九年级数学上学期期中测试-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

2024-2025学年九年级数学上学期期中测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第21-22章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 1．下列各式中，y是x的二次函数的为（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值是（    ） A． B． C．12 D． 3．下列各组线段中，成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．2，3，4，5 D．1，3，5，6 4．如图，已知，若的长度为12，则的长度为（    ） A．9 B．12 C．16 D．20 5．关于抛物线的图像，下列说法正确的是（   ） A．图像与轴有两个交点 B．图像与轴的交点是 C．图像的顶点坐标是 D．图像关于直线对称 6．小颖同学是校园艺术节的主持人，学完黄金分割后她想，主持节目时如果站在舞台长的黄金分割点的位置，会让台下的同学们看起来效果更好，于是她将舞台的长看作线段，量得米，若点是线段的黄金分割点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，中，，，若，，则（   ） A． B． C．4 D． 8．在函数（k是常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的图象，如图所示，其对称轴为直线，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在矩形中，点为矩形内一点，，于点，连接，，，，则边的长为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．在比例尺为的地图上，A、B两地间的图上距离为，则A，B两地间的实际距离是 m． 12．二次函数的最小值是 ． 13．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面150米处的水平宽度（即的长）为 米． 14．如图，在矩形中，，，点E是边上的动点，点F是射线上的动点，且，连接，则的最小值是 ． 三、解答题：本题共9小题，共90分. 15．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．    (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为2：1． (2)写出的坐标． 17．如图，在中，，平分交于点D．    (1)在边上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 18．如图，一次函数（是常数且）与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，和的值； (2)直接写出关于的不等式的解集：_______； (3)点是轴上的一个动点，若的面积为9，则点的坐标为_________． 19．服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五·一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ (2)要使平均每天销售这种服装盈利最多，那么每件服装应降价多少元？一天最多盈利多少元？ 20．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为8． (2)若两点同时分别从A、B出发，经过多长时间与相似？ 21．图1、图2、图3是三张方格纸，其中每个小正方形的边长均为1，线段的两端点均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出以为斜边的等腰直角，点在小正方形的顶点上； (2)在图2中，在上找一点，使得； (3)在图3中，以为对角线画一个面积为4的矩形，点在小正方形的顶点上． 22．如图，直线与x轴、y 轴分别交于点B，A，抛物线经过点A，B，其顶点为C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积； (3)点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D，求线段的最大值及此时点P的坐标． 23．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． (1)直线上的“友好点”坐标为_________； (2)如图，点是反比例函数图象上的“友好点”，点在线段的延长线上，轴于点，交反比例函数图象于点，若，求点的坐标； (3)若“友好二次函数”的图象与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； (4)若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“友好二次函数”的最大值与最小值的差为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第21-22章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 1．下列各式中，y是x的二次函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据形如的函数是二次函数逐一判断即可． 【详解】解：A. 当时，不是二次函数，不符合题意； B. 是一次函数，不符合题意； C. 不是二次函数，不符合题意； D. 是二次函数，符合题意； 故选：D． 2．若，则的值是（    ） A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例的性质，直接根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 3．下列各组线段中，成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．2，3，4，5 D．1，3，5，6 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段，如果四条线段满足,则四条线段称为比例线段，据此即可验证求解． 【详解】解：A：，不符合题意； B：，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 4．如图，已知，若的长度为12，则的长度为（    ） A．9 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．关于抛物线的图像，下列说法正确的是（   ） A．图像与轴有两个交点 B．图像与轴的交点是 C．图像的顶点坐标是 D．图像关于直线对称 【答案】A 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，开口方向由的正负决定，增减性由开口方向和对称轴共同决定，据此及可求解． 【详解】解：令，则， 即：，解得， ∴图像与轴有两个交点，故A正确； 令，则， ∴图像与轴的交点是，故B错误； 图像的顶点坐标是，故C错误； 图像关于直线对称，故D 错误； 故选：A 6．小颖同学是校园艺术节的主持人，学完黄金分割后她想，主持节目时如果站在舞台长的黄金分割点的位置，会让台下的同学们看起来效果更好，于是她将舞台的长看作线段，量得米，若点是线段的黄金分割点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割定理，解题关键是理解黄金分割的概念，熟悉黄金比的值．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比，由此进行求解即可． 【详解】解：线段，点是黄金分割点，， ． 故选． 7．如图，中，，，若，，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，先证明，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 故选：C． 8．在函数（k是常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的图象与性质结合三点的横坐标进行判断即可． 【详解】解：∵函数（k为常数，且）中， ∴函数图象的两个分支分别在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减少， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 9．已知二次函数的图象，如图所示，其对称轴为直线，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断系数的符号，式子的符号．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．①根据对称轴为直线，即可得出结论；②由图象可知，当时，函数值最大，即可得出结论；③结合对称轴以及时，，进行变换，即可得出结论；④结合对称轴，得到，再进行判断即可． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴， ∴；故①错误； ②由图象可知，当时，函数值最大为， ∴时的函数值小于时的函数值， 即：， ∴；故②正确； ③由图象可知，当时，， ∵， ∴，即：， ∴；故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∴；故④正确； 综上，正确的是②③④； 故选：C． 10．如图，在矩形中，点为矩形内一点，，于点，连接，，，，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质， 根据题意，可证，可得，如图所示，过点作，交于点，交于点，可得四边形是矩形，结合题意，设，可得，在直角中运用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得，， 如图所示，过点作，交于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴的长为， 故选：C ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．在比例尺为的地图上，A、B两地间的图上距离为，则A，B两地间的实际距离是 m． 【答案】300 【分析】本题考查了比例线段，能够根据比例尺的定义正确地列出算式是解题的关键，注意单位之间的转换． 【详解】解：A，B两地间的实际距离是， 故答案为：300． 12．二次函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数的图象和性质，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．由二次函数解析式求出顶点式，根据顶点式即可得出答案． 【详解】， ， 二次函数开口向上，函数有最小值， 当时，函数y的最小值为， 即答案为：． 13．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面150米处的水平宽度（即的长）为 米． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，数形结合．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出的值，即可得到的值． 【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系， ，， 设内侧抛物线的解析式为， 将代入， 得：， 解得： ， 内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， （米）， 故答案为：． 14．如图，在矩形中，，，点E是边上的动点，点F是射线上的动点，且，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】延长到G，使，连接，则可证明，从而得；则，当点E在线段上时，取得最小值，在中，由勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，； 如图，延长到G，使，连接， 则； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； ∴， 当点E在线段上时，取得最小值，从而取得最小值； ∵，， ∴在中，由勾股定理得， ∴取得最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点间线段最短，矩形的性质等知识，关键是通过相似，把转化为线段． 三、解答题：本题共9小题，共90分. 15．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质，根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键． （1）根据表格中的数据可以求得二次函数的解析式； （2）写出关于x轴对称的顶点坐标，即可求二次函数的解析式． 【详解】（1）解：由表格可知，二次函数经过点， 所以该抛物线的对称轴为， 所以该抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数表达式为    将代入得：； 即   将代入得： （2）解：将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位， 依据二次函数图像平移时“左加右减，上加下减”的规则，得 ， 即． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．    (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为2：1． (2)写出的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意可知，分别为的中点，据此可确定的坐标，即可完成作图； （2）由（1）中结论即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：由图可知： 【点睛】本题考查位似图形作图．抓住位似比是解题关键． 17．如图，在中，，平分交于点D．    (1)在边上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图―作垂线以及相似三角形的性质．熟记相关性质定理是解题关键． （1）过点作的垂线，即可确定点； （2）设，则，，根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求；    （2）解：由（1）在作图可得， ∵，平分 ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵ ∴， 即， 解得， ∴． 18．如图，一次函数（是常数且）与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，和的值； (2)直接写出关于的不等式的解集：_______； (3)点是轴上的一个动点，若的面积为9，则点的坐标为_________． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合、利用图象解不等式、坐标与图形，掌握反比例函数与一次函数图象与性质是解题的关键． （1）将点，坐标分别代入函数表达式即可得到答案； （2）根据图象位置关系，找出直线在反比例函数图象的上方时的取值范围即为答案； （3）设点坐标为，一次函数交轴于点，作轴，轴，得到，，，然后利用，列出方程解之即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数都经过， 则， 解得：，， （2）解：根据图象可知，当或时，直线在反比例函数图象的上方，满足 不等式的解集为或． 故答案为：或． （3）解：根据题意，设点坐标为，一次函数交轴于点，作轴，轴，如图 ， ， 由（1）可知， 当时，，即 ，即 解得：或 故答案为：或． 19．服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五·一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ (2)要使平均每天销售这种服装盈利最多，那么每件服装应降价多少元？一天最多盈利多少元？ 【答案】(1)每件服装应降价20元； (2)每件服装应降价15元时，一天盈利最多，一天最多盈利1250元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设每件服装应降价x元，则销售量为件，每件的利润为元，再根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可； （2）设每件衣服应降价m元，每天盈利w元，根据总利润单件利润销售量列出w关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装应降价x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； （2）解：设每件衣服应降价m元，每天盈利w元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w最大，最大为1250， ∴每件服装应降价15元时，一天盈利最多，一天最多盈利1250元． 20．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为8． (2)若两点同时分别从A、B出发，经过多长时间与相似？ 【答案】(1)2秒或4秒 (2)3秒或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）由题意知，，，再代入三角形面积公式，解方程即可； （2）分两种情形：当或时，分别根据对应边成比例解决问题． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒时，由题意知，，， ∴， 解得或4， ∴当移动2秒或4秒时，的面积为8， 答：当移动2秒或4秒时，的面积为8； （2）解：分两种情况： ①当时，则， 即， 解得：， ②当时， 则， 即， 解得：， 综上，当移动3秒或秒时，与相似． 21．图1、图2、图3是三张方格纸，其中每个小正方形的边长均为1，线段的两端点均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出以为斜边的等腰直角，点在小正方形的顶点上； (2)在图2中，在上找一点，使得； (3)在图3中，以为对角线画一个面积为4的矩形，点在小正方形的顶点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，熟悉网格特点和等腰三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据网格特点和勾股定理及其逆定理，结合等腰三角形的判定作图即可； （2）根据网格特点和相似三角形的判定和性质作图即可； （3）利用网格特点和矩形的性质、勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，点即为所求： 取格点，连接交于点，此时， ∴； （3）解：如图，矩形即为所求： ∵，，，， ∴， ∴四边形是矩形，且面积为． 22．如图，直线与x轴、y 轴分别交于点B，A，抛物线经过点A，B，其顶点为C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积； (3)点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D，求线段的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)2.25， 【分析】（1）先求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得：，求出直线的解析式为，得出与轴的交点的横坐标，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）设，则，，表示出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， 由题意得：， 解得：， ∴抛物线的函数解析式； （2）解：由（1）可得：， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴； （3）解：∵点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D， ∴设，则，， ∴， ∴当时，有最大值，为，此时，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的图象与性质、二次函数综合—线段问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 23．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． (1)直线上的“友好点”坐标为_________； (2)如图，点是反比例函数图象上的“友好点”，点在线段的延长线上，轴于点，交反比例函数图象于点，若，求点的坐标； (3)若“友好二次函数”的图象与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； (4)若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“友好二次函数”的最大值与最小值的差为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）根据“友好点”的定义可知“友好点”在直线上，联立，求解即可； （2）根据新定义求得，进而可得直线的解析式，设，根据，得出点的横坐标为，代入反比例函数解析式，即可求解； （3）根据“友好二次函数”的定义，设顶点为，继而得出该函数的解析式为，再推出与轴交点为，再代入求解即可； （4）设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点，确定“友好该二次函数”的解析式为，进而根据，分情况讨论，分别求得函数的最值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，“友好点”在直线上， 联立 解得： ∴直线上的“友好点”坐标为， 故答案为：． （2）解：联立， 解得：或 ∵点是反比例函数图象上的“友好点”，且在第一象限， ∴， ∵点在线段的延长线上， ∴点在直线上， 设， ∵轴于点，， ∴ 解得： ∴点的横坐标为， 将代入得， ∴ （3）解：∵函数是“友好二次函数”，设它的顶点为， ∴， ∵“友好二次函数”的图像与轴的交点是“友好点”， ∴与轴交点为， 将代入中，得：， 解得：，， 当时，； 当时，， ∴这个“友好二次函数”的表达式为或； （4）设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点， ∴， 解得，， ∵这个“友好二次函数”的图象顶点在第一象限， ∴， ∴， ∴， ∵“友好二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值， 当时，函数的最大值为 ∴ 当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值， 当时，函数的最大值为， ∴ 当时， 当时，即，当时，函数的最大值为，函数的最小值为， ∴ 当时，即，当时，函数的最大值为，函数的最小值为， ∴ 综上所述，； 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，两直线交点问题，新定义，二次函数的性质，理解新定义以及二次函数的性质是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$