2024-2025学年七年级上册第二章 有理数的运算 单元检测B卷(2024新浙教版）

· 2024-2025学年七年级第一学期(2024新浙教版) · 第二章 有理数的运算 单元检测B卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图（1）表示的是计算的过程．按照这种方法，图（2）表示的过程应是在计算（    ） A． B． C． D．5＋2 2．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．将算式写成省略加号和括号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．冬季里某一天桂林最高气温是，最低气温，这一天的温差是（   ） A． B． C． D． 5．如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 6．下列是甲、乙两位同学简便计算“”的方法，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式              乙同学：原式              A．只有甲的方法正确 B．只有乙的方法正确 C．甲、乙的方法都正确 D．甲、乙的方法都不正确 7．下列各组数中，运算结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．定义新运算“*”，规定，则的值为（    ） A．6 B． C． D．18 9．小明在计算时，不小心把八个运算符号中的一个写错了（“＋”错写成“－”或“－”错写成“＋”），结果算成了，则原式从左往右数，第（    ）个运算符号写错了 A．6 B．8 C．4 D．2 10．若a、b取正数，c、d取负数，则以下式中其值最大的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．绝对值大于且不大于的负整数的和是 ． 12． ． 13．我国自2016年1月1日起全面实施二孩政策，据专家估计，二孩政策放开后，我国人口发展的情况是：到2075年，出生的人口约为512000000人，把512000000用科学记数法表示为 ． 14．用简便方法计算： 15．我国古代典籍《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之框，日取其半，万世不竭”．现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半，如此反复，则第99次截取后，此木杆剩下的长度为 ． 16．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为 ． 17．一只小虫在数轴上先向右爬行3个单位，再向左爬行7个单位，正好停在的位置，则小虫的起始位置所表示的数是 ． 18．错用运算律，可能会导致计算的结果出错,例如有同学计算时，得到的结果为，这位同学的计算过程如下： 解：    ①     ② ③ ④ 以上计算过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 . 19．已知表示有理数，的点在数轴上的位置如图所示，则的值是 ． 20．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个有理数，如果任意相邻三个台阶上数的和都相等，回答下列问题． （1） ； （2）若前个台阶上所标有理数之和是，则的值为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题8分）计算： (1) (2) (3) (4) 22．（本题8分）阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数 所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)请你用两种解法计算：． 23. （本题8分）在学习完“有理数的加法”后，小明同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算学习经验，自主探究新定义运算． 小明设计一种新运算“”，即对任意有理数，，规则如下：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______；②______；③______； 通过上面的计算结果，请同学们归纳“绝佳”运算是否满足交换律？若满足，请再举例说明（举一个例子即可）；若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则______；②若，则______； 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （3）计算：； 小明同学想通过上式的计算，类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，即验证等式是否成立． 请同学们验证等式是否成立，并归纳“绝佳”运算是否满足结合律． 24．（本题8分）某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：km）如下： 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶．． (1)B地在A地的哪个方向?它们相距多少千米 (2)如果汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油多少升?（直接写出答案） 25．（本题8分）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】 【提出问题】两个有理数满足同号，求的值． 【解决问题】 解：由同号，可知有两种可能：①当都正数；②当都是负数． ①若都是正数，即，有则； ②若都是负数，即，有，，，所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)两个有理数满足异号，求的值； (2)已知，，且，求的值． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 2024-2025学年七年级第一学期(2024新浙教版) · 第二章 有理数的运算 单元检测B卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图（1）表示的是计算的过程．按照这种方法，图（2）表示的过程应是在计算（    ） A． B． C． D．5＋2 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是理解图1表示的计算．由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图2即可列式． 【详解】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数， 图2表示的过程应是在计算． 故选：C． 2．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减运算，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据有理数的加减法则逐项判断即可． 【详解】解：，则A不符合题意； ，则B符合题意； ，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选：B 3．将算式写成省略加号和括号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是省略加号的和的形式，根据减去一个数等于加上这个数的相反数，再进行解答即可． 【详解】解：将算式写成省略加号和括号的和的形式为， 故选：D． 4．冬季里某一天桂林最高气温是，最低气温，这一天的温差是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数减法的应用，根据题意列出算式，根据有理数减法法则计算即可，正确理解题意列得减法算式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故选：． 5．如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．先根据A、B两点在数轴上的位置判断出a，b的符号及绝对值的大小，进而可得出结论． 【详解】解：∵由图可知，，， ∴，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C不正确，符合题意； ，故D正确，不符合题意． 故选：C． 6．下列是甲、乙两位同学简便计算“”的方法，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式              乙同学：原式              A．只有甲的方法正确 B．只有乙的方法正确 C．甲、乙的方法都正确 D．甲、乙的方法都不正确 【答案】C 【分析】本题主要查了有理数的乘法运算律．根据有理数的乘法运算律计算即可． 【详解】解：方法一： 原式   ； 方法二：原式 所以甲、乙的方法都正确． 故选：C 7．下列各组数中，运算结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的乘方．根据乘方的意义：表示个相乘，分别计算出每个选项中的结果，即可得出正确答案． 【详解】解：A．，，故，符合题意， B．，，故，不符合题意， C．，，故，不符合题意， D．，，故，不符合题意， 故选：A． 8．定义新运算“*”，规定，则的值为（    ） A．6 B． C． D．18 【答案】B 【分析】根据，可以求得所求式子的值，本题得以解决． 【详解】解：， ， 故选：B． 9．小明在计算时，不小心把八个运算符号中的一个写错了（“＋”错写成“－”或“－”错写成“＋”），结果算成了，则原式从左往右数，第（    ）个运算符号写错了 A．6 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】利用有理数的加减混合运算的法则将原式计算得出结论，进而判定出将“”错写成“”，最后结合所给结论得出相差的数值即可． 【详解】解： ． ， 不小心把“”错写成“”， ，， 不小心把看成了， 不小心把原式从左往右数，第6个运算符号写错了． 故选：A． 10．若a、b取正数，c、d取负数，则以下式中其值最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由若，均为正数，，均为负数可知：要使它们相加减组成的代数式的值最大，最好都变成是正数相加，即的形式． 【详解】解：将各选项的式子进行化简，可得： A、； B、； C、； D、， ∵a、b取正数，c、d取负数， 所以，C最大， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．绝对值大于且不大于的负整数的和是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数大小比较，有理数的加法运算；首先根据有理数大小比较的方法，判断出绝对值大于且不大于的所有负整数各有哪些；然后把它们相加即可． 【详解】解：绝对值大于且不大于的所有负整数有：，，、， 它们的和是：． 故答案为：． 12． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，熟知有理数的减法计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13．我国自2016年1月1日起全面实施二孩政策，据专家估计，二孩政策放开后，我国人口发展的情况是：到2075年，出生的人口约为512000000人，把512000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 14．用简便方法计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法．用裂项法，将拆分成，再运用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 15．我国古代典籍《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之框，日取其半，万世不竭”．现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半，如此反复，则第99次截取后，此木杆剩下的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方的应用，正确理解题意是解题的关键．根据每次截取剩余的长度都是前一次截取剩余长度的一半进行求解然后得出规律，然后代入99即可得出答案． 【详解】解：第1次截取后剩下的长度为尺， 第2次截取后剩下的长度为尺， 第3次截取后剩下的长度为尺， … ∴第n次截取后剩下的长度为尺， ∴第99次截取后，此木杆剩下的长度为， 故答案为： 16．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据操作步骤列出式子进行计算即可求解． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 17．一只小虫在数轴上先向右爬行3个单位，再向左爬行7个单位，正好停在的位置，则小虫的起始位置所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减混合运算，掌握从小虫的终点位置返回去就是起点位置是解题的关键． 小虫从向右爬行7个单位，再向左爬行3个单位即可到达起始位置． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 18．错用运算律，可能会导致计算的结果出错 例如有同学计算时，得到的结果为，这位同学的计算过程如下： 解：    ①     ② ③ ④ 以上计算过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 . 【答案】② 【分析】根据有理数的加减运算和添括号法则可作出判断． 【详解】解： ， 第②步括号内没变符号导致错误，即开始出现错误的那一步对应的序号是②， 故答案为：②． 19．已知表示有理数，的点在数轴上的位置如图所示，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，有理数的加法，化简绝对值，根据数轴可知，，然后代入化简求值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】根据数轴可知，， 则， 故答案为：． 20．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个有理数，如果任意相邻三个台阶上数的和都相等，回答下列问题． （1） ； （2）若前个台阶上所标有理数之和是，则的值为 ． 【答案】 3 610 【分析】本题考查有理数的运算： （1）根据任意相邻三个台阶上数的和都相等，得到求出即可； （2）先求出，进而求出相邻三个数的和，根据每三个数一循环，且和等于，进行计算即可． 【详解】（1）∵任意相邻三个台阶上数的和都相等， ； （2） 每三个数一循环，且和等于 ， ． 故答案为：3，610． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题8分）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算； （1）先去括号，再计算有理数的加减法即可得； （2）先计算有理数的乘除，再计算加法即可得； （3）利用有理数乘法的分配律进行计算即可得； （4）先计算有理数的乘方、括号内的减法，再计算有理数的乘法与减法即可得 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： （4）解： 22．（本题8分）阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数 所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法______是错误的； (2)请你用两种解法计算：． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】本题考查有理数计算． （1）根据题意利用除法不可以用分配律，即可得到本题答案； （2）根据题意用解法二和解法三分别解答出来即可． 【详解】（1）解：∵只有乘法才可以用乘法分配律， ∴解法一错误； （2）解：第一种解法； ， ， ， ， ， 第二种解法： 原式的倒数， ， ， ， ∴原式． 23. （本题8分）在学习完“有理数的加法”后，小明同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算学习经验，自主探究新定义运算． 小明设计一种新运算“”，即对任意有理数，，规则如下：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______；②______；③______； 通过上面的计算结果，请同学们归纳“绝佳”运算是否满足交换律？若满足，请再举例说明（举一个例子即可）；若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则______；②若，则______； 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （3）计算：； 小明同学想通过上式的计算，类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，即验证等式是否成立． 请同学们验证等式是否成立，并归纳“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1），，，满足，例子见解析；（2）或；或；（3），不满足，验证见解析 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，根据新定义运算，进行解答，即可． （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，进行计算，即可； （3）根据，先求出的值，再根据验证，即可． 【详解】（1）∵， ∴；；； 由可得，“绝佳”运算满足交换律； 如：，； 故答案为：，，，满足； （2）∵， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴，， ∴， ∴或， 解得或； 故答案为：或；或； （3）∵， ∴， ∴； “绝佳”运算不满足结合律，验证如下： ∵， ∵； ∵，， ∴， ∴“绝佳”运算不满足结合律． 24．（本题8分）某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：km）如下： 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶．． (1)B地在A地的哪个方向?它们相距多少千米 (2)如果汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油多少升?（直接写出答案） 【答案】(1)B地在A地的正南方向，它们相距 (2) 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的运算，绝对值，对于（1），将各数相加，根据结果即可判断； 对于（2），求出各数的绝对值，再乘以平均耗油即可． 【详解】（1）∵ ， ∴B地在A地正南方向，它们相距5km； （2）∵ ， 汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油． 25．（本题8分）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】 【提出问题】两个有理数满足同号，求的值． 【解决问题】 解：由同号，可知有两种可能：①当都正数；②当都是负数． ①若都是正数，即，有则； ②若都是负数，即，有，，，所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)两个有理数满足异号，求的值； (2)已知，，且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）由异号分种情况讨论：①；②，分别求解即可； （）利用绝对值的代数意义，以及小于，求出与的值，再代入代数式计算即可求解； 本题考查了绝对值、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵异号， ∴分种情况讨论： ①，则有，， ∴； ②，则有，， ∴； 综上，的值为； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$