精品解析：广东省深圳市龙岗区广东实验中学深圳学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024-2025学年秋季学期高二年级第一次段考 数学试题 2024.10 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁和平整. 第一部分选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角系对称的特征，直接求出答案即可. 【详解】点关于平面对称的点的坐标是. 故选：B 2. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点与不过原点两种情况求解可得直线的方程. 详解】根据题意，分2种情况讨论: ①直线过原点，设直线方程为，又由直线经过点， 所以，解得，此时直线的方程为，即； ②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点， 则有，解可得，此时直线的方程为， 故直线的方程为或. 故选：D. 3. 已知直线，直线，若，则与的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两直线平行，得到的方程，再求出两平行线间的距离. 【详解】若，则， 故与的距离为 故选：D. 4. 已知空间向量，，则在的投影向量（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】解：由空间向量，， 得在的投影向量. 故选：C. 5. 已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 6. 在三棱锥中，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】如图，取BC的中点E，连接AE，利用三角形法则和三角形重心的性质以及中线的性质即可求解. 【详解】如图，取BC的中点E，连接AE，由， 得 ， 所以. 故选：B. 7. 经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解. 【详解】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C 8. 如图，在棱长为1的正方体中，，若平面，则线段的长度的最小值为（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建系，求出相关点的坐标，用表示出，证明平面，求得平面的法向量，由条件得到，将的表达式整理成二次函数，利用其最小值即得. 【详解】 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则有, 依题意，， , 于是，. 又因平面，平面,则, 又,平面，故平面, 故平面的法向量可取为， 因平面，故，即. 则 ， 因，故当时，. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，则下列向量中与共面的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据共面向量定理，设出表达式，由方程组的解的情况确定是否与共面即得. 【详解】对于A，设，则得，解得，即，故A正确； 对于B，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故B错误； 对于C，设，则得，解得，即，故C正确； 对于D，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故D错误. 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 过，两点的直线方程为 C. 直线的倾斜角为 D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据直线过定点的求法即可判断； 对于B，利用两点式方程判断； 对于C，求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可判断； 对于D，求出三角形的面积即可判断． 【详解】对于A，因为直线可以化为：，令x－3＝0，则y－2＝0，解得x＝3，y＝2，所以直线过定点(3，2)，故A正确； 对于B，当时，过，两点的直线方程为，故B不正确； 对于C，直线的斜率，所以倾斜角为，故C不正确； 对于D，直线x－y－4＝0与两坐标轴的交点分别为(0，－4)，(4，0)，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：，故D正确． 故选：AD． 11. 如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的菱形，，为对角线的交点，为的中点．则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的外接球的半径为 C. 当异面直线和所成的角为时， D. 点F到平面与到平面的距离相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】在菱形中，过点作直线，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间向量求出线线角判断AC；求出点到平面距离判断D；分析棱锥外接球球心并求出球半径判断B. 【详解】在菱形中，过点作直线，由底面，得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而， 则， 由，得，则， 对于A，，， 则，于是，A正确； 对于B，由，得三棱锥的外接球截平面所得截面圆圆心为， 则球心在过垂直于平面的直线上，直线，显然球心在线段的中垂面上， 因此，三棱锥的外接球，B错误； 对于C，，由异面直线和所成的角为， 得，整理得， 而，解得，C正确； 对于D，， 设平面与平面的法向量分别为， ，令，得， ，令，得， 而，则点F到平面的距离， 点F到平面的距离，显然，D正确. 故选：ACD 第二部分非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据结合数量积与模长的公式求解即可. 【详解】由， 有． 故答案为： 13. 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，算出的斜率，结合题意以及斜率的几何意义即可求解. 【详解】解：如图所示： 由点，，， 可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 故答案为：. 14. 已知三棱锥S﹣ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为____． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：由题意，三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，求出球心到平面ABC的距离，即可求出点Q到平面ABC的距离的最大值． 解：∵三棱锥S﹣ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC， ∴三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球， ∵该三棱锥外接球的半径为， ∴正方体的体对角线长为2， ∴球心到平面ABC的距离为= ∴点Q到平面ABC的距离的最大值为+=． 故答案为． 考点：点、线、面间的距离计算． 四、解答题：本题共5小题，共63分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （2）利用两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【小问1详解】 因为直线，，且， 则，解得. 【小问2详解】 因为，则，解得或. 16. 已知空间中三点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值； （3）若点在平面上，求的值. 【答案】（1）或；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）由，得存在实数，使得，由向量模的运算求得得向量； （2）由垂直的数量积运算计算； （3）由空间向量共面定理求解，即存在，使得，然后求得值． 【详解】解：（1），因为，所以存在实数，使得. 又，所以，解得. 所以或. （2）由已知，， 因为与互相垂直，故即， 故即. （3）因为点在平面上，故存在，使得， 又，所以，解得. 故. 17. 如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，． （1）设，，，用向量表示，并求出的长度； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度； （2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果. 【小问1详解】 ， 因为，同理可得， 所以 【小问2详解】 因为，所以， 因为， 所以． 所以异面直线与所成角的余弦值为． 18. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， （1）求顶点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）首先设，根据题意得到，再解方程组即可. （2）首先设，得到，从而得到，解方程得到，再求出和点到直线的距离，即可得到答案. 【详解】（1）设，因为直线与直线垂直，且点在直线上， 所以，解得，故. （2）设由题知：， 所以，解得，即 ，直线，即：. ， 点到直线的距离， 所以. 【点睛】本题主要考查直线的方程，同时考查点到直线的距离公式，属于中档题. 19. 如图所示的几何体中，四边形为矩形，在梯形中，，为的中点，，，，线段交于点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由中位线定理和线面平行的判定定理即可证明； （2）由题意，如图以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系.求出平面及平面的法向量和，计算二面角的余弦值，继而求出二面角的正弦值即可求解. （3）设存在点满足条件，设，从而求得，由题意根据线面角的正弦值为，可求出，即可求解. 【小问1详解】 因为四边形为矩形， 所以为的中点，连接， 在中，，分别为，的中点，所以， 因平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，，， 所以，， 又且， 平面，又， 如图以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系. 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 即，解得，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设平面法向量为， 则，即，令，则，， 则平面的一个法向量为， 则，于是. 故二面角的正弦值为. 【小问3详解】 存在一点，使得与平面所成角的大小为. 设存在点满足条件，由，， 则，, 设， 则, 因为直线与平面所成角的大小为， 所以 ， 解得，由，知，且 即点与重合，故在线段上存在一点， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年秋季学期高二年级第一次段考 数学试题 2024.10 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁和平整. 第一部分选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知直线，直线，若，则与的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，，则在的投影向量（ ） A. B. C D. 5. 已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 6. 在三棱锥中，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，，若平面，则线段的长度的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，则下列向量中与共面的向量是（ ） A B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 过，两点的直线方程为 C. 直线的倾斜角为 D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 11. 如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为2的菱形，，为对角线的交点，为的中点．则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的外接球的半径为 C. 当异面直线和所成的角为时， D. 点F到平面与到平面的距离相等 第二部分非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 13. 已知点，，过点直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为______. 14. 已知三棱锥S﹣ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为____． 四、解答题：本题共5小题，共63分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 已知直线，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 16 已知空间中三点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值； （3）若点在平面上，求的值. 17. 如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，． （1）设，，，用向量表示，并求出的长度； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 18. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， （1）求顶点的坐标； （2）求的面积． 19. 如图所示的几何体中，四边形为矩形，在梯形中，，为的中点，，，，线段交于点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $