精品解析：山东省聊城市第二中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

高一上学期第一次月考数学试题 一、单选题 1 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，M、P、S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A B. C. D. 3. 已知的集合的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知集合，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若、、为实数，则下列命题正确的是（ ）. A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，经调查，亚运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱．小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛情况，每人至少观看过其中一类比赛，有15人观看过这3类比赛，18人没观看过球类比赛，20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失，记为，则由上述可推断出（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “，有”的否定是“，使” D. “是方程的实数根”的充要条件是“” 10. 若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 设集合，则集合的子集个数为________ 13. 设集合，对其子集引进“势”的概念；①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大.最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，以此类推.若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列，则排在第位的子集是_________. 14. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______. 四、解答题 15. 已知集合，，且. （1）写出集合的所有子集； （2）求实数的值组成的集合. 16. 已知集合 ，，且． （1）若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 17. 某造纸厂拟造一座占地面积为的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价400元/m，中间一条隔离壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/（墙壁厚忽略不计）．污水处理池的长为多少时可使总造价最低？总造价最低为多少？ 18. 已知集合. （1）若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围； （2）若成立，求a的取值范围. 19 已知命题p：，使得成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立. （1）若命题p真命题，求实数m取值范围； （2）若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一上学期第一次月考数学试题 一、单选题 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，则， 所以， 又， 所以. 故选：C 2. 如图所示，M、P、S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合运算和韦恩图求解即可. 【详解】由图可知，阴影部分在M和S的公共部分中，则阴影部分在中， 又阴影部分不在P中，则阴影部分在中， 所以阴影部分为. 故选：B 3. 已知的集合的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】依题意且且至少有一个属于集合，再一一列举出来即可； 【详解】解：因为，所以且且至少有一个属于集合，可能有，，，，，，共个， 故选：C 【点睛】本题考查集合的包含关系，求集合的子集，属于基础题. 4. 已知集合，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由两集合相等列方程求出，再检验集合元素的互异性即可得答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得， 所以， 故选：A 5. 已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的概念即可求解. 【详解】因为，要使得中有且仅有一个元素，则或，即实数的取值范围为. 故选：B. 6. 若、、为实数，则下列命题正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可. 【详解】对于A：当时结论不成立，所以A错误； 对于B：因为，所以，所以， 两边同除可得，B错误； 对于C：因为，两边同除可得，C错误； 对于D：因为，两边同乘可得，两边同乘可得， 所以，D正确， 故选：D 7. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解命题“”为真命题时，即可根据真子集求解. 【详解】命题“”为真命题,则对恒成立，所以，故， 所以命题“”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合， 故选：D 8. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，经调查，亚运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱．小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛情况，每人至少观看过其中一类比赛，有15人观看过这3类比赛，18人没观看过球类比赛，20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失，记为，则由上述可推断出（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设观看过球类与田径类比赛的有人，观看过球类与游泳类比赛的有人，观看过田径类与游泳类比赛的有人，只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为，，，画出图结合题意求解即可. 【详解】不妨设观看过球类与田径类比赛的有人，观看过球类与游泳类比赛的有人， 观看过田径类与游泳类比赛的有人，则， 只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为，，，如图，则①， 因为有18人没看过球类比赛，所以， 因为20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，所以，， 所以②，由①②得，则． 故选：A． 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “，有”的否定是“，使” D. “是方程的实数根”的充要条件是“” 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的范围判断A；根据交集的概念判断B；全称量词命题的否定是存在量词命题判断C；将1代入方程求解判断D. 【详解】对于A，因为，所以或，所以“当”时，“”成立，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，正确； 对于B，“”一定有“”成立，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，错误； 对于C，命题“，有”是全称量词命题， 其否定是存在量词命题，即“，使”，正确； 对于D，当时，1为方程的一个根，故充分； 当方程有一个根为1时，代入得，故必要，正确； 故选：ACD 10. 若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用的判别式，求出的范围，再利用必要条件的定义即可求得. 【详解】因为方程至多有一个实数根， 所以方程的判别式， 即：，解得， 利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C. 故选：BC. 11. 已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】AB选项，利用基本不等式求出最小值，得到A正确，B错误；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，先变形后利用基本不等式进行求解. 【详解】A选项，因为a，b都是正实数，故， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，因为a，b都是正实数，故， 当且仅当，即时，等号成立，B错误； C选项，，故恒成立，C正确； D选项，a是正实数，故，其中， 故，当且仅当，即时，等号成立，D错误. 故选：AC 三、填空题 12. 设集合，则集合的子集个数为________ 【答案】16 【解析】 【分析】先化简集合A，再利用子集的定义求解. 【详解】解：， 故A的子集个数为， 故答案为：16 13. 设集合，对其子集引进“势”的概念；①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大.最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，以此类推.若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列，则排在第位的子集是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意依次按“势”从小到大顺序排列，得到答案. 【详解】根据题意，将全部的子集按“势”从小到大顺序排列为： ，，，，，，，. 故排在第6的子集为. 故答案为： 14. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】#### 【解析】 【分析】先由题意得到“，”真命题，讨论和两种情况，即可求出结果. 【详解】命题“，”为假命题，则其否定“，”为真命题. 当时，集合，符合 当时，因为， 所以由，，得对于任意恒成立， 又，所以. 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知集合，，且. （1）写出集合的所有子集； （2）求实数值组成的集合. 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次方程求集合A，然后由子集定义即可得答案； （2）分和讨论，当时求出集合B，根据集合关系即可求解. 【小问1详解】 由解得或， 所以， 所以集合的所有子集为，，，. 【小问2详解】 由得， ①当时，，满足条件. ②当时，，因为， 所以或，解得或. 综上，实数的值组成集合为. 16. 已知集合 ，，且． （1）若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题； （2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决. 【小问1详解】 由命题p：“，”是真命题，可知， 又，所以 ，解得． 【小问2详解】 因为，所以，得． 因为命题q：“，”是真命题，所以， 所以，或，得． 综上，． 17. 某造纸厂拟造一座占地面积为的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价400元/m，中间一条隔离壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/（墙壁厚忽略不计）．污水处理池的长为多少时可使总造价最低？总造价最低为多少？ 【答案】15米，总造价最低为36000元 【解析】 【分析】设污水处理池的宽为米，长为米，从而得到总造价，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】设污水处理池的宽为米，则长为米． 则总造价 ， 当且仅当，即时，取等号． 此时，所以当长为15米时，总造价最低为36000元． 18. 已知集合. （1）若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围； （2）若成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据充分不必要条件得出集合的包含关系，根据包含关系可求答案； （2）根据二次函数区间最值，及二次不等式恒成立可求答案. 【小问1详解】 若“”是“”的充分不必要条件， 则B是A的真子集，而不为空集， 则（等号不同时成立），解得， 即m的取值范围是. 【小问2详解】 设， 则， ∵， ∴， 由题意得，即， 即a的取值范围为. 19. 已知命题p：，使得成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立. （1）若命题p真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据命题为真命题，转化为求的最小值，即可求解；（2）首先根据命题为真命题，结合基本不等式求的取值范围，再根据两个命题一真一假，求实数的取值范围. 【小问1详解】 ∵p为真命题，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当，即时取等号. 所以. 【小问2详解】 若q为真，则， ∵，，， ∴， 当且仅当，即时取等号. 所以. ①若p为真，q为假，则且，即； ②若p假，q为真，则且，即. 综上，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$