4.1 幂函数（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

沪教版（2020） 必修第一册 第四章 幂函数、指数函数与对数函数 4.1 幂函数 在初中阶段我们已经学过正比例函数如y=x,反比例函数如 y= 即y=x-1,以及二次函数如y=x²等函数的图像与性质.这三个函数的共同特征都是将幂的指数a固定，底数取为变量x,而研究幂xa随x的变化而变化的规律.用 y=xa 来描述y与x之间的关系就得到了幂函数. 幂函数的定义 定义 当指数a固定，等式y=xa确定了变量y随变量x变化的规律，称为指数为a的幂函数. 使得xa有意义的x的取值范围，称为此幂函数的定义域.随着指数a值的不同，幂函数的定义域可以是不相同的. 1. 下列哪些函数是幂函数 ①y＝x3； ②y＝2x； ③y＝4x2； ④y＝x5＋1； ⑤y＝(x－1)2； ⑥y＝x； ⑦y＝x-2 √ √ √ × × × × 函数图像是直观理解变量间关系的一个重要手段.下面我们考察幂函数y=xa的图像及性质. 在平面直角坐标系中把满足y=xa的一切点(x,y)描绘出来，就构成幂函数y=xa的图像. 需要注意，幂函数的图像依赖于指数a的值，可以有不同的形状. 幂函数的图像 解：幂函数 的定义域为所有非负实数，我们在其图像上设法取一些特殊的点.由 就得到幂函数 的图像过下面的点： 再使用计算器多采集一些点，可以粗略地绘出其图像，见图4-1-1中左边的图. 例题1 分别描绘幂函数 及y=x³的大致图像. 幂函数y=x³的定义域为所有实数.由 就得到幂函数y=x³的图像过下面的点： 再使用计算器多采集一些点，可以粗略地绘出其图像，见图4-1-1中右边的图. 因为幂函数y=x³的定义域为一切实数，若点(x,y)在幂函数y=x³的图像上，而点(x,y)关于原点的对称点易知是(—x,—y).由y=x³,得—y=(—x)³,因此点(—x,—y)亦落在幂函数y=x³的图像上.这说明幂函数y=x³的图像关于原点成中心对称. 例题2 描绘幂函数 的大致图像. 易知幂函数 的定义域为不等于0的一切实数；同理按例题1的分析，该函数图像关于y轴成轴对称. 由前述，不管指数a取何值，当x>0时，幂函数y=xa总是有定义的，且其函数值y>0.这说明，幂函数y=xa在第一象限总有图像，其图像随指数a取值的不同，可分为两种情况. (1)a>0的情况：此时观察幂函数y=xa在第一象限的图像，不难发现，当指数0<a<1时，相应的图像类似于图4-1-1中 的图像； 当指数a>1时，相应的图像类似图4-1-1中y=x³的图像； 而当a=1时，幂函数y=x的图像是一条经过原点的直线. 幂函数的性质 观察图4-1-1所示的幂函数y=xa(a>0)在第一象限的图像，可发现图像由左至右是上升的，也就是说，随着自变量x的不断增大，函数值y也不断增大.这是因为当a>0时，若x₂>x₁>0,则 >1,从而由幂的基本不等式得 (2) >1, 即x2>x1.这说明幂函数y=xa(a>0)在区间(0,＋∞)上随着x的(严格)增加而(严格)增加.此时称幂函数y=xa(a>0)在区间(0,＋∞)上严格递增. (2)a<0的情况：此时幂函数y=xa在第一象限的图像类似图4-1-3中 的图像.该图像由左至右是下降的，也就是说，幂函数y=xa(a<0)在区间(0,＋∞)上随着x的(严格)增加而(严格)减少.此时称幂函数y=xa(a<0)在区间(0,＋∞)上严格递减. y o x 前面我们按教材逐步分析了幂函数的图像与性质，下面我们将系统性分析幂函数的图像与性质。 x y 0 R R R [0,+∞) R [0,+∞) 增函数 奇函数 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 定义域： 奇偶性： 单调性: x y 0 x y 0 x y 0 1 1 1 1 1 1 1 1 y 0 x 1 1 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇函数 [0,+∞) R 值 域： 增函数 增函数 (-∞,0)单调递减 (0,+∞)单调递增 (-∞,0]单调递减 (0,+∞)单调递增 y= x3 定义域 值 域 单调性 公共点 y = x R R R [0,+∞） R [0，+∞） R [0,+∞） 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 在R上是增函数 在(-∞,0]上是减函数, 在(0,+∞)上是增函数 在R上是增函数 在(0，+∞)上是增函数 在(-∞ , 0)， (0, +∞）上是减函数 (1,1) 奇偶性 y = x2 再利用函数的图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题，完成表格。 0<α<1 α>1 当 α > 0 O y x y=x (1) 图象必经过点（0 , 0）和（1 , 1）； (2) 在第一象限内，函数单调递增。 1 1 当 α < 0 O y=x (1) 图象必经过点（1 , 1）； (2) 在第一象限内，函数单调递减 ; 1 1 (3) 在第一象限内，图象向上与 y 轴无限地接近， 图象向右与 x 轴无限地接近 。 y x 探究点一 幂函数的概念 【例1】 函数 是幂函数,且在区间 上单调递增,试确 定 的值. 解 根据幂函数的定义,得 , 解得 或 . 当 时, 在区间 上单调递增; 当 时, 在区间 上单调递减,不符合要求.故 . 题型归纳 19 规律方法 幂函数的判断方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 （ 为常数）的形式,即:（1）系数为1;（2）指数为常数;（3）后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必是这种形式. 20 变式训练1 如果幂函数 的图象不过原点,求实数 的取值. 解 由幂函数的定义得 ,解得 或 ；当 时, ,函数为 ,其图象不过原点,满足条件；当 时, ,函数为 ,其图象不过原点,满足条件. 综上所述, 或 . 21 探究点二 幂函数的图象 【例2】 下列关于函数 与 的图象正确的是( ) C A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& 22 [解析] 函数 是幂函数,而 是一次函数.选项A,直线对应函数为 ,曲线对应函数为 ；选项B,直线对应函数为 ,曲线对应函数为 ；选项C,直线对应函数为 ,曲线对应函数为 ；选项D,直线对应函数为 ,曲线对应函数为 ,故C正确. 23 规律方法 函数 （ 为常数）的图象特点 （1）恒过点 ,且不过第四象限. （2）当 时,指数越大,幂函数图象越靠近 轴（简记为“指大图低”）;当 时,指数越大,幂函数的图象越远离 轴（简记为“指大图高”）. （3）由幂函数的图象确定幂指数 与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内 的图象（类似于 或 , ）来判断. （4）当 时,幂函数的图象在区间 上都上升;当 时,幂函数的图象 在区间 上都下降. 24 变式训练2 如图所示,曲线 与 分别是函数 和 在第一象限内的图象,则下列结论正确的是 ( ) A A. B. C. D. [解析] 画出直线 的图象,作出直线 ,与三个 函数图象交于点 , , .由三个点的位 置关系可知, ,即 .故选A. 25 探究点三 利用幂函数的单调性比较大小 【例3】 比较下列各组中两个数的大小: （1） 与 ; 解 幂函数 在 上单调递增, 又 , . （2） 与 . 幂函数 在 上单调递减, 又 , . 26 规律方法 1.比较幂大小的三种常用方法 2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题 比较大小的两个实数必须在同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小. 27 变式训练3 比较下列各组数的大小: （1） 和 ; 解 因为函数 在区间 上为减函数,又 ,所以 （2） 和 ; 因为 ,函数 在区间 上单调递增,又 ,则 ,从 而 28 （3） ， 和 . 因为 , , ,所以 29 探究点四 幂函数性质的综合应用 【例4】 函数 是幂函数,且在区间 上单调递减,则 实数 为( ) B A.1 B. C.2 D. 或2 [解析] 函数 是幂函数, 可得 ,解得 或2. 当 时, ,函数 在区间 上单调递减,满足题意, 当 时, ，函数 在 上单调递增,不满足条件.故选B. 30 规律方法 幂函数 在 上的单调性与 的关系： 当 时,幂函数 在 上单调递增；当 时,幂函数 在 上单调递减. 31 变式训练4 [2023湖南常德期末] 已知幂函数 的图象过点 . （1）求函数 的解析式； 解 因为幂函数 的图象过点 ,代入解析式有 ,解得 .所以函 数 . （2）设函数 在区间 上是单调函数,求实数 的取值范围. ,函数 图象的对称轴为直线 . 因为 在 上是单调函数,所以 或 , 解得 或 , 所以实数 的取值范围为 . 32 要点归纳 33 下面我们研究一些函数图像之间的关系. 例题3. 已知函数 和 ,说明这两个函数图像之间的关系，并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图像. 幂函数、类幂函数的图像变换 例题4. 已知函数 和 ,说明这两个函数图像之间的关系，并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图像. 例题5. 例题5. 例题5. 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING $$