专题03 不等式（考点清单，4清单+8题型解读）高一数学上学期北师大版必修第一册

专题03 不等式（4个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 【清单02】基本不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 【清单03】基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 【清单04】二次函数与一元二次方程、不等式的解关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 【考点题型一】不等式的性质成立条件 【例1】.（湖南省部分学校2024-2025学年高一上学期10月入学考试数学试题）已知a，b是非零实数，且是任意实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当时，不等式不成立，错误． 对于B，当时，满足，但，错误． 对于C，因为，而，所以，则，正确． 对于D，当时，满足，不等式不成立，错误． 故选：C 【变式1-1】.（24-25高一上·湖南长沙·期中）（多选）对于实数，下列命题为假命题的有（    ） A．若，则. B．若，则. C．若则. D．若，则. 【答案】ABD 【详解】对于A，不妨取，则，即A为假命题； 对于B，若，当时，满足，即B为假命题； 对于C，由可得，易知， 所以，可得C为真命题； 对于D，由可得， 所以，因为的符号不确定，所以不一定正确，即D为假命题； 故选：ABD 【变式1-2】.（23-24高一下·全国·单元测试）（多选）若，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，且，所以， 所以，即，故A正确； 因为，，所以， 其与的大小关系与有关，故B错误； 因为，所以，故C正确； 当时满足题设条件，但不成立，故D错误. 故选：AC 【变式1-3】.（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）（多选）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，让，则，故A错误； 对于B，若，则首先不可能等于0，否则矛盾， 从而，所以，故B正确； 对于C，若，则，，所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D正确. 故选：BCD. 【变式1-4】.（24-25高一上·云南文山·期中）（多选）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】BCD 【详解】对于A项，取，，，， 则，，所以，故A选项错误； 对于B选项，若，有，则，B选项正确； 对于C选项，若，则，则， 又因为，由不等式的性质可得，所以C选项正确； 对于D选项，若且，则，所以，，D选项正确． 故选：BCD． 【考点题型二】应用作差法比较大小 【例2】.（24-25高一上·河南·阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知， 因为，，所以， 则，即. 因为，，所以. 综上，. 故选：A 【变式2-1】.（江西省多校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题）已知，，则a b．(填“>”或“<”) 【答案】 【详解】， ， 因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 【考点题型三】不等式的性质求范围 【例3】.（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，又， 则，又由得， 故. 故选：B. 【变式3-1】.（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由，，得，A正确； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，由，得，而，则，D正确. 故选：B 【变式3-2】.（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，则， 则， 又， 所以， 所以. 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式3-3】.（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）（1）已知，求的取值范围． （2）已知，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）由不等式， ①当时，此时，可得，所以； ②当时，此时，可得， 即，所以； ③当时，此时，可得， 即，所以， 又因为，可得，即，即， 所以， 综上，可得，即的取值范围为. （2）设，可得，解得， 即， 因为，可得， 所以，即的取值范围为. 【考点题型四】基本不等式 【例4】.（22-23高一上·云南红河·期中）（多选）现有以下结论： ①函数的最小值是2； ②若且，则； ③的最小值是2； ④函数的最大值为 其中，不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AC 【详解】对于①：取，可得， 所以函数的最小值不是2，故①错误； 对于②：若且，则， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以，故②正确； 对于③：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 这显然不成立，可得， 所以的最小值不是2，故③错误； 对于④：因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最大值为，故④正确； 故选：AC. 【变式4-1】.下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合； 对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合； 对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合. 故选：C. 【变式4-2】.（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理正确的是（    ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】C 【详解】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，， 因为，所以，整理得，故B错误； 对于C，因为D为斜边BC的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确； 对于D，因为，所以，整理得，故D错误． 故选：C． 【变式4-3】.下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 【答案】C 【详解】当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，， 当且仅当即时，等号成立；故选项AB错误； 任意，，当且仅当时， 即也即时，等号成立，所以最小值为2，故选项C正确； 当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大，所以无最大值， 故D错误. 故选：C. 【变式4-4】.．已知为实数，且，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，由基本不等式可知当时，，当且仅当时取等号，所以A正确， 对于B，因为，，所以，且，所以，当且仅当时取等号，所以B正确， 对于C，若，则，所以C错误， 对于D，因为，，所以，且，所以，，所以且，所以D 正确， 故选：C 【考点题型五】基本不等式求最值 【例5】.（24-25高一上·广东东莞·开学考试）（多选）若正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最小值9 B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】AB 【详解】，当且仅当时等号成立，故A对； ，则，当且仅当，即时等号成立，故B对C错； 由，则，而， 所以，当且仅当时等号成立，故D错. 故选：AB 【变式5-1】.（23-24高一下·广西柳州·开学考试）已知，当时，取得最小值为b，则（    ） A． B．2 C．3 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故，. 故选：C 【变式5-2】.（2024·湖北黄冈·一模）若，且，则的最小值为（    ） A．20 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式5-3】.（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 则，即的最小值是5. 故选：C. 【变式5-4】.（23-24高一上·山东淄博·期中）（多选）设正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AC 【详解】对于A，正实数，满足， 则有，解得，即，A选项正确； 对于B，，有，当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为，B选项错误； 对于C，， 由，则时，的最小值为，C选项正确； 对于D，， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为，D选项错误. 故选：AC 【变式5-5】.（2025·吉林长春·一模）（多选）设正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为正实数，满足， 所以， 当且仅当且，即，时等号成立，故A正确； 对于B，， 则，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故C错误； 对于D，由，可得， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 【变式5-6】.（24-25高一上·浙江嘉兴·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A．的最小值为2 B．已知，则的最小值为 C．函数的最小值为2 D．若正数满足，则的最小值为3 【答案】BD 【详解】对于A，当时，，即的最小值为2错误； 对于B，时，，则， 当且仅当，即时取等号， 则的最小值为，正确； 对于C，， 令，则在上单调递增， 故的最小值为，C错误； 对于D，正数满足，即， 则，当且仅当时取等号，D正确， 故选：BD 【变式5-7】.（24-25高一上·浙江宁波·期中复习）解答下列各题. (1)若，求的最小值. (2)若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】(1)7；(2)①36；②. 【详解】（1）由题. 当且仅当，即时取等号； （2）①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 【考点题型六】一元二次不等式的解法 【例6】.（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由条件可知，方程的两个实数根是或， 所以，得，， 则不等式，即， 得，即， 所以不等式的解集为. 故选：C 【变式6-1】.（2024高二上·新疆·学业考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式，解得. 故选：A 【变式6-2】.（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B．{或} C． D．{或} 【答案】B 【详解】由得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为{或}. 故选：B 【变式6-3】.（2025届贵州市贵阳七校联盟高三上学期第一次联考数学试卷）设集合，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由集合， 又，所以， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 【变式6-4】.（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由图知道阴影部分表示中把中去掉后剩下元素组成的集合. 即图中阴影部分表示的集合为. 故选：A. 【变式6-5】.（23-24高一上·山东潍坊·开学考试）已知条件，条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】或，则， ，则或， 因此推出，而不能推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 【变式6-6】.（贵州省遵义市2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．关于的方程的解集为 【答案】BD 【详解】由图象知，时，，开口向下，， ，即，则，则，所以，故A错误； 由时，且，所以，故B正确； 因为，故C错误； 由可得， 因为是方程的两根，所以是方程的根， 所以关于的方程的解集为，故D正确. 故选：BD 【变式6-6】.（24-25高一上·湖南·期中）（多选）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】BC 【详解】由不等式的解集为，得 所以，，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 因为，所以， 则，解得，故解集为，故D错误. 故选：BC. 【变式6-6】.（24-25高一上·重庆·期中）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为或 D．关于不等式恒成立，则的最小值为 【答案】ABC 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以有，因此选项A正确， 因为，所以选项B正确； 由 或，因此选项C正确； 由， 可知代数式的正负性相同， 因此不等式的解集也是或， 于是有， 于是有， 因为，所以二次函数，随的增大而增大， 因此二次函数在时，没有最小值，因此选项D不正确， 故选：ABC 【考点题型七】含参一元二次不等式的解法 【例七】.（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）（1）已知关于x的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若，解关于x的不等式. 【答案】（1）（2）答案见解析 【详解】（1）的解集为， ，且，， ，，， ，解得或 解集为； （2）由，且， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上知， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【变式7-1】.（2024·福建·模拟预测）设集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知， 当时，无解，得，此时； 当时，解，得，此时，； 当时，解，得，此时，要使，则； 综上所述，. 故选：A 【变式7-2】.（24-25高一上·四川绵阳·开学考试）已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由可得， 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为， 因为有且仅有3个正整数解，故整数解为， 所以，. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【变式7-3】.（2024高一·全国·期中）（1）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围． （2）已知不等式的解集是，求不等式的解集． 【答案】（1）；（2）或. 【详解】（1）命题， 命题或， 是的必要不充分条件， ∴，或， 又， 故实数的取值范围是． （2）依题意有和是方程的两根，且， 则有，解得， 即，解得或， 即不等式的解集为或. 【变式7-4】.（24-25高一上·黑龙江·期中）已知，． (1)若有且只有一个为真，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由，得； 当时，由，得． 若有且只有一个为真命题，则真假，或假真， 当真假时，解得； 当假真时，解得， 综上，实数的取值范围为或． （2）由，得． 因为是的充分不必要条件，则且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围为． 【考点题型八】一元二次不等式中恒成立问题 【例八】.（23-24高一上·云南红河·阶段练习）若不等式的解集是． (1)求的值，并求不等式的解集； (2)一元二次不等式的解集为，求的范围． 【答案】(1)3；或 (2) 【详解】（1）由题意可知：方程的两根为，且，即， 则，解得； 不等式，即为，解得或， 所以不等式的解集为或. （2）由题意可得：一元二次不等式的解集为， 若，则不恒成立，不合题意； 若，则，解得； 综上所述：的范围是. 【变式8-1】.（24-25高一上·甘肃兰州·期中）若不等式的解集为，则的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由题意得不等式在上恒成立， ①当时，不等式为，不等式恒成立，符合题意； ② 当时，由不等式恒成立得，解得. 综上. 故选：A. 【变式8-2】.（安徽省多校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可变形为 ， 即， 化简可得恒成立， 所以恒成立， 化简可得， 解得， 所以实数的取值范围为， 故选：B. 【变式8-3】.（23-24高一上·辽宁大连·期中）若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即， 因为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：C. 【变式8-4】.（22-23高一上·福建福州·期中）若不等式的解集为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】若，则不等式为，满足条件， 若，要使不等式恒成立，则满足， 即，则， 所以， 综上，实数的取值范围为． 故选：A 【变式8-5】.（22-23高一上·广东深圳·阶段练习）若关于的一元二次不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，由得到， 由题知，在时恒成立，又，当且仅当，即时取等号， 所以， 故选：C. 【变式8-6】.（24-25高一上·天津滨海新·期中）若两个正实数x，y满足，并且恒成立，则实数m的取值范围是 ．当x等于 时，中等号成立． 【答案】 2 【详解】因为两个正实数x，y满足， 且恒成立，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 则，即， 所以实数m的取值范围是，当且仅当时，等号成立. 故答案为：；2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 不等式（4个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 【清单02】基本不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 【清单03】基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 【清单04】二次函数与一元二次方程、不等式的解关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 【考点题型一】不等式的性质成立条件 【例1】.（湖南省部分学校2024-2025学年高一上学期10月入学考试数学试题）已知a，b是非零实数，且是任意实数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】.（24-25高一上·湖南长沙·期中）（多选）对于实数，下列命题为假命题的有（    ） A．若，则. B．若，则. C．若则. D．若，则. 【变式1-2】.（23-24高一下·全国·单元测试）（多选）若，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）（多选）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-4】.（24-25高一上·云南文山·期中）（多选）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【考点题型二】应用作差法比较大小 【例2】.（24-25高一上·河南·阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】.（江西省多校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题）已知，，则a b．(填“>”或“<”) 【考点题型三】不等式的性质求范围 【例3】.（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围是 . 【变式3-3】.（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）（1）已知，求的取值范围． （2）已知，求的取值范围． 【考点题型四】基本不等式 【例4】.（22-23高一上·云南红河·期中）（多选）现有以下结论： ①函数的最小值是2； ②若且，则； ③的最小值是2； ④函数的最大值为 其中，不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式4-1】.下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理正确的是（    ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【变式4-3】.下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 【变式4-4】.．已知为实数，且，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【考点题型五】基本不等式求最值 【例5】.（24-25高一上·广东东莞·开学考试）（多选）若正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最小值9 B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【变式5-1】.（23-24高一下·广西柳州·开学考试）已知，当时，取得最小值为b，则（    ） A． B．2 C．3 D．8 【变式5-2】.（2024·湖北黄冈·一模）若，且，则的最小值为（    ） A．20 B．12 C．16 D．25 【变式5-3】.（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-4】.（23-24高一上·山东淄博·期中）（多选）设正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【变式5-5】.（2025·吉林长春·一模）（多选）设正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【变式5-6】.（24-25高一上·浙江嘉兴·期中）（多选）下列说法正确的有（    ） A．的最小值为2 B．已知，则的最小值为 C．函数的最小值为2 D．若正数满足，则的最小值为3 【变式5-7】.（24-25高一上·浙江宁波·期中复习）解答下列各题. (1)若，求的最小值. (2)若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【考点题型六】一元二次不等式的解法 【例6】.（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】.（2024高二上·新疆·学业考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B．{或} C． D．{或} 【变式6-3】.（2025届贵州市贵阳七校联盟高三上学期第一次联考数学试卷）设集合，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-4】.（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-5】.（23-24高一上·山东潍坊·开学考试）已知条件，条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-6】.（贵州省遵义市2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．关于的方程的解集为 【变式6-6】.（24-25高一上·湖南·期中）（多选）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【变式6-6】.（24-25高一上·重庆·期中）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为或 D．关于不等式恒成立，则的最小值为 【考点题型七】含参一元二次不等式的解法 【例七】.（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）（1）已知关于x的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若，解关于x的不等式. 【变式7-1】.（2024·福建·模拟预测）设集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】.（24-25高一上·四川绵阳·开学考试）已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是 . 【变式7-3】.（2024高一·全国·期中）（1）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围． （2）已知不等式的解集是，求不等式的解集． 【变式7-4】.（24-25高一上·黑龙江·期中）已知，． (1)若有且只有一个为真，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【考点题型八】一元二次不等式中恒成立问题 【例八】.（23-24高一上·云南红河·阶段练习）若不等式的解集是． (1)求的值，并求不等式的解集； (2)一元二次不等式的解集为，求的范围． 【变式8-1】.（24-25高一上·甘肃兰州·期中）若不等式的解集为，则的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式8-2】.（安徽省多校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式8-3】.（23-24高一上·辽宁大连·期中）若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围（    ） A．或 B． C． D． 【变式8-4】.（22-23高一上·福建福州·期中）若不等式的解集为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式8-5】.（22-23高一上·广东深圳·阶段练习）若关于的一元二次不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-6】.（24-25高一上·天津滨海新·期中）若两个正实数x，y满足，并且恒成立，则实数m的取值范围是 ．当x等于 时，中等号成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$