专题03 空间向量与立体几何小题压轴专练七大类型-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题03 空间向量与立体几何小题压轴专练 目录 类型一、利用空间向量线性运算与基本定理求参数 1 类型二、向量共线、共面的判断与求参 4 类型三、利用数量积求空间向量的夹角 7 类型四、利用数量积求空间向量的模长 11 类型五、空间向量在立体几何中的综合运算 14 类型六、利用空间向量解决最值范围问题 19 类型七、利用空间向量解决动点存在问题 24 类型一、利用空间向量线性运算与基本定理求参数 例．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）如图，在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点.若，其中，，为实数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24高二上·广东东莞·期中）在四面体OABC中，E为OA中点，，若，，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式训练2】（23-24高二上·山东德州·月考）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25高二上·河南·月考）在四面体中，点为的重心， ，，分别为，，的中点，且，则实数 . 【变式训练4】（23-24高二上·福建福州·月考）在正四棱锥中，若，平面与棱交于点，若，则 ． 类型二、向量共线、共面的判断与求参 例．（24-25高二上·广东广州·月考）O为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则（   ） A．1 B． C． D． 【变式训练1】（24-25高二上·湖南·月考）已知空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24高二上·河北保定·期中）如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25高二上·安徽合肥·月考）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练4】（23-24高二上·河南·月考）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 类型三、利用数量积求空间向量的夹角 例．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25高二上·北京·月考）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25高二上·湖南·月考）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且，则（） A． B． C． D． 【变式训练3】（23-24高二上·广东江门·期末）已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】（23-24高二上·福建泉州·月考）如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，是的中点，在上，且，则向量与向量所成角的余弦值为 ． 类型四、利用数量积求空间向量的模长 例．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在平行六面体中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24高二上·山东·月考）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ） A． B． C． D．2 【变式训练2】（23-24高二上·吉林·月考）在三棱台中，，，的重心为，的中点为，与相交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25高二上·山东枣庄·月考）如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若，，，则线段CD的长为（    ）    A． B．10 C． D． 【变式训练4】（22-23高二上·海南·月考）如图，在三棱柱中，D是棱的中点，，，，则 . 类型五、空间向量在立体几何中的综合运算 例．（23-24高二上·江苏无锡·开学考试）（多选）如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的菱形，且，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24高二上·河北沧州·期末）（多选）在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【变式训练2】（23-24高二上·辽宁·期中）（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 【变式训练3】（23-24高二上·四川雅安·期中）（多选）在四面体中，以下说法正确的有（    ） A．若，则可知 B．若Q为△的重心，则 C．若四面体各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则 D．若，，则 【变式训练4】（23-24高二下·江苏扬州·月考）（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知，，则在上的投影向量为 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则，，，四点共面 D．若向量，（，，都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 类型六、利用空间向量解决最值范围问题 例．（24-25高二上·黑龙江大庆·月考）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25高二上·山东·月考）（多选）在长方体中，为长方体表面上一动点，则的值可能是（    ） A． B． C． D．2 【变式训练2】（23-24高三下·北京·开学考试）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（23-24高三上·河北衡水·月考）正三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】（23-24高二上·福建厦门·月考）（多选）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（x，y，），则（    ） A．若，则平面ACD B．若，则 C．当最小时， D．当最大时， 类型七、利用空间向量解决动点存在问题 例．（23-24高二上·福建泉州·期末）如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（    ）    A．当时，存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 【变式训练1】（23-24高二下·江苏扬州·月考）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点P是线段上的点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点E，使得平面 B．当点E为线段的中点时，点到平面的距离为2 C．点E到直线的距离的最小值为 D．当点E为棱的中点，存在点，使得平面与平面所成角为 【变式训练2】（23-24高二下·江苏南通·期中）（多选）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点．则（    ） A．平面平面 B．为的中点时， C．存在点，使得直线与的距离为 D．存在点，使得直线与平面所成的角为 【变式训练3】（23-24高二上·河南南阳·月考）（多选）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点、使得、、、四点共面 B．存在点，使 C．存在点，使得直线与平面所成角为 D．存在点，使得直线与直线所成角的余弦值 【变式训练4】（24-25高二上·浙江温岭·月考）（多选）如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是的中点，是棱上的动点，则（    ）    A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 空间向量与立体几何小题压轴专练 目录 类型一、利用空间向量线性运算与基本定理求参数 1 类型二、向量共线、共面的判断与求参 4 类型三、利用数量积求空间向量的夹角 7 类型四、利用数量积求空间向量的模长 11 类型五、空间向量在立体几何中的综合运算 14 类型六、利用空间向量解决最值范围问题 19 类型七、利用空间向量解决动点存在问题 24 类型一、利用空间向量线性运算与基本定理求参数 例．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）如图，在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点.若，其中，，为实数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ， 所以，故.故选：A. 【变式训练1】（23-24高二上·广东东莞·期中）在四面体OABC中，E为OA中点，，若，，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】 由题意，， 又，不共面，则， 所以.故选：B. 【变式训练2】（23-24高二上·山东德州·月考）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知， 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以，所以．故选：D 【变式训练3】（24-25高二上·河南·月考）在四面体中，点为的重心， ，，分别为，，的中点，且，则实数 . 【答案】3 【解析】如图，连接， 则， 故， 而，故． 故答案为：3． 【变式训练4】（23-24高二上·福建福州·月考）在正四棱锥中，若，平面与棱交于点，若，则 ． 【答案】/ 【解析】由已知可得，.由题知四点共面， 可设，则， 所以 ， 整理可得，. 又不共面，所以有，解得. 类型二、向量共线、共面的判断与求参 例．（24-25高二上·广东广州·月考）O为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，即， 因为A，B，C，P四点共面， 所以，即，故选：C 【变式训练1】（24-25高二上·湖南·月考）已知空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为四点共面，且任意三点不共线，得出，都不是0， 当时，，计算可得，的最大值为， 当且仅当时取最大值， 当时，， 所以的最大值为，故选：C. 【变式训练2】（23-24高二上·河北保定·期中）如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由平行六面体的特征可得 设，则， 可得， 又 由四点共面可得存在实数，使 所以， 所以，解得.故选：B. 【变式训练3】（24-25高二上·安徽合肥·月考）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】对于A，设，即，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，无解， 所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误.故选：B. 【变式训练4】（23-24高二上·河南·月考）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】因为向量，，是不共面的三个向量， 对于A，，则向量，，共面， 即向量，，不能构成空间的一个基底，因此A错误； 对于B，，则向量，，共面， 即向量，，不能构成空间的一个基底，因此B错误； 对于C，假定向量，，共面，则存在不全为的实数，， 使得，整理得， 而向量，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面， 即向量，，能构成空间的一个基底，因此C正确； 对于D，，则向量，，共面， 即向量，，不能构成空间的一个基底，因此D错误； 故选：C． 类型三、利用数量积求空间向量的夹角 例．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在平行六面体中, 四边形是平行四边形,侧面是正方形, 又是的交点，所以是的中点, 因为,,, 所以， 所以 ， 所以 又， 所以 ， 可得,， 所以异面直线与的夹角的余弦值为.故选：A. 【变式训练1】（24-25高二上·北京·月考）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设向量，且， 可得， 则，所以， ， 所以， 且， 所以.故选：B. 【变式训练2】（24-25高二上·湖南·月考）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图连接, 则 由题可知， ∴ ， ， ， ∴， 在中,, , 在中,故选：D. 【变式训练3】（23-24高二上·广东江门·期末）已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，易知，所以结合已知有， 易知， 设正方形边长为2，所以， ,故选：A. 【变式训练4】（23-24高二上·福建泉州·月考）如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，是的中点，在上，且，则向量与向量所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】由题意，是棱长为2的正四面体， 而， ， 所以 ， ， 又 ， 所以. 故答案为： 类型四、利用数量积求空间向量的模长 例．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在平行六面体中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】平行六面体中，， 因为，，，， 所以 ， 所以，即的长为.故选：A. 【变式训练1】（23-24高二上·山东·月考）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由题意得 ， 而， ， ， 则 .故选：A. 【变式训练2】（23-24高二上·吉林·月考）在三棱台中，，，的重心为，的中点为，与相交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，延长交于点， 的重心为， 为在边上的中线，即为的中点， 三棱台中，， ,, ， 三棱台中，面面， 且面分别交面，面于，， ， ，则， 得， 所以. 故选：D. 【变式训练3】（24-25高二上·山东枣庄·月考）如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若，，，则线段CD的长为（    ）    A． B．10 C． D． 【答案】D 【解析】由图可得， 所以， 因为，所以， ， 所以， 所以线段CD的长为，故选：D. 【变式训练4】（22-23高二上·海南·月考）如图，在三棱柱中，D是棱的中点，，，，则 . 【答案】 【解析】， 所以 ， 所以. 故答案为： 类型五、空间向量在立体几何中的综合运算 例．（23-24高二上·江苏无锡·开学考试）（多选）如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的菱形，且，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为底面ABCD，所以垂直于平面内的任何一条直线， 因为四边形ABCD是边长为1的菱形，且，所以和是等边三角形， A. ，故A错误； B. ，故B正确； C. ，故C错误； D. ，故D正确.故选：BD 【变式训练1】（23-24高二上·河北沧州·期末）（多选）在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】AB 【解析】 如图，取DC的中点M，连接AM，BM， ∵AM⊥CD，BM⊥CD，平面， ∴CD⊥平面，平面，∴CD⊥AB，故A正确； 取BD的中点H，连接HE，HF，则，， ∴HE⊥FH，即，又，∴，， ∴，故B正确； 由B知，在上的投影向量为，故C不正确； ，故D不正确，故选：AB． 【变式训练2】（23-24高二上·辽宁·期中）（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 【答案】AC 【解析】 ∵，故A正确. ∵.故B错误. 又∵，. ，； ， . . ∴.故C正确. ∵， ∴. 故D错误.故选：AC. 【变式训练3】（23-24高二上·四川雅安·期中）（多选）在四面体中，以下说法正确的有（    ） A．若，则可知 B．若Q为△的重心，则 C．若四面体各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则 D．若，，则 【答案】ABD 【解析】A：由，则在线段上， 又，若，则， 又，故，所以，即，正确； B：若为的中点，，又，而， 所以， 又，则， 整理得，正确； C：由题设知：，即，且，故，错误； D：若，，则， 又，所以， 整理得， 故，正确.故选：ABD 【变式训练4】（23-24高二下·江苏扬州·月考）（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知，，则在上的投影向量为 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则，，，四点共面 D．若向量，（，，都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BD 【解析】对于A：由于 则在的投影向量为,故A错误; 对于B:由于点G为的底面的重心，设点D为BC的中点，故 整理得故 故故B正确； 对于C：由于对于 故四点不共面，故C错误. 对于D: 在单位正交基底下的坐标为,即 所以在基底下满足 整理得解得故，解得， 则在基底下的坐标为故D正确.故选：BD 类型六、利用空间向量解决最值范围问题 例．（24-25高二上·黑龙江大庆·月考）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正方体的外接球的球心为，球的半径为， 则，可得，所以， 又， 当为正方体某个面的中心时，取最小值； 当与正方体的顶点重合时，取最大值. 则，所以. 所以，.    故选：C. 【变式训练1】（24-25高二上·山东·月考）（多选）在长方体中，为长方体表面上一动点，则的值可能是（    ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【解析】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则． 设，则， 所以． 设，连接，则， 因为为长方体的中心，所以． 因为， 所以，所以．故选：BC. 【变式训练2】（23-24高三下·北京·开学考试）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 以为坐标原点，以分别为轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设，， 则，则， 因为平面，所以， 即，解得， 所以，所以， 又，所以当时，即是的中点时，取得最小值， 当或，即与点或重合时，取得最大值， 所以线段长度的取值范围为.故选：C 【变式训练3】（23-24高三上·河北衡水·月考）正三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为正三棱柱中,O为BC的中点，取中点Q，连接OQ， 如图，以O为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为M是棱上一动点，设，且， 所以，则， 因为，且所以在直角三角形中可得： 即，于是令， 所以，， 又符合函数为增增符合，所以在上为增函数， 所以当时，，即线段MN长度的最小值为， 当时，，即线段MN长度的最大值为故选：B. 【变式训练4】（23-24高二上·福建厦门·月考）（多选）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（x，y，），则（    ） A．若，则平面ACD B．若，则 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】CD 【解析】由，平面平面，平面平面，平面，得平面， 又N在侧面上（包含边界），设，且， 于是 ， 而，则，且， 对于A，若，则，点即为点，显然平面，A错误； 对于B，若，则，即点在线段上（包括端点）， 由平面，知当且仅当点为点，，B错误； 过作，垂足为，得，， 由平面，平面，得，而，平面， 则平面，因此， 对于C，显然当点与点重合时，最小，此时， 则，C正确； 对于D，显然当点与点重合时，最大，即最大，此时， 于是，D正确.故选：CD 类型七、利用空间向量解决动点存在问题 例．（23-24高二上·福建泉州·期末）如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（    ）    A．当时，存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 【答案】A 【解析】以D为原点，分别为建立空间直角坐标系，如图： 设，则，则， 因为点分别是的中点， 所以， 对于选项B：设平面的一个法向量为， 因为， 可得，取，解得， 设， 因为，则，可得，即， 则， 若∥平面，则， 可得，且，解得， 即为的中点，故B正确； 对于选项A：由B可知：， 若平面，则， 则，当且仅当时成立，故A错误； 对于选项D：由B可知：，则， 因为，则， 设平面的法向量为， 则，取，得， 若平面平面，则，故D正确； 对于选项C：  当与D重合时， 因为分别是的中点， 则，且平面，平面， 可得平面， 同理可得：平面， 且，平面， 所以此时平面平面，故C正确； 故选：A. 【变式训练1】（23-24高二下·江苏扬州·月考）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点P是线段上的点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点E，使得平面 B．当点E为线段的中点时，点到平面的距离为2 C．点E到直线的距离的最小值为 D．当点E为棱的中点，存在点，使得平面与平面所成角为 【答案】ABD 【解析】对A选项，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建系如图： 则根据题意可得,0,,,0,,,0,,,2,,， 设,2,， 所以，，， 假设存在点，使得平面， 则，，解得， 所以存在点，使得平面，此时点与点重合，故A正确； 对于B，点E为线段的中点时，,,, 设平面的法向量为，则，取，则， ,故点到平面的距离为，故B正确， 对C选项,,2,，, 点到直线的距离为， 故当时，即点为中点时，此时点到直线的距离的最小值为，故C错误； 对D选项，点E为线段的中点时，,,, 设平面的法向量为， 则，取，则， 设,,, 设平面的法向量为， 则，取，则， 若存在点，使得平面与平面所成角为， 则， 化简得，解得或， 由于，所以，故D正确，故选：ABD． 【变式训练2】（23-24高二下·江苏南通·期中）（多选）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点．则（    ） A．平面平面 B．为的中点时， C．存在点，使得直线与的距离为 D．存在点，使得直线与平面所成的角为 【答案】AB 【解析】对于选项A，由题意知，，平面， 因为平面，所以， 又，、平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面，即选项A正确； 对于选项B，当为的中点时，取的中点，连接，， 则，，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为和都是等腰直角三角形，所以， 所以，所以，即选项B正确； 对于选项C，因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与的距离等价于直线到平面的距离， 也等价于点到平面的距离， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设点，其中，， 由射影定理知，，即， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以， 若直线与的距离为，则点到平面的距离为， 而点到平面的距离， 所以不存在点，使得直线与的距离为，即选项C错误； 对于选项D，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以， 若直线与平面所成的角为， 则， 由，知， 代入上式整理得，此方程无解， 所以不存在点，使得直线与平面所成的角为，即选项D错误． 故选：AB． 【变式训练3】（23-24高二上·河南南阳·月考）（多选）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点、使得、、、四点共面 B．存在点，使 C．存在点，使得直线与平面所成角为 D．存在点，使得直线与直线所成角的余弦值 【答案】ABD 【解析】将半正多面体补成一个棱长为的正方体，如图：    则半正多面体的所有顶点都是正方体的棱的中点， 以为原点，过的三条棱所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.    则、、、、， 对A ，当点与点重合时，，，则， 又因为、、、不共线，则，则、、、共面，A正确； 对B ，当点与点重合时，，则，即，B正确； 对C，设， 则， 设平面的一个法向量为，，， 则，令，得，，则， 设直线与平面所成角为， 则， 化简得，，此方程无解， 故不存在点，使得直线与平面所成角为，C错； 对D ，，由C可知，， 所以， 整理可得，因为，解得， 即当点为的中点时，直线与直线所成角的余弦值，D正确.故选：ABD. 【变式训练4】（24-25高二上·浙江温岭·月考）（多选）如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是的中点，是棱上的动点，则（    ）    A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 【答案】ABD 【解析】根据已知条件，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴 建立空间直角坐标系，设，则，，， ，，，； 由是棱上的动点，设，， 因为，，所以， 即，故A正确； 当为中点时，是的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面，故B正确； ，，若存在点， 使直线与所成的角为，则， 化简得，无解，故C错误； 由题意可知：点到平面的距离， 为平面的法向量，所以点到平面的距离为， 所以，故D正确.故选：ABD 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$