专题04 圆（11种经典基础练+4种优选提升练）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版，吉林专用）

专题04 圆（11种经典基础练+4种优选提升练） 圆的认识 1．（2023秋•二道区校级期中）已知的半径是，则中最长的弦长是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•吉林期中）如图，的半径为，，则弦的长为　　． 垂径定理 3．（2023秋•昌邑区校级期中）如图，已知、均是的弦，，，垂足分别为，，若，则的长为 　　． 4．（2023秋•吉林期中）如图，在中，弦的长为，圆心到的距离为，则的半径是 　　． 垂径定理的应用 5．（2023秋•宁江区校级期中）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，高度为 　　． 6．（2023秋•吉林期中）如图是一个圆弧形隧道的截面，若路面宽为，高为，则此圆弧形隧道的半径　　． 7．（2023秋•前郭县期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上的一点距离水面的最大距离），求该圆的半径． 8．（2023秋•船营区校级期中）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，，．求的半径． 圆心角、弧、弦的关系 9．（2023秋•铁东区校级期中）如图，，是的直径，，若，则的度数是 　 　． 10．（2023秋•吉林期中）如图，在中，，求证：． 11．（2023秋•榆树市校级期中）如图，中，弦与相交于点，，连接，． 求证：． 圆周角定理 12．（2023秋•宁江区校级期中）如图，是的直径，点、为上的点．若，则的度数为 　 　． 13．（2023秋•船营区校级期中）如图，的弦，的延长线交于圆外一点，若，则　 　． 14．（2023秋•吉林期中）如图为圆的直径，为圆的弦，为圆上一点，垂足为． （1）连接，判断与的位置关系，并证明； （2）若，，求圆的半径． 15．（2023秋•丰满区校级期中）如图，是的直径，弦于点，在上取一点，连接、、． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求弦的长． 圆内接四边形的性质 16．（2023秋•船营区校级期中）如图，四边形是的内接四边形，连接、，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 17．（2023秋•吉林期中）如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为 　 　度． 18．（2023秋•前郭县期中）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求证平分，并求的大小； （2）过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 点与圆的位置关系 19．（2023秋•铁东区校级期中）已知点到圆心的距离为5，若点在圆内，则的半径可能为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 20．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接．则线段的最大值是 　 　． 切线的性质 21．（2023秋•船营区校级期中）如图，已知与相切于点，是的直径，连接交于点，为上一点，当时，的度数是　　 A． B． C． D． 22．（2023秋•绿园区校级期中）如图，是的直径，是的切线，交于点，连结，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 23．（2023秋•昌邑区校级期中）如图，在扇形中，点在上，连接，将沿折叠得到△．若，且与所在的圆相切于点．则　　． 24．（2023秋•铁东区校级期中）如图，是的直径，，与相交于点．是的切线，与的延长线相交于点，连接、． （1）求证：； （2）求证：． 切线的判定 25．（2023秋•宁江区校级期中）如图，直线经过上的点，并且，．求证：直线是的切线． 26．（2023秋•白城期中）如图所示，是的直径，是的弦，延长到点，使，连接，过点作于． （1）求证：； （2）求证：为的切线． 弧长的计算 27．（2023秋•宁江区校级期中）已知扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的弧长为 　 　．（结果保留 28．（2023秋•昌邑区校级期中）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点为圆心、为半径的圆弧，是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为 　 　． 29．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，在中，，，，于点．以点为圆心，线段的长为半径作弧，交于点，交于点，则弧的长为 　 　 （结果保留． 30．（2023秋•船营区校级期中）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、． （1）求证：； （2）若，，求的长． 扇形面积的计算 31．（2023秋•绿园区校级期中）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，以点为圆心，长为半径画圆弧，交边于点，若，则图中阴影部分图形的面积和为　　（结果保留． 32．（2023秋•船营区校级期中）如图，边长为6的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，过点作，分别交、于点、，则图中阴影部分的面积为 　 　． 截长补短法在圆中的应用 1.（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，A，B，C是上三点，且，过点B作于点D． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 2．（22-23九年级上·北京·期中）如图：已知的内接等腰直角，，为上一点，连结、、． (1)求证：； (2)若点在上（异于、两点），上述结论是否成立？________（填“是”或“否”），如果不成立，请直接写出新的结论________________． 3．（22-23九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形是内正方形，P是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接． (1)若点P是弧上一点， ①∠BPC度数为 ___________； ②求证：；小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．证明：在的延长线上截取点E．使，连接． (2)探究当点P分别在，，上，求的数量关系，直接写出答案，不需要证明． 连半径、作垂直 4.（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，点是的中点，以为直径的交于点．请判断直线与的位置关系，并说明理由． 6.（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，点C，D在圆上，，过点C作交的延长线于点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 7．（22-23九年级上·河北保定·期中）如图，在中，，平分，交于点，是边上的点，经过点，的交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②求阴影部分的面积． 8.（22-23九年级上·云南昆明·期中）已知：如图是的直径，，与分别相切于点、点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若的直径为10，设，，求关于的函数解析式． 9.（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，点、分别为、的中点，作与相切于点，在边上取一点，使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)当，时，求的面积． 10.（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知是的直径，是圆外一点，直线交于点，不重合，平分交于点，过作，垂足为 (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． 求阴影部分的面积 11．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧上的点处，点的对应点为点，则图中阴影部分的面积为 ．    12.（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，正方形的边长为4，对角线，相交于O，以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 13.（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E．过点D作于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，．求阴影部分的面积． 14.（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 15．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图．在中．弦垂直于半径．垂足为E．D是优弧上一点．连接、、，．    (1)求的度教； (2)若弦．求图中阴影部分的面积． 半径与弧长的计算 16．（22-23九年级上·湖北十堰·期中）如图，是的直径，为上的点，且，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径长． 17．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，为直径，过点的直线与相交于点，是弦延长线上一点，、的角平分线与分别相交于点、，为的中点，过点作，与、的延长线分别交于点、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 18.（23-24九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，点在上，是的切线，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长（结果保留）． 19．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，以为直径的半圆交于点D，交于点 (1)若弧的度数为，求的度数； (2)若点D、E是半圆弧的三等分点，，求弧的长． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆（11种经典基础练+4种优选提升练） 圆的认识 1．（2023秋•二道区校级期中）已知的半径是，则中最长的弦长是　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆中最长的弦为直径然后求解． 【解答】解：的半径是， 中最长的弦长直径． 故选：． 【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念是解决问题的关键． 2．（2023秋•吉林期中）如图，的半径为，，则弦的长为　4　． 【分析】利用半径相等可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质易得． 【解答】解：， 而， 为等边三角形， ． 故答案为4． 【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等边三角形的判定与性质． 垂径定理 3．（2023秋•昌邑区校级期中）如图，已知、均是的弦，，，垂足分别为，，若，则的长为 　4　． 【分析】先根据垂径定理得出、分别是与的中点，故是的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论． 【解答】解：，垂足分别为，， 、分别是与的中点， 是的中位线， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查的是垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 4．（2023秋•吉林期中）如图，在中，弦的长为，圆心到的距离为，则的半径是 　5　． 【分析】根据垂径定理和勾股定理求解． 【解答】解：在直角中，，，根据勾股定理得到，则的半径是． 【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解． 垂径定理的应用 5．（2023秋•宁江区校级期中）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，高度为 　4　． 【分析】根据图可知，由垂径定理可知，，在中，利用勾股定理可求，进而可求． 【解答】解：， ，， 在中，， ， ． 故答案是4． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是先求出． 6．（2023秋•吉林期中）如图是一个圆弧形隧道的截面，若路面宽为，高为，则此圆弧形隧道的半径　　． 【分析】因为为高，根据垂径定理，平分，则，在中，有，进而可求得半径． 【解答】解：因为为高， 根据垂径定理：平分， 又路面宽为 则有：， 设圆的半径是米， 在中，有， 即：， 解得：， 所以圆的半径长是． 故答案为． 【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为，弦长为，这条弦的弦心距为，则有等式 成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个． 7．（2023秋•前郭县期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上的一点距离水面的最大距离），求该圆的半径． 【分析】如图，作 于点，交于点，设圆的半径为米，利用勾股定理构建方程求解即可． 【解答】解：如图，作 于点，交于点． ， 米， 米， 设圆的半径为米， ， ， ， 解得， 该圆的半径为5米． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 8．（2023秋•船营区校级期中）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，，．求的半径． 【分析】根据垂径定理得出，则，在中，有，进而可求得半径． 【解答】解：如图，连接， 是弦的中点，过圆心， ． ． ， ． 设，则， 在中，根据勾股定理，得 ． 解得． 的半径为13． 【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形． 圆心角、弧、弦的关系 9．（2023秋•铁东区校级期中）如图，，是的直径，，若，则的度数是 　　． 【分析】根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等，可推出，再根据对顶角相等，可推出，最后用即可求解． 【解答】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查等弧和圆心角的关系，熟知在同圆中，等弧所对的圆心角相等，和对顶角相等是解题的关键． 10．（2023秋•吉林期中）如图，在中，，求证：． 【分析】由于，所以，故，进而证明即可． 【解答】证明：在中，， ， ， ，， 在中，， 在中，， ． 【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据，得出． 11．（2023秋•榆树市校级期中）如图，中，弦与相交于点，，连接，． 求证：． 【分析】根据弦相等推出弦所对的弧相等，证明即可． 【解答】证明：， ， ， ． 【点评】本题考查圆心角，弦，弧之间的关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 圆周角定理 12．（2023秋•宁江区校级期中）如图，是的直径，点、为上的点．若，则的度数为 　　． 【分析】求出，再根据圆内接四边形的性质求出即可． 【解答】解：是直径， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13．（2023秋•船营区校级期中）如图，的弦，的延长线交于圆外一点，若，则　　． 【分析】由同弧所对圆周角是圆心角的一半可得度数，再通过外角定理求解． 【解答】解：，与所对弧为同弧， ， 是的外角， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查与圆有关的计算，解题关键是熟练掌握圆周角定理． 14．（2023秋•吉林期中）如图为圆的直径，为圆的弦，为圆上一点，垂足为． （1）连接，判断与的位置关系，并证明； （2）若，，求圆的半径． 【分析】（1）延长交于点，根据垂径定理的推论即可证得结论； （2）设的半径为，结合（1）中所求及已知条件，利用全等三角形的判定与性质可得，，然后利用勾股定理列方程，解方程即可． 【解答】解：（1），理由如下： 如图，延长交于点， ，为的半径， ， ， ； （2）设， ，，， ， 在与中，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 即的半径为5． 【点评】本题主要考查圆的有关概念及性质，勾股定理和全等三角形的判定及性质，（2）中结合已知条件证得是解题的关键． 15．（2023秋•丰满区校级期中）如图，是的直径，弦于点，在上取一点，连接、、． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求弦的长． 【分析】（1）连接，根据弦直径，可得，即，又，即可得； （2）连接，由的半径为5，，得，，，根据，得，在中，即可得． 【解答】（1）证明：连接，如图： 弦直径， ， ， ， 又（圆周角定理）， ； （2）解：连接，如图： 的半径为5，， ，，， ， ， 在中，， ． 【点评】本题考查圆的性质及应用，涉及勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理、圆周角定理等圆的性质及熟练运用勾股定理． 圆内接四边形的性质 16．（2023秋•船营区校级期中）如图，四边形是的内接四边形，连接、，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【解答】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故选：． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 17．（2023秋•吉林期中）如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为 　124　度． 【分析】先根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的对角互补求出即可． 【解答】解：， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故答案为：124． 【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟记相关定理并灵活运用．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 18．（2023秋•前郭县期中）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求证平分，并求的大小； （2）过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 【分析】（1）由圆周角定理得到，而，因此，得到平分，由圆内接四边形的性质得到，即可求出； （2）由垂径定理推出是等边三角形，得到由，得到，由平行线的性质求出，由圆内接四边形的性质求出，得到，由直角三角形的性质得到，因为是圆的直径，即可得到圆半径的长是4． 【解答】（1）证明：，， ， 平分， 平分， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 是圆的直径， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ，， ， 是圆的直径， 圆的半径长是4． 【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到，由垂径定理推出是等边三角形． 点与圆的位置关系 19．（2023秋•铁东区校级期中）已知点到圆心的距离为5，若点在圆内，则的半径可能为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可． 【解答】解：点在圆内，且， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内． 20．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接．则线段的最大值是 　3.5　． 【分析】当、、三点共线，且点在之间时，最大，而是的中位线，即可求解． 【解答】解：令，则， 故点， 设圆的半径为，则， 连接， 而点、分别为、的中点，故是的中位线， 当、、三点共线，且点在之间时，最大，此时最大， 则， 故答案为：3.5． 【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，本题的关键是根据圆的基本性质，确定的最大值，进而求解． 切线的性质 21．（2023秋•船营区校级期中）如图，已知与相切于点，是的直径，连接交于点，为上一点，当时，的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】由切线的性质及圆周角定理可得出答案． 【解答】解：连接， 与相切于点， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理． 22．（2023秋•绿园区校级期中）如图，是的直径，是的切线，交于点，连结，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【分析】利用切线的性质求出，由圆周角定理求出，根据三角形内角和定理即可求出． 【解答】解：是的直径，是的切线， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理等知识，三角形内角和定理，根据切线的性质求出，根据圆周角定理求出是解决问题的关键． 23．（2023秋•昌邑区校级期中）如图，在扇形中，点在上，连接，将沿折叠得到△．若，且与所在的圆相切于点．则　60　． 【分析】由切线的性质得，则，由折叠得，所以，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：与所在的圆相切于点， ， ， 将沿折叠得到△， ， ， ， ， 故答案为：60． 【点评】此题重点考查切线的性质定理、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． 24．（2023秋•铁东区校级期中）如图，是的直径，，与相交于点．是的切线，与的延长线相交于点，连接、． （1）求证：； （2）求证：． 【分析】（1）连接，如图，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得到，则利用等角的余角相等得到，加上，从而得到； （2）先根据圆周角定理得到，由（1）的结论得到，所以，然后根据平行线的判定方法得到结论． 【解答】证明：（1）连接，如图， 是的直径， ， 是的切线， ， ， ，， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 切线的判定 25．（2023秋•宁江区校级期中）如图，直线经过上的点，并且，．求证：直线是的切线． 【分析】连接，如图，由于，，根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定定理得到结论． 【解答】证明：连接，如图， ，， ， 直线是的切线． 【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等腰三角形的性质． 26．（2023秋•白城期中）如图所示，是的直径，是的弦，延长到点，使，连接，过点作于． （1）求证：； （2）求证：为的切线． 【分析】（1）连接，根据中垂线定理不难求得； （2）要证为的切线，只要证明即可． 【解答】证明：（1）连接； 是的直径， ． 又， 是的中垂线． ． （2）连接； ，， ． ． 又， ． ，即． 是的切线． 【点评】此题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质及圆周角的性质等知识点的综合运用． 弧长的计算 27．（2023秋•宁江区校级期中）已知扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的弧长为 　 　．（结果保留 【分析】根据扇形的圆心角为，半径为2，直接利用弧长公式即可计算． 【解答】解：扇形的弧长是． 故答案为：． 【点评】本题考查了扇形弧长公式，弧长公式为：，根据公式代入求出是解题关键． 28．（2023秋•昌邑区校级期中）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点为圆心、为半径的圆弧，是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为 　 　． 【分析】连接，由，，推出是等边三角形，得到，由等腰三角形的性质推出，而，得到、、共线，求出，即可得到，可得结论． 【解答】解：连接， ，， 是等边三角形， ， 是中点， ， ， 、、共线， 是等边三角形，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是掌握弧长的近似值计算公式：． 29．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，在中，，，，于点．以点为圆心，线段的长为半径作弧，交于点，交于点，则弧的长为 　　（结果保留． 【分析】根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据弧长公式即可得到结论． 【解答】解：，，， ， ， ， ， 弧的长为， 故答案为：． 【点评】本题考查了弧长的计算，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握弧长的计算公式即可得到结论． 30．（2023秋•船营区校级期中）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）如图，连接，利用圆周角定理推知是等腰等边上的高线，结合等腰三角形的性质证得结论； （2）如图，连接，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求得圆心角的度数，然后利用弧长公式进行解答． 【解答】（1）证明：如图，连接． 是圆的直径， ，即． 又， 是边上的中线， ； （2）解：连接， ， ． 又，， ， ， 的长为：． 【点评】本题考查了圆周角定理、弧长的计算以及等腰三角形的判定与性质．通过作辅助线，利用圆周角定理（或圆半径相等）的性质求得相关角的度数是解题的难点． 扇形面积的计算 31．（2023秋•绿园区校级期中）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，以点为圆心，长为半径画圆弧，交边于点，若，则图中阴影部分图形的面积和为　　（结果保留． 【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积． 【解答】解：在，，，， ，， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点评】本题考查扇形面积的计算、含角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 32．（2023秋•船营区校级期中）如图，边长为6的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，过点作，分别交、于点、，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【分析】如图，过点作于点，于点．证明，，可得，，从而可得答案． 【解答】解：如图，过点作于点，于点． 点是正方形的中心，，， ， ， ，即， ， ，即， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，全等三角形的判定与性质，正多边形与圆，求解不规则图形的面积，熟练的证明是解本题的关键． 截长补短法在圆中的应用 1.（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，A，B，C是上三点，且，过点B作于点D． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理； （1）如图，延长交于，根据垂径定理得到，，求得，则，于是得到结论； （2）如图，连接，设的半径为，在中根据勾股定理列方程得到． 【详解】（1）证明：如图，延长交于，    ， ，， ， ， ， ； （2）如图，连接， 设的半径为， ，， ，， 在中，， 解得：． 即的半径为2． 2．（22-23九年级上·北京·期中）如图：已知的内接等腰直角，，为上一点，连结、、． (1)求证：； (2)若点在上（异于、两点），上述结论是否成立？________（填“是”或“否”），如果不成立，请直接写出新的结论________________． 【答案】(1)见解析 (2)否， 【分析】（1）延长至点，使得，连接．由等腰直角三角形得到，，再证明，则，，进一步得到为等腰直角三角形，即可得到结论； （2）如图，在上取一点P，连接，，在上截取，先证明，得到，再证明为等腰直角三角形，得到即可． 【详解】（1）证明：延长至点，使得，连接． ∵等腰直角三角形， ∴，， ∴为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，         ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形．         ∴； （2）解：否，； 如图，在上取一点P，连接，，在上截取， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：否， 【点睛】此题考查了圆周角定理及其推论、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等是解题的关键． 3．（22-23九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形是内正方形，P是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接． (1)若点P是弧上一点， ①∠BPC度数为 ___________； ②求证：；小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．证明：在的延长线上截取点E．使，连接． (2)探究当点P分别在，，上，求的数量关系，直接写出答案，不需要证明． 【答案】(1)①，②见解析 (2)；；；证明见解析 【分析】（1）①理由正方形的性质和圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半解答即可； ②在的延长线上截取点E．使，连接，利用全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质解答即可； （2）利用截长补短法，依题意画出相应图形，按小明思路完成解答即可． 【详解】（1）①解：，理由： ∵四边形是正方形， ∴， ∴的度数为， ∴， 故答案为：； ②证明：在的延长线上截取点E，使．连接，如图， ∵四边形是内接正方形， ∴， 又∵点P在上， ∴四边形为内接四边形 ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）当点P在上时，； 在上取点E，使，连接，如图， ∵四边形是内接正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 当点P在上时，， 在上取点E，使，连接，如图， ∵四边形是内接正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 当点P在上时，，理由： 在的延长线上截取点E，使，连接，如图， ∵四边形是内接正方形， ∴， 又∵点P在上， ∴四边形为内接四边形 ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，理解并熟练应用截长补短法，构造恰当的辅助线解答是解题的关键． 连半径、作垂直 4.（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，证明，得出，从而得出，即可得证； （2）证明是等边三角形，得出，从而得出，求出，再证明，即可得解． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）解：∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，   ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，点是的中点，以为直径的交于点．请判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】直线与相切，理由见解析 【分析】连接、，由等腰三角形的性质可得，根据直角所对的圆周角是直角得，而点是的中点，则，，继而得到，即可得证． 【详解】解：直线与相切． 理由：连接、，则， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线， ∴直线与相切． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，垂直的定义等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键． 6.（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，点C，D在圆上，，过点C作交的延长线于点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理和勾股定理，垂径定理： （1）连接，，，则，再由已知条件，可得； （2）作，得到四边形是矩形和，根据矩形性质可得长． 【详解】（1）解：连接，，如图所示：    ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，作，    ∵， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴． 7．（22-23九年级上·河北保定·期中）如图，在中，，平分，交于点，是边上的点，经过点，的交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了等边对等角、平行线的判定与性质、切线的判定定理、勾股定理、垂径定理、含30度角的直角三角形、直角三角形两锐角互余、圆周角定理、扇形的面积公式，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． （1）连接，根据等边对等角，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据等量代换，得出，再根据平行线的判定，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得出，再根据垂线的性质，得出，再根据切线的判定定理，即可得出结论； （2）①根据勾股定理和直角三角形角的性质，得出，，进而得出，解出即可得出的长，再根据圆的性质，即可得出的长；②过点作于点，根据垂径定理，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据圆周角定理，得出，再根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理，得出，进而得出，再根据扇形的面积公式和三角形的面积公式，即可得出阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：①如图，在中，， ，， ， ，（舍去）， ； ②如图，过点作于点， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ，， ． 8.（22-23九年级上·云南昆明·期中）已知：如图是的直径，，与分别相切于点、点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若的直径为10，设，，求关于的函数解析式． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）过O作于点E，则．依据切线的性质可知，接下来证明≌，依据全等三角形的性质可知，故此为的半径，则是的切线； （2）如图2所示：过O作于点E，过点D作于点F，则，由切线长定理可得：，，则，在中依据勾股定理可得到，从而可得到y与x的函数关系式． 【详解】（1）证明：过O作于点E，则． ∵与相切于点A， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴≌． ∴． ∵是的半径， ∴是的半径． ∴是的切线． （2）解：如图2所示：过O作于点E，过点D作于点F，则， ∵，， ∴． 由切线长定理可得：，， ∴， 在中， ∵， ∴． 整理得：， ∴； 【点睛】本题主要考查的是切线的性质和判定，解答本题主要应用了切线的性质和判定定理、全等三角形的性质和判定、勾股定理，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 9.（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，点、分别为、的中点，作与相切于点，在边上取一点，使．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)当，时，求的面积． 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】（1）作于．连接．想办法证明即可解决问题； （2）由，是的切线，推出，设，由，推出，推出，由，，推出，由，推出，在中，根据，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解： 是的切线．理由如下： 作于．连接．如图，   ，， ， ， ，， ， ， 是的切线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是的切线； （2）解：，是的切线，   ，设， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得或（舍弃）， ． 的面积为：． 【点睛】本题考查切线的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，切线长定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题 10.（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知是的直径，是圆外一点，直线交于点，不重合，平分交于点，过作，垂足为 (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． 【答案】(1)与相切，理由见解析； (2)． 【分析】（）连接，证，即可证得与相切； （）过作于，可得四边形是矩形，设，则，，在中，由勾股定理得，求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴与相切； （2）解：过作于， ∵， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，的直径为， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，(不合，含去)， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正确作出辅助线是解题的关键 求阴影部分的面积 11．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧上的点处，点的对应点为点，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】连接，过作于，根据旋转的性质得出扇形和扇形的面积相等，，求出是等边三角形，求出，解直角三角形求出和，再根据阴影部分的面积求出答案即可． 【详解】解：连接，过作于，则，如图， ∵将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧上的点处，点的对应点为点， ∴扇形和扇形的面积相等，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：．    【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为，扇形的半径为r，那么扇形的面积S=． 12.（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，正方形的边长为4，对角线，相交于O，以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形的面积，然后由勾股定理得出，再由扇形面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，，，， ， 正方形的边长为2， ， 阴影部分的面积为扇形的面积，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积，能够理解题意，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键． 13.（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E．过点D作于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，．求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)阴影部分的面积为 【分析】连接，根据直径所对的圆周角为直角得，结合等腰三角形的性质即可得．利用三角形中位线定理判定，即可证明结论； 根据等腰三角形的性质得，三角形内角和定理求得，进一步得，过点B作于M，则，利用勾股定理即可求得，结合面积公式即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴． 又， ∴D是的中点， ∴． ∵， ∴， 又， ∴． ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点B作于M，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题主要考查圆的知识，涉及圆周定理、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、平行线的判定和性质、切线的证明、三角形内角和定理、勾股定理以及三角形面积的求解，解题的关键是数量掌握圆的性质和常见辅助线的添加． 14.（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理及弓形面积计算， ()由圆周角定理得出，得出，由得出 ，由圆周角定理得出 ，即可得出结论； ()连接，，可证明，，得到，利用勾股定理可求得，再由分割法可求得阴影部分的面积； 熟练掌握圆周角定理及分割法计算弓形面积是解题的关键． 【详解】（1）证明:∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）如图，连接，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ， ． 15．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图．在中．弦垂直于半径．垂足为E．D是优弧上一点．连接、、，．    (1)求的度教； (2)若弦．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据垂径定理得到，，然后利用圆周角定理求解即可； （2）连接，首先根据垂径定理得到，然后求出，设，则，根据勾股定理求出，，然后利用代数求解即可． 【详解】（1）如图所示，连接，    ∵， ∴，， 又∵， ∴； （2）∵，，   ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴． 【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，求弓形阴影面积，解题的关键是正确出辅助线． 半径与弧长的计算 16．（22-23九年级上·湖北十堰·期中）如图，是的直径，为上的点，且，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质得到，根据半径相等可得，等量代换得到，进而证得结论； （2）过点作于，根据垂径定理得到，再证明得到，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：过点作于，如下图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即的半径长为． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 17．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，为直径，过点的直线与相交于点，是弦延长线上一点，、的角平分线与分别相交于点、，为的中点，过点作，与、的延长线分别交于点、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)13 【分析】（1）连接，，利用角平分线的定义和邻补角的定义得到为直角，再利用直径所对的圆周角为直角和平行线的判定定理得到，则得到，由垂径定理的推论得到，则，由圆的切线的判定定理即可得出结论； （2）延长交于点，由垂径定理的，利用矩形的判定定理和性质定理得到，设的半径为，则，，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，，如图， 、的角平分线与分别相交于点、， ，， ， ， ． 为直径， ， ， ． ， ． 为的中点， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：延长交于点， ，， ， ． ，，， 四边形为矩形， ， 设的半径为，则，， 在中， ， ， ． 的半径为13． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 18.（23-24九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，点在上，是的切线，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是∶ （1）利用圆周角定理，切线的性质可得出，，利用余角的性质可得出，利用等边对等角可得出，然后等量代换即可得证； （2）利用三角形外角的性质求出的度数，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明∶∵是的直径， ∴，即， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，以为直径的半圆交于点D，交于点 (1)若弧的度数为，求的度数； (2)若点D、E是半圆弧的三等分点，，求弧的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设圆的圆心为O，如图，连接，根据圆周角定理和等腰三角形的性质即可得到结论； （2）连接，求出，可得是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）解：设圆的圆心为O，如图，连接， ∵是圆O的直径， ∴， 又∵， ∴， ∵弧的度数为， ， ， ∵，即， ∴， ∵， ； （2）解：连接， ∵点D、E是半圆弧的三等分点， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ， ∴， 弧的长为 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$