精品解析：山西省吕梁市孝义市2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

2024年秋季第一学期阶段性检测一 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，20分） 一、选择题（在每小题的四个选项中，只有一个最符合题意．本大题共有10小题，每小题2分．共20分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 在下列四个图形中，能用表示的高的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图所示，△ABC≌△DEF，DF 和 AC，FE 和 CB 是对应边．若∠A＝100°，∠F＝47°，则∠B 的度数是（ ） A. 33° B. 47° C. 53° D. 100° 4. 数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若一个三角形三个内角度数的比为1:2:3，那么这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 6. （2018•大庆模拟）如图，△ABC中，∠A=50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（ ） A. 40° B. 20° C. 25° D. 30° 7. 为了求n边形内角和，下面是老师与同学们从n边形的一个顶点引出的对角线把n边形划分为若干个三角形，然后得出n边形的内角和公式，这种推理体现的数学思想是（ ） A. 数形结合思想 B. 转化思想 C. 公理化思想 D. 分类讨论思想 8. 如图，五边形ABCDE中，ABCD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ） A. 90° B. 180° C. 210° D. 270° 9. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，把沿EF翻折，叠合后的图形如图，若，，则的度数是（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 35° 第Ⅱ卷（非选择题，80分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图是的三角形支架，其中蕴含的数学原理是________． 12. 已知一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的3倍多，则它是正________边形． 13. 如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC （不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是_____． 14. 如图，中，，，，，是边上的中线，，．则________． 15. 图1是一种彭罗斯地砖图案，它是由形如图2的两种“胖”“瘦”菱形拼接而成（不重叠、无缝隙），则图2中的为______度． 三、解答题（本大题共7小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 如图，已知中，是边上的高，平分，与相交于点F．，，求和的度数． 17. 如图，已知，请用尺规作，使．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 已知a、b、c为的三边长，b、c满足，且a为方程的解，求的周长，并判断的形状． 19. 综合与实践：八年级数学兴趣小组开展了测量体育馆高度的实践运动．测量方案如表： 课题 测量体育馆高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在体育馆外的地面选定一点C； ②测量的度数； ③测量的长度； ④放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面（B、C、D共线）； ⑤测量的度数． 测量数据 ，，，． 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算体育馆高度的值． 20. 如图，，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，且平分，求的度数． 21. 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务： （1）填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； （2）探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； （3）应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 22. 已知：在中，，，D是射线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交的延长线于点F． 特例探究： （1）如图1，当点D为中点时，探究线段与的数量关系；并证明． 类比探究： （2）①如图2，当点D在线段上（不与C、B重合），请探究线段、与之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并证明）． ②如图3，当点D在线段延长线上，请探究线段、与之间的数量关系（要求：画出图形，直接写出发现的结论，无需证明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季第一学期阶段性检测一 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，20分） 一、选择题（在每小题的四个选项中，只有一个最符合题意．本大题共有10小题，每小题2分．共20分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解答本题的关键． 根据三角形三条边的关系判断，能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．计算即可． 【详解】A．，不能组成三角形，故本选项不符合题意； B．，不能组成三角形，故本选项不符合题意； C．，不能组成三角形，故本选项不符合题意； D．，能组成三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 在下列四个图形中，能用表示的高的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】第二个和第三个图中能用表示的高， 第一个和第四个图中不能用表示的高， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 3. 如图所示，△ABC≌△DEF，DF 和 AC，FE 和 CB 是对应边．若∠A＝100°，∠F＝47°，则∠B 的度数是（ ） A. 33° B. 47° C. 53° D. 100° 【答案】A 【解析】 【分析】由全等三角形的对应角相等可得∠C＝∠F＝47°，再利用三角形内角和定理可求得∠B的度数． 【详解】∵△ABC≌△DEF，∴∠C＝∠F＝47°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣100°﹣47°＝33°． 故选A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．也考查了三角形内角和定理． 4. 数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 先根据直角三角板的特殊性表示出各角的度数，再根据是的外角进行求出，再根据余角的性质解答即可． 【详解】解：如图所示： 和是一副三角板叠放， ∴，，， 是的一个外角， ∴， ∴， ∵ ∴． 故选：D． 5. 若一个三角形三个内角度数的比为1:2:3，那么这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内角和度数和内角度数比求出内角判断即可； 【详解】∵三角形三个内角度数的比为1:2:3， 设三个内角的度数分别是，，（k是正整数）， ∴， ∴， ∴三角形的三个内角分别是：，，， ∴三角形是直角三角形． 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了三角形的性质，准确分析判断是解题的关键． 6. （2018•大庆模拟）如图，△ABC中，∠A=50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（ ） A. 40° B. 20° C. 25° D. 30° 【答案】C 【解析】 【详解】∵由三角形的外角的性质可知，∠E=∠ECD–∠EBD，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，∵∠ACD–∠ABC=∠A=50°，∴∠ACD–∠ABC=25°，∴∠E=∠ECD–∠EBD=25°，故选C． 7. 为了求n边形内角和，下面是老师与同学们从n边形的一个顶点引出的对角线把n边形划分为若干个三角形，然后得出n边形的内角和公式，这种推理体现的数学思想是（ ） A. 数形结合思想 B. 转化思想 C. 公理化思想 D. 分类讨论思想 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，转化思想，熟练掌握转化思想是解题的关键．根据把多边形的内角和转化为三角形的内角和，从而求解多边形的内角和，可得使用的数学思想． 【详解】解：探究多边形内角和公式时，从n边形的个顶点引出的对角线把n边形划分为若干个三角形，然后得出n边形的内角和公式，这一探究过程运用的数学思想是转化思想． 故选：B． 8. 如图，五边形ABCDE中，ABCD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ） A. 90° B. 180° C. 210° D. 270° 【答案】B 【解析】 【详解】如图，过点E作EFAB， ∵ABCD， ∴EFABCD， ∴∠1=∠4，∠3=∠5， ∴∠1+∠2+∠3=∠2+∠4+∠5=180°， 故选B. 9. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定．已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【详解】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是． 证明如下： 由题意得，， 在和△中， ， ∴， ∴， 故为的平分线． 故选：A． 10. 如图，把沿EF翻折，叠合后的图形如图，若，，则的度数是（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 35° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据折叠的性质得到∠BEF=，∠CFE=，再根据邻补角的定义得到180°-∠AEF=∠1+∠AEF，180°-∠AFE=∠2+∠AFE，则可计算出 ∠AEF=42.5°，再根据三角形内角和定理计算出∠AFE=77.5°，然后把∠AFE=77.5°代入180°-∠AFE=∠2+∠AFE即可得到∠2的度数． 【详解】解：如图，∵△ABC沿EF翻折， ∴∠BEF=，∠CFE=， ∴180°-∠AEF=∠1+∠AEF，180°-∠AFE=∠2+∠AFE， ∵∠1=95°， ∴∠AEF=（180°-95°）=42.5°， ∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°， ∴∠AFE=180°-60°-42.5°=77.5°， ∴， ∴∠2=25°． 故选C． 【点睛】本题考查了折叠的性质：翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．同时考查了三角形的内角和定理的应用． 第Ⅱ卷（非选择题，80分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图是的三角形支架，其中蕴含的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：如图是的三角形支架，其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 12. 已知一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的3倍多，则它是正________边形． 【答案】九 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和与外角和的综合问题，利用方程思想解答是解题的关键．设外角为，则内角为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设外角为，则内角为， 由题意，得， 解得， ∴， ∴这个正多边形的边数是9． 故答案为：九 13. 如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC （不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是_____． 【答案】AC=BC 【解析】 【分析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC． 【详解】解：添加AC=BC， ∵△ABC的两条高AD，BE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°， ∴∠EBC=∠DAC， 在△ADC和△BEC中 ， ∴△ADC≌△BEC（AAS）， 故答案为：AC=BC． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，解题的关键是注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 14. 如图，中，，，，，是边上的中线，，．则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中线的性质：中线将三角形平分成了面积相等的两个部分． 根据中线的性质得到，利用面积相等列出等式，即可得出答案． 【详解】解： ∵是边上的中线， ∴， ∵，，，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 图1是一种彭罗斯地砖图案，它是由形如图2的两种“胖”“瘦”菱形拼接而成（不重叠、无缝隙），则图2中的为______度． 【答案】36 【解析】 【分析】由题知，该图形是正十边形，利用内角和求出每一个内角的度数，再利用菱形的性质对边平行，得到与正十边形的一个内角互补，即可得出结论． 【详解】由题知，“胖”“瘦”菱形的每条边都相等，则该图形是正十边形， ∴正十边形的内角和为：， ∴正十边形的一个内角为：， 在“瘦”菱形中， ∵对边平行，∴与正十边形的一个内角互补， ∴， 故答案为：36． 【点睛】本题考查了菱形的性质和多边形内角和定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 如图，已知中，是边上的高，平分，与相交于点F．，，求和的度数． 【答案】的度数是，的度数是． 【解析】 【分析】由高的定义可得出，在中利用三角形内角和定理可求出的度数，由三角形外角的性质可求出的度数，结合平分可求出的度数． 【详解】解：∵是边上的高， ∴． 在中，． ∵是的外角， ∴， ∴． ∵平分， ∴ ∴的度数是，的度数是． 【点睛】本题考查了三角形高的定义，三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质；掌握基础概念是解本题的关键． 17. 如图，已知，请用尺规作，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，即为所求． 【解析】 【分析】先根据作一个角等于已知角的尺规作图作，再分别作线段使得，然后连接，由此即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了尺规作图—作三角形，熟练掌握尺规作图是解题关键． 18. 已知a、b、c为的三边长，b、c满足，且a为方程的解，求的周长，并判断的形状． 【答案】的周长为，是等腰三角形． 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，进而利用三角形三边关系得出的值，进而求出的周长进而判断出其形状． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， 解得，， ∵为方程的解， ∴， 解得：或， ∵a、b、c为的三边长， ∴，即, ∴不合题意，舍去， ∴， ∴的周长为：， ∵， ∴是等腰三角形． 19. 综合与实践：八年级数学兴趣小组开展了测量体育馆高度的实践运动．测量方案如表： 课题 测量体育馆高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在体育馆外的地面选定一点C； ②测量的度数； ③测量的长度； ④放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面（B、C、D共线）； ⑤测量的度数． 测量数据 ，，，． 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算体育馆高度的值． 【答案】体育馆高度为． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的判定和性质，由三角形内角和定理推出，进而根据两角夹边相等证明，由全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：由题图可知，，，， ， 在和中， ， ，而， ． 答：体育馆高度为． 20. 如图，，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，且平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵和相交于点， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定． （1）先证明，再根据全等三角形的判定即可判断； （2）证明，由（1）可知： ， ，根据平角的定义可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ， ∴． ∵， ∴， ∴． 21. 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务： （1）填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； （2）探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； （3）应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 【答案】（1）三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°）； （2） 证明：连接 CD 并延长至 F， ∵∠1 和∠2 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角， ∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B， ∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B， 即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB ； （3）70° 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形外角的性质可得∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，从而得到∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即可求证； （3）由（2）可得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，从而得到∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，再由AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，可得150°-∠C=2（110°-∠ C），即可求解． 【小问1详解】 解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C， ∵∠ADB=150°，∠AGB=110°， ∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°， ∴∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C， ∵AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线， ∴∠CAD =2∠CAE，∠CBD=2∠CBF， ∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF）， ∴150°-∠C=2（110°-∠ C）， 解得：∠C=70°． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 22. 已知：在中，，，D是射线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交的延长线于点F． 特例探究： （1）如图1，当点D为中点时，探究线段与的数量关系；并证明． 类比探究： （2）①如图2，当点D在线段上（不与C、B重合），请探究线段、与之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并证明）． ②如图3，当点D在线段延长线上，请探究线段、与之间的数量关系（要求：画出图形，直接写出发现的结论，无需证明）． 【答案】（1）（或） （2） ①； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． ②； 如图所示： 【解析】 【分析】（1）先证明得到，再利用中点的定义与等量代换即可求解； （2）①先证明得到，再利用线段之间的和差关系即可求解； ②可以同理利用全等三角形的判定与性质得出线段之间的数量关系，并根据图形观察直接写出即可． 【小问1详解】 解：（或），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴, ∴（或）． 【小问2详解】 ①略 ②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了用“”证明两个三角形全等以及全等三角形的性质、余角的定义、垂直的定义、平行线的性质等知识，解题关键是发现图中的全等三角形，本题难度中等，运用了转化的思想方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $