浦·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，窟盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍的字面意思为茅草屋顶．”现有一个“刍甍”如图所示，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，． (1)设过点且与直线垂直的平面为平面，且平面与直线、分别交于、两点，求的周长； (2)求四面体的体积； (3)点在线段上且满足．试问：在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 最值问题 4．（23-24高二上·上海浦东新·期中）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，.    (1)求与平面所成角的大小（用反三角函数表示）； (2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值. 5．（23-24高二上·上海·期中）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.    (1)求证：//平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问: 点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角，并说明点此时所在的位置. 6．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点．    (1)设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：； (2)已知与平面所成角为，求正四棱柱的高； (3)若，在侧面上存在点，满足点到线段的距离与到线段的距离相等，求的最小值． 7．（23-24高二下·上海·期中）已知正四面体的棱长为3，点在棱上，点在线段上，且. (1)如图1，若点在棱的中点处，求证：平面； (2)如图2，若，求三棱锥的体积； (3)如图3，当点在棱上移动时，求线段长度的最小值. 8．（23-24高二上·上海·期中）已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点． (1)设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：； (2)若点C到平面的距离为，求正四棱柱的表面积； (3)若正四棱柱的高为2，在矩形内（不包含边界）存在点P，满足P到线段BC的距离与到线段的距离相等，求的最小值． 取值范围问题 9．（22-23高二上·上海普陀·期中）已知矩形 中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体. (1)求三棱锥外接球的表面积； (2)若点为底面内部一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比； (3)若的取值范围是，求二面角的取值范围. 10．（21-22高一下·湖北武汉·阶段练习）在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G．    (1)若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值； (3)设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围． 动态折叠问题 11．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在矩形中，，沿对角线将折起，使点移到点，且在平面上的射影恰好在上. (1)求证：面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面的成角的大小. 12．（23-24高二上·上海长宁·期中）如图1，在矩形中，，，点为的中点，将沿直线折起至平面平面（如图2），点在线段上，平面．    (1)求证：； (2)求二面角的大小； (3)若在棱、上分别取中点、，试判断点与平面的关系，并说明理由． 体积、表面积问题综合 13．（23-24高三上·上海宝山·期中）高三新教学楼启用后，从一些教室窗口就能看到殷高路对面居民房平改坡后的屋顶（如图）．其中是屋脊线，是屋檐线，是屋顶坡面，是一个与水平面垂直的带气窗的竖直面，是气窗屋顶的屋脊线且与竖直面垂直． 小张和小王对屋顶进行研究，提出了下面一些假设： ①两条屋脊线与互相垂直且都与水平面平行； ②气窗屋顶的两个坡面与互相垂直且与水平面的所成角相等； ③屋顶坡面与水平面所成角为． (1)小张认为还需假设屋脊线与带气窗的竖直面是平行关系．而小李认为前面的假设已经够了，不需要再提出这个假设．请你判断哪位同学正确？证明你的判断． (2)根据小张和小王的假设，试求气窗屋顶的一个坡面与屋顶坡面构成的阴脊线（是平面与平面的交线）与水平面所成角的大小．（用反三角函数表示） 14．（23-24高二上·上海奉贤·期中）如图，在正方体中，    (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求证：； (3)设分别是给定正方体的棱和上的任意点．求证：三棱锥的体积是定值． 15．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图1，已知，，，，，. (1)求将六边形绕轴旋转半周（等同于四边形绕轴旋转一周）所围成的几何体的体积； (2)将平面绕旋转到平面，使得平面平面，求异面直线与所成的角； (3)某“”可以近似看成，将图1中的线段、改成同一圆周上的一段圆弧，如图2，将其绕轴旋转半周所得的几何体，试求所得几何体的体积. 16．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图①，在棱长为1的正方体中，E是棱上的一个动点． (1)求证：三棱锥的体积是定值； (2)是否存在点E，使得平面，若存在请找出点E的位置，若不存在，说明理由； (3)定义：与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段． 根据以上定义及性质解决如下问题： 如图②中，M为线段的中点，线段（不包括两个端点）上有一个动点N，过点、、作正方体的截面． ①判断截面的形状，并说明理由； ②当截面的面积取得最小值时，求点N的位置． 题型06 传统空间立体几何 17．（23-24高二上·上海·期中）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，在“阳马”中，侧棱底面，且.    (1)若，试计算底面面积的最大值; (2)过棱的中点作，交于点，连，，求证:直线平面 (3)若平面与平面所成锐二面角的大小为，试求的值. 18．（2023·山东潍坊·三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 (3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 期中解答压轴（六大题型） 10-11章+空间向量 存在性问题 1．（23-24高二上·上海同济大学第二附中·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，为的中点，为上一点，为上一点，且平面平面.    (1)求证：为线段中点； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 (3)存在，且 【分析】（1）根据面面平行的性质定理证得，由此证得为线段中点. （2）通过证明平面来证得平面平面. （3）当N为SC中点时，证明平面ABCD，结合，可得平面平面. 【详解】（1）依题意平面平面， 由于平面平面，平面平面， 所以，由于正方形中，是的中点， 所以是线段的中点. （2）由于平面平面，且交线为， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面. （3）存在，当N为SC中点时，平面平面，证明如下： 连接EC，DM交于点O，连接SE．    因为，并且，所以四边形EMCD为平行四边形，所以． 又因为N为SC中点，所以． 因为平面平面ABCD，平面平面， 又平面SAD，由已知， 所以平面ABCD，所以平面ABCD． 又因为平面DMN，所以平面平面ABCD． 所以存在点N，使得平面平面ABCD，． 2．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，长方体中，，，点是棱的中点.    (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)是否存在实数，使得直线与平面垂直？并说明理由； (3)若.设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等. 【答案】(1)； (2)存在，，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据题意只需证明平面，即可得到，从而可得答案； （2）存在实数m，使得直线与平面垂直．只需证明，，即可得到直线平面； （3）计算，，设与平面的斜足为O，则，则P为AO的中点，从而可得答案. 【详解】（1）连接，由四边形为正方形，可得， 在长方体中，平面， 又平面，所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成的角的大小为； （2）存在实数，使得直线直线与平面垂直．理由如下： 当时，， 因为BC＝1，所以，所以，则， 所以，即， 在长方体中，平面， 又平面，所以. 因为，所以平面， 又平面，所以. 同理可证，又， 所以直线平面； （3）设与平面的斜足为O， 因为， ， 所以,则. 若，则，故. 所以在线段上取一点P，要使三棱锥与三棱锥的体积相等，则P为AO的中点，即． 3．（22-23高二下·上海杨浦·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，窟盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍的字面意思为茅草屋顶．”现有一个“刍甍”如图所示，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，． (1)设过点且与直线垂直的平面为平面，且平面与直线、分别交于、两点，求的周长； (2)求四面体的体积； (3)点在线段上且满足．试问：在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点分别作，，连接，所以平面即为平面，分别求出，即可求出求的周长； （2）利用等体积转化，再求解点到平面的距离，即可求解体积； （3）当点在线段上时，分别利用线线，线面平行关系求得的值. 【详解】（1）过点分别作，，分别交，于，，连接， 所以平面即为平面， 因为四边形为正方形，， 所以，， 由已知得，， 所以的周长为． （2）过点作，垂足为． 因为，平面，平面， 所以平面．因为，， 所以．因为，平面， 所以平面．因为平面，所以． 因为，，平面， 所以平面，所以为三棱锥的高，． 因为，所以， 所以 （3）假设存在点． 当点在线段上时，连接交于， 则，因为， 所以． 因为平面，平面， 平面平面， 所以， 所以． 综上，在直线上存在点，使平面，的值为． 最值问题 4．（23-24高二上·上海浦东新·期中）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，.    (1)求与平面所成角的大小（用反三角函数表示）； (2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）连接，由平面，可得即为与平面所成角的平面角，进而可得出答案； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （3）延长到，使得，连接，取的中点，连接，证明平面，可得关于平面对称，则，进而可得出答案. 【详解】（1）（1）连接， 因为平面，所以即为与平面所成的角， ， 则， 所以与平面所成角的大小为； （2）存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为，且， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，设， 故， 设平面的法向量为， 则有，可取， 则点到平面的距离为， 解得（舍去）， 所以存在，且；    （3）如图，延长到，使得，连接，取的中点，连接， 因为点是的中点，所以且， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面， 所以关于平面对称， 则，当且仅当三点共线时取等号， 设，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 因为，，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以.    【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 5．（23-24高二上·上海·期中）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.    (1)求证：//平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问: 点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角，并说明点此时所在的位置. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)在线段上靠近点的处， 【分析】 （1）根据线面平行的判定定理即得. （2）根据题干数据结合  即可求解.（3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使最大，则需使最小，此时，从而可求解. 【详解】（1）因为菱形，所以，又平面， 平面，所以平面. （2）由题意可得、与都是边长为2的等边三角形， 所以，，所以. 因为，所以， 设到平面的距离，由得， 即，解得， 故点到平面的距离. （3）设直线与平面所成的角为，由（1）知平面， 所以到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，则 ，此时，要使最大，则需使最小， 此时， 由题意可知：，， 在中，由余弦定理可得：， 所以， 由面积相等， 即，解得， ，则，得， 即直线与平面最大角为，此时在线段上靠近点的处.    6．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点．    (1)设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：； (2)已知与平面所成角为，求正四棱柱的高； (3)若，在侧面上存在点，满足点到线段的距离与到线段的距离相等，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】 （1）根据线面角的定义、异面直线所成角的定义可求出，的大小即可证明； （2）根据面面垂直的性质定理可以找到点在平面的射影的位置，利用线面角的概念和相似三角形性质可以求出正四棱柱的高. （3）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点坐标，由题意可求出的轨迹方程，计算出的表达式，进行恒等变形后求出最小值即可. 【详解】（1）设正四棱柱的高为， 因为底面，所以，于是有， 因为，所以直线与所成角等于或其补角，    由勾股定理可知，，在等腰三角形中，底边上的高为， 所以， 所以. （2）因为为正方形对角线与的交点，是以为底边的等腰三角形， 所以，， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以点在平面的投影在上，    所以与平面所成角即为，所以，， 又由 可知与相似， 所以，即，解得，即正四棱柱的高为. （3）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，    设，因为平面，平面，所以， 由题意可知， 所以有， 当时，有最大值，此时，而也达到最小值， 所以有最大值，因此有最小值，最小值为. 7．（23-24高二下·上海·期中）已知正四面体的棱长为3，点在棱上，点在线段上，且. (1)如图1，若点在棱的中点处，求证：平面； (2)如图2，若，求三棱锥的体积； (3)如图3，当点在棱上移动时，求线段长度的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明； （2）首先需要结合余弦定理以及等面积法求出，则的结果可得，因此可将求问题转化为求问题，最终结果乘以即可得答案. （3）取的中点为，取的中点为，连接，在上取一点，使得，取的中点为Q，连接，则平面，则点在以点为球心、为直径的球面上，且轨迹是以点为圆心的一段圆弧，结合几何知识即可求出答案． 【详解】（1）由于E是的中点，结合正四面体的性质可得, 又因为，所以平面； （2）因为，所以， 在三角形ACE中，由余弦定理可得， 同理， 在三角形ABE中，E到AB的距离为， 所以由等面积法可得，代入数据得， 所以， 因为，所以F到底面BCD的距离为A到底面BCD的距离的， 三角形BCE的面积是三角形BCD面积的， 所以， 如图，取CD中点记为H，AG为棱锥的高， ，， 所以， 则， 所以. （3）∵， ∴点在以为直径的球面上，取的中点为， ∵点在中， 由于一个平面截一个球所得的是一个圆面， ∴点的轨迹为一段圆弧， 取的中点为，连接，在上取一点，使得， 在等边中，易得点为的中心， ∴在正四面体中，易得平面， 取的中点为，连接，则，则平面， 由于一个平面截一个球所得的是一个圆面，且球心与这个圆的圆心所在直线与该平面垂直， ∴点的轨迹是以点为圆心的一段圆弧， 在中，，， ∴，则， ∴， ∴， ∴圆的半径， 而， ∴， 故长度的最小值为． 8．（23-24高二上·上海·期中）已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点． (1)设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：； (2)若点C到平面的距离为，求正四棱柱的表面积； (3)若正四棱柱的高为2，在矩形内（不包含边界）存在点P，满足P到线段BC的距离与到线段的距离相等，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 (3) 【分析】(1)根据线面角的定义、异面直线所成角的定义可以求出，的大小，最后可以证明出结论； (2)根据面面垂直的性质定理可以找到点在平面的射影的位置，利用相似三角形性质可以求出正四棱柱的高； (3)以为空间直角坐标系的坐标原点，以所在的直线为轴，设出点的坐标，由题意可以求出点的轨迹方程，计算出的表达式，进行恒等变形最后求出的最小值。 【详解】（1）设正四棱柱的高为，因为底面，所以，于是有， 因为，如下图所示：所以， 由勾股定理可知：， 在等腰三角形中，底边上的高为， 所以，； （2）因为为与的交点，三角形是以为底边的等腰三角形， 所以， 因为底面是正方形，所以，又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 因此点在平面的投影在交线上，即， 如上图所示：在矩形中中，， 因为∽，所以有， 所以正四棱柱的表面积为：； （3）以为空间直角坐标系的坐标原点，以所在的直线为轴，设， 因为平面，平面，所以， 由题意可知， 所以有， 当时，最大，此时，取到最小值， 故取得最小值为。 【点睛】方法点睛：本题的第2问考查点面距问题，解决点面距问题的方法主要有三种： 1：直接法：直接法是指可以直接找到该点在平面投影的具体位置，而此类题型往往需要有面面垂直条件， 因为根据面面垂直的性质定理可知，该点的投影一定在交线上从而使问题转化为平面几何问题。 2：体积转化法：不适合用直接法的题，利用三棱锥的体积相等列式求解。 3：空间向量法：点面距，即点面距为该点与平面内一点所形成的直线的方向向量在该平面法向量方向上的投影数量的绝对值。 第三问求某个变量的最值问题通常是把所要求的最值转化为一个函数表达式，再求出此函数的最值。 取值范围问题 9．（22-23高二上·上海普陀·期中）已知矩形 中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体. (1)求三棱锥外接球的表面积； (2)若点为底面内部一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比； (3)若的取值范围是，求二面角的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用该三棱锥的性质找出外接球的球心与半径计算即可；（2）将三棱锥体积之比转化为底面积之比，然后利用，求出底面积之比即可;（3）该图像不好建立空间直角坐标系，就利用几何法画出二面角，然后计算各个线段的长度，利用余弦定理得到，然后利用余弦定理得到，最后利用的取值范围求出二面角的取值范围即可. 【详解】（1）在矩形中，连接与相交于点， 则 在翻折后点为中点，还是有 故三棱锥外接球球心为点，半径 所以外接球表面积. （2）由题可知， 所以 因为， 则 因为 故 所以 （3）过点作的垂线，与相交于点，在平面上，过点做的垂线，与相交于点； 则二面角为 显然， 所以有， 由题可知，， 故，，， 由余弦定理可知 所以有 在中，利用余弦定理得 又因为，的取值范围是 所以有， 得 因为 所以 即二面角的取值范围是. 10．（21-22高一下·湖北武汉·阶段练习）在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G．    (1)若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值； (3)设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围． 【答案】(1)点G为棱上靠近点的三等分点，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）延长，相交于点P，证明，可确定点G的位置； （2）利用几何方法找到截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的，求得相应有边长，可得二面角的正切值； （3）由，通过构造函数，利用单调性求取值范围． 【详解】（1）在平面内延长，相交于点P，则平面，又平面， 则有平面平面，，即A，G，P三点共线． 因为E为的中点，F为的中点，所以，所以，又因为，所以， 所以，即点G为棱上靠近点的三等分点． （2）在平面内延长，相交于点Q，连接，则平面平面， 在平面内作于点M，则平面ABC， 又平面，所以， 在平面内作于点N，连接， 又平面，，所以平面， 平面，所以， 所以为截面与底面所成锐二面角的平面角． 在中，作于点H，，，，， ，， 由余弦定理，则， ，可得，所以， 又，所以， 故截面与底面所成锐二面角的正切值为. （3）设，则，． 设的面积为S，所以， 又因为，所以，且， 故，令，则， 设， 当时，， ，，，则，即， 所以在上单调递减， 所以，，所以， 所以． 【点睛】方法点睛： 空间图形中确定点在直线上的位置，三角形相似和比例线段比较常用；作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角；边长比、面积比的限值范围，可以通过构造函数，利用单调性解决. 动态折叠问题 11．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在矩形中，，沿对角线将折起，使点移到点，且在平面上的射影恰好在上. (1)求证：面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面的成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)由题设可得平面，从可得，再根据可得平面，故可得，结合可得要证明的线面垂直． (2)过作交于，可证为到平面的距离，最后利用得到的长． （3）由（2）是与平面所成的角，进而求出正弦值即可. 【详解】（1）证明　∵点在平面上的射影在上， ∴平面，平面， ∴． 又∵，，平面 ∴平面，又平面， ∴． 又∵，∴． ∵，平面，∴平面． （2） 如图所示，过作，垂足为，连接． ∵平面，平面， ∴，又， 平面，∴平面． 故的长就是点到平面的距离． 又平面，又平面， ∴． 在中，． 在中，． 在中，由面积关系，得 ． ∴点到平面的距离是． （3）由（2）知平面，则为在平面的射影， 所以是与平面所成的角. 在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为. 则直线与平面的成角. 12．（23-24高二上·上海长宁·期中）如图1，在矩形中，，，点为的中点，将沿直线折起至平面平面（如图2），点在线段上，平面．    (1)求证：； (2)求二面角的大小； (3)若在棱、上分别取中点、，试判断点与平面的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)平面，理由见解析 【分析】（1）设，连接，由线面平行的性质可的，，由 可得； （2）取中点，连接，证明平面，平面平面，即得出结果； （3）延长到，使，确定平面，确定是的重心，得到答案. 【详解】（1）设，连接. 平面，平面，平面平面，故， ，，且，故，即；    （2）取中点，连接，，则， 又平面，平面平面，平面平面， 故平面，平面，故， ，满足，故. ，平面，故平面， 平面，平面平面，二面角的大小为；    （3）延长到，使，连接， 分别是的中点，故， ，故，，故四边形是平行四边形，， 故，则确定平面. 中，是边中线，且，故是的重心，又为边的中线，则在上，故平面.    体积、表面积问题综合 13．（23-24高三上·上海宝山·期中）高三新教学楼启用后，从一些教室窗口就能看到殷高路对面居民房平改坡后的屋顶（如图）．其中是屋脊线，是屋檐线，是屋顶坡面，是一个与水平面垂直的带气窗的竖直面，是气窗屋顶的屋脊线且与竖直面垂直． 小张和小王对屋顶进行研究，提出了下面一些假设： ①两条屋脊线与互相垂直且都与水平面平行； ②气窗屋顶的两个坡面与互相垂直且与水平面的所成角相等； ③屋顶坡面与水平面所成角为． (1)小张认为还需假设屋脊线与带气窗的竖直面是平行关系．而小李认为前面的假设已经够了，不需要再提出这个假设．请你判断哪位同学正确？证明你的判断． (2)根据小张和小王的假设，试求气窗屋顶的一个坡面与屋顶坡面构成的阴脊线（是平面与平面的交线）与水平面所成角的大小．（用反三角函数表示） 【答案】(1)不需要，证明见解析; (2) 【分析】（1）通过证明垂直于同一条直线的两平面互相平行即可； （2）转化为三棱柱被斜面截去一部分即可求. 【详解】（1）不需再提假设. 在水平面上分别取的射影， 连接， 则四点共面，又水平面，平面水平面， 则，同理，又，所以， 又水平面，水平面，则， ，平面，则平面， 即平面，又平面，则平面平面， 因为平面，则平面. （2） 把气窗脱离出来，即三棱柱被斜面截到的部分即多面体 则屋顶坡面即为平面，如图， 则平面水平面，分别取中点，连接， 过作，交于，连接， 则平面，平面，则， 又，即，， 平面，则平面， 又平面平面， 则为屋顶坡面与水平面所成角为， 在中，设，则， 则在等腰，，则， 在，， 则在，， 又平面，则为在平面的射影， 则为与水平面所成角， 则， 则与水平面所成角为. 14．（23-24高二上·上海奉贤·期中）如图，在正方体中，    (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求证：； (3)设分别是给定正方体的棱和上的任意点．求证：三棱锥的体积是定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）连接，，根据正方体的性质可得四边形为平行四边形，进而得到，进而可得为异面直线与所成的角，进而求解即可； （2）连接，根据正方体的性质可得平面，，进而得到，从而求证； （3）设正方体的棱长为，根据正方体的性质可得平面，平面，进而得到到平面的距离即为，进而结合棱锥的体积公式求证即可. 【详解】（1）连接，，在正方体中， 有，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，则为异面直线与所成的角， 又，即为等边三角形， 所以，即异面直线与所成的角为.    （2）证明：连接，在正方体中， 有平面，， 因为平面，所以， 又，且平面， 所以平面， 又平面， 所以.    （3）证明：设正方体的棱长为， 在正方体中，有平面，平面， 所以到平面的距离即为， 又， 所以， 所以三棱锥的体积是定值． 15．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图1，已知，，，，，. (1)求将六边形绕轴旋转半周（等同于四边形绕轴旋转一周）所围成的几何体的体积； (2)将平面绕旋转到平面，使得平面平面，求异面直线与所成的角； (3)某“”可以近似看成，将图1中的线段、改成同一圆周上的一段圆弧，如图2，将其绕轴旋转半周所得的几何体，试求所得几何体的体积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分为，，正方形三部分，分别得出几何体并求出体积，相加即可得出答案； （2）取中点为，连接，先根据面面垂直的性质证明平面.然后建立空间直角坐标系，求出，根据向量运算求解，即可得出答案； （3）先求出直角梯形绕直角边所在的直线旋转一周得到的几何体，即圆台的体积.然后根据祖暅原理推导得出球缺的体积，进而求出弓形旋转的体积，即可得出答案. 【详解】（1）和绕轴旋转半周所围成的几何体可以得到两个底面半径为1，高为2的圆锥，体积之和为； 正方形绕轴旋转半周所围成的几何体为一个底面半径为1，高为2的圆柱，体积为. 所以，总的体积. （2）如图3，取中点为，连接，则. 因为，中点为，所以. 又平面平面，平面平面， 所以，平面，即平面. 以点为坐标原点，如图3建立空间直角坐标系， 由已知可得，，，， 所以，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，异面直线与所成的角的余弦值为， 所以，. （3） 由已知可得，圆心为点，则半径. 六边形绕轴旋转半周所围成的几何体的体积，等于直角梯形绕直角边所在的直线旋转一周得到的几何体体积的2倍. 直角梯形绕直角边所在的直线旋转一周得到的几何体，为一个上、下底面半径分别为1、3，高为1的圆台，体积； 剩下的两部分为全等的弓形， 先研究弓形绕轴旋转半周，得到的几何体为球缺. 现在用祖暅原理来求解该球缺的体积， 如图5，半球的半径和圆柱的底面半径均为，且圆柱的高，且， 在半球中，高度为，且平行于底面的截面圆的半径，面积为. 在圆柱中，连接，设交高度为，且平行于底面的截面于点， 显然，所以有，即， 所以. 所以，当高度为时，圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积， 即圆环的面积， 所以，当高度为时，半球的截面与圆柱中的截面圆环的面积相等. 根据祖暅原理可知，半球某高度截面以上的体积（即球缺的体积），即等于圆柱该截面以上（挖去一个圆台）的体积. 所以，球缺的体积（其中为半球被截面截去球缺后剩余部分的高）. 由已知可得，弓形绕轴旋转半周，得到的几何体为球缺中，，， 所以，该球缺的体积. 所以，总的体积. 【点睛】方法点睛：在计算与旋转体组合体体积有关的问题时，常将不规则的图形，分割为规则图形，通过相加或挖空的方法，计算求解. 16．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图①，在棱长为1的正方体中，E是棱上的一个动点． (1)求证：三棱锥的体积是定值； (2)是否存在点E，使得平面，若存在请找出点E的位置，若不存在，说明理由； (3)定义：与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段． 根据以上定义及性质解决如下问题： 如图②中，M为线段的中点，线段（不包括两个端点）上有一个动点N，过点、、作正方体的截面． ①判断截面的形状，并说明理由； ②当截面的面积取得最小值时，求点N的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 (3)①截面的形状为平行四边形，说明理由见解析； ②当截面的面积取得最小值时，点N为AB中点. 【分析】（1）点到平面的距离为定值，又的面积为定值，，可得三棱锥的体积是定值； （2）若平面，则有，而不成立，可得结论； （3）①由截面与棱的交点判断形状；②由两条异面直线的公垂线段确定截面的面积最小. 【详解】（1） 正方体中，平面，平面，所以平面， 则点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 所以三棱锥的体积是定值 由，所以三棱锥的体积是定值 （2）这样的E点不存在，理由如下： 若平面，由平面，则有， 而正方体中，四边形是矩形不是菱形，不成立， 所以不存在点E，使得平面. （3）①截面与棱相交于点，连接，则截面为四边形， 平面平面，截面平面，截面平面， 则，同理，所以四边形为平行四边形， 即截面的形状为平行四边形. ②当截面的面积取得最小值时，即平行四边形面积最小，面积最小， 则点N到的距离最短， M为线段的中点，则M点为正方体的中心，当N为线段的中点时， 由，有，由，有， 则是两条异面直线与的公垂线段， 此时点N到的距离最短，面积最小，截面面积最小. 所以当截面的面积取得最小值时，点N为AB中点. 【点睛】方法点睛： 空间几何图形涉及到正方体，要充分利用正方体的结构特征，运用好线面关系以及距离角度，解决相关问题. 题型06 传统空间立体几何 17．（23-24高二上·上海·期中）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，在“阳马”中，侧棱底面，且.    (1)若，试计算底面面积的最大值; (2)过棱的中点作，交于点，连，，求证:直线平面 (3)若平面与平面所成锐二面角的大小为，试求的值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）由线面垂直得，，由基本不等式可得最小值； （2）先平面，得，再证平面，得，最后证明平面； （3）由分别是平面与平面的垂线得出，由正切的定义得边的关系，再转换可得结论． 【详解】（1）平面，平面，则， 所以，又，所以， 是矩形，所以，即，当且仅当，即，时等号成立， 所以底面面积的最大值是； （2）平面，平面，则， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， ，是中点，则， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 又因为，，平面，所以平面；    （3）因为平面，底面，平面与平面所成锐二面角的大小为， 所以与的夹角也是，即， 所以，， ， 所以． 18．（23-24高二上·上海·期中）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 (3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设交于点，连接，利用三角形相似证得，从而证得，进而证得直线平面； （2）通过平面，证得平面，所以平面平面； （3）建立空间直角坐标系，设，通过向量和平面的法向量建立直线与平面所成角的正弦值的关系式，并利用基本不等式，即可求最值. 【详解】（1）如图，设交于点，连接，由圆锥的性质可知底面，    因为平面，所以， 又因为是底面圆的内接正三角形，由，可得， ，解得， 又，，所以，即，， 又因为，所以， 所以，即， 又平面，直线平面，平面， 所以直线平面． （2）因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （3）易知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，，    设平面的法向量为， 则，令，则， 设，可得， 设直线与平面所成的角为， 则， 即， 令， 则， 当且仅当时，等号成立，所以当时，有最大值， 即当时，的最大值为1，此时点， 所以， 所以点到平面的距离， 故当直线与平面所成角的正弦值最大时，点到平面的距离为. 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