专题02 二次函数（13种经典基础练+6种优选提升练）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版，吉林专用）

专题02 二次函数（13种经典基础练+6种优选提升练） 二次函数的定义 1．（2023秋•西山区校级期中）已知是二次函数，则的值为　　 A．0 B．1 C． D．1或 2．（2023秋•二道区校级期中）当函数是二次函数时，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•哈尔滨期中）下列函数中，属于二次函数的是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•东平县期中）若是关于的二次函数，则的值为 　　． 二次函数的图象 5．（2023秋•崆峒区校级期中）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•西青区校级期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•魏县校级期中）如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是　　 A． B． C． D．都不对 二次函数的性质 8．（2023秋•蓬江区校级期中）抛物线的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•霍林郭勒市校级期中）若点在抛物线的对称轴上，则点的坐标可能是　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•伊宁市校级期中）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是　　 A．图象关于直线对称 B．函数的最小值是 C．当时，随的增大而增大 D．和3是方程的两个根 11．（2023秋•江干区校级期中）二次函数，当时，随的增大而减小，则实数和满足　　 A．， B．， C．， D．， 12．（2023秋•扶沟县期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二次函数图象与系数的关系 13．（2023秋•台山市校级期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2023秋•禹城市期中）对称轴为直线的抛物线，，为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 15．（2023秋•凉州区期中）若二次函数的图象开口向上，则的取值范围是 　 　． 16．（2023秋•昌平区期中）已知二次函数的图象如图所示．则有以下5个结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数，总有．其中正确的结论是 　 　．（填序号） 二次函数图象上点的坐标特征 17．（2023秋•广阳区校级期中）已知，、，为二次函数图象上两点，且，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•白云区校级期中）已知二次函数为常数，且的图象上有三点，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 19．（2023秋•江津区校级期中）已知如图，在正方形中，点、的坐标分别是，，，点在抛物线的图象上，则的值是　　 A． B． C． D． 二次函数图象与几何变换 20．（2023秋•自流井区校级期中）抛物线可由抛物线平移得到，那么平移的步骤是　　 A．右移3个单位长度，再下移4个单位长度 B．右移3个单位长度，再上移4个单位长度 C．左移3个单位长度，再下移4个单位长度 D．左移3个单位长度，再上移4个单位长度 21．（2023秋•金安区校级期中）将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是　　 A． B． C． D． 二次函数的最值 22．（2023秋•迎江区校级期中）已知二次函数在时有最小值，则　　 A．或 B．4或 C．或 D．4或 23．（2023秋•鄞州区期中）若当时，二次函数的最小值为0，则　　 A． B． C． D．或 24．（2023秋•甘井子区期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积的最大值为 　　． 25．（2023秋•钢城区期中）如图，在△中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． （1）　 　，　　，　　； （2）为何值时△的面积为？ （3）为何值时△的面积最大？ 26．（2023秋•利通区校级期中）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，当，的长是多少时，四边形的面积最大？ 待定系数法求二次函数解析式 27．（2023秋•天长市期中）已知抛物线的顶点坐标为，则该抛物线的解析式为　　 A． B． C． D． 28．（2023秋•丰满区校级期中）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，且它的顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为 　 　． 29．（2023秋•花溪区校级期中）已知关于的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点， （1）求这个二次函数的关系式； （2）写出它的开口方向、对称轴． 30．（2023秋•丽水期中）已知二次函数顶点坐标为，且过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求的取值范围． 31．（2023春•丰城市期中）如图，已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 32．（2023秋•百色期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过轴上的两点、，与轴交于点，直线的解析式为． （1）求点、的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点为直线上方的抛物线上的一点，过点作轴于，交于，求最大时，点的坐标及的最大值． 二次函数的三种形式 33．（2023秋•玉环市校级期中）将二次函数配方为的形式为　　 A． B． C． D． 34．（2023秋•江干区校级期中）将变为的形式 　 　．顶点坐标是 　　． 35．（2023秋•城厢区校级期中）设二次函数，是常数）的图象与轴交于，两点． （1）若，两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的对称轴． （2）若函数的表达式可以写成是常数）的形式，求的最小值． 36．（2023秋•绥棱县校级期中）已知二次函数． （1）用配方法将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当取何值时，随的增大而减少？ （4）当取何值时，，，， （5）当时，求的取值范围； （6）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积． 抛物线与x轴的交点 37．（2023秋•集美区校级期中）二次函数的图象与轴的交点个数是　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 38．（2023秋•东莞市校级期中）若函数的图象与轴只有一个交点，则的值是　　 A．3或5 B．3 C．4 D．5 39．（2023秋•禄劝县校级期中）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 图象法求一元二次方程的近似根 40．（2023秋•青秀区校级期中）下表示用计算器探索函数时所得的数值： 0 0.25 0.5 0.75 1 1.31 3 则方程的一个解的取值范围为　　 A． B． C． D． 41．（2023秋•如皋市期中）已知二次函数的变量，的部分对应值如表： 0 1 1 1 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是　　 A． B． C． D． 42．（2023秋•江干区校级期中）二次函数中，自变量与函数的对应值如下表： 0 1 2 3 4 若，则下面叙述正确的是　　 A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与轴的交点在轴的下方 C．对称轴是直线 D．若是方程的正数解，则 根据实际问题列二次函数关系式 43．（2023秋•江阳区校级期中）已知某种产品的成本价为30元千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为（元，则与之间的函数表达式为　　 A． B． C． D． 44．（2023秋•泰安期中）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为的篱笆围成．已知墙长为，若平行于墙的一边长不小于，设这个苗圃园的宽为，面积为，则与之间的函数表达式为　　 A．， B．， C．， D．， 45．（2023秋•天长市期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元，主播每天的利润为（元，则与之间的函数解析式为　　 A． B． C． D． 46．（2023秋•烟台期中）如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为　　 A． B． C． D． 47．（2023秋•朝阳区校级期中）将进货价为70元件的某种商品按零售价100元件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价元，设每天的利润为元，则关于的函数解析式是　 　． 二次函数的应用 48．（2023秋•武安市期中）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母为抛物线支架的最高点，灯罩距离地面1.5米，最高点距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为　　米． A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6 49．（2023秋•杭州期中）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件元，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为　　 A．24元 B．25元 C．28元 D．30元 50．（2023秋•梁子湖区期中）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为　　 A． B． C． D． 线段最值问题 1．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 2．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C；点P是第四象限抛物线上一点，过点P作轴，交x轴与点D，交BC与点E． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P作交于点F，求的最大值及此时点E的坐标； (3)如图②，点Q是线段OC上一点，且，连接QB，OF，点P在运动过程中，是否存在的值最小，若存在．请直接写出的最小值． 面积最值问题 3.（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于．    (1)求这个二次函数的解析式的一般式； (2)若点为该二次函数图象在第四象限内一个动点，求点运动过程中，四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 4．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，作直线，点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合），连结，，以，为边作，点的横坐标为． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)当有两个顶点在轴上时，则点的坐标为____________； (3)当是菱形时，求的值． (4)当为何值时，的面积有最大值？ 5．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）如图，已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交于点H，连接，，求面积的最大值及此时点P坐标． 全等三角形问题 6.（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上一点，过点作的垂线，垂足为，是上的点，要使以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点和点的坐标． 7．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，抛物线经过点和，与轴交于两点，与轴交于点，它的对称轴为直线，顶点为 (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，求的面积； (3)是该抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为是上的点．要使以为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 特殊三角形存在性问题 8．（22-23九年级上·广东珠海·期中）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上一点，当的面积为10时，求出的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一点，点是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标． 9．（22-23九年级上·湖北鄂州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接BC，P为线段BC上的一个动点不与B，C重合），过点P作轴，交抛物线于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)连接CD，BD，CF，BF，当的面积等于的面积时（点与点不重合），求点的坐标； (4)在（3）的条件下，在轴上是否存在点，使为等腰三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（22-23九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一个点，对称轴与直线交于点，抛物线顶点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内，为抛物线上一点，以、、为顶点的三角形面积为3，求点的横坐标； (3)点是对称轴上的一动点，是否存在某一点使、、为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；不存在，说明理由． 平行四边形存在性问题 11.（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线经过，，三点． (1)求这条抛物线的解析式： (2)P为抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点为顶点构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 12.（23-24九年级上·天津·期中）已知如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，点在点的左侧，点的坐标为，点的坐标    (1)求抛物线的解析式； (2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点，且以为一边的平行四边形呢？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 角度问题 13.（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，是该抛物线的顶点．    (1)求的值． (2)判断的形状，并说明理由． (3)在抛物线对称轴上是否存在点，使？若存在，请求出符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 14.（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接．当的面积等于面积的倍时，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数（13种经典基础练+6种优选提升练） 二次函数的定义 1．（2023秋•西山区校级期中）已知是二次函数，则的值为　　 A．0 B．1 C． D．1或 【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 【解答】解：由是二次函数，得 ， 解得， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义，形如 是二次函数． 2．（2023秋•二道区校级期中）当函数是二次函数时，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的定义解答即可； 【解答】解：由题意得：，即， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义：形如，、、是常数）的函数叫做二次函数． 3．（2023秋•哈尔滨期中）下列函数中，属于二次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可． 【解答】解：．是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； ．函数关系式不是整式，不是二次函数，故不符合题意； ．，的最高次数是3，不是二次函数，故不符合题意； ．是二次函数，故符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数，掌握二次函数的定义是解题关键．二次函数定义：一般地，把形如、、是常数，且的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项． 4．（2023秋•东平县期中）若是关于的二次函数，则的值为 　　． 【分析】根据二次函数的定义求解． 【解答】解：是关于的二次函数， 且， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是注意二次项的系数不能为0． 二次函数的图象 5．（2023秋•崆峒区校级期中）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为　　 A． B． C． D． 【分析】对于每个选项，先根据二次函数的图象确定和的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【解答】解：、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、三、四象限，且它们的交点为，所以选项正确； 、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、三象限，所以选项错误； 、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、四象限，所以选项错误； 、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第二、三、四象限，所以选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系． 6．（2023秋•西青区校级期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【分析】可先根据二次函数的图象判断、的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【解答】解：由二次函数图象，得出，， 、一次函数图象，得，，故错误； 、一次函数图象，得，，故错误； 、一次函数图象，得，，故正确； 、一次函数图象，得，，故错误； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 7．（2023秋•魏县校级期中）如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是　　 A． B． C． D．都不对 【分析】不规则图形面积通过对称转化为可求的图形面积． 【解答】解：是函数的图象，是函数的图象， 两函数图象关于轴对称， 阴影部分面积即是半圆面积， 阴影部分的面积． 故选：． 【点评】此题主要考查了二次函数的对称性，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键． 二次函数的性质 8．（2023秋•蓬江区校级期中）抛物线的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可． 【解答】解：因为抛物线， 所以抛物线的顶点坐标是． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键． 9．（2023秋•霍林郭勒市校级期中）若点在抛物线的对称轴上，则点的坐标可能是　　 A． B． C． D． 【分析】由抛物线解析式可求得其对称轴，则可求得点的横坐标，可求得答案． 【解答】解： ， 抛物线对称轴为， 点在抛物线对称轴上， 点的横坐标为， 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为． 10．（2023秋•伊宁市校级期中）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是　　 A．图象关于直线对称 B．函数的最小值是 C．当时，随的增大而增大 D．和3是方程的两个根 【分析】直接根据二次函数的图象进行解答即可． 【解答】解：、由函数图象可知，图象关于直线对称，故本选项正确； 、由函数图象可知，函数的最小值是，故本选项正确； 、由函数图象可知，当时，随的增大而增减小，故本选项错误； 、因为抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点是，所以与轴的另一个交点是，故和3是方程的两个根，故本选项正确． 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，能利用数形结合得出抛物线的对称轴及其顶点坐标是解答此题的关键． 11．（2023秋•江干区校级期中）二次函数，当时，随的增大而减小，则实数和满足　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】由二次函数的性质可确定出的范围． 【解答】解：，当时，随的增大而减小， 抛物线开口向下，对称轴为， ， 当时，随的增大而减小， ， ，． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．（2023秋•扶沟县期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【解答】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得． 一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大． 二次函数图象与系数的关系 13．（2023秋•台山市校级期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据抛物线的对称轴方程可判断、同号，判断①错误；代入结合图象可判断②错误；由对称轴方程可判断③正确；代入结合函数的图象判断④正确． 【解答】解：①，、同号，故，原结论错误； ②当时，由图象可知，即，原结论错误； ③由对称轴可知， ，原结论正确； ④当时，由图象可知，即，整理得，原结论正确． 所以，正确的结论有2个． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 14．（2023秋•禹城市期中）对称轴为直线的抛物线，，为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥． 【解答】解：①由图象可知：，， 对称轴为直线：， ， ，故①正确； ②抛物线与轴有两个交点， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，则与的函数值相等， 当时，，故③错误； ④当时，， ，故④正确； ⑤当时，取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，随的增大而减小，故⑥正确， 综上，正确的是①②④⑤⑥共5个， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 15．（2023秋•凉州区期中）若二次函数的图象开口向上，则的取值范围是 　　． 【分析】由二次函数的图象开口向上，即可得到的取值范围． 【解答】解：二次函数的图象开口向上， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握开口方向是解题的关键． 16．（2023秋•昌平区期中）已知二次函数的图象如图所示．则有以下5个结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数，总有．其中正确的结论是 　①③⑤　．（填序号） 【分析】，根据二次函数的图象的开口方向，与轴的交点位置，对称轴判断①；根据二次函数的图象与轴的交点个数判断②；根据对称轴判断③；根据抛物线经过判断④；根据当时函数取最大值判断⑤． 【解答】解：抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴， ，， 对称轴为， ， ， ， ， ①正确． 抛物线与轴有两个交点， △， ， ②错误． ， ③正确． 当时，， ， ④错误． 当时，有最大值为， 对于任意实数，总有， 对于任意实数，总有． ⑤正确． 故答案为：①③⑤． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握，，对抛物线的决定作用是求解本题的关键． 二次函数图象上点的坐标特征 17．（2023秋•广阳区校级期中）已知，、，为二次函数图象上两点，且，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】先利用顶点式得到抛物线的对称轴为直线，由于抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大，于是可判断与的大小． 【解答】解：二次函数图象的对称轴为直线， 开口向下，而， ， 即． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决本题的关键是运用二次函数的性质比较与的大小． 18．（2023秋•白云区校级期中）已知二次函数为常数，且的图象上有三点，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】先确定对称轴，根据把点的对称点确定，转化为对称轴同侧的点，根据抛物线开口向下，对称轴的右侧随的增大而减小即可得到解答． 【解答】解：二次函数为常数，且的图象上有三点，，， 对称轴． 设点的对称点为，， 所以． 解得， 点的对称点为． ， 抛物线开口向下． 对称轴的右侧随的增大而增减小． ， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了抛物线的开口方向，增减性，对称性，熟练掌握增减性是解题的关键． 19．（2023秋•江津区校级期中）已知如图，在正方形中，点、的坐标分别是，，，点在抛物线的图象上，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】作轴于，于，通过证得，得到，，设，则，解得，从而求得，代入即可得出的值． 【解答】解：作轴于，于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， 设， 点、的坐标分别是，，， ，解得， ， 在抛物线的图象上， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特点，得出点坐标是解题关键． 二次函数图象与几何变换 20．（2023秋•自流井区校级期中）抛物线可由抛物线平移得到，那么平移的步骤是　　 A．右移3个单位长度，再下移4个单位长度 B．右移3个单位长度，再上移4个单位长度 C．左移3个单位长度，再下移4个单位长度 D．左移3个单位长度，再上移4个单位长度 【分析】根据图象的平移规律，可得答案． 【解答】解：函数的图象可由函数的图象平移得到，那么平移的步骤是右移3个单位，下移4个单位， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键． 21．（2023秋•金安区校级期中）将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，将二次函数的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：． 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键． 二次函数的最值 22．（2023秋•迎江区校级期中）已知二次函数在时有最小值，则　　 A．或 B．4或 C．或 D．4或 【分析】先求出对称轴为，分，两种情况讨论解答即可求得的值． 【解答】解：二次函数， 对称轴为直线， ①，抛物线开口向上， 时，有最小值， 解得：； ②，抛物线开口向下， 对称轴为直线，在时有最小值， 时，有最小值， 解得：； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23．（2023秋•鄞州区期中）若当时，二次函数的最小值为0，则　　 A． B． C． D．或 【分析】分两组情况讨论，当时，则当时，有最小值求得；当时，则时，有最小解得，即可求得． 【解答】解：， 图象的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， 当时，有最小值，， 解得， 当时，抛物线开口向上，在时，随的增大而减小， 时，有最小值，， 解得（不合题意，舍去）， 综上，． 故选：． 【点评】本题考查二次函数的最值、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 24．（2023秋•甘井子区期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积的最大值为 　36　． 【分析】根据题意得到，，则，有三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质即可求得的面积的最大值． 【解答】解：根据题意有：，， ，， ， ， ，， ， 故关于的函数解析式为； ， ， 当时，的面积有最大值． 故答案为：36． 【点评】本题主要考查动点在线段上运动的规律，二次函数图象与性质等知识，理解动点运动中时间与的面积关系是解题的关键． 25．（2023秋•钢城区期中）如图，在△中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． （1）　 　，　　，　　； （2）为何值时△的面积为？ （3）为何值时△的面积最大？ 【分析】（1）由题意得 ， ，则； （2）由三角形面积公式得，再根据△的面积为，列出一元二次方程，解方程即可； （3）由（2）可知，，再由二次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意得： ， ， ， ， 故答案为： ，， ； （2） ，，， ， 即， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：当运动时间是或时△的面积为； （3）由（2）可知，， ， 当时，△的面积有最大值为36， 答：当为时，△的面积有最大值． 【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形面积公式、一元二次方程的应用以及二次函数的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形面积公式，求出△的面积与的关系式是解题的关键． 26．（2023秋•利通区校级期中）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，当，的长是多少时，四边形的面积最大？ 【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出，再利用配方法求出二次函数最值． 【解答】解：设，四边形面积为，则， 则：， 当时，；所以时，四边形的面积最大． 【点评】此题主要考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键． 待定系数法求二次函数解析式 27．（2023秋•天长市期中）已知抛物线的顶点坐标为，则该抛物线的解析式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，抛物线的顶点坐标为，得到对称轴经过点，列出式子，求出答案． 【解答】解：由题意得： 抛物线的顶点坐标为， 对称轴经过点， ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． 故选：． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法是解答本题的关键． 28．（2023秋•丰满区校级期中）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，且它的顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为 　　． 【分析】先设顶点式，然后根据二次函数的性质确定的值即可． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线解析式可设为， 抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同， ， 所求抛物线的解析式为． 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 29．（2023秋•花溪区校级期中）已知关于的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点， （1）求这个二次函数的关系式； （2）写出它的开口方向、对称轴． 【分析】直接设顶点式，再用待定系数法求二次函数的解析式．进而可根据函数的解析式求得抛物线的开口方向和对称轴方程． 【解答】解：（1）设函数解析式为，把顶点和点代入解析式，得： ，所以抛物线的解析式为：； （2）由（1）的函数解析式可得：抛物线的开口向下，对称轴． 【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式． 30．（2023秋•丽水期中）已知二次函数顶点坐标为，且过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求的取值范围． 【分析】（1）设二次函数顶点式，把相应点代入即可求得； （2）由抛物线的开口方向及对称轴确定时，的取值范围． 【解答】解：（1）设二次函数的解析式为； 把代入解析式得， 解得； 二次函数的解析式为； （2），顶点为， 开口向上，当时，有最小值为； 当时，， 当时，， 当时，的取值范围为． 【点评】本题考查用顶点式二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 31．（2023春•丰城市期中）如图，已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【分析】（1）由点、的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标； （2）结合函数图象以及、点的坐标即可得出结论； （3）设，根据三角形的面积公式以及，即可算出的值，代入抛物线解析式即可得出点的坐标． 【解答】解：（1）把、分别代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． ， 顶点坐标为． （2）由图可得当时，． （3）、， ． 设，则， ， ． ①当时，，解得：，， 此时点坐标为或； ②当时，，方程无解； 综上所述，点坐标为或． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象解不等式；（3）找出关于的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 32．（2023秋•百色期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过轴上的两点、，与轴交于点，直线的解析式为． （1）求点、的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点为直线上方的抛物线上的一点，过点作轴于，交于，求最大时，点的坐标及的最大值． 【分析】（1）在中，令，则，令，则，即可求出、的坐标； （2）把、的坐标代入中，即可求出，的值，可得答案； （3）设，则，则，由二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）在中， 令，则， 令，则， ，； （2）把，代入得： ， 解得：， 抛物线解析式为； （3）点为直线上方的抛物线上的一点，轴， 设， 则， ， ， 当时，最大，最大值为1， 此时． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 二次函数的三种形式 33．（2023秋•玉环市校级期中）将二次函数配方为的形式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据配方法求解可得． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的三种形式，解题的关键是熟练掌握配方法的基本步骤． 34．（2023秋•江干区校级期中）将变为的形式 　　．顶点坐标是 　　． 【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，并写出顶点坐标． 【解答】解： ， 顶点坐标为， 故答案为：，． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式、顶点坐标，掌握配方法把一般式化为顶点式的一般步骤是解题的关键． 35．（2023秋•城厢区校级期中）设二次函数，是常数）的图象与轴交于，两点． （1）若，两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的对称轴． （2）若函数的表达式可以写成是常数）的形式，求的最小值． 【分析】（1）根据、两点的坐标特征，可设函数的表达式为，其中，是抛物线与轴交点的横坐标； （2）把函数化成一般式，求出对应的、的值，再根据式子的特点求出其最小值． 【解答】解：（1）二次函数过点、， ， 即． 抛物线的对称轴为直线． （2）把化成一般式得， ． ，． ， ． ， 该二次函数开口向上， 把的值看作是的二次函数，有最小值， 当时，的最小值是． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质以及二次函数的三种形式，熟知二次函数的性质是解题的关键． 36．（2023秋•绥棱县校级期中）已知二次函数． （1）用配方法将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当取何值时，随的增大而减少？ （4）当取何值时，，，， （5）当时，求的取值范围； （6）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积． 【分析】（1）直接利用配方法得出函数顶点式即可； （2）利用顶点式得出顶点坐标，进而得出函数与坐标轴交点进而画出函数图象； （3）利用函数顶点式得出对称轴进而得出答案； （4）利用函数图象得出答案即可； （5）利用以及是求出函数值进而得出答案； （6）利用函数图象得出三角形面积即可． 【解答】解：（1） ； （2）当，则， 解得：，， 故图象与轴交点坐标为：，， 当，， 故图象与轴交点坐标为：， 如图所示： ； （3）当时，随的增大而减少； （4）当或3时，， 当或时，， 当时；； （5）当时， 时，，时，， 故的取值范围是：； （6）如图所示： 函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积为：． 【点评】此题主要考查了配方法求函数顶点坐标以及利用图象判断函数值以及三角形面积求法，正确画出函数图象是解题关键． 抛物线与x轴的交点 37．（2023秋•集美区校级期中）二次函数的图象与轴的交点个数是　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【分析】利用“二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系”解答即可． 【解答】解：判断二次函数图象与轴的交点个数，就是当时，方程解的个数， △， 此方程有两个相同的根， 二次函数的图象与轴有一个交点． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系，掌握两者之间的关系是解题的关键． 38．（2023秋•东莞市校级期中）若函数的图象与轴只有一个交点，则的值是　　 A．3或5 B．3 C．4 D．5 【分析】分及两种情况考虑：当时，由一次函数图象与轴只有一个交点，可得出符合题意；当时，由二次函数图象与轴只有一个交点结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值．综上即可得出结论． 【解答】解：①当，即时，， 令，则， 解得， 此时函数的图象与轴只有一个交点， ②当时， 二次函数的图象与轴只有一个交点， △， 解得． 综上所述，当图象与轴有且只有一个交点时，的值为3或5． 故选：． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点以及根的判别式，分及两种情况考虑是解题的关键． 39．（2023秋•禄劝县校级期中）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】由函数图象可以得出二次函数经过这一点，就可以求出函数的解析式，当时求出的值就可以求出结论． 【解答】解：由函数图象，得二次函数经过这一点， 把代入，得： ， 解得：， ， ， 解得：，． 故选：． 【点评】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 图象法求一元二次方程的近似根 40．（2023秋•青秀区校级期中）下表示用计算器探索函数时所得的数值： 0 0.25 0.5 0.75 1 1.31 3 则方程的一个解的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时随的增大而增大，本题易解． 【解答】解：二次函数中， 抛物线开口方向向上， 对称轴， 时随的增大而增大， 当时，，当时，， 方程的一个正根：， 故选：． 【点评】解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法． 41．（2023秋•如皋市期中）已知二次函数的变量，的部分对应值如表： 0 1 1 1 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，”由此即可得出结论． 【解答】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 故选：． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 42．（2023秋•江干区校级期中）二次函数中，自变量与函数的对应值如下表： 0 1 2 3 4 若，则下面叙述正确的是　　 A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与轴的交点在轴的下方 C．对称轴是直线 D．若是方程的正数解，则 【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：二次函数过．，，，对称轴为直线，故错误，不合题意； 由表格可得，当时，随的值增大而减小， 该函数开口向下，故选项错误，不符合题意； 图象过点，， ，即， 该函数图象与轴的交点在轴的上方，故错误，不合题意； 由表中数据可知：在与之间， 故对应的的值在与0之间， 故对应的的值在2与3之间，即，故正确，符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在． 根据实际问题列二次函数关系式 43．（2023秋•江阳区校级期中）已知某种产品的成本价为30元千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为（元，则与之间的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】利用这种产品每天的销售利润每千克的销售利润每天的销售量，即可找出与之间的函数表达式． 【解答】解：根据题意得：， 即． 故选：． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数表达式是解题的关键． 44．（2023秋•泰安期中）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为的篱笆围成．已知墙长为，若平行于墙的一边长不小于，设这个苗圃园的宽为，面积为，则与之间的函数表达式为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据各边之间的关系，可得出，利用矩形的面积公式，可得出关于的函数关系式，再结合“墙长为，且平行于墙的一边长不小于”，即可求出的取值范围． 【解答】解：篱笆的总长为，， ． 根据题意得：． 墙长为，且平行于墙的一边长不小于， ， ， 与之间的函数表达式为． 故选：． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与的函数关系式是解题的关键． 45．（2023秋•天长市期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元，主播每天的利润为（元，则与之间的函数解析式为　　 A． B． C． D． 【分析】设每件电子产品售价为（元，主播每天的利润为（元，则销售量为件，由此即可得出答案． 【解答】解：设每件电子产品售价为（元，主播每天的利润为（元， 每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件， 每件电子产品售价为（元时，销售量为件， 与之间的函数解析式为， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键． 46．（2023秋•烟台期中）如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出的值，即可得出抛物线表达式．解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式． 【解答】解：，抛物线的顶点到的距离为， ，， 设抛物线的表达式为， 把代入得：， 把代入得：， 解得：， 抛物线表达式为． 故选：． 【点评】本题主要考查了求抛物线的表达式，熟练掌握待定系数法求解析式是关键． 47．（2023秋•朝阳区校级期中）将进货价为70元件的某种商品按零售价100元件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价元，设每天的利润为元，则关于的函数解析式是　　． 【分析】先根据利润单件利润销量列出函数解析式． 【解答】解：设应降价元，销售量为个， 根据题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是找出等量关系列出函数解析式． 二次函数的应用 48．（2023秋•武安市期中）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母为抛物线支架的最高点，灯罩距离地面1.5米，最高点距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为　　米． A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6 【分析】以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的值的即可得出答案． 【解答】解：如图所示，以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系， 方法一：， 点与点关于对称轴对称， ； 方法二：根据题意知，抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入得，， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，， 解得（舍或， 所以茶几到灯柱的距离为3.2米， 故选：． 【点评】本题考查了将二次函数的实际应用转化为二次函数图象的抽象能力以及用待定系数法求函数解析式与点的坐标的能力． 49．（2023秋•杭州期中）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件元，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为　　 A．24元 B．25元 C．28元 D．30元 【分析】设利润为根据利润等于利润单价乘以数量列出函数，根据函数性质求解即可得到答案． 【解答】解：设利润为 元， 由题意可得，， ，， 当时最大， 故选：． 【点评】本题考查二次函数解决销售利润问题中最值问题，解题的关键是列出函数根据函数性质求解． 50．（2023秋•梁子湖区期中）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为　　 A． B． C． D． 【分析】根据正常水位时水面宽，求出当时，再根据水位上升5米时，代入解析式求出即可． 【解答】解：米， 当时，， 当水位上升5米时，， 把代入抛物线表达式得：， 解得， 此时水面宽， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是通过建立适当坐标系求出抛物线解析式． 线段最值问题 1．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为，此时点 【分析】（1）利用待定系数法，设直线的解析式为，进而代入坐标求解即可； （2）利用待定系数法，设抛物线的解析式为，然后代入坐标求解即可； （3）先证得，进而得到，利用锐角三角函数得到，设点，则，由，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线l与x轴交于点A（6．0），与y轴交于点B（0，－6）， ，解得：， 直线的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴是直线， ， 抛物线经过点， ∴解得：， 抛物线的解析式为； （3）解：∵、， ∴，在中，， ∴， ∵轴，，∴， 在中，∵，， ∴，∴， 在中，，， ，则， ， ， 设点，则， ， ， 当时，有最大值是，此时最大， 的最大值为， 当时，， 的最大值为，此时点． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、锐角三角函数、二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 2．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C；点P是第四象限抛物线上一点，过点P作轴，交x轴与点D，交BC与点E． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P作交于点F，求的最大值及此时点E的坐标； (3)如图②，点Q是线段OC上一点，且，连接QB，OF，点P在运动过程中，是否存在的值最小，若存在．请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，． (3)的最小值为． 【分析】（1）根据抛物线过，，直接利用交点式写抛物线的解析式即可； （2）先求解直线为，证明，设，则，可得，再利用二次函数的性质可得答案； （3）如图，过作轴于，则为等腰直角三角形，求解，，可得，可得，如图，设，，，则，作关于轴的对称点，连接，则的最小值为的长，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线为：， 即抛物线为：； （2）把代入可得， ∴， 设直线为，把代入可得：， ∴直线为， ∵，， ∴，， ∵，则轴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 当时，最大，最大值为， ∴． （3）如图，过作轴于，则为等腰直角三角形， ∴， ∵，而， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 如图，设，，，    则， 作关于轴的对称点，连接， ∴的最小值为的长， ∴最小值为： ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与线段周长问题，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的化简，熟练的利用轴对称的性质求解线段和的最小值是解本题的关键． 面积最值问题 3.（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于．    (1)求这个二次函数的解析式的一般式； (2)若点为该二次函数图象在第四象限内一个动点，求点运动过程中，四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)当点的坐标为时，四边形的面积最大，最大值为4． 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合． （1）运用待定系数法解二次函数解析式即可求解； （2）如图，连接，作轴交于点，可求出直线的解析式，设点的坐标为，的坐标为，用含的式子表示四边形的面积，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，，交轴于点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接，作轴交于点，    设直线的解析式为，将点和点的坐标代入， ∴，解得， ∴， ∴设点的坐标为，的坐标为， ∴， ∴ ， ∴当时，四边形的面积取得最大值，此时， ∴， ∴当点的坐标为时，四边形的面积最大，最大值为4． 4．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，作直线，点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合），连结，，以，为边作，点的横坐标为． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)当有两个顶点在轴上时，则点的坐标为____________； (3)当是菱形时，求的值． (4)当为何值时，的面积有最大值？ 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，平行四边形的面积有最大值 【分析】（1）根据抛物线与轴交于点得抛物线的解析式为，即可得； （2）抛物线的解析式为，令，则，则，根据有两个顶点在轴上时得点D在x轴上，根据四边形是平行四边形得，可得点P和点C为抛物线上的对称点，根据抛物线的对称轴为，，即可得； （3）设点P的坐标为，根据，，得，，根据是菱形得，可得，计算得，根据得，计算得，，根据点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合）得，即可得； （4）过点P作轴交直线于点E，设直线的解析式为，将，代入得，解得，，可得直线的解析式为，设，则，可得，根据三角形面积计算公式得，根据和二次函数的性质即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴抛物线的解析式为， 即， （2）解：∵抛物线的解析式为，令，则， ∴， ∵有两个顶点在轴上时， ∴点D在x轴上， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点P和点C为抛物线上的对称点， ∵抛物线的对称轴为，， ∴， 故答案为：； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ∵是菱形， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ， 即，， ∵点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合）， ∴， ∴； （4）解：如图所示，过点P作轴交直线于点E， 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵ ， ∴当时，平行四边形的面积有最大值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是掌握二次函数的性质，菱形的性质，平行四边形的性质． 5．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）如图，已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交于点H，连接，，求面积的最大值及此时点P坐标． 【答案】(1) (2)当时，二次函数的最大值为4，最小值为 (3)面积的最大值为，此时点P坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的增减性求出当时，二次函数的最大值和最小值即可； （3）求出直线的解析式为，设点，则，求出，得出，求出二次函数的最大值即可得出答案． 【详解】（1）解：把点，点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：的对称轴为直线， ∵， ∴当时，函数取最大值， ∵， ∴当时，函数取最小值， ∴当时，二次函数的最大值为4，最小值为． （3）解：把代入得：， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 则， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积最大，且最大值为，此时点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析，求二次函数的最值，求一次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的图象和性质． 全等三角形问题 6.（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上一点，过点作的垂线，垂足为，是上的点，要使以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点和点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，对应点的坐标为或；点的坐标为对应点E的坐标为或 【分析】（1）根据题意把顶点代入到解析式的顶点式中，即可求解； （2）设求出的值，当 时，点位于直线的右侧，此时， ，求出点的坐标为，即可求解; 当 时，点位于直线的左侧，同理可解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为 故设抛物线的表达式为：； （2）在（1）中，当 时，， 即， 当时，即， 解得：， ， ， 设， 则， ， 或． ①当 时，点位于直线的右侧， 此时，， ∴点的坐标为， 对应点的坐标为或． ②当 时，点位于直线的左侧， 此时，， ∴点的坐标为， 对应点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数综合题，涉及到绝对值的运用，分类求解是解题本题的关键． 7．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，抛物线经过点和，与轴交于两点，与轴交于点，它的对称轴为直线，顶点为 (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，求的面积； (3)是该抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为是上的点．要使以为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)点的坐标为或，点的坐标为或； 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是 （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据条件求出三点坐标，根据即可求解； （3）根据题意可知时，以为顶点的三角形与全等，设点，分两种情况：当点P在抛物线对称轴右侧时；当点P在抛物线对称轴左侧时分别求解． 【详解】（1）解：把和代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴，把代入得：， ∴， 令，解得：，∴， 令，则，解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与对称轴相交于点M，如图， 把代入直线的解析式为得：， ∴， ∴； （3）解： 由（2）得：，，，对称轴， ∴， 由题意得：， 则当时，以为顶点的三角形与全等， 设点， 当点P在抛物线对称轴右侧时，，解得， ∴， ∴点， ∴点或； 当点P在抛物线对称轴左侧时，由抛物线对称性可得，， 此时点或； 综上：点的坐标为或，点的坐标为或； 特殊三角形存在性问题 8．（22-23九年级上·广东珠海·期中）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上一点，当的面积为10时，求出的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一点，点是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)或或 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据的面积为10求出D点的纵坐标，将其代入二次函数求得横坐标即可； （3）分两种情况讨论：当时，，点与点重合； 当时，，根据点在点上方时，点在点下方时，分别求得M点坐标． 【详解】（1）将点，点代入， ∴，解得， ∴； （2）设点的坐标为， ∵的面积为10， ，即，解得， 当时，，解得：， ∴或， 当时，，此方程无实数根， 综上所述，点的坐标为或； （3）当时，， ∴点与点重合， ∴； 当时，， 如图1，当点在点上方时，过点作轴的垂线，过点作交于，过点作交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，解得或， ∴或， ∵点在对称轴的左侧， ∴点坐标为； 如图2，当点在点下方时，同理可得， ∴，解得（舍）或， ∴； 综上所述：M点的坐标为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法求解析式、二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 9．（22-23九年级上·湖北鄂州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接BC，P为线段BC上的一个动点不与B，C重合），过点P作轴，交抛物线于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)连接CD，BD，CF，BF，当的面积等于的面积时（点与点不重合），求点的坐标； (4)在（3）的条件下，在轴上是否存在点，使为等腰三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)(－，) (3) (4)存在，点Q的坐标为，，， 【分析】（1）利用待定系数法将三点坐标代入解析式即可解答； （2）求出直线的解析式，设点的横坐标为，求得的纵坐标，从而得到的长度，再根据，求解即可； （3）求得顶点，根据勾股定理逆定理得到为直角三角形，设点的横坐标为，求得的纵坐标，得到的面积，再根据，求解即可； （4）设，分三种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ，解得 即 （2）∵ ∴解析式为： 设，，则， 则， ∵， ∴ 解得，（舍去） 则 （3）由题意可得，即 ∴，， ∴，即为直角三角形 设，且，则 则，解得，（舍去） 则 （4）存在． 设，由题意可得，， 当时，即 ∴，解得 ∴或 当时，即 解得 ∴ 当时， 解得（舍去）， ∴ 综上，点Q的坐标为，，， 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数与三角形的应用等，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质． 10．（22-23九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一个点，对称轴与直线交于点，抛物线顶点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内，为抛物线上一点，以、、为顶点的三角形面积为3，求点的横坐标； (3)点是对称轴上的一动点，是否存在某一点使、、为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，和 【分析】（1）先由直线的解析式为，求出它与轴的交点，与轴的交点的坐标，再将，两点坐标代入，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设第三象限内的点的坐标为，运用配方法求出抛物线的对称轴和顶点的坐标，再设抛物线的对称轴与轴交于点，连接，再根据，列出关于的方程，解方程求出的值，进而得出点的坐标； （3）设点坐标为，先由，两点坐标运用勾股定理求出，再分两种情况讨论：①若，根据勾股定理列出关于的方程，求出值，得出点坐标；②若，同①可求出对应的点坐标，进而得出结果． 【详解】（1）与轴的交点，与轴的交点的坐标， 当时，，即点的坐标为， 当时，，即点的坐标为， 将，代入， 得， 抛物线的解析式为 （2）如图1，设第三象限内的点的坐标为，    则，. ， 对称轴为直线，顶点的坐标为， 设抛物线的对称轴与轴交于点，连接，则，. 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为. ， 以、、为顶点的三角形面积为3时，， 解得：，（舍去）， 当时， 点的坐标为； （3）设点坐标为， ， 分两种情况 ①如图2，    若， 则，即， ， 点的坐标为； ②如图3，    若， 则，即 点的坐标为； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题型，运用待定系数法求抛物线的解析式，函数图像上的点的坐标特征，抛物线的顶点坐标和三角形面积的求法，直角三角形性质和勾股定理，其中利用面积的和差表示出和分类讨论是解本题的关键． 平行四边形存在性问题 11.（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线经过，，三点． (1)求这条抛物线的解析式： (2)P为抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点为顶点构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)这条抛物线的解析式为 (2) (3)存在，M点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，两点之间，直线最短，平行四边形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据两点之间，直线最短，找出点点P的位置，求出直线的解析式即可得到答案； （3）设，，根据平行四边形的性质，分①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③当为平行四边形的对角线时三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：抛物线经过，，三点， 解得 这条抛物线的解析式为． （2）解：连接交抛物线的对称轴于点P，此时的值最小． ， 抛物线的对称轴为直线． 设的直线解析式为， ， 解得 ． 当时，． ； （3）解：答：存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形． 解：设，， ①当为平行四边形的对角线时，． 解得或（舍去） ． ②当为平行四边形的对角线时，点M，N的横坐标差是1． 解得或 或． ③当为平行四边形的对角线时，． 解得或（舍去） ． 综上所述：M点坐标为或或或． 12.（23-24九年级上·天津·期中）已知如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，点在点的左侧，点的坐标为，点的坐标    (1)求抛物线的解析式； (2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点，且以为一边的平行四边形呢？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）求出直线的函数解析式为，过点作轴，交于点，交轴于点，设，则，可得，得到当时，有最大值，又得，可知当时，四边形面积的最大，代入计算即可求解； （）分点在轴上方和下方两种情况，画出图性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的几何问题，待定系数法求二次函数的解析式，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由得，，， ∴， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， ∴， ∴直线的函数解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴当时，四边形面积的最大， 此时，；    （3）解：存在． ①如图，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，则四边形为平行四边形， ∵， 把代入得，， 解得，， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点， 当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，， ∴，； 综上，点的坐标为或或． 角度问题 13.（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，是该抛物线的顶点．    (1)求的值． (2)判断的形状，并说明理由． (3)在抛物线对称轴上是否存在点，使？若存在，请求出符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)存在， 【分析】（1）把代入即可求解； （2）先根据条件求出，，，进而求出，利用勾股定理逆定理即可验证； （3）设，求出，利用勾股定理逆定理即可求解； 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：； （2）解：由（1）得：抛物线解析式为：， ∴，， ∴， 令，即，解得：， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形； （3）解：存在； 由（2）得：，，， 设， ∴，， ∵， 若，则，即，解得：， ∴， ∴在抛物线对称轴上存在点，使； 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理以及其逆定理，灵活运用所学知识是关键． 14.（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接．当的面积等于面积的倍时，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)，，，． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）分点在左侧和点在由此两种情况，利用正方形得判定及性质以及二次函数得图像及性质，进而求解． 【详解】（1）解：把代入中，得： ，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：过点作轴平行线交轴于，交于点，作于点，    把代入中，得：， ∴点坐标是， 设直线， 把，，代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为 设，则， ∴ 由得：， ∴ 整理得： 解得： ∵， ∴的值为或， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或； （3）解：存在． 由，，，得， ∴， ①当点在左侧时． 在轴上取点，，延长交抛物线于点． 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得， ∴设直线的解析式为， 由得：或， ∴； ②当点在右侧时， 作关于的对称，交二次函数于点，则，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 令中，，则， 解得或， ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴ ∴在点抛物线上，即点满足条件． 故存在满足条件的点有两个，分别是，，，．    【点睛】本题属于二次函数的综合应用，考查待定系数法求解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等，正方形的判定及性质，轴对称给的性质，掌握这些知识是解题关键 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$