期中考前满分冲刺之优质压轴题-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、函数与几何结合 1．如图1，在矩形中，动点E从A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作交于点F，设点E运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，则a的值是（    ） A．4 B． C．3 D． 2．如图，矩形各边中点分别是、、、，，，为上一动点，过点作直线，若点从点开始沿着方向移动到点即停（直线随点移动），直线扫过矩形内部和四边形外部的面积之和记为设，则S关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．如图①，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点从点出发，以的速度沿匀速运动，其中一点到终点时，另一点随之停止运动，图②是的面积（单位：）随时间（单位：）变化的函数图象，当的面积为时，运动时间为（    ） A． B．或 C． D．或 4．如图（），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（），图象过点，则图象最低点的横坐标是 ． 5．如图①，在正方形ABCD中，点E为DC边的中点，点P为线段BE上的一个动点．设，图②是点P运动时y随x变化的关系图象，则正方形的周长为 ． 6．如图1，在菱形中，E为的中点，点F沿从点A向点C运动，连接，，设，，图2是点F运动时y随x变化的关系图象，则y的最小值是 ．    类型二、二次函数的系数关系 1．二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 2．如图，抛物线与轴交于，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②若为任意实数，则；③；④；⑤若，且，则，其中正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点、点是函数图象上的两点，则；④；其中正确的结论是（   ） A．②③④ B．②③ C．①④ D．①②④ 4．如图，已知顶点为的抛物线过，下列结论：①；②对于任意的实数m，均有；③：④若，则；⑤，其中结论正确的为 ．（填序号） 5．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是 ． ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③； ④是关于x的方程的一个根； ⑤若，，均在二次函数的图象上，则； ⑥若抛物线与y轴的交点在与之间（包含边界），则系数a的取值范围是． 6．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有 （填序号） 类型三、相似中的最值 1．如图，在中，， ，，动点，分别在边，上，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 2．如图，，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是（    ）    A．3 B．4 C．5 D．不存在 3．如图，正方形的边长为2，点是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接，以为斜边作等腰（点A，E，F按逆时针排序），则长的最小值为（　　） A． B．1 C． D．2 4．如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边的距离的最小值是 ． 5．如图，在矩形中，，，点是边上一动点，，且，则的最小值为 ． 6．如图，在中，，，，半径为，为圆上一动点，连接，，的最小值为 ． 类型四、相似中的比值 1．如图，点分别在菱形的边、上，且，交于点G，延长交的延长线于点H，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，，连接，，分别交于点M，N，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的角平分线，是的中线，交于点F，若，则 ． 4．如图，在中，E是的中点，F是的中点，交AC于点O，的延长线交的延长线于G点，那么 ． 5．在中，，是边上的中线，点D在射线上． (1)如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值为 ． (2)如图2，在中，，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值： 6．已知，都是等腰直角三角形，，，． 【问题发现】 （1）如图1，当点，，在同一条直线上时，与的数量关系是______，位置关系是______； 【问题探究】 （2）如图2，当点，，在同一条直线上时，，交于点，若，，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，，是线段的中点，连接，求的值． 类型五、相似中的折叠 1．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点，点D在边上，将沿折叠得到，点B的对应点E恰好落在轴上，若轴，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方形中，，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点分别为边上的点，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点在边的中点处，点C的对应点在反比例函数的图象上，则 4．如图，点，分别是矩形边，上的点，将矩形沿直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，交于点．若，，，则 5．综合与实践 (1)【操作发现】如图①，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，则的度数为 ； (2)【拓展探究】如图②，在（1）的条件下，继续将正方形纸片沿折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，若，求线段的长； (3)【迁移应用】如图③，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，，，请求出线段的长． 6．综合探究 【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图1是一张矩形纸片ABCD，其中，． 【操作发现】 （1）奋进小组先将图1中的矩形纸片沿直线折叠，使得点C落在点E处，交于点P，得到图2，他们发现．请你证明这个结论； （2）创新小组将图1中的矩形纸片折叠，使得点A落在对角线BD上，记为点G，折痕为，得到图3，则______； 【实践探究】 （3）希望小组在创新小组操作的基础上，将图3中的纸片展开，然后提出一个问题：将矩形纸片ABCD沿直线AH折叠，使得点B落在对角线BD上的点处，然后将纸片展平，如图4所示，折痕AH交BF于点M，交BD于点N，试判断的形状； （4）请你根据希望小组的操作，求点G到的距离．    类型六、二次函数的不等式 1．已知抛物线经过，，三点，且恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知实数a，b，c满足，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知二次函数，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）该二次函数图象的对称轴为直线 ； （2）若该函数图象与线段只有一个交点，则的取值范围是 ． 4．已知一元二次方程的两实数根满足，则k的取值范围为 ． 5．已知抛物线与x轴交于和两点，其顶点为P． (1)求b和c的值； (2)点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，且满足，则__________（填“”“”或“”）； (3)将抛物线平移使得其顶点P落在直线上，若平移后的抛物线与y轴交点为C，求点C的纵坐标n的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)抛物线的对称轴为______（用含的式子表示），当时，与的大小关系为______（填“”“”或“”）； (2)若，且对于每个，都有成立． ①求的取值范围； ②若抛物线还过点，求证：如果，那么． 类型七、二次函数的铅锤高 1．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点． (1)求、的值； (2)若点是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点的坐标，并求出面积的最大值． 2．如图，抛物线交轴于，两交轴于点，点为线段上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的最小值； (3)过点作交抛物线的第四象限部分于点，连接，，记与的面积分别为，，设，当最大时，求点的坐标，并求的最大值． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求该二次函数的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； (4)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，直线与抛物线交于A、B两点，且A点横坐标为2，B点横坐标为． (1)直接写出：点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，抛物线的解析式为 ； (2)已知点P在抛物线上，连接，设P点的横坐标为t，的面积为S，当时，求S与t之间的函数关系式，并直接写出S的最大值； (3)如图2，点P在A、B之间的抛物线上，设抛物线与x轴正半轴交于点C，连接交x轴于点D，连接交于点E，连接，若，求P点的坐标． 5．如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 6．如图1，抛物线交x轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内，是否存在点，使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 类型八、二次函数与四边形结合 1．综合运用：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点D，点E为抛物线上的点，且在的上方，作轴，交于点M．    (1)求抛物线的解析式； (2)当 时，求点E的坐标； (3)在平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点C，D，B，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 2．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 3．综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______； (3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； (4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，二次函数的图象过原点，与轴的另一个交点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)在轴上方作轴的平行线，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、点．当矩形为正方形时，求的值； (3)在（2）的条件下，动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，过点向轴作垂线，交抛物线于点，交直线于点，同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动，到达点时立即原速返回．当点E、F重合时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒．问：以四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接与抛物线的对称轴交于点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，当三角形的面积为60时，求点P的坐标． (3)若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点H，使以H，Q，E为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 6．抛物线过三点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，抛物线上一点D在线段的上方，交于点E，若满足，求点的坐标； (3)如图②，为抛物线顶点，过作直线，若点在直线上运动，点在轴上运动，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，说明理由． 类型九、二次函数与等角、倍角关系 1．抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点D在上方的抛物线上，当的面积最大时，求点D的坐标； (3)是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若存在，请说明理由． 2．如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标； (3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值； (4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与轴交于点和点，交轴于点，连接，，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)连接，点在抛物线上，，求点的坐标． 4．如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 5．如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点，过点作轴于点，连接与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设的面积为，求的最大值； (3)当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 6．如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 类型十、二次函数的新定义 1．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“琦点”．例如，点是函数的图象的“琦点”． (1)分别判断函数，的图象上是否存在“琦点”？如果存在，求出“琦点”的坐标； (2)若抛物线有两个“琦点”为点，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合）．当的面积为10时，求抛物线解析式； (3)若函数的图象记为，将其绕点旋转后的图象记为，当两部分组成的图象上恰有3个“琦点”时，求m的值． 2．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”． (1)判断下列函数图象上是否存在“纵三倍点”，若存在，请求出满足条件的“纵三倍点”；若不存在，请说明理由． ①； ②； (2)已知抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； 3．定义：函数图象上的点的纵坐标与横坐标的差叫做点的“双减差”，图象上所有点的“双减差”中最小值称为函数图象的“幸福值”如：抛物线上有点，则点的“双减差”为12；而抛物线上所有点的“双减差”，即该抛物线的“幸福值”为．根据定义，解答下列问题： (1)已知函数图象上点的横坐标，求点的“双减差”的值； (2)若直线的“幸福值”为，求的值； (3)设抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线上，当时，抛物线的“幸福值”是5，求该抛物线的解析式． 4．定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 5．定义： 在平面直角坐标系中，若在函数图象上存在一点，绕原点顺时针旋转后的对应点(点与不重合) 仍在此函数图象上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点称为这个函数的“凡尔赛点”，点叫作点的“后凡尔赛点”． (1)函数①，② ，③ ，其中是 “凡尔赛函数”的是 （填序号） (2)若一次函数 是 “凡尔赛函数”，点（m为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求的值； (3)若点 是二次函数 (其中 为常数， ) 的“凡尔赛点”，点为的“后凡尔赛点”，此二次函数图象与轴交于 两点，由点、四点构成的四边形面积记为S，求S的取值范围． 6．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，直线垂直平分，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当时，求点P的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线的距离与点B到直线的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、函数与几何结合 1．如图1，在矩形中，动点E从A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作交于点F，设点E运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，则a的值是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，由已知，，，当在上时，如图，可得，继而根据相似三角形的性质可得，根据二次函数的性质可得-，由此可得． 【详解】解：由已知，，， 当在上时，如图， 过作， ∴， ， ， ， ， 当时， ， 解得，舍去， 故选C． 2．如图，矩形各边中点分别是、、、，，，为上一动点，过点作直线，若点从点开始沿着方向移动到点即停（直线随点移动），直线扫过矩形内部和四边形外部的面积之和记为设，则S关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象，矩形的性质，相似三角形等等知识点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算．把M点的运动过程分为段（）和段（）两个过程，然后根据题意可知在段，分别表示出四个三角形的面积即可用x表示出S；同理当在BE段时，分别表示出四个三角形的面积即可用x表示出S；最后根据x与S的函数关系式对图象进行判断即可 【详解】解：如下图所示，当M点的运动过程在段 则由题意可知 ∵四边形是矩形，直线，H、E、F、G为的中点 ∴， ∴ ∵，， ∴ ∵直线 ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 如下图所示，当M点的运动过程在段 同理当在段时 即 同理可以得到 ∴ ∴ ∴ 综上所述当M点的运动过程在段时，二次函数开口向下；当M点的运动过程在段时，二次函数开口向上； 故选：D． 3．如图①，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点从点出发，以的速度沿匀速运动，其中一点到终点时，另一点随之停止运动，图②是的面积（单位：）随时间（单位：）变化的函数图象，当的面积为时，运动时间为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】由题意和图可知，当时，点在上运动，而点继续在上运动，可求得，，由勾股定理得，然后分当时和当时两种情况求解即可． 【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动， 四边形是平行四边形，点、点的速度都是， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 当时，如图作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 令， 解得：； 当时，如图，作，交的延长线于点， ∵， ∴， 解得，， ∴， 令， ， 解得：，不合题意，舍去， 综上所述：． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、一次函数的性质．数形结合并分类讨论求出与之间的函数关系式是解题的关键． 4．如图（），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（），图象过点，则图象最低点的横坐标是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，观察函数图象，根据图象经过点即可推出的长，构造，当三点共线时，取得最小值，利用三角形相似求出此时的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵图象过点， 即当时，点与重合，点与重合， 此时， ∵为等腰直角三角形， ∴， 过点作于点，过点作，并使得，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 当三点共线时，取得最小值，如图所示，此时：，， ∴由勾股定理得：， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴图象最低点的横坐标为：， 故答案为：． 5．如图①，在正方形ABCD中，点E为DC边的中点，点P为线段BE上的一个动点．设，图②是点P运动时y随x变化的关系图象，则正方形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正方形中的动点问题，解题的关键是找到图中的关键点及对应的关键数． 由点的运动可知，当点时，的值最小，再根据题可证得，进而可得的长，进而可得正方形的周长． 【详解】解：由点的运动可知，当点时，的值最小，即，如图 ，点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正方形的周长为：， 故答案为： ． 6．如图1，在菱形中，E为的中点，点F沿从点A向点C运动，连接，，设，，图2是点F运动时y随x变化的关系图象，则y的最小值是 ．    【答案】 【分析】利用函数图象可得：当点F与点A重合时；求出，当点F与点C重合时；求出，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，连接，得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由函数图象得：当点F与点A重合时；如图，    此时，， ∵ E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点F与点C重合时；如图，过点E作，垂足为G，设与交于点H，    此时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 在中，，即， 解得：， ∴， ∴， 如图，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，连接，    ∵，E为的中点， ∴， ∴ ∴y的最小值是， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键． 类型二、二次函数的系数关系 1．二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，解题的关键是运用数形结合的思想分析问题．根据二次函数的图像与系数的关键，逐一分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数图像与轴有两个交点， ∴对于方程有两个不相等的实数解，即有， ∴，故结论①正确； ∵二次函数图像对称轴为，且当时，有， ∴由抛物线的对称性质可知，当时，可有， ∴，故结论②不正确； ∵二次函数图像的对称轴为， ∴， 又∵当时，可有， ∴， ∴，故结论③正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴当时，取最大值，此时， 令，可有， ∴， ∴， 而本结论中没有说明，故结论④不正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴数轴上的点距离对称轴越大，函数值越小， ∵， ∴，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有①③⑤． 故选：C． 2．如图，抛物线与轴交于，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②若为任意实数，则；③；④；⑤若，且，则，其中正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧， ，，， ， ，故①错误； ②对称轴是直线，图象开口向下， 时，函数最大值是； 为任意实数，则， ，故②正确； ③对称轴是直线，与轴交点在 二次函数与轴的另一个交点为， ，故③错误； ④， 由③得， ，故④错误； ⑤， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ，故⑤正确； 故正确的有3个， 故选：A． 3．二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点、点是函数图象上的两点，则；④；其中正确的结论是（   ） A．②③④ B．②③ C．①④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次含图象的性质，根据图象与轴交于点，对称轴为直线，可得另一个交点为，，根据二次函数与轴的交点在与之间（不包括这两点），可得，由此可得，分别代入计算，再根据二次函数图象的增减性即可求解． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线， ∴另一个交点为，， ∴， ∴同号，即， ∵二次函数与轴的交点在与之间（不包括这两点）， ∴， ∴，故①正确； 当时，，且， ∴，则， ∵， ∴，则，即， ∵， ∴，故②，④正确； ∵对称轴为，， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；即离对称轴越远，值越小， ∵， ∴，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D ． 4．如图，已知顶点为的抛物线过，下列结论：①；②对于任意的实数m，均有；③：④若，则；⑤，其中结论正确的为 ．（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误；由抛物线的顶点为，，得，再由，得，故⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴结论正确的为①③⑤， 故答案为：①③⑤． 5．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是 ． ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③； ④是关于x的方程的一个根； ⑤若，，均在二次函数的图象上，则； ⑥若抛物线与y轴的交点在与之间（包含边界），则系数a的取值范围是． 【答案】④⑥ 【分析】此题考查掌握二次函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由二次函数的图象可得：抛物线开口向上，即， 抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，即， ∴，故①错误； 由函数图象可得：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，故②错误； ∵对称轴为直线， ∴，即，故③错误； 由图象可得抛物线与x轴的一个交点为，又对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为，则是方程的一个根，故④正确； ∵，，， 且 ∴，故⑤错误； 抛物线交轴于，，则， 则 ∵抛物线与y轴的交点在与之间（包含边界）， ∴，即：， ∴，故⑥正确； 综上，正确的是④⑥， 故答案为：④⑥． 6．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有 （填序号） 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．根据抛物线的开口方向、与轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为直线，即可判断③；由抛物线与轴有两个交点，且对称轴为直线，即可判断④．由抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．判断⑤； 【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示， ∴开口向下， ∵图象过点，对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）． ∴ ∴ 故①错误； ∵ ∴ 故③正确； ∵如图： 则图象过点，抛物线开口向下 把代入 ∴ ∴ 故②错误； ∵则图象过点，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点为 ∵抛物线开口向下 ∴当时， 故④正确的； 把代入， 得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故⑤正确的 故答案为：③④⑤． 类型三、相似中的最值 1．如图，在中，， ，，动点，分别在边，上，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线路最短的问题，相似三角形的性质与判定，作关于的对称点，过作于，交于，则的最小值，解直角三角形得到，根据三角形的面积公式得到，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，过作于，交于，则为的最小值，   在中，，，， ， ，， ， 即 故选：A． 2．如图，，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是（    ）    A．3 B．4 C．5 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，先证明，再证明，推出，求出的最小值，可得结论．解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 【详解】解：∵， ∴，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵，， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，此时， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 3．如图，正方形的边长为2，点是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接，以为斜边作等腰（点A，E，F按逆时针排序），则长的最小值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】连接交于点，连接并延长交于点，由正方形的性质得，，，则，得，由，，证明，则，变形为，而，则，可推导出，则，所以，，可知点在的垂直平分线上运动，当点与点重合时，长的值最小，此时，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点，连接并延长交于点， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ，， ， 于点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 点在的垂直平分线上运动， ， 当点与点重合时，的值最小，此时， 长的最小值为1， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、平行线的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 4．如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边的距离的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．延长交于，得到时，点到的距离最小，根据相似三角形的性质求出，根据折叠的性质求出，计算即可． 【详解】解：如图，延长交于，当时，点到的距离最小， ，，， ， ，， ， ，即， 解得，， 由折叠的性质可知，， ， 故答案为：． 5．如图，在矩形中，，，点是边上一动点，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，证明，得到，进而得到，，设，在中，利用勾股定理，得到，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，则：， ∵矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理，得： ， ∴当时，有最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数求最值，解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形． 6．如图，在中，，，，半径为，为圆上一动点，连接，，的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了最短路线问题，两点之间线段最短，以及勾股定理的应用，连接，在上取点，使 ，连接，则有，然后 根据相似三角形判定的方法，判断出，即可推导出，再应用勾股定理，求出的最小值即可，正确辅助线并判断出的长度即为所求的最小值是解题的关键． 【详解】解：连接，在上取点，使 ，连接， ∵，， ∴  ， ∴， ∴， ∴, ∴当点在同一条直线时，的值最小， 在中， ∵，， ∴， ∴的值最小为， 故答案为：． 类型四、相似中的比值 1．如图，点分别在菱形的边、上，且，交于点G，延长交的延长线于点H，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形性质，相似三角形判定及性质等．根据题意设，则，，，证明，，继而得到本题答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴设，则，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，在平行四边形中，，连接，，分别交于点M，N，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，由平行四边形的性质得，，由，推导出，再证明，，则，，求得，，则，所以，于是得到问题的答案．证明，是解的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，同理：， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，是的角平分线，是的中线，交于点F，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识点，先证明，利用相似比得到，而，则，再证明，然后根据相似三角形的性质可得到的值． 【详解】解：∵， 而， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 而， ∴， ∴． ∴， 故答案为：． 4．如图，在中，E是的中点，F是的中点，交AC于点O，的延长线交的延长线于G点，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．根据平行四边形的性质求出，，推出，，再根据相似三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E为的中点，F为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 5．在中，，是边上的中线，点D在射线上． (1)如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值为 ． (2)如图2，在中，，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，结合中点、作平行线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，则有．设，则，由可得，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）如图：过点A作，交的延长线于点F，设，由得，．易证，则有．易证，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：如图2：过点A作，交的延长线于点F， 设，由得． ∵E是中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 6．已知，都是等腰直角三角形，，，． 【问题发现】 （1）如图1，当点，，在同一条直线上时，与的数量关系是______，位置关系是______； 【问题探究】 （2）如图2，当点，，在同一条直线上时，，交于点，若，，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，连接，，是线段的中点，连接，求的值． 【答案】（1）（或相等）（或垂直）（2）（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质，并灵活运用． （1）通过证明，即可得出结论； （2）先证明，得出，，再证明，则．设，则．在中，由勾股定理，得，列出方程，求出m的值，即可解答； （3）延长至点，使，连接，．易证四边形是平行四边形，则，．通过证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）延长交于点P， ∵，，． ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为∶ （或相等）（或垂直）； （2）是等腰直角三角形，且， ． 是等腰直角三角形，且， ． ， ， 即， ∵，，． ， ，． ， ，， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，（舍去）， ， ． （3）如图，延长至点，使，连接，． 是的中点， ． 四边形是平行四边形， ，． ， ， ． ， ， 又， ， ． ， ， ， ． 类型五、相似中的折叠 1．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点，点D在边上，将沿折叠得到，点B的对应点E恰好落在轴上，若轴，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质．过点作轴于点，由折叠的性质和平行四边形的性质证得，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示． ， ，， ． 由折叠的性质，可知． 由平行四边形的性质，可知， ， 轴， ． ， ，即． ， ， ，即， ， ， 点的坐标为， 故选：D． 2．如图，正方形中，，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】作于点，由正方形的性质得，由，得，则，所以，则，所以，则，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，连接 四边形是正方形，， ，，， ， ，而点为的中点， ， ， 垂直平分， ， 由折叠得， ， 是等边三角形， ， ∵翻折， ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、线段的垂直平分线的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点分别为边上的点，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点在边的中点处，点C的对应点在反比例函数的图象上，则 【答案】 【分析】设交与点E，过点作轴于点H．利用矩形的性质、折叠的性质和勾股定理等可求出，，，，，，证明，利用相似三角形的性质可求出，，证明，利用相似三角形的性质可求出，，则可出求的坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，设交与点E，过点作轴于点H． 四边形是矩形，，， ，，， 点是的中点， ． 在中， ，， ， 矩形沿直线折叠， ，，， ，， ，即， 解得， ， ， ， ， ． ， ． 又， ， ，即， 解得，， ， 点的坐标为， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，反比例函数等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键． 4．如图，点，分别是矩形边，上的点，将矩形沿直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，交于点．若，，，则 【答案】 【分析】根据折叠，勾股定理求出，，，再根据，求出的长度，从而得到和的长度，得出结果．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等，属于综合题，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，过点作于点， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 折叠， ，，，， 在中，， 在中，， ， ， 设，则， 在中，， ， ，， ，， ， ， 设， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．综合与实践 (1)【操作发现】如图①，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，则的度数为 ； (2)【拓展探究】如图②，在（1）的条件下，继续将正方形纸片沿折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，若，求线段的长； (3)【迁移应用】如图③，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，，，请求出线段的长． 【答案】(1)45° (2) (3)或2 【分析】（1）由正方形的性质得，再由折叠的性质得：，即可求解； （2）证是等腰直角三角形，得，则，进一步求出，由含角的直角三角形的性质结合勾股定理再求出，最后根据线段的和差关系求解即可． （3）分两种情形：当，当，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质得：， ， 由（1）得：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图3中，在上取一点，使得，过点作于点，交于点，连接，得正方形，    当时，， ， ∴， ∴， ∴， ， 由（1）可知， 设，则， ， ， ． 当时，同法可得． 综上所述，满足条件的的值为或2． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键． 6．综合探究 【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图1是一张矩形纸片ABCD，其中，． 【操作发现】 （1）奋进小组先将图1中的矩形纸片沿直线折叠，使得点C落在点E处，交于点P，得到图2，他们发现．请你证明这个结论； （2）创新小组将图1中的矩形纸片折叠，使得点A落在对角线BD上，记为点G，折痕为，得到图3，则______； 【实践探究】 （3）希望小组在创新小组操作的基础上，将图3中的纸片展开，然后提出一个问题：将矩形纸片ABCD沿直线AH折叠，使得点B落在对角线BD上的点处，然后将纸片展平，如图4所示，折痕AH交BF于点M，交BD于点N，试判断的形状； （4）请你根据希望小组的操作，求点G到的距离．    【答案】（1）见解析；（2）；（3）是等腰三角形，理由见解析；（4） 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的判定与性质： （1）根据矩形的性质得出，，根据折叠得出，，证明，进而得出答案； （2）根据折叠得出，，根据勾股定理求出，得出，设，则，得出，即可得出答案； （3）根据折叠得出，，，再证明，得出，即可得出答案； （4）过点G作于点Q，证明，代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵折叠， ∴，， ∵，． ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （3）是等腰三角形，理由如下： ∵是由折叠得到的， ∴， ∵是由折叠得到的， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）过点G作于点Q，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点G到的距离． 类型六、二次函数的不等式 1．已知抛物线经过，，三点，且恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，二次函数的图象以及抛物线的对称性，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系． 由可得抛物线开口向下，根据抛物线对称轴为直线，结合图象求解． 【详解】解：抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴， 解得， ， 解得， 综上，存在实数m，使得恒成立，m的取值范围为 故答案为：． 2．已知实数a，b，c满足，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意得，可求，则，可求，设抛物线的表达式为，则图象开口向上，由，可知当时，，则图象与轴有两个交点，进而可得． 【详解】解：由题意得， 解得，， ∴， 解得，， 设抛物线的表达式为，则图象开口向上， ∵， ∴当时，， ∴图象与轴有两个交点， ∴， 故选：A． 3．已知二次函数，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）该二次函数图象的对称轴为直线 ； （2）若该函数图象与线段只有一个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数的性质； （1）化为顶点式，即可求解； （2）根据抛物线顶点坐标，通过数形结合求解． 【详解】解：（1）∵二次函数，顶点为 ∴对称轴为直线， 故答案为：． （2）①当顶点在线段上时， 解得： ②∵对称轴为直线，，抛物线开口向下，点A的坐标为，点B的坐标为， ∴当函数图象与线段只有一个交点，则时，当时， ∴ 解得： 故答案为：或． 4．已知一元二次方程的两实数根满足，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对于二次函数，当时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解．令，画出大致图象可得：当时，；当时，；当时，；即可求解； 【详解】解：令， 则抛物线与轴的两个交点坐标为， ∵， 画出大致图象如下： 可得：当时，； 当时，； 当时，； 由①②③解得： 故答案为： 5．已知抛物线与x轴交于和两点，其顶点为P． (1)求b和c的值； (2)点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，且满足，则__________（填“”“”或“”）； (3)将抛物线平移使得其顶点P落在直线上，若平移后的抛物线与y轴交点为C，求点C的纵坐标n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键. （1）依据题意，将点代入抛物线解析式建立方程组求出b，c后即可得解； （2）依据题意得，从而对称轴是直线，又由，故，即M、N两点的中点在对称轴的右侧，进而根据M离对称轴近，N离对称轴距离远，可以判断得解； （3）依据题意，由平移后的抛物线顶点P落在直线上，则可设，又原抛物线为，从而新物线为，再令，可得点C的纵坐标，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：将分别代入抛物线， ， 解得 （2）解：由（1）得，抛物线的函数表达式为， 所以，配方得，， ∴抛物线的对称轴是直线， 又∵， ∴， ∴M、N两点的中点在对称轴的右侧， ∴M离对称轴近，N离对称轴距离远， 又抛物线开口向上，M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意，平移后的抛物线顶点P落在直线上， ∴可设， 又原抛物线为， ∴新拋物线为， ∵新抛物线与y轴交于点C， ∴令，则点C的纵坐标， ∵对于任意的m都有 ∴点C的纵坐标n取值范围为． 6．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)抛物线的对称轴为______（用含的式子表示），当时，与的大小关系为______（填“”“”或“”）； (2)若，且对于每个，都有成立． ①求的取值范围； ②若抛物线还过点，求证：如果，那么． 【答案】(1)直线； (2)①或 ；②证明见解析 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）直接利用对称轴公式可得对称轴，利用抛物线的增减性即可判定与大小； （2）①利用抛物线开口向上，则离对称轴距离越近的点的函数值越小，可得点到对称轴直线的距离一定恒大于点到对称轴直线的距离，再结合，可得结果； ②分和两种情况讨论，分别判断和的大小关系，再结合，即可求证． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，抛物线与轴交点为， ∴关于直线的对称点为， ∵， ∴， 根据抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大， ∴， 故答案为：直线；； （2）解：①∵对于每个，都有成立，且抛物线开口向上， ∴点到对称轴直线的距离一定恒大于点到对称轴直线的距离， ∵点到对称轴直线的距离为， ∴点到对称轴直线的距离恒大于， ∵， ∴或， ∴或； ②证明：当时， ∵， ∴点到对称轴直线的距离小于， ∵点到对称轴直线的距离为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； 当时， ∵， ∴点到对称轴直线的距离小于， ∵点到对称轴直线的距离为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 综上，． 类型七、二次函数的铅锤高 1．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点． (1)求、的值； (2)若点是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点的坐标，并求出面积的最大值． 【答案】(1) (2)当时，，此时 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，一次函数与几何综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，得到；方法1：连接，设点，分别求出，再根据求出，据此可得答案；方法2：作于，交于点，求出直线的解析式为：，则，，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解；解：把点和点代入， 得， 解得，； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为， 当时，， ， ， 方法一：如图1， 连接， 设点， ， ， ∵， 当时，最大，此时； 方法二：如图2， 作于，交于点， 设解析式为： ，， ∴， 解得 直线的解析式为：， ， ， ， ∵， 当时，，此时； 2．如图，抛物线交轴于，两交轴于点，点为线段上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的最小值； (3)过点作交抛物线的第四象限部分于点，连接，，记与的面积分别为，，设，当最大时，求点的坐标，并求的最大值． 【答案】(1) (2)10 (3)最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）：将，分别代入，利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）作点O关于直线的对称点坐标为．连接、．证明四边形是正方形．则点O关于直线的对称点坐标为．连接，由是的垂直平分线得到，则（当点位于直线与直线交点时取等号），即可得到的最小值为． （3）过点P作轴，交x轴于点M．连接．得到．设点，则，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将，分别代入，得方程组 ， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）当时，，即，则， 作点O关于直线的对称点坐标为．连接、． ∵，， ∴平分， ∴垂直平分． 又∵垂直平分，且， ∴四边形是正方形． ∴点O关于直线的对称点坐标为． 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴（当点位于直线与直线交点时取等号）， ∴的最小值为． （3）过点P作轴，交x轴于点M．连接．    ∵， ∴（同底等高）， ∴． 设点， 则， ， ． ∴， 即： ∴当时，有最大值，此时点的坐标为， 综上，最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、正方形的判定和性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求该二次函数的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； (4)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当点P的坐标为时，有最大值，且最大值为； (4)存在点P，使四边形为菱形；点P的坐标为 【分析】（1）将、代入即可求解； （2）解一元二次方程即可； （3）过点作轴，求出直线的解析式，设点，则，根据即可建立函数关系式求解； （4）设点，交轴于点，若四边形为菱形，则，可推出，据此即可求解； 【详解】（1）解：将、代入得： ， 解得：， ∴ （2）解：令，解得， ∴点A的坐标 （3）解：设直线的解析式为：， 将代入得：， 解得：； ∴直线的解析式为：， 过点作轴，如图所示：      设点，则 ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； （4）解：设点，交轴于点，如图所示：    若四边形为菱形，则， ∴ 即：， 解得：（舍） ∴点P的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及了待定系数法，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与面积问题，二次函数与特殊四边形问题，掌握函数的性质是解题关键． 4．如图1，直线与抛物线交于A、B两点，且A点横坐标为2，B点横坐标为． (1)直接写出：点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，抛物线的解析式为 ； (2)已知点P在抛物线上，连接，设P点的横坐标为t，的面积为S，当时，求S与t之间的函数关系式，并直接写出S的最大值； (3)如图2，点P在A、B之间的抛物线上，设抛物线与x轴正半轴交于点C，连接交x轴于点D，连接交于点E，连接，若，求P点的坐标． 【答案】(1)，， (2)，8 (3) 【分析】（1）先由直线求出点、的坐标，再将点、的坐标代入抛物线得到二元一次方程组，解方程组得到、的值即可； （2）在抛物线上取一点，作轴交于点，作于，于，连接、，设点横坐标为，则，，从而得到，代入进行计算即可； （3）先由抛物线解析式可得，从而得到直线的解析式为：，再运用待定系数法分别得出直线的解析式为：，直线的解析式为：，因为直线，所以得出E点坐标，同理得出的解析式为，最后由可得，进行计算即可得到答案． 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的应用、三角形面积的计算、二次函数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： 直线与抛物线交于、两点，且点横坐标为2，点横坐标为， 在中，当时，， 当时，， 点的坐标为，点的坐标为， 将，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； 故答案为：，，； （2）解：如图1，在抛物线上取一点，作轴交于点，作于，于，连接、， ， 设点横坐标为，则点纵坐标为， ， ，点在直线上， ， ， ， 与之间的函数关系式为：； ∵ ∴开口向下，在时，有最大值， 此时； （3）解：如图2： 在抛物线中，令，即， 解得：，， 点在轴的正半轴， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入， 得， ∴， ∴直线的解析式为：， 设， 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， ∵交轴于点D， ∴把代入， 得出， ， ∵，， 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， ∵交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设的解析式为， ∴把，代入， 得， 解得， 的解析式为， ∵， ∴， 解得， 把代入， 得， ∴P点的坐标为． 5．如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为8 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； （2）解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 6．如图1，抛物线交x轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内，是否存在点，使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，面积最大值为 (3)存在，或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． （1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，利用表示出面积，即可求解； （3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，③以、为对角线，，三种情况进行讨论． 【详解】（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得， 直线的解析式为：， 设点， ， ， ， ，且， 当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：，，，， ①以、为对角线时，， ， 或（舍， ； ②以、为对角线时，， ， 或， 或； ③以、为对角线，， ， ， ； 综上所述：或或或． 类型八、二次函数与四边形结合 1．综合运用：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点D，点E为抛物线上的点，且在的上方，作轴，交于点M．    (1)求抛物线的解析式； (2)当 时，求点E的坐标； (3)在平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点C，D，B，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点 E的坐标为 ； (3)存在，点N的坐标为或或． 【分析】（1）直接用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为：，设点，则点，由，求得，即可求解； （3）先求得抛物线的对称轴为直线：，再求得，分两种情况根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入中， 得：， 解得：， ∴ 抛物线的解析式为：； （2）解： ， 设直线的解析式为：， 将点，代入中， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则点， ， 解得：， 此时，， ∴点 E的坐标为 ； （3）解：存在， 由题意，可知抛物线的对称轴为直线： ， ∵轴，点， ∴， ∴， ∵点，， ， 由平行四边形的对边平行且相等的性质，可通过平移已知顶点来找到点N，如图：   当为边时，点由点向右平移4个单位长度， ∴点向右平移4个单位长度得到， ∴四边形是平行四边形， ∴， 点由点向左平移4个单位长度， ∴点向左平移4个单位长度得到， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当为对角线时，点由点向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度， ∴点向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到， 则四边形是平行四边形， ∴， 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定，平移的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 2．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）因为抛物线经过点，两点，所以由待定系数法即可求解； （2）先待定系数法求出直线的表达式为：，再由四边形的面积，即可求解； （3）分两种情况：①当为边，为对角线时；②当为边，为对角线时，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）抛物线经过点，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：由抛物线的表达式知，点，其对称轴为直线，点， 连接交直线于点， 设直线的表达式为 把，代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点， 则， 则四边形的面积 ； （3）解：由（2）得抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， ①当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或； ②当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或， 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 3．综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______； (3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； (4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)最大值为 (4)存在， 【分析】（1）先由题意得出的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）先设出的坐标，然后将的面积表示出来，根据题意列出方程，解方程即可求解； （3）表示出，根据二次函数的性质，即可求解． （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点， ∴ 设抛物线解析式为 将代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 当时， ∴, （2）解：∵ ∴ ∴ ∵点为抛物线上一点，且 设， ∴ ∵ ∴ ∵为顶点， ∴ ∴ 解得： ∴或 （3）解：设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴ 设，则 ∴ 当时，线段的最大值为 （4）存在， ∵抛物线对称轴为直线，设，，又 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：； ∴ ∴ 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴ ∴ 当为矩形的对角线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：或； ∴或； ∴ 综上所述， 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，线段问题，特殊四边形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．如图，二次函数的图象过原点，与轴的另一个交点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)在轴上方作轴的平行线，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、点．当矩形为正方形时，求的值； (3)在（2）的条件下，动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，过点向轴作垂线，交抛物线于点，交直线于点，同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动，到达点时立即原速返回．当点E、F重合时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒．问：以四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)能为平行四边形，的值为4或6 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，进而可得出点C，D的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论； （3）由（2）可得出点A，B，C，D的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F的坐标，由且以A、E、F、Q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出，分，两种情况找出，的长，由可得出关于t的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：， 该二次函数的解析式为 （2）当时，， 解得：， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为． 矩形为正方形， 解得：(舍去)，． 当矩形ABCD为正方形时，的值为4 （3）以四点为顶点构成的四边形能为平行四边形， 由（2）可知：点A的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入，得： ， 解得∶， 直线的解析式为． 当时，， 点的坐标为，点的坐标为． 当时，点、重合， 以四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且， ，分2种情况考虑： ①当时，如图1所示，， 解得：(舍去)，； ②当时，如图2所示，， 解得：(舍去)，． 综上所述，当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质， 5．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接与抛物线的对称轴交于点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，当三角形的面积为60时，求点P的坐标． (3)若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点H，使以H，Q，E为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为．点的坐标为； (2)或 (3)在射线上存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似，点的坐标为或或 【分析】（1）令，则，得出点的坐标为，点的坐标为．令，得．得出点的坐标为； （2）根据，，可得，设点的坐标为，根据三角形的面积为60列出方程，即可求解； （3）设，．分三种情况：①当，时，，根据点与点的纵坐标相同，为．②当，时，，过点作于点．③当，时，，分别求得点的坐标． 【详解】（1）令，则， 解得，． 点在点的左侧， 点的坐标为，点的坐标为． 令，得． 点的坐标为； （2），， ， 设点的坐标为， ． ，． 当时，， 当时，， 点的坐标为或； （3）在射线上存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似．点的坐标为或或．理由如下： ，， ． ， 是等腰直角三角形． 抛物线的对称轴为直线． 设直线的表达式为． 将，代入， 得 解得． 直线的表达式为． 将代入，得． ． 点在射线上， 点的横坐标为3． 设，． 分三种情况： ①当，时，，如图2． 则轴， 点与点的纵坐标相同，为， ， 解得（不合题意，舍去），． 点的坐标为． ②当，时，，如图3，过点作于点． 由①得点的坐标为， ， ． ，， ． 点的坐标为． ③当，时，，如图4． 则轴， 点与点的纵坐标相同，为， ， 解得，（不合题意，舍去）， ， ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，二次函数图象与坐标轴交点问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 6．抛物线过三点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，抛物线上一点D在线段的上方，交于点E，若满足，求点的坐标； (3)如图②，为抛物线顶点，过作直线，若点在直线上运动，点在轴上运动，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，，， 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先利用待定系数法求出直线的表达式，设点，则点，表示出即可求解； （3）分情况讨论：当时；当时；当时利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得 ∴抛物线的表达式为 （2）解：设直线的表达式为 则，解得： ∴直线的表达式为 设点，则点 ∴ 设直线与直线交于点G， ∵ ∴，， 在中， ∵， ∴，解得：（舍） ∴ （3）根据题意得，为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点P、Q，则为等 腰直角三角形， 分三种情况： 若，如图，过点P作轴，过点Q作，过点B作 ∵ ∴ ∴ ∴， ∴； 如图， 同理可证 ∴， ∴； 若，如图， 同理可证 ∴， ∴ ∴； 如图，同理可得： ∴ ∴； 若，如图， 过点Q作 同理可证 ∵ 此时不存在符合条件的P，Q 综上：点的坐标为，，，， 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 类型九、二次函数与等角、倍角关系 1．抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点D在上方的抛物线上，当的面积最大时，求点D的坐标； (3)是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3)存在，点D的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可； （2）连接，过点D作于点E，设，即可求得点C的坐标，即可求得、，再根据确定关于面积的函数关系式，然后化为顶点式即可； （3）分两种情况进行分析：当D在上方时，当D在下方时，分别画出相应图象，然后利用平行线的性质及二次函数的性质求解即可 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ， 解得：， 所以，抛物线的解析式为：； （2）解：如图：连接，过点D作于点E，    设， ， ∵点D是上方抛物线上的一个动点， ， ， 令，则， ， ． ， ． ， 设， ， ∴， ∴当时，面积取得最大值， 此时， 的坐标为； （3）解：存在点，使得，理由如下： 当D在上方时，如图：    ∵， ∴， 令中，， 即， 解得：或， ∴； 当D在下方时，设交x轴于K，如图：    ∵， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴ 设直线的解析式为，将点，代入得： ，解得， ∴， 联立， 解得：或， ∴ ∴点D的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，两个函数的交点问题，坐标与图形，不规则图形面积的求法，采用数形结合的思想及正确作出辅助线是解决此题的关键． 2．如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标； (3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值； (4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3) (4)存在，或 【分析】（1）求出，，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设与y 轴交于点E，求出点A的坐标是，得到，证明，则，得到，求出直线的解析式为，联立直线和抛物线解析式即可求出答案； （3）作轴于点K，交于点F，设点P的坐标为，则点F的坐标为，则，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用二次函数的性质即可得到答案； （4）求出．得到，．则，证明．则当N的坐标为时，．连接，过点C作，交x轴与点N．证明．得到．则，即，解．即可得到． 【详解】（1）把代入，得， ∴． 把代入得：， ∴， 将、代入得：， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）设与y 轴交于点E，如图， 当时，， 解得， ∴点A的坐标是， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，把，代入得， 解得 ∴直线的解析式为， 联立得到，解得，， ∴点D的坐标是； （3）作轴于点K，交于点F，如图， 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）， ∴． 又∵、， ∴，． ∴， ∴． ∵， ∴．， ∴． 又∵， ∴． ∴当N的坐标为时，． 如图所示：连接，过点C作，交x轴与点N． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴，即，解得：． ∴， ∴． 综上所述，当N的坐标为或时，以A，C，N为顶点的三角形与相似． 【点睛】此题考查了二次函数图象和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识，数形结合是解题的关键． 3．如图，抛物线与轴交于点和点，交轴于点，连接，，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)连接，点在抛物线上，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）将点，代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）确定，得，，，确定，得，在中得，在中得，推出，可得结论； （3）如图，过作轴交于点，确定直线的解析式为，推出，过作于，则，证明，得，即，证明，得，在上截取，则，证明，得，推出，确定直线的解析式为，再解方程组即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）是直角三角形． 理由：∵抛物线与轴交于点和点，交轴于点， 当时，得：， 解得：，， ∴， ∴，， ∴， 令，得：， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，； （3）如图，过作轴交于点， 设直线的解析式为，过点，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵轴，，， ∴， ∴， ∴， 过作于，则， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵，，， 在和中， ， ∴， ∴， 在上截取，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数与一次函数综合题，考查了坐标与图形，待定系数法确定函数解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点坐标等知识点．通过作辅助线构造全等三角形的是解题的关键． 4．如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 【答案】(1) (2)①；②线段的最小值为 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）①在中，令得出，在中，令得出，从而得出，即，待定系数法求得直线的解析式为，联立，得出 ，作轴于，则，，，求出，，由正切的定义得出，证明，得出，求出直线的解析式为，联立，计算即可得解；②设，，设直线的解析式为：，求出直线的解析式为，直线的解析式为；联立得：，由韦达定理得出，将代入，得，求出，同理可得，联立，得出，推出点在直线上运动，求出，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，由轴对称的性质可得，则，由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵抛物线与轴相交于，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； （2）解：①在中，令，，解得，即， 在中，令，则，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴， 如图，作轴于，则，，， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∵点在第三象限， ∴； ②∵过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点． ∴设，，设直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为； 联立得：， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 联立， 得出， ∴点在直线上运动， 在中，令，则，即， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则， ， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为， ∵， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、轴对称—线段最短问题、勾股定理、二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键，此题难度较大，属于中考压轴题． 5．如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点，过点作轴于点，连接与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设的面积为，求的最大值； (3)当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)直线的函数表达式为，点P的坐标为 【分析】（1）把A、B两点坐标分别代入解析式中，解二元一次方程组即可求解； （2）连接，设，由，利用二次函数的性质即可求解； （3）作关于直线的对称线段，连接，设中点为G，则易得：，；从而，即轴；设，，则可得点G的坐标；再求出直线的解析式，把点G的坐标代入直线解析式中，求得h；根据，得到关于t的方程，求得t，从而可求得点P的坐标，用待定系数法求得直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得：， ∴ （2）解：对于，令，则， ∴； ∵， ∴； 连接，设， ∵点P在第四象限， ∴， ∴ ， 当时，S有最大值； （3）解：如图，作关于直线的对称线段，连接，设中点为G， 则，； ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴； 设，， 则点G的坐标为； 设直线的解析式为，其中， 把点A、C的坐标代入解析式中，得：， 解得：； 即直线的解析式为； 把点G的坐标代入直线解析式中，得， ∴； ∴； ∵ ∵， ∴， 解得：或（舍去）， 则， 即点P的坐标为； 设直线的函数表达式为， 把A、P坐标分别代入得：， 解得：， 即直线的函数表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，对称的性质，割补法求图形面积，勾股定理等知识，掌握相关知识，善于转化是解题的关键． 6．如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 【答案】(1) (2)S的最大值为 (3)； 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式即可；分解直线的解析式和抛物线的解析式，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， ， ； （2）解：过点P作轴于点N，如图所示，    令，则， ∴， ∴， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，S有最大值，． （3）解：设交y轴于点N，如图，    ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 设直线的解析式为，把，代入得： ， ， ， 令， 解得：，， ∴点P的横坐标为， 把代入得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，求一次函数解析式，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 类型十、二次函数的新定义 1．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“琦点”．例如，点是函数的图象的“琦点”． (1)分别判断函数，的图象上是否存在“琦点”？如果存在，求出“琦点”的坐标； (2)若抛物线有两个“琦点”为点，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合）．当的面积为10时，求抛物线解析式； (3)若函数的图象记为，将其绕点旋转后的图象记为，当两部分组成的图象上恰有3个“琦点”时，求m的值． 【答案】(1)函数的图象上不存在“琦点”；函数的图象上存在“琦点”为和； (2)； (3)或2或． 【分析】（1）根据 “琦点”的定义分析计算即可； （2）首先确定抛物线的对称轴，根据“琦点”的概念得到，进而可得，，结合，可解得或6，然后分情况确定点坐标，利用待定求解即可； （3）首先确定抛物线旋转后的抛物线解析式，再根据“琦点”的定义解得图像上两个“琦点”的坐标，然后分图像上只有一个“琦点”，图像上有两个“琦点”且其中一个为的“琦点”，图像上有两个“琦点”且其中一个为的“琦点”，分别求解即可． 【详解】（1）因为当时，无解， ∴的图像不存在“琦点”， 当时， 整理得， 解得或1 ∴的图像存在“琦点”为和． （2）由题可知抛物线的对称轴为， ∵抛物线有两个“琦点”为点， ∴根据“琦点”的概念得，， ∴， ∵过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合）， ∴点A和点C关于对称轴对称， ∴点C的横坐标为3， ∴， ， ，即， 解得或6． ①当时， ，解得． ②当时， ，解得（不合题意，舍去）． 综上，抛物线解析式为； （3）抛物线绕点旋转后的图象记为 ∴开口大小不变，方向向反，对称轴不变为y轴 ∴的二次项系数为1 ∴设的表达式为，顶点坐标为 ∵抛物线的顶点和关于对称 ∴，解得 ∴的解析式为， 由，得或 ∴图像上有两个“琦点”和 ①图像上只有一个“琦点”，即与只有一个交点， ， 解得． ②图像上有两个“琦点”且其中一个为的“琦点”，则， 解得得． ③图像上有两个“琦点”且其中一个为的“琦点”，则， 解得． 综上，或2或． 【点睛】本题主要考查了新定义问题、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、解一元二次方程等知识，正确理解新定义“琦点”是解题关键． 2．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”． (1)判断下列函数图象上是否存在“纵三倍点”，若存在，请求出满足条件的“纵三倍点”；若不存在，请说明理由． ①； ②； (2)已知抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； 【答案】(1)①存在“纵三倍点”，其“纵三倍点”坐标为；②存在“纵三倍点”，其“纵三倍点”坐标为和； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系： （1）①令，解方程即可得到结论；②令，解方程即可得到答案； （2）令，解得，则，则是抛物线的“纵三倍点”，则，再联立两函数解析式，根据两函数只有一个交点得到，求出m的值，进而求出n的值即可得到答案． 【详解】（1）解：①当时，解得， ∴， ∴函数的图象上存在“纵三倍点”，其“纵三倍点”坐标为； ②当时，解得， ∴函数的图象上存在“纵三倍点”，其“纵三倍点”坐标为和； （2）解：令，解得，则， ∴是抛物线的“纵三倍点”， ∴， ∴， 联立得， ∵抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴抛物线解析式为． 3．定义：函数图象上的点的纵坐标与横坐标的差叫做点的“双减差”，图象上所有点的“双减差”中最小值称为函数图象的“幸福值”如：抛物线上有点，则点的“双减差”为12；而抛物线上所有点的“双减差”，即该抛物线的“幸福值”为．根据定义，解答下列问题： (1)已知函数图象上点的横坐标，求点的“双减差”的值； (2)若直线的“幸福值”为，求的值； (3)设抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线上，当时，抛物线的“幸福值”是5，求该抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一次函数的增减性、二次函数的最值等知识点，掌握相关函数的性质是解题关键. （1）求出点的坐标即可求解； （2）由题意得，根据可得随的增大而增大．即可得当时，有最小值，据此即可求解； （3）由题意得抛物线的顶点坐标为：，继而得；令可求其对称轴为直线；分类讨论，，，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：将代入得：， ∴ ∴点的“双减差”的值为： （2）解：由得：， ∵， ∴， ∴随的增大而增大． 故：当时，有最小值，且最小值为：， ∴， 解得：（舍去） ∴ （3）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为：， ∴ ∴ 令，则其对称轴为直线； ∵， ∴，即：； ，此时（不符合题意）； ，即：， 此时，当，取最小值， 则， 解得：（舍去）， ∴； ，即：， 此时，当，取最小值， 则， 解得：（舍去）， 综上所述，该抛物线的解析式为：； 4．定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 ； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)12； (3)存在，或． 【分析】（1）根据“梦之点”的定义，确定自变量的范围，函数值的取值范围，判断这几个点是否在矩形的内部或边上； （2）根据“梦之点”的定义可得：，确定，，利用二次函数的顶点式可得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，利用分割法计算面积即可求； （3）设，由以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形的“梦之点”满足，， ∴点，是矩形 “梦之点”， 故答案为：，． （2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”， ∴点A，B是直线上的点， ∴， 解得：，， ∴，， ∵， ∴抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的对称轴交于M，则， ∴， ∴． （3）解：存在，理由如下： 设， ∵以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴ 解得：， 当时，， 当时，， ∴或． 【点睛】本题考查了新定义，方程组求交点，分割法求面积，菱形的性质，两点间距离公式，熟练掌握定义，菱形性质，两点间距离公式是解题的关键． 5．定义： 在平面直角坐标系中，若在函数图象上存在一点，绕原点顺时针旋转后的对应点(点与不重合) 仍在此函数图象上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点称为这个函数的“凡尔赛点”，点叫作点的“后凡尔赛点”． (1)函数①，② ，③ ，其中是 “凡尔赛函数”的是 （填序号） (2)若一次函数 是 “凡尔赛函数”，点（m为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求的值； (3)若点 是二次函数 (其中 为常数， ) 的“凡尔赛点”，点为的“后凡尔赛点”，此二次函数图象与轴交于 两点，由点、四点构成的四边形面积记为S，求S的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）根据“凡尔赛函数”概念解答即可； （2）根据点是一次函数的“凡尔赛点”，点的“后凡尔赛点”为，列方程解答即可； （3）点是二次函数（其中a，b，c为常数，）的“凡尔赛点”，用a表示出b、c的值，得到，令得，由根与系数的关系得到，令，得到，解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，“凡尔赛函数”必经过两个相邻的象限，且两点与原点所成三角形为等腰直角三角形， ∴①②不符合题意， ∵经过两个相邻的象限，且必然存在等腰直角三角形， ∴③符合题意， 故答案为：③． （2）解：∵点是一次函数的“凡尔赛点”，设的“后凡尔赛点”为，过点作轴的垂线，垂足为， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 得； 当时，，满足条件； 当时， ∵关于k的一元二次方程有实数根， ， 解得 ， 又∵m为整数， ∴或， 当时，，解得 或； 当时，解得（舍去），． 综上：k的值为或1或或． （3）解：∵点是二次函数（其中a，b，c为常数，）的“凡尔赛点”， ∴“后凡尔赛点”B的坐标为． ∴， 解得， ， 令得． ∵，， ∴ ， 令，则． ∵， ∴， 解得． ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数，一次函数，反比例函数的图形与性质，二次函数，一次函数，反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型，理解新定义并熟练运用是解题的关键． 6．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，直线垂直平分，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当时，求点P的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线的距离与点B到直线的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）和；（2）；（3）①或；②存在，0或或 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点， （1）由抛物线与y轴的交点可知其极限分割线，求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可得极限分割线与这条抛物线的另一个交点坐标； （2）由抛物线经过点，代入抛物线的解析式，可用m表示出n，将函数解析式中的n用m表示，再对解析式配方，则可得抛物线的对称轴，然后由抛物线的对称性可得点D的坐标； （3）①设与对称轴交于点G，若，则，由此可得关于m的绝对值方程，解得m的值，再求得相应的y值即可得出答案．②设与对称轴的交点为H，用含m的式子表示出点P的坐标，分别写出极限分割线、直线及直线的解析式，用含m的式子分别表示出点B到直线的距离和点P到直线的距离，根据点P到直线的距离与点B到直线的距离相等，得出关于m的绝对值方程，解方程即可； 明确题中的定义、熟练掌握二次函数的图象与性质及绝对值方程是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，极限分割线为， ∴， ∴，， ∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为， 故答案为：和； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵ ， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； （3）①设与对称轴交于点G，若，则， ∴， ∴或． ∴当时， ，点P的坐标为； 当时， ，点P的坐标为， ∴点P的坐标为或； ②存在，m的值为0或或． 如图，设与对称轴的交点为H． 由（2）知，， ， ∴， ∴抛物线的极限分割线：， ∵直线垂直平分， ∴直线：， ∴点B到直线的距离为， ∵直线与直线关于极限分割线对称， ∴直线：， ∵， ∴点P到直线的距离为|， ∵点P到直线的距离与点B到直线的距离相等， ∴， ∴或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$