3.1.3函数的奇偶性（同步课件）数学人教B版2019必修第一册

3.1 函数的概念及性质 3.1.3 函数的奇偶性 第3章 函数 复习引入 初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，关于原点的对称点为.例如，关于轴的对称点为________，关于原点的对称点为________. 尝试与发现：填写下表，观察指定函数的自变量互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征. 新知探索 不难发现，上述两个函数，当自变量取互为相反数的两个值和，对应的函数值相等，即，. 一般地，设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则称为偶函数. 新知探索 如果是偶函数，其图象有什么特征呢？ 我们知道，点与都是函数图象上的点，按照偶函数的定义，点又可以写成，因此点和点关于轴对称，所以偶函数的图象关于轴对称；反之，结论也成立，即图象关于轴对称的函数一定是偶函数.如图所示是,这两个函数的图象. 新知探索 一般地，设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则称为奇函数. 奇函数的图象关于______对称. 尝试与发现：按照类似的方式得到奇函数的定义，以及奇函数图象的特征： 原点 新知探索 奇函数的图象特征也可按照下述方式得到：点与都是函数图象上的点，如果是奇函数，则点又可以写成 ，因此点和点关于原点对称；反之，结论也成立，即图象关于原点对称的函数一定是奇函数.如图所示是奇函数和的图象. 如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇偶性.可以看出，当是正整数时，函数是偶函数，函数是奇函数. 例题 例1 判断下列函数是否具有奇偶性： (1)；(2)； 解(1)：因为函数的定义域为，所以时，. 又因为， 所以函数是_____函数. 奇 解(2)：因为函数的定义域为，所以时，. 又因为， 所以函数是_____函数. 偶 例题 例1 判断下列函数是否具有奇偶性： (3)； (4). 解(3)：因为函数的定义域为，所以时，. 又因为，所以且， 因此函数既不是奇函数也不是偶函数(也可说成是非奇非偶函数). 解(4)：因为函数的定义域为，而时，但. 所以函数，是非奇非偶函数. 例1(4)说明，设函数的定义域为，如果存在，但，即函数的定义域不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数. 例题 例2 已知奇函数的定义域为，且，求证：. 证明：因为是奇函数，所以， 即，所以，因此. 新知探索 因为函数的奇偶性描述了函数图象具有的对称性，所以利用函数的奇偶性能简化函数性质的研究.如果知道一个函数是奇函数或是偶函数，那么其定义域能分成关于原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图象，就可得出这个函数在其中一部分上的性质和图象，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图象. 尝试与发现：已知函数满足，分别在条件“是偶函数”与“是奇函数”下求出的值. 显然，如果函数是偶函数，则； 如果是奇函数，则. 例题 例3 已知函数满足，分别在下列条件下比较与的大小： (1)是偶函数；(2)是奇函数. 解(1)：因为是偶函数，所以，因此 ，， 又由条件可知. (2)：因为是奇函数，所以，因此 ，， 又由条件可知，从而. 例3说明，当具有奇偶性时，函数的单调性会有一定规律. 新知探索 尝试与发现：已知函数是偶函数，是奇函数，且它们的部分图象如图所示，补全函数图象，并总结出当函数具有奇偶性时，函数单调性的规律. 不难看出，如果是偶函数，那么其在与时的单调性相反；如果是奇函数，那么其在与时的单调性相同. 例题 例4 研究函数的性质，并作出函数图象. 解：要使函数表达式有意义，需有，因此函数的定义域为， 从而可知函数的图象有左右两部分. 设，则对任意，都有，而且， 所以函数是偶函数，函数的两部分图象关于轴对称. 下面研究函数在区间上的性质及图象. 因为时，有， 所以在上是减函数. 例题 例4 研究函数的性质，并作出函数图象. 又因为时，，所以函数图象在右边的部分一定在第一象限. 列出部分函数值如下表所示，然后可以描点作图. 例题 例4 研究函数的性质，并作出函数图象. 再根据函数是偶函数，可以得出函数的图象，如图所示，而且函数的定义域为，函数是偶函数，在上单调递增，在上单调递减，函数的值域是. 利用研究奇偶函数的类似方法还可以研究更一般的函数图象的对称性. 例题 例5 求证：二次函数的图象关于对称. 尝试与发现：初中时，我们就在观察图象的基础上总结出过这个结论，但当时并没有给出严格的证明.为了证明函数的图象关于(即轴)对称，只需证明轴上关于原点对称的两点对应的函数值相等，那么该怎样证明函数的图象关于对称呢？ 如图所示，已知数轴上的两点关于对应的点对称，而且点的坐标是，则点的坐标是________. 例题 例5 求证：二次函数的图象关于对称. 证明：任取，因为. ， 所以，这就说明函数的图象关于对称. 由例5可知，要证明函数图象关于垂直于轴的直线对称并不难，但怎样才能找到对应的对称轴呢？ 以例5所示的二次函数为例，注意到，由此就容易得到，从而可知图象的对称轴为. 新知探索 探索与研究： (1)如果一个函数是奇函数，那么其值域具有什么特点？ (2)怎样才能证明函数的图象关于点对称？一般地，怎样证明函数的图象关于点对称？ 练习 题型一：函数奇偶性的判断 例1.，判断的奇偶性. 解：函数的定义域为 ∵,都有, 且, ∴函数为偶函数. 练习 方法技巧： 函数奇偶性的判断 (1)定义域：判断函数的定义域是否关于原点对称. (2)计算与：若，则为偶函数；若，则为奇函数. 练习 解：函数的定义域为 ∵,都有, 且, ∴函数为奇函数. 变1.，判断的奇偶性. 练习 例2.若函数是偶函数，定义域为,,的值. 解：∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴=0，= . 又∵为偶函数 ∴. ∴= ，即=0. 题型二：利用函数奇偶性求参数 练习 方法技巧： 利用函数奇偶性求参数 (1)定义域：有时候可以根据定义域关于原点对称，求出其中的一个参数. (2)计算与，再根据两者相等或者相反的关系，建立等式来求出其余的参数. (3)有时候还可以利用特殊点来计算出参数，如对于奇函数而言，若在处有定义，则0. 练习 变2.(1)若函数是偶函数，的值; (2)若函数是奇函数，的值. 答案：(1)4；(2). 练习 例3.已知函数为上的偶函数，且当时，,则当时,求此时的解析式. 解：当时，,则 ∵为上的偶函数 ∴当时，. 题型三：利用函数奇偶性求分段函数的解析式 练习 方法技巧： 利用函数奇偶性求分段函数的解析式 (1)定义域：根据已知定义域(正或负)的解析式，写出另一边的解析式. (2)写成分段函数的形式，通常不会出现，如果出现也需要特殊说明. 练习 变3.已知函数是上的奇函数，且当在上的解析式. 答案： 练习 例4.若对于任意实数总有,且在区间上是增函数，则（ ） 题型四：比较大小（奇偶性与单调性的综合） 解：据题意得：为偶函数，且在区间上是增函数. ∴. 又∵ ∴，即. 故选B. 练习 方法技巧： 综合利用函数奇偶性和单调性比较大小 (1)若自变量在同一区间内,直接利用函数的单调性比较大小； (2)若自变量不在同一区间内,需利用函数的奇偶性把自变量转化的同一区间内，再利用单调性比较大小. 练习 变4.已知函数是上的奇函数，且当在上的解析式，并比较与的大小. 答案： 且 练习 题型五：解不等式问题（奇偶性与单调性的综合） 例5.已知定义在的奇函数在区间上是减函数，若,求实数的取值范围. 解：∵是定义在上的奇函数，且在区间上是减函数 ∴函数在区间上为减函数. 若, 则有 解得：. 即实数的取值范围是：. 练习 方法技巧： 利用函数的奇偶性与单调性解不等式问题 (1)注意“含参数的定义域”要在函数的定义域内，进而列出不等式； (2)根据函数的单调性，列出关于两个“含参定义域”的大小不等式； (3)联立不等式，求出参数即不等式的解集. 练习 变5.已知函数的定义域为，且在上是增函数，若 ，则实数的取值范围为( ). 答案：. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)函数奇偶性的定义； (2)判断奇偶函数的思路. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P114的练习，练习； (3)课本P115的习题的第9题；习题的第8、9、10题；习题的第3题. 谢谢学习 Thank you for learning $$