专题03 旋转（8种经典基础练+5种优选提升练）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版，吉林专用）

专题03 旋转（8种经典基础练+5种优选提升练） 旋转的性质 1．（2023秋•昌邑区校级期中）如图，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当点恰好落在边上时，连接，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•宁江区校级期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到△，交于点，若，则的度数　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•吉林期中）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到△，此时点恰好在边上，连接，则的长为　　 A．6 B． C． D．3 4．（2023秋•宁江区校级期中）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点落在上，连接． （1）若，则的度数为 　 　； （2）若，，求的长． 5．（2023秋•丰满区校级期中）如图，中，，，为内一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 旋转对称图形 6．（2023秋•船营区校级期中）以下图形绕点旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•船营区校级期中）如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后能与自身完全重合，应将它绕中心旋转的度数至少为 　 　． 8．（2023秋•丰满区校级期中）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　　度． 9．（2023秋•前郭县期中）如图所示的图形绕其中心至少旋转 　　度就可以与原图形完全重合． 中心对称 10．（2023秋•丰满区校级期中）如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点成中心对称，连接，则的长是　　 A．4 B． C． D． 11．（2023秋•吉林期中）如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 　 　． 12．（2023秋•长岭县期中）如图，将绕点旋转得到△，若点的坐标为，则点的坐标为　 　． 13．（2023秋•前郭县期中）如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的长为 　 　． 14．（2023秋•白城期中）如图，在中，，，，将绕点旋转，点落在点处，求的长度． 中心对称图形 15．（2023秋•乾安县期中）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•丰满区校级期中）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成，这四个图案中是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 17．（2023秋•昌邑区校级期中）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 关于原点对称的点的坐标 18．（2023秋•吉林期中）点关于原点对称的点的坐标是 　 　． 19．（2023秋•船营区校级期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 　 　． 20．（2023秋•长岭县期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是 　 　． 坐标与图形变化-旋转 21．（2023秋•昌邑区校级期中）以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点，点的坐标为 　 　． 22．（2023秋•乾安县期中）如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点顺时针旋转，使，落在数轴上，点，在数轴上对应的数字分别为、，则　 　． 23．（2023秋•吉林期中）如图，在平面直角坐标系中，点，．把绕原点逆时针旋转，得到，点分别为点、旋转后的对应点．旋转角记为 （1）当时，求点的坐标； （2）当轴时，直接写出的值． 作图-旋转变换 24．（2023秋•吉林期中）图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．已知点、、均在格点上，分别按下列要求作一个四边形，使、、这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在格点上． （1）在图①中作一个四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形； （2）在图②中作一个四边形，使其既是轴对称图形又是中心对称图形． 25．（2023秋•船营区校级期中）在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．建立如图所示的平面直角坐标系，的位置如图所示，已知，，． （1）画出关于原点对称的△； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的△，并写出点的对应点的坐标． 26．（2023秋•船营区校级期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画，使与全等，且这两个三角形的对应边互相平行； （2）在图②中画，使与关于某条直线对称； （3）在图③中画，使与关于某点成中心对称． 27．（2023秋•丰满区校级期中）按要求画图： （1）将三角形向上平移3格，得到三角形； （2）将三角形绕点旋转180度，得到三角形； （3）如果三角形沿直线翻折，点落到点处，画出直线，及翻折后的三角形． 利用旋转设计图案 28．（2023秋•吉林期中）把图中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为　　 A． B． C． D． 29．（2023秋•前郭县期中）如图所示的图案绕中心旋转后能与原来的图案完全重合，则的最小值为 　 　． 30．（2023秋•长岭县期中）如图所示，这个图案绕它的中心旋转后能够与它本身重合，则可以为 　 　（写出一个即可）． 旋转在证明图形全等中的应用 1.（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 2.（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，，， (1)依题意补全图形 (2)求证：； (3)若，求的度数． 手拉手模型 3.（23-24九年级上·吉林·期中）（1）如图，点为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点．猜想： 与的数量关系是______； ______； （2）将图中的绕点顺时针旋转一定角度到达图的位置时，（）中的两个结论是否还成立？若还成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 4.（20-21九年级上·河南周口·期中）如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 半角模型 5.（23-24九年级上·广东肇庆·期中）如图，已知中，是边上的点，将绕点A旋转，得到． (1)当时，求证：； (2)在（1）的条件下，猜想：有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． 6.（23-24九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，，，点C，D是边上两点，且，求证：． “爪形图” 7.（23-24九年级上·广东广州·期中）“玩转数学”实践活动，是一种非常有效的学习方式．我们一起来动手、动脑玩转数学吧． (1)折一折：将正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1． (2)转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q，连接，如图2．证明：； (3)若正方形的边长为6，且，求的长． “丫形图” 8.（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部，有一点，若．求证：．下面是本题的部分解答过程，请补充完整． 证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等边三角形．完成接下来的证明． （2）【类比延伸】如图③，在等腰三角形中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 旋转（8种经典基础练+5种优选提升练） 旋转的性质 1．（2023秋•昌邑区校级期中）如图，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当点恰好落在边上时，连接，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】由旋转性质知，据此得、，继而可得答案． 【解答】解：由题意知， 则，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等． 2．（2023秋•宁江区校级期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到△，交于点，若，则的度数　　 A． B． C． D． 【分析】根据旋转的性质可得，，结合，可求得，即可获得答案． 【解答】解：根据题意，把绕点顺时针旋转，得到△， 由旋转的性质，可得，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查旋转的性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 3．（2023秋•吉林期中）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到△，此时点恰好在边上，连接，则的长为　　 A．6 B． C． D．3 【分析】根据旋转的性质可得，，，得出是等边三角形，，进而得出，即可求出的长． 【解答】解：绕点按逆时针方向旋转得到△， ，，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查旋转的性质和直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题关键． 4．（2023秋•宁江区校级期中）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点落在上，连接． （1）若，则的度数为 　　； （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，，，根据等腰三角形性质求解即可； （2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）在中，，， ， 将绕着点逆时针旋转得到， ，，， ， ， 故答案为：； （2），，， ， 将绕着点逆时针旋转得到， ，， ， ． 【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 5．（2023秋•丰满区校级期中）如图，中，，，为内一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到结论． 【解答】（1）证明：将绕点逆时针旋转，得到， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 旋转对称图形 6．（2023秋•船营区校级期中）以下图形绕点旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是　　 A． B． C． D． 【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断． 【解答】解：、最小旋转角度； 、最小旋转角度； 、最小旋转角度； 、最小旋转角度； 故选：． 【点评】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．求出各图形的最小旋转角度是解题关键． 7．（2023秋•船营区校级期中）如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后能与自身完全重合，应将它绕中心旋转的度数至少为 　　． 【分析】根据旋转对称图形的概念和图形特征解答． 【解答】解：本图形可以平分成3份，因而它至少需要旋转，才能与其自身完全重合． 故答案为：． 【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 8．（2023秋•丰满区校级期中）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　60　度． 【分析】观察图形可得，图形由六个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【解答】解：图形可看作由一个基本图形旋转6次所组成，故最小旋转角为． 故答案为：60． 【点评】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键． 9．（2023秋•前郭县期中）如图所示的图形绕其中心至少旋转 　90　度就可以与原图形完全重合． 【分析】该图形被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合． 【解答】解：该图形被平分成四部分， ， 旋转90度的整数倍，就可以与自身重合， 如图所示的图形绕其中心至少旋转90度就可以与原图形完全重合． 故答案为：90． 【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．理解和掌握旋转对称图形的旋转角求法是解题的关键． 中心对称 10．（2023秋•丰满区校级期中）如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点成中心对称，连接，则的长是　　 A．4 B． C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，根据与关于点中心对称，可得，，，再根据勾股定理可得的长． 【解答】解：是等腰三角形的底边中线， ，， 与关于点中心对称， ，，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键． 11．（2023秋•吉林期中）如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 　12　． 【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【解答】解：如图， 直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点，，， ， 图形①与图形②面积相等， 阴影部分的面积之和长方形的面积． 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 12．（2023秋•长岭县期中）如图，将绕点旋转得到△，若点的坐标为，则点的坐标为　　． 【分析】分别过，向轴引垂线，可得△，利用全等得到到轴，轴的距离，进而根据所在象限可得相应坐标． 【解答】解：作轴于点，轴于点，则， ，， △， ，， ，， ， ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 【点评】考查坐标的旋转变换问题；利用全等得到对应点的坐标是解决本题的突破点． 13．（2023秋•前郭县期中）如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的长为 　　． 【分析】根据与关于点成中心对称，找到对应边和对应角度，利用勾股定理即可解答． 【解答】解：与关于点成中心对称， ，，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了对称图形的相关知识，解题关键在于找准对应边与角． 14．（2023秋•白城期中）如图，在中，，，，将绕点旋转，点落在点处，求的长度． 【分析】根据旋转的性质和中心对称的性质得出，进而解答即可． 【解答】解：，，， ， 将绕点旋转，点落在点处， ， ． 【点评】此题考查中心对称，关键是根据旋转的性质和中心对称的性质得出解答． 中心对称图形 15．（2023秋•乾安县期中）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行判断即可． 【解答】解：根据中心对称图形的定义，可知，，选项不符合题意，选项符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 16．（2023秋•丰满区校级期中）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成，这四个图案中是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【解答】解：．不是中心对称图形； ．是中心对称图形； ．不是中心对称图形； ．不是中心对称图形； 故选：． 【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义． 17．（2023秋•昌邑区校级期中）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可得到答案． 【解答】解：、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； 、，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故、不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义． 关于原点对称的点的坐标 18．（2023秋•吉林期中）点关于原点对称的点的坐标是 　　． 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 19．（2023秋•船营区校级期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 　　． 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案． 【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点评】本题考查了关于原点对称点的性质，掌握横纵坐标符号关系是关键． 20．（2023秋•长岭县期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是 　　． 【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出答案． 【解答】解：点与点关于原点对称， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 坐标与图形变化-旋转 21．（2023秋•昌邑区校级期中）以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点，点的坐标为 　　． 【分析】分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，可证明，可求得和的长，则可求得点坐标． 【解答】解：如图，分别过、作轴的垂线，垂足分别为、， ， ，， 把点逆时针旋转得到点， ，且， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查旋转的性质，构造三角形全等求得线段的长度是解题的关键，注意旋转前后对应线段相等． 22．（2023秋•乾安县期中）如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点顺时针旋转，使，落在数轴上，点，在数轴上对应的数字分别为、，则　　． 【分析】利用正方形的面积求得，，根据旋转的性质得出，，从而求得． 【解答】解：正方形和正方形的面积分别为7和9， ，， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，数形结合是解题的关键． 23．（2023秋•吉林期中）如图，在平面直角坐标系中，点，．把绕原点逆时针旋转，得到，点分别为点、旋转后的对应点．旋转角记为 （1）当时，求点的坐标； （2）当轴时，直接写出的值． 【分析】（1）如图，过点作于．解直角三角形求出，即可． （2）分两种情形：在轴上方时，求出旋转角；在轴下方时，求出旋转角即可． 【解答】解：（1）如图，过点作于． ， ， ， ， ，． （2）如图，在轴上方时， ， ， 轴， ， 当在轴下方时，． 综上所述，满足条件的旋转角为或． 【点评】本题属于坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 作图-旋转变换 24．（2023秋•吉林期中）图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．已知点、、均在格点上，分别按下列要求作一个四边形，使、、这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在格点上． （1）在图①中作一个四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形； （2）在图②中作一个四边形，使其既是轴对称图形又是中心对称图形． 【分析】（1）如图1，取格点，则平行四边形满足条件； （2）如图2，取格点、，则菱形满足条件． 【解答】解：（1）如图1，四边形为所作； （2）如图2，四边形为所作． 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了菱形的性质和轴对称变换． 25．（2023秋•船营区校级期中）在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．建立如图所示的平面直角坐标系，的位置如图所示，已知，，． （1）画出关于原点对称的△； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的△，并写出点的对应点的坐标． 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． （2）如图，△即为所求． 点的坐标为． 【点评】本题考查作图旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 26．（2023秋•船营区校级期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画，使与全等，且这两个三角形的对应边互相平行； （2）在图②中画，使与关于某条直线对称； （3）在图③中画，使与关于某点成中心对称． 【分析】（1）根据点的平移性质，找到对应点即可得到答案； （2）根据轴对称的性质两个三角形都有边可得对称轴是边垂直评分线找到，即可得到答案； （3）根据平行四边形是中心对称图形作平行四边形即可可得答案． 【解答】解：（1）如图所示， 根据点的平移规律及性质，将、、三点向左及向上平移一个单位得到、、，连接，，，即可得到与全等，且这两个三角形的对应边互相平行， ； （2）如图所示，根据轴对称的性质两个三角形都有边可得对称轴是边垂直平分线找到，连接，， ； （3）根据平行四边形是中心对称图形，根据平移的性质作平行四边形如图所示， 【点评】本题考查作轴对称、中心对称及平行图，解题的关键是知道平移的性质与规律及轴对称的性质． 27．（2023秋•丰满区校级期中）按要求画图： （1）将三角形向上平移3格，得到三角形； （2）将三角形绕点旋转180度，得到三角形； （3）如果三角形沿直线翻折，点落到点处，画出直线，及翻折后的三角形． 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案； （3）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置，进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：△即为所求； （2）如图所示：△即为所求； （3）如图所示：△即为所求． 【点评】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换、旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 利用旋转设计图案 28．（2023秋•吉林期中）把图中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为　　 A． B． C． D． 【分析】根据图形的对称性，用除以3计算即可得解． 【解答】解：， 旋转的角度是的整数倍， 旋转的角度至少是． 故选：． 【点评】本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解题的关键． 29．（2023秋•前郭县期中）如图所示的图案绕中心旋转后能与原来的图案完全重合，则的最小值为 　45　． 【分析】该图形被平分成八部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转45度的整数倍，就可以与自身重合． 【解答】解：该图形被平分成八部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为45． 故答案为：45． 【点评】本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 30．（2023秋•长岭县期中）如图所示，这个图案绕它的中心旋转后能够与它本身重合，则可以为 　（答案不唯一）　（写出一个即可）． 【分析】把此图案绕看作正方形，然后根据正方形的性质求解． 【解答】解：图形看作正方形， 而正方形的中心角为， 所以此图案绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合， 故可以为（答案不唯一）（写出一个即可）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 旋转在证明图形全等中的应用 1.（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 【答案】(1)A，90 (2)证明见解析 (3)正方形的边长为 【分析】（1）根据旋转定义结合正方形性质得出旋转中心和旋转角度即可； （2）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）解：在正方形中，， 又顺时针旋转一定角度后得到， 绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到, 故答案为：A，90； （2）证明：由旋转的性质得：， 四边形是正方形， ，即， ，即， ， ， 在和中， ， ； （3）解：设正方形的边长为，则， ， ， 由旋转的性质得：， ， 由（2）已证：， ， 又四边形是正方形， ， 则在中，， 即， 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键 2.（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，，， (1)依题意补全图形 (2)求证：； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质及全等三角形的判定与性质． （1）依据题意画图即可； （2）由等边三角形的性质知，，由旋转的性质知，，从而得，再证可得答案； （3）由，知为等边三角形，即，继而由，得到，再利用即可得解． 【详解】（1）补全图形如下： （2）证明：是等边三角形， ，． 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，． ． ． 在和中， ， ． （3）解：如图， ，， 为等边三角形． ， ， ． ． 手拉手模型 3.（23-24九年级上·吉林·期中）（1）如图，点为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点．猜想： 与的数量关系是______； ______； （2）将图中的绕点顺时针旋转一定角度到达图的位置时，（）中的两个结论是否还成立？若还成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（）；；（）仍然成立，理由见解析． 【分析】（）根据证即可； 由知，则，再根据外角得出结论即可； （）根据证,同理（）得出结论即可； 本题主要考查了旋转，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键 【详解】（）解：，理由， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （）结论仍然成立，证明如下： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 4.（20-21九年级上·河南周口·期中）如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 【答案】(1)，； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且 （2）（1）中结论仍成立， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3）是等边三角形， ， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时； ∴． 半角模型 5.（23-24九年级上·广东肇庆·期中）如图，已知中，是边上的点，将绕点A旋转，得到． (1)当时，求证：； (2)在（1）的条件下，猜想：有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等也考查了等腰直角三角形的性质； （1）利用旋转的性质得，再计算出，则利用“”可判断，所以； （2）由（1）知得到，再根据等腰直角三角形的性质得，则根据旋转的性质得，所以，于是根据勾股定理得，所以． 【详解】（1）证明：由旋转性质得，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2），理由如下： ，且， ， 由（1）得，， ， 是直角三角形， ， 由（1）得，， 6.（23-24九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，，，点C，D是边上两点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 将绕点P顺时针旋转至，使和重合，连接，证明得出，证明，然后在中利用勾股定理即得证． 【详解】解：将绕点P顺时针旋转至，使和重合，连接， 则， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴，， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． “爪形图” 7.（23-24九年级上·广东广州·期中）“玩转数学”实践活动，是一种非常有效的学习方式．我们一起来动手、动脑玩转数学吧． (1)折一折：将正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1． (2)转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q，连接，如图2．证明：； (3)若正方形的边长为6，且，求的长． 【答案】(1)45 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）由翻折的性质可知：，，根据正方形的性质：，则； （2）如图：将顺时针旋转，通过旋转的性质以及等量代换证明，即可得出结论； （3）正方形的边长为，可得，，由勾股定理可得：，再解方程并检验即可． 【详解】（1）解：由翻折的性质可知：，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：45； （2）证明：如图2中，延长到T，使得． ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得或， 当时，，（不符合题意，舍去）， 当时，，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的解法等知识，能够综合运用这些性质是解题关键． “丫形图” 8.（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部，有一点，若．求证：．下面是本题的部分解答过程，请补充完整． 证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等边三角形．完成接下来的证明． （2）【类比延伸】如图③，在等腰三角形中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】此题主要考查几何变换中的旋转变换，勾股定理； （1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可； （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，论证，再根据勾股定理代换即可． 【详解】（1）证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等边三角形． ∴，， 又∵， ， 即 （2） 证明：如图③，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则为等腰三角形． 且， ∴， ∵， ∴， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$