期中考前满分冲刺之中等易错题-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

期中考前满分冲刺之中等易错题思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数与一次函数图象 1．函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   3．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   4．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．    5．函数，（是常数，，在同一平面直角坐标系的图象可能是 ． ①②③ ④⑤⑥ 6．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ．    类型二、相似中的平行辅助线(选、填) 1．如图所示，已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的中线，点E是的中点，连接并延长，交于点F，若．则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的延长线上一动点，连接交于点，若，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，，，对角线，相交于点O，在的延长线上取点E，使，连接交于点F，则的长为 ． 5．如图，点D、E分别位于边、上，与交于点F．已知点F是的中点，，若，则的长为 ．    6．如图，在中，，点D在上，，作交于点E，连接，点F是的中点，则 ． 类型三、结论正确的是 1．如图，在中，，点为线段上一点（不与，重合），连接，，交于点，若．给出下面三个结论：；；．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是等腰三角形，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点．作直线分别交，于点E，K，连接．下列四个结论：①；②；③；④若，．正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③ 3．如图，在正方形中，点E，F分别是上的动点，且，垂足为G，将沿翻折，得到，交于点P，对角线交于点H，连接，下列结论正确的是（    ）． ①；②； ③若，则四边形是菱形；④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 4．如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，下面结论：①若是边上的中线，则；②若平分，则；③若，则；④的最小值为. 正确的是 . 5．如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论是 ．（填写序号） 6．如图，在矩形中，，的平分线交边于点E，于点H，连接并延长交边于点F，连接交于点O，给出下列命题：①；②；③；④， 其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号） 类型四、二次函数的最值 1．二次函数有（　　） A．最大值2 B．最大值1 C．最小值1 D．最小值2 2．函数的最大值和最小值分别为（   ） A．和 B．0和 C．和0 D．和 3．已知二次函数，（为常数）当时，函数值的最大值为2，则的值是 ． 4．二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 下列结论：①抛物线的开口向下；②当时，随的增大而增大；③二次函数的最小值是；④抛物线的对称轴是直线，其中正确结论的序号是 ． 5．已知二次函数． (1)画出函数的图象： x … … y … … (2)函数的最小值为__________； (3)当时，y最小值为__________； (4)当时，y最小值为__________，最大值为__________． 6．已知抛物线经过点，． (1)求抛物线对应的函数表达式及对称轴； (2)若，是抛物线上不同的两点，且，求t的值； (3)将抛物线沿x轴向左平移个单位长度，当时，函数最小值为0，求m的值． 类型五、二次函数的解决应用 1．以初速度竖直上抛的物体的高度和时间满足关系式（为重力加速度，），爆竹在地面点燃后以初速度米/秒上升，经过（   ）秒爆竹离地面米? A． B． C． D．或 2．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用抛物线刻画，斜坡可以用直线刻画．下列结论错误的是（   ） A．小球落地点与点O的水平距离为 B．当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为 C．小球与点O的水平距离超过时呈下降趋势 D．小球与斜坡的距离的最大值为 3．山西是一个多山的省份，大部分地区平均海拔在1000米以上，全省面积中以上是山地和丘陵在公路建设中，过去的普遍做法是盘山绕行或深填高挖，现在则多沿着山脚打隧道而过．如图，已知某隧道的截面是抛物线形，且该抛物线的解析式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点，处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是 米． 4．图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，建立如图所示的平面直角坐标系，拱桥所在抛物线的解析式是 ． 5．如图，某跳水运动员进行米跳台跳水，水面边缘点，运动员（可视为一点）在空中运动的路线为经过原点O的抛物线，运动员在空中最高处点． (1)求运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式； (2)求入水点B的坐标； (3)若运动员在距水面高度米前完成规定的动作，并调整好入水姿势为动作成功，否则为失误．若运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点的水平距离为米，该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由． 6．教练对嘉淇推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是．嘉淇第一次推铅球对应的抛物线如图所示，其中，当铅球运行到水平距离为时，铅球行进的高度为． (1)点的坐标为______；它表示的实际意义是______； (2)求铅球推出的距离的长； (3)嘉淇第二次推出的水平距离刚好与第一次相同，且，求推出铅球行进的最大高度； (4)嘉淇第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，若嘉淇想拿下冠军，他推出的水平距离要超过12米，直接写出此时的取值范围． 类型六、反比例函数表达式 1．已知一次函数()的图象与轴、轴分别交于点、，且与反比例函数()的图象在第一象限交于点，垂直于轴，垂足为，若． (1)直接写出点、两点的坐标； (2)求一此函数与反比例函数的解析式． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且点的坐标为． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)在反比例函数图象上有一点P，使得，求点P的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点P的坐标． 5．如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式和正比例函数的解析式； (2)在轴上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限两点，坐标轴交于两点，连结（是坐标原点）．    (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式和的值； (2)求的面积． (3)双曲线上存在一点，使得和的面积相等，请直接写出点的坐标． 类型七、二次函数的解析式 1．已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为，B点在y轴上．求m的值及这个二次函数的关系式． 2．已知抛物线． (1)若点在此抛物线上，求此抛物线的表达式； (2)求出此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）． 3．已知二次函数． (1)求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； (2)若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 4．已知抛物线的图象经过点，点． (1)求抛物线函数解析式； (2)求函数的顶点坐标． 5．如图，已知二次函数的图象经过、两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数的顶点为E，对称轴与x轴交于点C，求四边形的面积． 6．已知抛物线，其中是常数，该抛物线的对称轴为直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)把该抛物线沿轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与轴只有一个公共点？ 类型八、反比例中的不等式 1．如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)求三角形的面积； (3)根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 2．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点与轴交于点，与轴交于点，已知点坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式和一次函数的表达式； (2)观察图像直接写出时的取值范围是______； (3)若为轴上一动点，请直接写出当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标． 3．如图，已知一次函数（为常数）的图象与反比例函数（k为常数，）的图象相交于点． (1)求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B的坐标； (2)观察图象，写出使函数值的自变量x的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． (3)点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标； 5．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点P是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的3倍，直接写出点P的坐标． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．与轴相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集：______； (3)若点为轴上的一动点．连接，当的面积为时，求点的坐标． 类型九、二次函数的画图 1．已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 m 0 3 … (1)__________；将其配方成的形式为__________； (2)在下面平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象； (3)填空： ①当时，y随x的增大而减小，则n的取值范围是__________； ②将原抛物线沿着x轴翻折所得的函数表达式为________________________________． 2．已知二次函数的图象经过点，． (1)求，的值； (2)在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)如果此抛物线上下平移后过点，试确定平移的方向和平移的距离． 3．已知二次函数．    (1)画出该二次函数的图象； (2)点______该函数的图象上（填“在”或“不在”）； (3)当时，求x的取值范围：______； (4)当时，求y的取值范围：______． 4．已知：二次函数． (1)请用配方法将其化为的形式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)取______时，； (4)取_____时，； (5)当时，的取值范围是______． 5．请补全以下求不等式的解集的过程 ①构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数；并在坐标系中画出二次函数的图象（只画出图象即可） ②求得界点，标示所需；当时，求得方程的解为___；并用锯齿线标示出函数图象中的部分． ③借助图象，写出解集；由所标示图象，可得不等式的解集为___． 6．已知二次函数和一次函数． (1)在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (2)若这两个函数的图象的交点为，（点在点左侧）． 结合图象，直接写出点和点的坐标； 求的面积． 类型十、位似作图 1．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到，请画出； (2)以O为位似中心，画出的位似图形图形，使放大后的位似比为； (3)点P是x轴上一动点，则的最小值是______． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画出的位似三角形，使它与的相似比为； (2)与其位似三角形的面积比为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)判断和是否是位似图形(直接写结果)，若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 4．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知中． (1)画出关于x轴对称的； (2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且与相似比为2，并写出的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，． (1)画出绕O点逆时针旋转的； (2)以为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为． 6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为．    (1)将向左平移5个单位长度，得到，画出； (2)以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出； (3)若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之中等易错题思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数与一次函数图象 1．函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，即可得出答案，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线与y轴交于点， A、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，符合题意； B、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； C、由可得，则，故抛物线开口向下，即对称轴，不符合题意； D、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； 故选：A． 2．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与一次函数的图象．根据二次函数的图象与一次函数的图象与系数的关系并逐项进行讨论即可判断． 【详解】解：A、由直线的图象经过第一、二、三象限可知：，∴，， 二次函数的图象开口向下，与轴的交点在原点上方，∴，，∴，，故本选项符合题意； B、由直线的图象经过第一、二、四象限可知：，∴，， 二次函数的图象开口向上，与轴的交点在原点下方，∴，，∴，，故本选项不符合题意； C、由直线的图象经过第一、二、四象限可知：，∴，， 二次函数的图象开口向下，与轴的交点在原点上方，∴，，∴，，故本选项不符合题意； D、由直线的图象经过第一、二、三象限可知：，∴，，二次函数的图象开口向上，与轴的交点在原点下方，∴，，∴，，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据二次函数和一次函数的图象与性质逐项排除即可，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、∵一次函数的图象过一、二、三象限， ∴，， ∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴右侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 、∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴左侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 、∵一次函数的图象过一、三、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴左侧， ∴，， ∴此选项符合题意； 、∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴右侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 故选：． 4．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．    【答案】， 【分析】本题考查抛物线与x轴交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标． 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标， 即，． 故答案为：，． 5．函数，（是常数，，在同一平面直角坐标系的图象可能是 ． ①②③ ④⑤⑥ 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查二次函数图像与系数之间的关系，一次函数图象与系数之间的关系，能够熟练数形结合思想是解决本题的关键． 【详解】解：由函数解析式可知一次函数图象必过，二次函数图象必过，所有图象均满足此要求，故不再单独判断， ①中由一次函数图象可得系数，且交纵轴于正半轴点，二次函数图象开口向上，故，a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且函数图象与坐标轴只有一个交点，故①正确； ②中由一次函数图象可得系数，且交纵轴于负半轴，二次函数图象开口向下，故，a的取值范围相同，但二次函数图象不满足二次函数对称轴同左异右的特点，故②错误； ③中由一次函数图象可得系数，且交纵轴于正半轴，但交点纵坐标小于1，二次函数图象开口向上，故，a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且函数图象与坐标轴有两个交点，故③正确； ④中由一次函数图象可得系数，且交纵轴于负半轴，二次函数图象开口向下，故，a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且函数与坐标轴有两个交点，故④正确； ⑤中由一次函数图象可得系数，图象交纵轴于正半轴，且交点纵坐标大于1，二次函数图象开口向上，故，a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且函数与坐标轴没有交点，故⑤正确； ⑥中由一次函数图象可得系数，图象交纵轴于正半轴，且交点纵坐标小于1，二次函数图象开口向上，故，a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，但，但⑥中函数图象与坐标轴没有交点，故⑥错误； 故答案为：①③④⑤． 6．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ．    【答案】 【分析】首先确定两个图象的交点横坐标，再判断图象的位置，当直线在抛物线下方时，一次函数值小于二次函数值，即可求出不等式的解集． 【详解】解：观察图象可知当和时，， 在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即， ∴不等式的解集是， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了抛物线与一次函数图象的交点求不等式的解集，确定图象之间的位置关系可得出函数值的大小． 类型二、相似中的平行辅助线(选、填) 1．如图所示，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．过C作，交于，根据相似三角形的判定推出，，根据相似得出比例式，根据已知条件即可得出答案． 【详解】解：过C作，交于， ∵， ∴， ， ∵，即， ，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故选：D． 2．如图，是的中线，点E是的中点，连接并延长，交于点F，若．则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中线，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点A作平行线交延长线于点G，可得，通过比例式即可求出，即可解决问题． 【详解】解：过点A作平行线交延长线于点G， ∵， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的延长线上一动点，连接交于点，若，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、三角形中位线的判定与性质、相似三角形的判定与性质．取的中点，连接，根据平行四边形的性质得到，，，进而得到是的中位线，则，，，易证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：取的中点，连接，如图，   四边形为平行四边形， ，，， 是的中位线， ，，， ， ， ， ，即， ． 故选：A． 4．如图，在平行四边形中，，，对角线，相交于点O，在的延长线上取点E，使，连接交于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，过点O作，交于点G，证明，得出，求出，，证明，得出，求出． 【详解】解：过点O作，交于点G，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图，点D、E分别位于边、上，与交于点F．已知点F是的中点，，若，则的长为 ．    【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作辅助线是解题关键．延长至点，使得，连接，证明，得到，进而推出，得到，再由已知条件得出，，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， 点F是的中点， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：5    6．如图，在中，，点D在上，，作交于点E，连接，点F是的中点，则 ． 【答案】 【分析】作交于G，根据平行线的性质和等边对等角得到，得到，，然后证明出，得到，然后求出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作交于G， ，， ， ， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ，点F是的中点， ∴ ∴ ∴ ∴， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等边对等角性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 类型三、结论正确的是 1．如图，在中，，点为线段上一点（不与，重合），连接，，交于点，若．给出下面三个结论：；；．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，根据平行线的性质及全等三角形的性质求出，根据三角形三边关系求出，结合全等三角形的性质求出是等腰直角三角形，进而求出，再根据相似三角形的判定与性质求出，据此判断即可，熟记相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确，符合题意； ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 如图，设交于点， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即， 综上，，故正确，符合题意； ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确，符合题意； 综上可知：正确， 故选：． 2．如图，是等腰三角形，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点．作直线分别交，于点E，K，连接．下列四个结论：①；②；③；④若，．正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查角平分线和垂直平分线的作图，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据作图可得是的平分线，垂直平分，进而得到，即可判断①；然后求出，进而得到判断②；然后证明，，即可判断③，然后根据得到，即可判断④． 【详解】解：由作图可得：是的平分线，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故③正确； 设，则， ∵， ∴，即， 解得：或（舍去），故④错误； 综上所述正确的有①②③， 故选B． 3．如图，在正方形中，点E，F分别是上的动点，且，垂足为G，将沿翻折，得到，交于点P，对角线交于点H，连接，下列结论正确的是（    ）． ①；②； ③若，则四边形是菱形；④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键． 根据正方形的性质可得，从而证明，即可判断①；由折叠的性质可得，再由平行线的判定即可判断②；由可得在同一直线上，从而可得，再根据折叠的性质可得，，再根据菱形的判定即可判断③；证明，可得，从而证明，可得，再证明，可得，进而可得，即可判断④． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，故①正确， ∵将沿翻折，得到， ， ∵， ，故②正确， 当时，， ， ，即在同一直线上， ， ， 通过翻折的性质可得，， ∴，， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形，故③正确， 由折叠的性质可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ，故④正确； 综上分析可知，正确的是①②③④． 故选：D． 4．如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，下面结论：①若是边上的中线，则；②若平分，则；③若，则；④的最小值为. 正确的是 . 【答案】①②③ 【分析】根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，据此判断①符合题意；过点作交于点，根据题意推出是的中位线，则，根据直角三角形的性质及平行线的性质推出，，，根据相似三角形的性质即可判断②符合题意；当时，设，则，，过点作交的延长线于点，结合题意及直角三角形的性质利用推出，根据全等三角形的性质得到，根据，判断，进而推出，根据相似三角形的性质即可判断③符合题意；根据当最短时，点为的中点，求解即可判断④不符合题意 【详解】解：是边上的中线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故①正确，符合题意； 如图，过点作交的延长线于点， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； 当时，设，则， ， 过点作交的延长线于点， ， ， 垂直， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ， 故③正确，符合题意； ， 点在以为直径的圆上， 当最短时，点为的中点， ， ， 的最小值为， 故④错误，不符合题意； 故答案为：①②③ 【点睛】此题是三角形综合题，考查了勾股定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 5．如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论是 ．（填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，设正方形的边长为，则，据此得到，再由，可证明，得到，，进而证明，则可证明得到，，由勾股定理得到，则，可得，，可得，据此可得答案． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵点是的中点，， ∴， ∴， 由正方形的性质可得， ∴，故①正确； ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，故②③正确； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④． 6．如图，在矩形中，，的平分线交边于点E，于点H，连接并延长交边于点F，连接交于点O，给出下列命题：①；②；③；④， 其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号） 【答案】①③④ 【分析】根据矩形的性质得到，由平分，得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，得到等腰三角形求出，得到①正确；设，则，求出，得到，故②错误；通过角的度数求出和是等腰三角形，从而得到④正确；由即可证得，故③正确． 【详解】解：在矩形中，， ∵平分， ∴， 是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴． ∴，故①正确； ∴， ∴， 设， 则， ， ，故②错误； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； ， ∴，故③正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点． 类型四、二次函数的最值 1．二次函数有（　　） A．最大值2 B．最大值1 C．最小值1 D．最小值2 【答案】C 【分析】本题考查利用二次函数顶点式求最值，先确定抛物线的开口方向，把抛物线配方变顶点式，确定顶点的最值位置即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线有最小值1， 故选：C． 2．函数的最大值和最小值分别为（   ） A．和 B．0和 C．和0 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键． 由题意知，，则对称轴为直线，由，可知当时，；当时，；当时，；由，可得，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，； 当时，；当时，； ∵， ∴， ∴函数的最大值和最小值分别为和， 故选：A． 3．已知二次函数，（为常数）当时，函数值的最大值为2，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键． 将二次函数配方成顶点式，分、和三种情况，根据的最大值为2，结合二次函数的性质求解可得． 【详解】解：， ①若，当时，， 解得：； （舍去）； ②若，当时，， 解得：； ③若，当时，， 解得：或（舍， 的值为或， 故答案为：或． 4．二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 下列结论：①抛物线的开口向下；②当时，随的增大而增大；③二次函数的最小值是；④抛物线的对称轴是直线，其中正确结论的序号是 ． 【答案】④ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根据表格，把，，代入二次函数中可求出二次函数解析式，根据二次函数图象的性质可得对称轴，最小值，增减性，由此即可求解． 【详解】解：把，，代入二次函数中得， ， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴抛物线的开口向上，故①错误，不符合题意； 二次函数对称轴为，故④正确； ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故②错误； ∵， ∴当时，有最小值，故③错误； 故答案为：④ ． 5．已知二次函数． (1)画出函数的图象： x … … y … … (2)函数的最小值为__________； (3)当时，y最小值为__________； (4)当时，y最小值为__________，最大值为__________． 【答案】(1)图表见解析 (2) (3)0 (4)，8 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，画函数图象，求二次函数最值； （1）根据列表，秒点，连线的步骤作图即可； （2）开口向上，在顶点处有最小值； （3）根据函数图象可得当时，随的增大而增大，即当时，y取得最小值为0； （4）观察函数图象可以发现在顶点处取得最小值，当时，取得最大值． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 3 … 函数图象如图所示： （2）解：根据函数图象可得，在顶点处函数有最小值为， 故答案为：； （3）解：∵当时，随的增大而增大， ∴当时，y取得最小值，此时， 故答案为：0； （4）解：当时，在处取得最小值， 观察图象可知，时，y取得最大值，此时， 故答案为：，8． 6．已知抛物线经过点，． (1)求抛物线对应的函数表达式及对称轴； (2)若，是抛物线上不同的两点，且，求t的值； (3)将抛物线沿x轴向左平移个单位长度，当时，函数最小值为0，求m的值． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3)5 【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可； （2）根据和，是抛物线上不同的两点，得到，结合，解答即可． （3）确定平移后的解析式为，分；；三种情况，根据函数的增减性，最值解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴对称轴为直线． （2）解：由（1）得函数解析式为， 把代入得， ， ∵， ∴ ∵，是抛物线上不同的两点， ∴，关于对称轴直线的对称， ∴， ∴． （3）解：由（1）得函数解析式为， ∵此抛物线沿x轴向左平移个单位长度， 平移后的解析式为， ∴对称轴为， ∵抛物线开口向上， ∴距离对称轴越近的点的函数值越小，且当时，函数取得最小值，且最小值为， 当时即时，当时，函数取得最小值，且最小值为，又函数最小值为0， ∴， 解得， ∵， 故都不符合题意，都舍去； 当时即时，当时，函数取得最小值，且最小值为，又函数最小值为0， ∴不符合题意，舍去， 当时即时，当时，函数取得最小值，且最小值为，又函数最小值为0， ∴， 解得， ∵， ∴， 综上所述，m的值为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的平移，二次函数的增减性应用，二次函数的最值应用，熟练掌握二次函数的增减性应用，二次函数的最值应用是解题的关键． 类型五、二次函数的解决应用 1．以初速度竖直上抛的物体的高度和时间满足关系式（为重力加速度，），爆竹在地面点燃后以初速度米/秒上升，经过（   ）秒爆竹离地面米? A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把已知数据代入关系式，解方程即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：把已知数据代入得，， 整理得，， 解得，， 故选：． 2．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用抛物线刻画，斜坡可以用直线刻画．下列结论错误的是（   ） A．小球落地点与点O的水平距离为 B．当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为 C．小球与点O的水平距离超过时呈下降趋势 D．小球与斜坡的距离的最大值为 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，令，解得，，即可判断A；把代入得，求解即可判断B；将抛物线解析式化为顶点式即可判断C；设抛物线上一点的坐标为，作轴交直线于，则，表示出，结合二次函数的性质即可判断D，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：令，解得，， ∴小球落地点与点O的水平距离为，故A正确，不符合题意； 把代入得， 解得：，， ∴当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为或，故B错误，符合题意； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴小球与点O的水平距离超过时呈下降趋势，故C正确，不符合题意； 设抛物线上一点的坐标为， 作轴交直线于，则， ， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴小球与斜坡的距离的最大值为，故D正确，不符合题意； 故选：B． 3．山西是一个多山的省份，大部分地区平均海拔在1000米以上，全省面积中以上是山地和丘陵在公路建设中，过去的普遍做法是盘山绕行或深填高挖，现在则多沿着山脚打隧道而过．如图，已知某隧道的截面是抛物线形，且该抛物线的解析式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点，处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是 米． 【答案】 【分析】令得到，求得方程的两个根，计算两根之间的距离即可． 本题考查了根据函数值求自变量的值，两根之间的距离计算，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 【详解】解：令， 得， 解得， 故， 故答案为：． 4．图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，建立如图所示的平面直角坐标系，拱桥所在抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，考查了待定系数法和通过数形结合求出图象上点坐标，由已知得到点、坐标，由待定系数法求函数解析式． 【详解】解：由题意设抛物线解析式为：， 当拱顶离水面时，水面宽， 点，点在抛物线， 代入得：， 解得， 拱桥所在抛物线的解析式为， 故答案为：． 5．如图，某跳水运动员进行米跳台跳水，水面边缘点，运动员（可视为一点）在空中运动的路线为经过原点O的抛物线，运动员在空中最高处点． (1)求运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式； (2)求入水点B的坐标； (3)若运动员在距水面高度米前完成规定的动作，并调整好入水姿势为动作成功，否则为失误．若运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点的水平距离为米，该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) (3)运动员此次跳水失误 【分析】本题主要考查二次函数应用，读懂题意、熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）令，解方程求出x值，即可得到点B的坐标； （3）依据题意，当距点水平距离为时，对应的横坐标为，将代入解析式求出后即可判断得解． 【详解】（1）由题意, ∵抛物线的顶点, ∴可设抛物线的解析式为, 把代入解析式得, , ∴抛物线的解析式为； （2）令，则， 解得：，（舍）， ∴入水点B的坐标； （3）解：由题意，当距点水平距离为时，对应的横坐标为， 将代入解析式， ， ， ∴该运动员此次跳水失误了． 6．教练对嘉淇推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是．嘉淇第一次推铅球对应的抛物线如图所示，其中，当铅球运行到水平距离为时，铅球行进的高度为． (1)点的坐标为______；它表示的实际意义是______； (2)求铅球推出的距离的长； (3)嘉淇第二次推出的水平距离刚好与第一次相同，且，求推出铅球行进的最大高度； (4)嘉淇第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，若嘉淇想拿下冠军，他推出的水平距离要超过12米，直接写出此时的取值范围． 【答案】(1)，它表示的实际意义是铅球初始抛出时的高度 (2) (3)推出铅球行进的最大高度为 (4) 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得函数的解析式是解答的关键． （1）令求得，根据题意可得实际意义； （2）先求得第一次推出的抛物线的函数解析式，令求得x值，即可求解； （3）先求得第二次推出的抛物线的函数解析式为，由题意该抛物线经过点A，进而求得b值，然后化为顶点式即可求解； （4）根据题意，第三次推出的抛物线函数解析式中，求出当，时的b值，结合第二次推出的抛物线函数解析式中的b值可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴，它表示的实际意义是铅球初始抛出时的高度， 故答案为：，它表示的实际意义是铅球初始抛出时的高度； （2）解：∵第一次推铅球对应的抛物线中，， ∴， ∵铅球运行到水平距离为时，铅球行进的高度为， ∴抛物线经过点， ∴，解得， ∴， 令，由得，（不符题意，舍去）， ∴； （3）解：∵， ∴第二次推出的抛物线的函数解析式为， 又第二次推出的水平距离刚好与第一次相同， ∴抛物线经过点， ∴，解得， ∴， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为1.8， ∴第二次推出铅球行进的最大高度为； （4）解：∵第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同， ∴， 当他推出的水平距离为12米时，由得， ∵他推出的水平距离要超过12米，又当时，第二次推出的水平距离为， ∴． 类型六、反比例函数表达式 1．已知一次函数()的图象与轴、轴分别交于点、，且与反比例函数()的图象在第一象限交于点，垂直于轴，垂足为，若． (1)直接写出点、两点的坐标； (2)求一此函数与反比例函数的解析式． 【答案】(1)点、的坐标分别为，； (2)一次函数的解析式为．反比例函数的解析式为． 【分析】 本题主要考查用待定系数法求函数解析式． （1）根据和各坐标轴上的点的特点易得到所求点的坐标； （2）将、两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式，由点在一次函数的图象上可确定点坐标，将点坐标代入可确定反比例函数的解析式． 【详解】（1） 解：， 点、的坐标分别为，； （2） 解：点、在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数的解析式为． 点在一次函数的图象上，且轴， 点的坐标为， 又点在反比例函数的图象上， ； 反比例函数的解析式为． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且点的坐标为． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键． （1）由一次函数求得的值，然后利用待定系数法即可求得． （2）联立方程，解方程组即可求得的坐标；令的图象交轴和轴于点，求出的坐标为，根据可得答案． 【详解】（1）解：的图象经过， ， 解得， ， 反比例函数的图象经过， 反比例函数的解析式为； （2）解：由，解得或， ， 令的图象交轴和轴于点， 则，解得：， 的坐标为， ，即的面积为3． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)在反比例函数图象上有一点P，使得，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为 (2)点或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解题关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P点坐标为利用三角形面积公式计算出m值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数图象交于点，， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵一次函数图象过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：在一次函数中，当时，；当时，， ∴ ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点或． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题； （1）依据题意，由，在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合，与关于轴对称，故为，，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 又∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 设一次函数的表达式为，将，代入， 得， 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）解：如解图， 作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长， ∵与关于y轴对称， ∴， 又∵， ∴直线的表达式为． 令，得， ∴当的值最小时，点P的坐标为． 5．如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式和正比例函数的解析式； (2)在轴上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为； (2)或或或． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）利用对称性求出点的坐标，设，分点为顶点和点为顶点两种情况，利用两点间距离公式列出方程解答即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，反比例函数的图象和几何应用，等腰三角形的性质，两点间距离公式，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：∵点关于原点对称， ∴， 设， ∵是以为腰的等腰三角形， 当点为顶点时，， ∴， ，， ∴点的坐标为或； 当点为顶点时，， ∴， ，， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限两点，坐标轴交于两点，连结（是坐标原点）．    (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式和的值； (2)求的面积． (3)双曲线上存在一点，使得和的面积相等，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，； (2)； (3)存在点或，使得． 【分析】（）利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，进而把代入计算即可求出的值； （）利用待定系数法可求出一次函数的解析式，进而求出点坐标，可得的长，再根据计算即可求解； （）由，可得，当点在的平分线上时，，可证，得到，延长交抛物线于点，可得，又由可得平分，可得点在直线上，最后联立函数解析式解方程组即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，； （2）解：∵， ∴， 把、代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：双曲线上存在点或，使得，理由如下： ∵点坐标为，点坐标为， ∴， 当点在的平分线上时，， ∵， ∴， ∴， 延长交直线于点， ∵，平分， ∴， 把代入得，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴点在直线上， 由，解得或， ∴点的坐标为或， 即双曲线上存在点或，使得．    【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 类型七、二次函数的解析式 1．已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为，B点在y轴上．求m的值及这个二次函数的关系式． 【答案】， 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，先把点坐标代入可求出，由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式，然后把点坐标代入求出即可． 【详解】解：把代入得， 解得； ∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以二次函数解析式为． 2．已知抛物线． (1)若点在此抛物线上，求此抛物线的表达式； (2)求出此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． (1)依据题意，由点在抛物线上，代入求出m即可得解； (2)依据题意，由抛物线为，进而可以得解． 【详解】（1）解∶由题意，点在抛物线上， ， ， 抛物线的解析式为． （2）解∶依据题意，抛物线为， 该抛物线的顶点为． 3．已知二次函数． (1)求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； (2)若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式等知识，正确理解抛物线与x轴的交点和判别式的关系是关键． （1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）首先根据题意得到对称轴为直线，求出，然后得到，然后将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）解：∵该函数图象的对称轴是直线， ∴对称轴为直线 ∴ ∴ ∴当时， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为． 4．已知抛物线的图象经过点，点． (1)求抛物线函数解析式； (2)求函数的顶点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）把（）所得函数解析式配成顶点式即可求解； 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的顶点式，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线函数解析式为； （2）解：∵， ∴函数的顶点坐标为． 5．如图，已知二次函数的图象经过、两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数的顶点为E，对称轴与x轴交于点C，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、坐标与图形，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求得顶点E、C的坐标，然后利用坐标与图形，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过、两点， ∴，解得， ∴这个二次函数的解析式为； （2）解：由得顶点坐标，则， 又、， ∴四边形的面积为． 6．已知抛物线，其中是常数，该抛物线的对称轴为直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)把该抛物线沿轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与轴只有一个公共点？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，二次函数图象与坐标轴的交点问题： （1）抛物线的对称轴为直线，由此求出m的值，代入解析式即可； （2）先列出抛物线平移后的解析式，抛物线的图象与轴只有一个公共点时，对应的一元二次方程，由此可解． 【详解】（1）解： 该抛物线的对称轴为直线， ， 解得． 该抛物线的解析式为：， 即． （2）解：设该抛物线沿轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与轴只有一个公共点，则平移后抛物线的解析式为：， 它与轴只有一个公共点， ， 解得， 将抛物线沿轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与轴只有一个公共点． 类型八、反比例中的不等式 1．如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)求三角形的面积； (3)根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)6 (3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系是解题的关键． （1）点代入可求出反比例函数的解析式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，可求出一次函数的解析式，即可； （2）设直线与x轴交于点C，求出点C的坐标，再根据，即可求解； （3）直接观察函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴点， 把点，代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，设直线与x轴交于点C， 对于，当时，， 解得：， ∴点， ∴， ∵点，， ∴； （3）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为或． 2．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点与轴交于点，与轴交于点，已知点坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式和一次函数的表达式； (2)观察图像直接写出时的取值范围是______； (3)若为轴上一动点，请直接写出当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式：；一次函数的表达式： (2)或 (3)或或 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式和反比例函数式，图像法求不等式取值范围，等腰三角形性质即勾股定理． （1）根据题意将坐标代入中即可求出反比例函数式，继而求出的值，再将坐标代入中即可求出一次函数解析式； （2）根据图像交点即可得到本题答案； （3）分三种情况找到点，一个点在轴负半轴时，另两个点在轴正半轴时，再利用勾股定理及等腰三角形性质即可求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意将点坐标代入中得：， ∴反比例函数的表达式：， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， ∴将点，点代入中得： ，解得：， ∴一次函数的表达式：； （2）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点， ∵点，点， 通过图象可知： ， 当或时，； （3）解：∵点， ∴， ∵为轴上一动点， ∴过点作轴，是以为腰的等腰三角形， ， ∴当在轴正半轴时，， ∴，即， ∴当在轴负半轴时，， ∴， ∴当在轴正半轴时，， ∴， 综上所述：点的坐标为或或． 3．如图，已知一次函数（为常数）的图象与反比例函数（k为常数，）的图象相交于点． (1)求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B的坐标； (2)观察图象，写出使函数值的自变量x的取值范围． 【答案】(1)， ， (2)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题；用待定系数法得到函数解析式是解决本题的基本思路；利用数形结合的思想解决问题是常用的解题方法． （1）利用待定系数法把代入一次函数与反比例函数中，可解出、的值，进而可得解析式，求点坐标，就是把两函数解析式联立，求出、的值； （2）看在交点的哪侧，对于相同的自变量，一次函数大于或等于反比例函数的函数值，即可作答．． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为， 一次函数为常数）的图象经过点， ， ， 一次函数解析式为， ∵， 由， 解得：，， 经检验，，是的根， 当时，， 时，， 两个函数的交点坐标是：， ∵ ； （2）解：由图象可以看出，当或时，则． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． (3)点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标； 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及一次函数和反比例函数的图象和性质． （1）先求出点B的坐标，再用待定系数法，即可得出反比例函数解析式； （2）联立反比例函数解析式和一次函数解析式，求出点A的坐标，根据图象，写出当一次函数图象低于反比例函数图象时，自变量的取值范围即可； （3）先求出，则，得出点P的纵坐标，即可解答． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立反比例函数解析式和一次函数解析式得： ， 解得：，， ∴， 由图可知，当或时，； （3）解：把代入， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则或， 当时，， 当时，， 综上：或． 5．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点P是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的3倍，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)；4 (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）分别把点A、B代入反比例函数解析式求出m、n的值，然后根据待定系数法可进行求解； （2）根据图象可直接进行求解； （3）由题意易得，然后可分当点P在x轴上和在y轴上，进而分类求解即可 【详解】（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于 两点． 将A与坐标代入反比例解析式得：， ， 代入一次函数解析式得：， 解得：， 一次函数的解析式为， 直线与轴、轴的交点坐标为， ； （2）解：， 观察图象可知，不等式的解集是或． （3）解：， ， 设，即， ， 解得：或， 则、， 同理可得、， ∴点P的坐标为或或或． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．与轴相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集：______； (3)若点为轴上的一动点．连接，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集． （1）利用一次函数求出，问题随之得解； （2）反比例函数值大于等于一次函数值时自变量的取值范围即是不等式的解集，数形结合作答即可； （3）设，先求出，表示出，根据的面积为，表示出，解方程即可求解． 【详解】（1）解：函数的图象经过， ，解得：， ， ， 反比例函数表达式为：； （2）解：函数的图象经过， ， ， 由图可得，不等式的解集是：或； （3）解：设， 如图： 在中， 当时，得， 解得：， ， ， ，， ， 解得：或， 点P的坐标为或． 类型九、二次函数的画图 1．已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 m 0 3 … (1)__________；将其配方成的形式为__________； (2)在下面平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象； (3)填空： ①当时，y随x的增大而减小，则n的取值范围是__________； ②将原抛物线沿着x轴翻折所得的函数表达式为________________________________． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，坐标与图形变化—轴对称等等， （1）求出当时的函数值即可求出m的值，再利用配方法把解析式化为顶点式即可； （2）利用描点法画出对应的函数图象即可； （3）①确定开口方向和对称轴，进而确定增减性即可得到答案； ②设为翻折后的函数图象上的一点，那么点为图象上的一点，把代入中求出m、n的函数关系式即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴； ， 故答案为：；； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：①∵函数解析式为，， ∴函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：； ②设为翻折后的函数图象上的一点，那么点为图象上的一点， ∴， ∴， ∴翻折后的函数解析式为， 故答案为：． 2．已知二次函数的图象经过点，． (1)求，的值； (2)在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)如果此抛物线上下平移后过点，试确定平移的方向和平移的距离． 【答案】(1)，； (2)画函数图象见解析； (3)抛物线向下平移了个单位长度． 【分析】（）把点，代入二次函数即可求解； （）根据画函数图象的步骤即可求解； （）设沿轴平移后的抛物线的解析式为，把点 代入求出的值，根据的正负即可确定平移的方向； 本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的平移，画函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴，解得：； （2）解：由（）得； ∴二次函数解析式为， 列表： 描点： 连线： 如图： （3）设沿轴平移后的抛物线的解析式为：， 将点代入，得：， 解得，   ∴抛物线向下平移了个单位长度． 3．已知二次函数．    (1)画出该二次函数的图象； (2)点______该函数的图象上（填“在”或“不在”）； (3)当时，求x的取值范围：______； (4)当时，求y的取值范围：______． 【答案】(1)图象见解析 (2)不在 (3)或 (4) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，正确画出图象，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用列表、描点、连线画函数图象即可； （2）将代入，求得，进而可得结论； （3）根据图象即可得到答案； （4）根据图象即可得到答案． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 3 … 描点、连线：二次函数的图象如图所示：    （2）解：当时，， ∴点不在该函数的图象上， 故答案为：不在； （3）解：由图象得，当时，x的取值范围为或， 故答案为：或； （4）解：由图象得当时，y的取值范围为， 故答案为：． 4．已知：二次函数． (1)请用配方法将其化为的形式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)取______时，； (4)取_____时，； (5)当时，的取值范围是______． 【答案】(1)； (2)画图见解析； (3)； (4)或； (5)． 【分析】（）利用配方法即可求解； （）根据画函数图象的步骤即可； （）根据函数图象即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）根据函数图象即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）列表： 描点： 连线： 如图： （3）根据图象可知：当时，， 故答案为：； （4）根据图象可知：当或时，， 故答案为：或； （5）根据图象可知：当时，， 当时，有最高点，此时， ∴当时，的取值范围， 故答案为：． 5．请补全以下求不等式的解集的过程 ①构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数；并在坐标系中画出二次函数的图象（只画出图象即可） ②求得界点，标示所需；当时，求得方程的解为___；并用锯齿线标示出函数图象中的部分． ③借助图象，写出解集；由所标示图象，可得不等式的解集为___． 【答案】①图见解析；②，，图见解析；③ 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合分析是解题关键． ①利用描点法即可作出函数的图象； ②当时，解方程求得的值； ③当时，就是函数图象在轴上方的部分，据此即可解得． 【详解】解：①如图1所示： ②方程的解为：，， 函数图象中的部分用锯齿线标示如图1所示， 故答案为：，； ③不等式的解集为：， 故答案为：． 6．已知二次函数和一次函数． (1)在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (2)若这两个函数的图象的交点为，（点在点左侧）． 结合图象，直接写出点和点的坐标； 求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)点，点；． 【分析】（）根据画函数图象的方法和步骤即可求解； （）根据函数图象即可求解； 先求出一次函数与轴交点坐标，根据即可求解； 本题考查了求一次函数图象与坐标轴的交点，画一次函数和二次函数的图象，求与坐标轴围成的三角形的面积，正确掌握一次函数和二次函数的知识是解题的关键． 【详解】（1）列表： 描点； 连线； ∴如图所示，即为所求； （2）根据图象可知：点，点； 如图， 当时，，即， ∴． 类型十、位似作图 1．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到，请画出； (2)以O为位似中心，画出的位似图形图形，使放大后的位似比为； (3)点P是x轴上一动点，则的最小值是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和位似，勾股定理和轴对称最短路径问题： （1）根据平移方式得到A、B、C对应点的坐标，描出并顺次连接即可； （2）把三点的横纵坐标都乘以负2得到对应点的坐标，描出并顺次连接即可； （3）作点B关于x轴对称的点G，连接交x轴于点P，则此时有最小值，最小值为的长，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，作点B关于x轴对称的点G，连接交x轴于点P，则此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴的最小值为． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画出的位似三角形，使它与的相似比为； (2)与其位似三角形的面积比为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了在坐标系中画位似图形，相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质是解本题的关键． （1）将点A，B，C三点的横坐标与纵坐标都乘以，得到，，，依次连接得到，则即为所求； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为． 故答案为： 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)判断和是否是位似图形(直接写结果)，若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)是， 【分析】本题主要考查平移和位似的概念和性质，熟练掌握平移和位似的概念与性质是解题的关键． （1）根据题目要求作图即可； （2）根据题目要求作图即可； （3）根据位似的概念即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：如图所示，和是位似图形，点M即为位似中心， 4．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知中． (1)画出关于x轴对称的； (2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且与相似比为2，并写出的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析， 【分析】此题考查的是作关于x轴对称的图形和作位似图形，掌握位似图形的性质是解决此题的关键． （1）分别找出A、B、C关于轴对称点，然后连接，如图所示， 就是所求三角形； （2）连接并延长至，使；连接并延长至，使；连接并延长至，使；连接，如图所示， 就是所求三角形，再结合的位置，可得其坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； ∵， 与位似，且位似比为2， ∴． 5．如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，． (1)画出绕O点逆时针旋转的； (2)以为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了中心对称作图和位似作图，解题的关键是作出对应点． （1）根据旋转的性质作出点A、B、C的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）以为位似中心，作出点A、B、C的位似点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形． ； （2）解：如图，与即为所求作的三角形． 6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为．    (1)将向左平移5个单位长度，得到，画出； (2)以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出； (3)若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图位似变换，平移变换等知识，解题的关键是正确寻找图形，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． （2）根据位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． （3）根据点的位置，写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点的坐标为，    故答案为：． 1 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