精品解析：浙江省杭州市开元中学2024-—2025学年上学期十月份月考九年级数学试题

杭州市开元中学2024学年第一学期九年级十月份教学质量检测 数学学科问卷 考生须知： 1．试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．本卷答案必须做在答题卷（卡）相应的位置上，做在试卷上无效． 3．请用2B铅笔、钢笔或圆珠笔将相关内容填涂在答题卷（卡）的相应位置上． 一．选择题（共10小题，满分30分） 1. 下列函数中，关于的二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A、是关于的一次函数，故此选项不符合题意； B、是关于的二次函数，故此选项符合题意； C、函数式不是整式，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、，是关于的一次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 将一个正六面体骰子掷一次，点数是4的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用概率公式求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．注意本题是放回实验．列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：骰子上有6个数，点数是4的只有1种情况， ∴点数是4的概率是． 故选：A． 3. 对于抛物线，下列说法错误的是（　　） A. 对称轴是直线 B. 函数的最大值是3 C. 开口向上，顶点坐标 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．由抛物线结合函数的性质逐一分析即可得． 【详解】解：∵ ∴对称轴是直线，故A说法正确，不符合题意； 而， ∴抛物线开口向上，函数的最小值为，故原说法不正确，选项B符合题意； 抛物线顶点坐标，故C说法正确，不符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故D说法正确，不符合题意； 故选：B． 4. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 5. 二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据函数图象，得到抛物线与x轴的两个交点坐标，再根据函数图象在x轴的下方部分求解即可． 【详解】解：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为且其对称轴为， 则抛物线与x轴的另一个交点为． 当时，函数的图象在x轴的下方，由图象可知， 故选：C． 6. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 与的值有关 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线，再根据，两点与对称轴的关系即可解决问题． 【详解】解：∵二次函数（为常数）， ∴抛物线对称轴为直线 ， ∵二次函数图象开口向上，且， ∴， 故选：A． 7. 下列命题正确的是（ ） A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C. 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D. 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 8. 二次函数（为常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：开口向上；开口向下；抛物线的对称轴为直线；也考查了点在抛物线与轴的交点． 根据抛物线开口向上，得出，再根据对称轴可排除C、D选项，然后根据得出交轴的正半轴，排除B选项，即可得出答案． 【详解】A.抛物线开口向上，则，对称轴，交轴的正半轴，故此选项符合题意； B.抛物线开口向上，则，对称轴，，所以应该不交于轴的负半轴，故此选项不符合题意； C.抛物线开口向上，则，对称轴，而图中对称轴，故此选项不符合题意； D.抛物线开口向上，则，对称轴，而图中的对称轴，故此选项不符合题意； 故选A． 9. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度与水平距离之间的关系为；由此可知小明这次的推铅球成绩是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：令函数解析式中，， 得到， 解得，（舍去）， 即铅球推出的距离是， 故选：C． 10. 已知二次函数的图象，如图所示，其对称轴为直线，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断系数的符号，式子的符号．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．①根据对称轴为直线，即可得出结论；②由图象可知，当时，函数值最大，即可得出结论；③结合对称轴以及时，，进行变换，即可得出结论；④结合对称轴，得到，再进行判断即可． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴， ∴；故①错误； ②由图象可知，当时，函数值最大为， ∴时的函数值小于时的函数值， 即：， ∴；故②正确； ③由图象可知，当时，， ∵， ∴，即：， ∴；故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∴；故④正确； 综上，正确的是②③④； 故选：C． 二、填空题（共6小题，满分18分） 11. 已知抛物线，则________时，函数有最________值（填“大”或“小”）． 【答案】 ①. ②. 大 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 根据题中抛物线的顶点式得到抛物线开口向下，顶点坐标为，结合二次函数图象与性质即可得到结论． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为 ∴当时，函数有最大值3． 故答案为：，大． 12. 的圆心是原点，半径为，点在上，如果点在第一象限内，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，可得，，运用勾股定理可以求得的长，即为的值． 【详解】解：如图 由题意得：， 由勾股定理可得：, 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质和勾股定理，其中根据题意画出图形确定相应线段的长是解答本题的关键． 13. 在﹣1，0，1，2这四个数中任取两个数m，n，则二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，根据二次函数的性质确定顶点在坐标轴上的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的结果数为6， 所以二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了二次函数的性质． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，两点，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和性质，求出抛物线与轴的交点坐标为，对称性求出抛物线的对称轴，进而求出点坐标，进一步求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴相交于点，两点，点的坐标为， ∴点坐标为：， ∴； 故答案为：4． 15. 如图，在中，，，，点，分别在边，上运动，为的中点，若，则的长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由直角三角形斜边上的中线的性质得到，设，则，则对运用勾股定理得，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵，F为的中点， ∴，， ∴， 当时，取得最小值为， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 16. 如图，二次函数的图象的顶点为C，该二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，勾股定理．过作轴于点，可求，设出各点坐标，则，，重新设抛物线表达式为，代入点C即可求解． 【详解】解：过作轴于点． 由题意可知， ， ， 设，则，， 抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 抛物线的顶点坐标为，且与y轴的交点为，求此抛物线的解析式． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把已知点坐标代入求出a即可得出此抛物线的解析式. 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为． 18. 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口. （1）试用树形图或列表法中的一种列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果； （2）求至少有一辆汽车向左转的概率. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【解析】 【分析】画树状图求解．可以得到一共有9种情况，两辆车全部继续直行的有1种情况，至少有一辆车向右转有5种情况，根据概率公式求解即可． 【详解】解： （1）根据题意，可以画出如下的“树形图”： ∴这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果 （2）由（1）中“树形图”知，至少有一辆汽车向左转的结果有5种，且所有结果的可能性相等 ∴P（至少有一辆汽车向左转）＝ 【点睛】本题考查树状图或列表法求概率，正确画图是本题的解题关键. 19. 如图，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为20米）的矩形鸡场，设边长为米，鸡场的面积为平方米． （1）求与的函数关系式； （2）写出自变量的取值范围； （3）求该矩形鸡场面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）该矩形鸡场面积的最大值为 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，二次函数的实际应用． （1）先根据，求出，再根据矩形面积公式即可列出关系式； （2）根据实际意义列出不等式组，求出的取值范围即可； （3）将二次函数化成顶点式，在的取值范围内利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ， ； 【小问2详解】 解：墙的长度为20米，即， ，即， 解得：， 【小问3详解】 解：由（1）知， ， 且， 当时，有最大值，最大值为， 答：该矩形鸡场面积的最大值为． 20. （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，作的外接圆； （2）若是等边三角形，．则的外接圆的半径为__________． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）分别作，的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径作，即为所求； （2）连接，，设的垂直平分线交于点E，首先求出，然后得到，根据垂直平分线的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，作，的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径作，即为所求． （2）如图所示，连接，，设的垂直平分线交于点E ∵是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是垂直平分线 ∴， ∴， ∴ ∴，负值舍去． ∴外接圆的半径为． 【点睛】本题考查了作三角形的外接圆，垂直平分线的性质，圆周角定理，勾股定理，含角直角三角形的性质和等边三角形的性质等知识，掌握基本作图是解题的关键． 21. 操作与探究：已知抛物线． （1）在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象； （2）仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题： ①当函数值时，自变量的取值范围是________； ②方程的根是_______． ③当时，随的增大而减小，则的取值范围是__________； ④当时，函数值，直接写出的取值范围________． 【答案】（1）见解析 （2）①或；②，；③；④ 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质，画二次函数图象，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）利用画函数图象的步骤即可求解； （）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可； 【小问1详解】 解：列表： 描点，连线，如图， 【小问2详解】 解：根据图象可知，当函数值时，自变量x的取值范围是或； 故答案为：或； 由得，， 方程的根可以看作是函数与x轴交点， 通过图象可知函数与x轴交点坐标为， ∴方程的根是，； 故答案为：，； 根据图象可知，当时，随的增大而减小， ∵当时，随的增大而减小， ∴m的取值范围是， 故答案为：； 根据图象可知，当时，函数值， ∴的取值范围是． 22. 如图，是的直径，弦交于点，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，过O作于F，连接，根据垂直定义得出，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，即可求出答案， 能熟记垂径定理是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，过O作于F，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，过圆心O， ∴， ∴． 23. 已知二次函数，点，点都在该函数图象上． （1）若时，求该二次函数的顶点坐标． （2）若时，求a的值． （3）求的最小值． 【答案】（1）该二次函数的顶点坐标为； （2）； （3）的最小值为0． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，最值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入，得，据此即可作答． （2）分别得出，再代入，进行计算化简，即可作答． （3）因为，所以，根据二次函数的图象性质进行作答即可 【小问1详解】 解：依题意，把代入， 得出， ∴该二次函数的顶点坐标为； 小问2详解】 解：∵二次函数，点，点都在该函数图象上， ∴， ， ∵， ∴， 则， 解得； 【小问3详解】 解：由（2）知， ∴ ， ∵， ∴该函数的开口向上， ∴的最小值为0． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）面积的最大值为，此时D点坐标为 （3）存在，点P的坐标为 【解析】 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）可求得直线的表达式为过点D作 轴于点G， 交于点F， 设则所以，则 ，即可求得面积的最大值是； （3）先求得抛物线的对称轴为直线设，再根据为等腰三角形，且以为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ， ， 解得 ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：设直线的表达式为则 解得 ∴直线的表达式为 如图1，过点D作轴于点G，交于点F， 设则 ， ， ， ∴当时， ， 此时，， 面积的最大值是，此时D点坐标为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 为等腰三角形，且以为底边， ， ，， 解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭州市开元中学2024学年第一学期九年级十月份教学质量检测 数学学科问卷 考生须知： 1．试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．本卷答案必须做在答题卷（卡）相应的位置上，做在试卷上无效． 3．请用2B铅笔、钢笔或圆珠笔将相关内容填涂在答题卷（卡）的相应位置上． 一．选择题（共10小题，满分30分） 1. 下列函数中，关于的二次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 将一个正六面体骰子掷一次，点数是4的概率是（　　） A. B. C. D. 3. 对于抛物线，下列说法错误的是（　　） A. 对称轴是直线 B. 函数的最大值是3 C. 开口向上，顶点坐标 D. 当时，随的增大而增大 4. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C D. 5. 二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（ ） A. B. C D. 或 6. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，则，的大小关系是（ ） A B. C. D. 与的值有关 7. 下列命题正确的是（ ） A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B. 平分一条弧直线垂直于这条弧所对的弦 C. 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D. 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 8. 二次函数（为常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度与水平距离之间的关系为；由此可知小明这次的推铅球成绩是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象，如图所示，其对称轴为直线，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，满分18分） 11. 已知抛物线，则________时，函数有最________值（填“大”或“小”）． 12. 的圆心是原点，半径为，点在上，如果点在第一象限内，那么________． 13. 在﹣1，0，1，2这四个数中任取两个数m，n，则二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，两点，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为________． 15. 如图，在中，，，，点，分别在边，上运动，为的中点，若，则的长的最小值为________． 16. 如图，二次函数的图象的顶点为C，该二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 抛物线的顶点坐标为，且与y轴的交点为，求此抛物线的解析式． 18. 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口. （1）试用树形图或列表法中的一种列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果； （2）求至少有一辆汽车向左转的概率. 19. 如图，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为20米）的矩形鸡场，设边长为米，鸡场的面积为平方米． （1）求与的函数关系式； （2）写出自变量的取值范围； （3）求该矩形鸡场面积的最大值． 20. （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，作的外接圆； （2）若是等边三角形，．则的外接圆的半径为__________． 21. 操作与探究：已知抛物线． （1）在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象； （2）仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题： ①当函数值时，自变量的取值范围是________； ②方程的根是_______． ③当时，随的增大而减小，则的取值范围是__________； ④当时，函数值，直接写出的取值范围________． 22. 如图，是的直径，弦交于点，，，，求的长． 23. 已知二次函数，点，点都在该函数图象上． （1）若时，求该二次函数的顶点坐标． （2）若时，求a的值． （3）求的最小值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线在轴负半轴上方一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$