期中考前满分冲刺之基础常考题-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

期中考前满分冲刺之基础常考题思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数与反比例函数的定义 1．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是y关于x的二次函数的有（   ） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列关系式中，是关于的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 （填序号） 5．已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ． 6．已知函数是二次函数，则m的取值范围为 ． 类型二、二次函数的图象与性质 1．抛物线上有两点，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知点，和都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 4．抛物线的对称轴是 ． 5．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 6．一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，对称轴及顶点与抛物线相同，则该抛物线的解析式是 ． 类型三、反比例函数的图象与性质 1．在函数的图象上有两点，已知，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．对于反比例函数，下列说法正确的是(      ) A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x的增大而增大 D．当时， 3．如图，反比例函数（是常数且）的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A． B．该函数图象经过点 C．当时，随的增大而减小 D．当， 4．双曲线经过点，则代数式的值为 ． 5．若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 6．已知反比例函数． （1）下列结论正确的是 ； A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象关于轴对称 （2）该反比例函数的图象一定经过的点是 ； A．    B．    C．    D． （3）已知点，在该反比例函数图象上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 类型四、比例的性质 1．若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．已知且，下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知，求 ． 5．，，则的值为 ． 6．若，且，则 ． 类型五、相似三角形的性质 1．已知，的周长是周长的一半，，，则边上的高等于（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．如图，是的边上一点，已知，．，若的面积为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 3．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知，且，，，则 ． 5．如图，，若，，则的长为 ． 6．如图中，，高，正方形如图所示，则正方形边长 ． 类型六、比例线段(含中项) 1．如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（    ）． A． B． C． D． 2．如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． 3．若a，b，b，c是成比例的线段，其中，，则线段b的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．15 4．已知a=4，c=13，则a，c的比例中项是 ． 5．在比例尺为1：100 000的盐都旅游地图上，测得大纵湖东晋水城与杨侍生态园的距离约为31 cm，则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为 km． 6．已知三条线段cm，m，b为a，c的比例中项，则 cm． 类型七、黄金分割 1．校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么叶片的长度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为（    ）．（结果保留根号）    A． B． C． D． 3．已知如图，点是线段的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，是乐器上的一根弦，且长为，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点（即），则支撑点与A之间的距离为 ．（结果保留根号） 5．如图，线段，在线段上找一点把分为和两段，其中，若，则点就叫做线段的黄金分割点，其中（或）的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是 ． 6．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 ． 类型八、平行线分线段成比例 1．如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，直线，，，则的长是 ． 5．如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，则 ． 6．如图，，，，则 ． 类型九、二次函数的平移 1．将抛物线向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 3．已知抛物线解析式为，把此抛物线先向左平移3各单位长度，再向下平移4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为 4．如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上有一条抛物线及抛物线上一点P，且抛物线为，点的坐标是．若将此透明胶片进行平移后，使点的坐标为，则此时抛物线的解析式为 ．    5．已知一个二次函数的图象过，，三点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)如何平移这个抛物线，使其顶点为坐标原点？写出这个变换过程并写出平移后所得二次函数解析式． 6．已知抛物线：． (1)若该拋物线经过平移后得到新拋物线，求平移的方向和距离； (2)若将该抛物线图象沿轴翻折，求得到新的抛物线的函数表达式． 类型十、相似三角形的判定 1．已知：在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（   ） A． B． C． D． 2．在下列方格纸中，画出了一些顶点在格点上的三角形，其中与相似的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，添加一个条件使得，则添加的条件是 ． 4．直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件： ①，②，③，④，⑤，能够判断的是 ． 5．如图，是的边上的一点，，，，求证：． 6．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之基础常考题思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数与反比例函数的定义 1．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，不符合题意； B、当时，不是二次函数，不符合题意； C、当时，不是二次函数，不符合题意； D、对于任意的m，一定是二次函数，符合题意； 故选：D． 2．下列函数中，是y关于x的二次函数的有（   ） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的定义：形如，是常数的函数是二次函数，根据定义依次判断即可 【详解】解：①是y关于x的二次函数； ②不是y关于x的二次函数； ③是y关于x的二次函数； ④不是y关于x的二次函数． 故选：B 3．下列关系式中，是关于的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数定义．根据题意形如“”形式称为是关于的反比例函数，逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：是反比例函数，B选项符合题意， 中是关于的正比例函数，A选项不符合题意， 和中也不是关于的反比例函数，C，D不符合题意， 故选：B． 4．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 （填序号） 【答案】②⑤ 【分析】本题考查了反比例函数定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数，故不符合要求； ②是反比例函数，故符合要求； ③不是反比例函数，故不符合要求； ④不是反比例函数，故不符合要求； ⑤是反比例函数，故符合要求； ⑥中，当时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数，故不符合要求； 故答案为：②⑤． 5．已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解一元二次方程，根据反比例函数的定义可得，然后求解即可，解题的关键是熟记反比例函数的定义：形如的函数叫做反比例函数． 【详解】∵函数是关于的反比例函数， ∴，解得：， 故答案为：． 6．已知函数是二次函数，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数定义．根据题意形如“”的形式叫做是的二次函数．继而得到，即得本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，即， 故答案为：． 类型二、二次函数的图象与性质 1．抛物线上有两点，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，则离y轴越远函数值越大，据此求出两点到y轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 ∴离y轴越远函数值越大， ∵在抛物线上，且， ∴， 故选：D． 2．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 3．已知点，和都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，由于是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向下，在的左边随的增大而增大，便可得出的大小关系． 【详解】∵抛物线， ∴对称轴为， ∵， ∴点关于的对称点， ∵， ∴在的左边随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：B． 4．抛物线的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在，对称轴为，顶点坐标为，把抛物线解析式化为顶点式即可求得答案． 【详解】解：， 对称轴为直线， 故答案为：直线． 5．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到二次函数开口向上，对称轴为直线，则在对称轴左侧y随x的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：． 6．一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，对称轴及顶点与抛物线相同，则该抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法确定函数关系式，根据二次函数图像与性质，结合待定系数法确定函数关系式即可得到答案． 【详解】解：一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， 设这条抛物线的解析数为， 这条抛物线的对称轴及顶点与抛物线相同， 的对称轴为，顶点为， ， 该抛物线的解析式为． 故答案为：． 类型三、反比例函数的图象与性质 1．在函数的图象上有两点，已知，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象及性质．根据题意利用反比例函数图象及性质可知随增大而减小，继而根据关系得到的关系． 【详解】解：∵函数的图象上有两点， ∴当时，随增大而减小， ∵， ∴， 故选∶D． 2．对于反比例函数，下列说法正确的是(      ) A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：反比例函数， A、当时，，图象经过点，故选项A不符合题意； B、∵，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意； C、在每个象限内，随的增大而增大，故选项C不符合题意； D、∵当时，，时， ∴当时，，故选项D符合题意； 故选：D． 3．如图，反比例函数（是常数且）的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A． B．该函数图象经过点 C．当时，随的增大而减小 D．当， 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴，故A正确，不符合题意； B. 当时，，则该函数图象经过点，故该选项正确，不符合题意； C. 根据函数图象可得，当时，随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； D. 根据函数图象可得，当，，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 4．双曲线经过点，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，先根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵、、， ∴A在第二象限，B，C在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．已知反比例函数． （1）下列结论正确的是 ； A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象关于轴对称 （2）该反比例函数的图象一定经过的点是 ； A．    B．    C．    D． （3）已知点，在该反比例函数图象上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 C D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质．根据反比例函数的性质逐项排查即可解答． 【详解】解：（1）∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限，图象与坐标轴没有公共点，图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，图象关于原点对称， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C； （2）∵反比例函数， ∴， ，，，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D； （3）由题意得，， ∴， 故答案为：． 类型四、比例的性质 1．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，根据题意设，则，代入代数式计算即可解题． 【详解】解：设，则， ∴， 故选：A． 2．已知且，下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，据此代值逐项计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴四个选项中只有D选项中的式子正确，符合题意， 故选：D． 3．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质的运用，根据题意，设，可得，代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，设， ∴， ∴， 故选：A ． 4．已知，求 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质得到，据此把代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知得到，，代入中即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即 即， 故答案为：． 类型五、相似三角形的性质 1．已知，的周长是周长的一半，，，则边上的高等于（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据，的周长是周长的一半，得出面积比，进而求得的面积，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵，的周长是周长的一半， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为， ∵， ∴的面积为 ∵，则边上的高等于 故选：B． 2．如图，是的边上一点，已知，．，若的面积为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴的面积的面积为， ∴的面积的面积， ∵的面积为， ∴的面积为， 故选． 3．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由，得出，，再由进行计算即可得出答案，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ，， ， 故选：C． 4．如图，已知，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据，得到，从而得到，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故答案为：4． 5．如图，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴或（舍去）， 故答案为：． 6．如图中，，高，正方形如图所示，则正方形边长 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题关键．设正方形的边长为，然后表示出的长度，再根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式，计算即可得解． 【详解】解：如下图，设与交于点，设正方形的边长为， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵为的高，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即 解得， ∴正方形边长． 故答案为：． 类型六、比例线段(含中项) 1．如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，设在地图上图距是的两地，实际距离是，，利用比例尺的定义得到，然后根据比例的性质求出即可，对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如  （即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．理解比例尺的定义是解决问题得关键． 【详解】 解：设在地图上图距是的两地，实际距离是， 根据题意得，解得， 故选：C． 2．如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的比，设，则，，据此即可求解． 【详解】解：设，则，， ∴， 故选：D． 3．若a，b，b，c是成比例的线段，其中，，则线段b的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．15 【答案】C 【分析】根据线段成比例，可以列出方程，代入数值求解即可． 【详解】解：∵a，b，b，c是成比例线段， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质，列方程求解． 4．已知a=4，c=13，则a，c的比例中项是 ． 【答案】 【分析】设a，c的比例中项为b，则，然后利用平方根的定义求解． 【详解】解：设a，c的比例中项为b， 根据题意得， ∵a=4，c=13， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例线段：正确理解比例中项的定义是解决问题的关键． 5．在比例尺为1：100 000的盐都旅游地图上，测得大纵湖东晋水城与杨侍生态园的距离约为31 cm，则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为 km． 【答案】31 【分析】图上的距离除以比例尺，算出实际距离，进而把厘米换算成千米即可． 【详解】解：由题意得， 故答案为：31． 【点睛】本题考查比例尺的实际应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 6．已知三条线段cm，m，b为a，c的比例中项，则 cm． 【答案】 【分析】根据比例中项的概念求解即可，b为a，c的比例中项，则． 【详解】解：由题意可得，b为a，c的比例中项，则， ∵cm，m ∴ 则，解得，负值舍去， 故答案为． 【点睛】此题考查了比例中项的概念，掌握比例中项的概念是解题的关键，注意求解时单位的换算． 类型七、黄金分割 1．校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么叶片的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，根据题意可得，据此即可求解，掌握黄金比是解题的关键． 【详解】解：∵为的黄金分割点，， ∴， ∴ ∵的长度为， ∴， 故选：． 2．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为（    ）．（结果保留根号）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割的概念：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，比值为．正确掌握黄金分割的概念是解题的关键． 因为线段有两个黄金分割点，因此根据黄金分割的概念分别求出两段较长线段的长度，最后根据即可得出结论． 【详解】点是靠近点的黄金分割点，， ， 点是靠近点的黄金分割点， ， ， 支撑点之间的距离为． 故选：A． 3．已知如图，点是线段的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握该知识是解题的关键． 根据黄金分割的定义可得，进而可得答案． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点（）， ∴， ∴， ∴选项C是正确的，其他选项都无法得到． 故选：C． 4．如图，是乐器上的一根弦，且长为，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点（即），则支撑点与A之间的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，设，则，，由得，再解方程即可； 【详解】解：设，则， ， 即， ， 即 解得，（舍）， 点A与点C之间的距离为， 故答案为：． 5．如图，线段，在线段上找一点把分为和两段，其中，若，则点就叫做线段的黄金分割点，其中（或）的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点，一元二次方程的计算，线段成比例的运用，根据题意，设，则，结合列式求解即可． 【详解】解：∵，设，则， ∴根据可得，， 整理得，， ∵， ∴， 当时，原分式方程中的分母不为0， ∴， 当时，， ∴； 当时，，不符合题意，舍去； ∴黄金分割数是， 故答案为： ． 6．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点，， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 类型八、平行线分线段成比例 1．如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】解：， ，， ， 选项A、B、C正确，不符合题意， 故选：D． 2．如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵， ∴，， 观察四个选项，选项A正确，符合题意， 故选：A． 3．如图，已知，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：， ， 故A，C，D不正确， 故选：B． 4．如图，直线，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 5．如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，则 ． 【答案】18 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：由平行截线求相关线段的长或比值；由，得出，结合线段和差关系，即，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：18． 6．如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 类型九、二次函数的平移 1．将抛物线向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据图象的平移规律，可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是，即． 故选：C 3．已知抛物线解析式为，把此抛物线先向左平移3各单位长度，再向下平移4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移方法，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据“上加下减，左加右减”的法则，得出将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后的解析式即可． 【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的解析式为： ． 故答案为：． 4．如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上有一条抛物线及抛物线上一点P，且抛物线为，点的坐标是．若将此透明胶片进行平移后，使点的坐标为，则此时抛物线的解析式为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，坐标与图形变化—平移，先根据平移前后点的坐标判断出平移方式，再根据二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律可得答案．熟练掌握平移规律是解题关键． 【详解】解：∵点的坐标是．若将此透明胶片进行平移后，使点的坐标为， ∴抛物线的平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后的解析式为． 故答案为： 5．已知一个二次函数的图象过，，三点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)如何平移这个抛物线，使其顶点为坐标原点？写出这个变换过程并写出平移后所得二次函数解析式． 【答案】(1) (2)向左平移个单位，再向上平移个单位得到 【分析】此题考查了待定系数法求出二次函数解析式和二次函数的平移，解题的关键是掌握以上知识点． （1）设二次函数的解析式为，将三个点代入求得a、b、c，即可解得； （2）首先将配方成，然后根据二次函数的平移规律求解即可． 【详解】（1）设二次函数的解析式为， 根据题意得， 解得 ∴； （2）∵ ∴顶点坐标为 ∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到，顶点坐标为原点． 6．已知抛物线：． (1)若该拋物线经过平移后得到新拋物线，求平移的方向和距离； (2)若将该抛物线图象沿轴翻折，求得到新的抛物线的函数表达式． 【答案】(1)向左平移4个单位，向上平移6个单位 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及二次函数的平移和翻折． （1）将抛物线的函数表达式化为顶点式，根据平移的规律“左加右减，上加下减”即可得出答案； （2）根据翻折的性质，即可得到新的抛物线的函数表达式． 【详解】（1）解：抛物线：， 平移后的新抛物线：， 把原抛物线向左平移4个单位，向上平移6个单位可得到新抛物线； （2）将抛物线图象沿轴翻折，得到新的抛物线的开口方向与原来相反，顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于x轴对称， 新的抛物线的函数表达式为：． 类型十、相似三角形的判定 1．已知：在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．在下列方格纸中，画出了一些顶点在格点上的三角形，其中与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解． 【详解】解：由格点图可知：，则有： A、，所以该两个三角形不相似； B、，所以该两个三角形不相似； C、，所以该两个三角形不相似； D、，三边对应成比例，所以该两个三角形相似； 故选D． 3．已知，添加一个条件使得，则添加的条件是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查相似三角形的判定，由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可得证．掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， 当或或时，． 故答案为：或或． 4．直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件： ①，②，③，④，⑤，能够判断的是 ． 【答案】②⑤ 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定方法，分别进行判定即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故此选项错误； ②，可以根据相似三角形的判定方法中的平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，判断出，故此选项正确； ③，缺少夹角相等，故不能判定，故此选项错误； ④，又∵， ∴，故此选项错误； ⑤可以变形为：， 又∵， ∴，故此选项正确； 故正确的有2个． 故答案为：②⑤． 5．如图，是的边上的一点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的证明，根据相似三角形的判定方法，两边对应成比例和夹角相等即可得出结论． 【详解】证明：，， ， ， ， 为公共角， ． 6．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$