浙江省强基联盟2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷

浙江强基联盟2024年10月高二联考 数学卷参芳答案与评分标准 1.A根据向量减法运算，得AB=(一1,3,4)，故选A 2.C由方程得直线斜率飞=l,所以倾斜角a=牙.故选C 3.B若1⊥a,a⊥B,则l∥3或1C3:若l∥B,⊥a,则3内必存在一条直线m平行于I,则m⊥a,则a⊥3，所以 “α⊥3”是“l∥”的必要不充分条件.故选B. 4.D直线在x轴上截距为2，y轴上截距为一3，画出直线1，发现直线1过一、三、四象限，故选D. 5.D由已知z=x十yi,x,y∈R,则由|x十i=1,可得引x+(y十1)i=1,即√x+(y十1)=1，可得x2十 (y十1)-1.故选D. 6.C由题意，QA=(-2,-2,-2),n为平面a的法向量，n=3,Q1·n=一4+2-4=一6，所以d= QA·n=6=2,故选C n 3 7.B取AB中点G,连结EG,GF,EF,由正八面体定义可知，∠EGF为所求的二面角的平面D% 角，不妨设AB=2,则EG=FG=√，EF=2√2，在△EFG中，由余弦定理，得cOs∠EGF= B2=吉，所以n0F=2放选B 2×5X5 8.A以A为坐标原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，设D(x,y),则 AD=(xy).AB=(1,0),所以，满足AD-4AD·AB+3=0的点D坐标 满足：x2+y2一4x十3=0，即D在以E(2,0)为圆心，1为半径的圆上，当C. E,D三点共线，且D在如图所示位置时，CD最大，由余弦定理，得CE √3，所以|CD1=√3+1.故选A 9.BC因为A(1,2,-1),B(0,1,1),所以AB=(-1,-12),1AB= √1+1+4=√6，所以A错误；因为OA.OB=0+2-1=1,所以B正确，若n=(4,2,t),且n⊥AB,则n· AB=4×(-1)+2×(-1)+1×2=0,则=3，所以C正确，若m=(1,1,k)且m∥AB,因为AB=(-1,-1,2), 所以k=一2，所以D错误故选BC 10.ACD当x>0>0时，原方程化为2+y=x+y,是圆心为（分，号），半径为 号的圆在第一象限的部分，又由于2+y=x十图象关于x轴y轴对称所 以曲线2如图所示.对于A,由图可知正确，四条对称轴分别是x轴，y轴，y=x, y=一x:对于B,a十b十3|表示曲线上的点P到直线：x十y十3=0的距离的 @倍，如图，显然当P(@,b)是(-1,1)时，距离最小，为-1后十3-号，所必 ② 1a十6什3最小值为2×号-1，放B错误：对于C.曲线n围成的图形由四个直径为反的半圆和一个边长 ) 为2的正方形组成，故而积为4× 2 十(2)=x+2,故C正确：对于D.设k=,产2表示点(2.0)与点 P确定的直线的斜率，设该直线方程为y=k(x一2)，根据图象，可知当x>0,y<0,即x十y=x一y,则圆 心为（分，一子），半径为号的圆在第四象限的部分与直线相切时，该切线的斜率是大的最大值，则由4=， 得 -+ √1十 号.解得长=1或=一号（会则长的最大值为1，故D正确.故选AD 【数学卷参考答案第1页（共4页）】 1山.AD对于选项A,B,1)等于以A为球心，1为半径的球与正方体表面的交线总长，所以)=号x,故选 项A正确：f(2)等于以A为球心√2为半径的球与正方体表面的交线总长，由于2>1，所以球A与过A 的三个正方体表面没有交线，与另外三个面的交线长为3×受×√(2)一1-经，故选项B错误：对于选 项C,如图，取AD的中点H,AB的中点I,易知平面AHI∥平面EFB,则当点P∈平面AHI时，PA∥ 平面EFB,又点P∈平面AC,所以点P的轨迹是线段HI,则当AP⊥HI时，AP最小，此时AP= √P+(保)=3，即x的最小值为3，故选项C错误：对于选项D,因为市-A硫+亦以，4∈R. 所以点P与点B,E,F共面，从而点P的轨迹为平面BEF与正方体表面的交线，根据面面平行的性质定 理，画出交线如图，所以P的轨迹为等腰梯形EFDB(如图).放轨迹总长)=反+号+2×复-3+ 2 2 √5，故选项D正确.故选AD D 12.一2因为Lm,所以两直线的斜率之积为一1，即2×k=一1，所以k=一2 13.√石以B为坐标原点，分别以BA,BC,BB为x,y,x轴建立空间直角坐标系B-xyz,设AA=t,则由题 意：A(W3,0,0),M(0,1,÷)A1(3,0,),则AM=（-3,1,÷）.BA=(3,0,),BA·AM=-3+ 号=0.解得1=5，即AM=6。 14.3由题意，圆M的半径AM=√2，根据向量数量积的几何意义，得PA·PM-PA=P亦-MA=P 一2.所以只要PM最小即可，当PM⊥1时，PM=2X(一)-0-3=5，所以P方.P应的最小值为 √2+1 (5)-2=3. 15.解：(1)设C(x,yz),则AB=(-2,-1,3),AD=(1,-3,2),AC=(xy-2,-3), 由平行四边形法则：4C=AB+AD=(-1,一4,5)=(x,y-2,2一3)，…3分 所以x=一1，y=-2,2=8,即C点坐标为（一1，一2,8）.…6分 (2)由题意，AB=,AD1=V爪as成.A市=员-，所以<成.Ad>=子 …10分 所以S=AB1 ADlsin5=75.…13分 16.(1)证明：如图，建立空间直角坐标系D-xy,不妨设AC=2, 则D00.0.A-50.0.C01.0.G01.2.E(停号2小 …2分 则Di=号，号2.A心-510，Ad=51,2. 设平面ACC1A的一个法向量n=(x,y,x), 则/n·A亡-0， n·AC=0, 可取n=(1,一√3,0)，…5分 所以D成，I-号+0=0所以D成Ln.D正/平面ACA. 2 又DE过平面ACCA,所以DE∥平面ACCA(其他方法，按步给分). …7分 (2)解：由题意，C(0,1,0),A(-3,0,2),B(3,0.2).所以CA=(一3，-1,2)，AB=(2√3,0,0)， 【数学卷参考答案第2页（共4页）】 设平面CAB的一个法向量为m=(x,y,z), m·CA=0, 则 可取m=(0,2,1),…9分 m·A1B1=0, 又成=（停，号2）小，设直线DE与平面A,BC所成的角为0，则sng=m(D成，m)1- D求·m 3 DEm 3 所以直线DE与平面A,BC所成的角的正弦值为， 15分 (其他方法，按步给分) =十(-4) 2 17.解：(1)设M(x,y),A(x0,%),则 …3分 y=也十2 2 所以=2x+代人圆0,2+y=8,得(2十4)2+(2y一2》=8. %=2y-2, 化简得(.x十2)2十(y一1)2=2，即为M的轨迹方程.…7分 (2)由题意，以OP为直径的圆的方程为：(x十2)2+(y-1)2=5,即x2+y+4.x一2y=0. (x2+y2=8, 由2+y+4x-2y=0. 得直线CD的方程：2x一y十4=0. …11分 圆心O到直线CD的距离dRo=2/2, 24-430 2 5 所以CD=43o 5 15分 18.解：(1)当PB=√2时，PA,PB,PC两两垂直，可将其补成正方体，正方体的体对角线即为外接球的直径 所以三棱锥P-ABC的外接球直径为：2R=√2×√3=√6， 两边平方得4R=6,所以S=4元R2=6元. …4分 (2)如图，取AC中点O,由题意，OP-1,OB=3,设∠POB=0,O元-a,O店-b,O币-c 则a·b=0,a·c=0,b:c一3cs,因为PC,AB所成角的余弦值为2 所以=msP元，A= PC·A店 P心·A店 22 得P乙.AB=土1. …7分 又PC-a-c,Ai=b+a,P元.Ai=(a-c)(b+a)=a·b+a2-c…b-c·a=1-√3cos0=土1， 解得cms=0或cs0-2>1K含去.所以coas0=0,此时<b.6>=90 这样，可以以Oi,O亦.O亦分别为x,,之轴正方向，建立空间直角坐标系（如图）.…10分 则A(1.0,0),B(0,w3,0),C(-1,0,0),P(0,0,1),设F(xy,), 因为点F∈PB,所以设P=1PB(t∈(0,1))， Pi=(03,-1),PF=(xy,-1),所以(xy,x-1)=1(0w3,-1. x=0, 所以y=31,得F0w3t,1-t). 2=1-1, 因为AC-(一2,0,0)，O亦-(0，√31,1-)，设平面ACF的-个法向量m=(,”,), 【数学卷参考答案第3页（共4页）】 AC.m=-2x0=0, 则 O亦.m=3%+(1-)=0. 取m=(0,1一t,一√31)，…13分 又P心-(-1,0，-1)，Pi=(03,-1D, 同理可求得平面PBC的一个法向量为n=(一√5,1，w3). 14分 因为平面ACF与平面PBC的夹角为a, 所以cosa= m·n 1-1-3 =716t-81+1 mn √(1-1)2+3·√77V4-2+11 设x=r-2eoc[2).则g湍-告 记)-计=4寻∈[-子2)显然在[-子2)止单调递增， x+1 所以)=-})=0，当x2时x)3,所以csaE[0.牙)月 即c©sa的取值范围是[0，牙)】 17分 19.解：(1)以为y轴，l为x轴，建立平面直角坐标系，2：x=2,设P(x,y), 因为P在l1,l2之间，所以d山=x,d=2-x,d=|y, 由定义得d山d=d2,所以x(2-x)=y,化简得(x一1)2+y2=1,表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆， 所以动点P的轨迹围成的图形面积S=π之=元.…。 4分 (2)以A为坐标原点，1为y轴，l2为x轴，建立平面直角坐标系。 设h:x+y-c=0(e>0),点P,y(x>≥0且y≥0，则d=x,d山=y,d山=1+d,dd=kd, V2 代人坐标得：xy=kC++2+2xy-2cx-2cy …6分 2 化简整理：kx2+ky+(2k一2)xy-2kCx-2kcy+kc2=0① 当k=1时，方程①没有xy项，此时方程①为：x+y2-2x一2cy十2=0. 即(x一c)2十(y一c)2=2,此方程表示圆心为(c,c),半径为c的圆， 所以当k=】时，P的轨迹是圆。……9分 (3)以A为坐标原，点，∠CAB的角平分线为x轴，建立平面直角坐标系， 设4：y=tx,:y=-tx(>0),l:x=a(a>0),点P(x,y), 先求点P的轨迹方程：由d山=二兰，因为P在∠CAB内部，所以x一y>0,得山，=兰 +1 +1 理=号又山=a 由题意，当k=1时，得兰·十兰=|x一a. 2+1√+1 化简整理得：x2十y2-2a(十1)x十a2(2十1)=0.②…13分 + 假设存在点D(m,0(m>0,满足条件，则品m干 √2+y-2mr+m③ 由②得：x2+y2=2a(+1).x-a2(+1). 代入③相路√2at+a2'2+-m: a(t+1)(2.x-a】 要使此式为定值，则以一-名，化简得-@： 故存在点D(a,O),即点D为l3与∠CAB的角平分线的交点，即点D为BC中点， 此时路更>1 …17分 【数学卷参考答案第4页（共4页）】浙江强基联盟2024年10月高二联考 数学试题 浙江强基联盟研究院命制 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择題每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.在空间直角坐标系中，已知点A(2,一1，-2)，B(1,2,2),则AB= A.(-1,3,4) B.(-2,6,8) C.(1,-3,-1) D.(2,-6,-2) 2.直线x一y十1=0的倾斜角为 A.1 B晋 c D. 3.已知l为一条直线，a,B为两个不重合的平面，且l⊥a,则“a⊥B”是“l∥B”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在平面直角坐标系中，直线1：受-号=1，则直线1过 A.一、二、三象限 B.一、二、四象限 C.二、三、四象限 D.一、三、四象限 5.设复数x满足方程之十i=1,之在复平面内对应的点为(x,y),则 A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)=1 【数学第1页（共4页）】 6.已知点Q(1,2,3),平面a={P|n·PQ=0},其中n=(2,-1,2),则点A(-1,0,1)到平面a 的距离是 A号 B号 C.2 D.3 7.正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）作为一种对称稳定的几何结构，在物质世界中 具有广泛的应用.从晶体材料到生物分子，正八面体结构都发挥着重要作用，影响着物质的性 质.如六氟化硫（化学式为SF。)分子结构为正八面体结构，在常压下是一种无色、无臭、无毒、 不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.则在如图所示的正八面体 E-ABCD-F中，二面角E-AB-F的正弦值为 A号 B3 3 c 8.已知正三角形ABC的边长为1，D在平面ABC内，若向量AD满足AD-4AD·AB+3=0, 则|CD的最大值为 A.√3+1 B.5-1 C.2 D.3 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在空间直角坐标系O一xy2中，已知A(1,2,一1)，B(0,1,1),下列结论正确的有 A.ABI=4 B.OA.OB=1 C.若n=(4,2,t),且n⊥AB,则t=3 D.若m=(1,1,k)且m∥AB,则k=2 10.已知曲线2：x2+y2=|x十|y,点P(a,b)在曲线2上，则下列结论正确的是 A.曲线Ω有4条对称轴 B.la十b+3的最小值是② C.曲线围成的图形面积为π十2 D。2的最大值是1 【数学第2页（共4页）】 11.正方体ABCD-A1B,CD1的棱长为1，E,F分别是B1C,CD1的中点，点P在正方体表面 上运动，且PA=x(0<x<3),记点P的轨迹长度为f(x),则下列结论正确的是 A.f(D) B.f(2)=3π C若PA/平面BEF,且点P∈平面A:C,则x的最小值为号 D.若B=ABE+uB(au∈R),则f)=32+5 2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知直线：y=合x十2，直线m:y=k虹，若山m,则实数友的值为 13.已知在直三棱柱ABC-ABC中，∠ABC=90°，CB=1,CA=2,M是CC1的中点，若 AM⊥BA1,则AA1= 14.在平面直角坐标系中，已知圆M:x2+y+2x=1,直线l:2x-y-3=0,过1上一点P作 圆M的切线，切点为A,则PA·PM的最小值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(13分) 已知空间三点A(0,2,3),B(一2,1,6)，D(1,一1,5)，以向量AB,AD为一组邻边组成 平行四边形ABCD, (1)求C点坐标； (2)求平行四边形ABCD的面积S. 16.(15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰三角形，∠ACB=120°，AC=BC=AA1, D,E分别是棱AB,BC1的中点. (1)求证：DE∥平面ACCA: (2)求直线DE与平面A,B,C所成的角的正弦值. 【数学第3页（共4页）】 17.(15分) 已知平面直角坐标系中，圆O:x2+y2=8,点P(一4,2)， (1)若A是圆O上的动点，线段AP的中点为M,求M的轨迹方程： (2)以OP为直径的圆交圆O于C,D两点，求|CD. 18.(17分) 如图，三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，PA=PC=√2. (1)若PB=√2，求三棱锥P-ABC的外接球的表面积： (2)若异面直线PC和AB所成角的余弦值为？，点F是线段PB(不含端点)上的一个动 点，平面ACF与平面PBC的夹角为a,求cosa的取值范围. 19.(17分) 古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯(Pappus,公元3世纪末)在其代表作 《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：平面上，到两条已知直线距离的乘积是到第三条直线 距离的平方的k倍的动点轨迹为二次曲线（在平面上，由二元二次方程所表示的曲线，叫做 二次曲线).常数k的大小和直线的位置等决定了曲线的形状.为了研究方便，我们设平面内 三条给定的直线为l,(i=1,2,3),当三条直线中有相交直线时，记l1∩l2=A,l2∩l3一B,l∩ l=C,动点P到直线l,的距离为d,(i=1,2,3),且满足dd2=kd2.阅读上述材料，完成下 列问题： (1)当11∥12，l3⊥1时，若k=1,且1与l2的距离为2，点P在11与l2之间运动时，求动点 P的轨迹所围成的面积。 (2)若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC是直角，点P在∠BAC内（包括两边）运动，试探 求k为何值时，P的轨迹是圆？ (3)若△ABC是等腰三角形，AB=AC,点P在∠BAC内（包括两边）任意运动，当k=1时， 问在此等腰三角形对称轴上是否存在一点D,使器为大于1的定值.若存在，求出点D 的位置，若不存在，请说明理由， 【数学第4页（共4页）】