24.2 圆的基本性质（9知识点+6题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪科版）

24.2 圆的基本性质 课程标准 学习目标 ①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等弦、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系。 ②探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧； ③了解三角形的外心； ④能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆。 1.了解圆的两种定义、与圆有关的概念、圆的轴对称性和中心对称性;掌握同圆或等圆的半径相等的性质. 2.探索并了解点和圆的位置关系 3.探究并掌握垂径定理及其推论和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其推论。 4.了解三角形的外接圆、外心的概念及性质；明确不在同一条直线上的三点确定一个圆；会画三角形的外接圆。 5.了解反证法的基本思路和一般步骤，能利用反证法证明简单的命题 知识点01 圆的概念及特征 ·定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径 ·圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 圆可以看成：平面内到定点（圆心 Ｏ）的距离等于定长（半径 ｒ）的所有点组成的图形 【即学即练1】如图，在 中， （1）半径有： ．（2）直径有： ． 知识点02 点与圆的位置关系 ·点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d（OP）， （1）点P在圆上⇔d=r（OP=r）；（2）点在圆内⇔d＜r（OP＜r）；（3）点在圆外⇔d＞r（OP＞r） 【即学即练2】已知的半径为3，，则点和的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不确定 知识点03 与圆有关的概念 ·弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。例：以A、B为端点的弧记作，读作“弧AB” ·弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 【即学即练3】如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． ·直径：经过圆心的弦叫做直径，同圆中所有的半径相等。 【即学即练4】已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． ·优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。 【即学即练5】（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 ·等圆：能够互相重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。 ·同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 ·等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 ·弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 【即学即练6】下列说法中，正确的个数为（   ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点04 垂径定理 ·垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 几何表述： 在⊙O中， CD是直径，AB是弦， ∵CD⊥AB，垂足为Ｅ， ∴ 【即学即练7】利用勾股定理或垂径定理解决下列问题： （1）如图，是的弦，是的中点．连接并延长交于点．若，则的半径是 ． （2）如图，弦直径于点．若，则 ． （3）如图，是的直径，弦，垂足为点．若，则的直径为 ． （4）如图，在中，于点．若，则的长为 ． ·垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 【即学即练8】如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 知识点05 圆的对称性 ·弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距 ·圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 ·圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 【即学即练9】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）下列说法正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．劣弧一定比优弧短 D．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 知识点06 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 ·圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 ·定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对弦的弦心距相等。 几何表述： 如图，∵∠AOB＝∠A′OB′ ∴，AB=AB，OM=OM ·推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距（弦到圆心的距离）中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等 简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等 【即学即练10】下列说法正确的是（　 　） A．同弧或等弧所对的圆心角相等 B．所对圆心角相等的弧是等弧 C．弧长相等的弧一定是等弧 D．平分弦的直径必垂直于弦 知识点07 确定圆的条件 ·两点确定一条直线 ·圆是一个平面，确定一个平面需要三个点，所以确定一个圆需要三个点（根据圆的定义，确定圆心的位置和半径，圆就确定了 【即学即练11】（2024·河北沧州·模拟预测）小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含度，度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点，，，的说法，正确的是（    ） A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 ·作法： （1）连接ＡＢ，ＢＣ， （2）分别作线段 ＡＢ，ＢＣ 的垂直平分线，设它们交于点Ｏ． （3）以点Ｏ为圆心、ＯＡ为半径作圆．则⊙Ｏ即为所作 总结：经过不在同一条直线上的三点Ａ、Ｂ、Ｃ的圆，其圆心只能是线段ＡＢ，ＢＣ的垂直平分线的交点O 所以，不在同一直线上的三个点确定一个圆。 【即学即练12】在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 知识点08 与三角形的外接圆相关的概念 ·三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 ·三角形的外心：外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. ·三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等 【即学即练13】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）三角形的外心是 的交点． 【即学即练14】如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心O，并写出圆心坐标是______； (2)判断点与的位置关系，说明理由； (3)最小覆盖圆的半径为______． 【即学即练15】如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 知识点09 反证法 ·反证法：先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论成立，这样的证明方法叫做反证法 ·用反证法证明命题的一般步骤 (1)反设：假设命题的结论不成立； (2)推理：从(1)中的“反设”出发，逐步推理直至出现与已知条件、定义 、基本事实、定理等中任一个相矛盾的结果； (3)结论：由矛盾的结果判定(1)中的“反设”不成立,从而肯定命题的结论成立. 【即学即练16】用反证法证明时，假设结论“点在圆上”不成立，那么点与圆的位置关系可能是（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．点在圆内或圆外 ·根据垂径定理添加辅助线构造直角三角形解决问题 方法：连接圆心与弦的端点，构造直角三角形 案例：→ → → ·根据圆的定义确定动点的轨迹 题干条件：①出现一个动点P绕一个定点O进行运动，且OP长度为一个定值时，动点P的轨迹即为以O为圆心，OP为半径的圆。 ②出现直角三角形时，即动点作为顶点所构成的角为90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（等于半径），根据定义确定动点轨迹为圆。 此时这个圆就是我们要画的辅助圆，再根据题干转化问题。 常见问题：求一点到圆上点距离的最值问题 案例：参考下方题型一 【题型一：求一点到圆上点距离的最值】 例1．如图，正方形的边长为4，点P是以为直径的半圆O上一点，则的最小值为 ． 变式1-1.（2023·河南信阳·模拟预测）如图，边长为2的正方形的边的中点为，正方形所在平面内有一个到点的距离始终为1的动点，以为直角边作等腰直角，则斜边的最大值为 ，最小值为 ． 变式1-2.（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在矩形中，是矩形内一动点，且满足，则线段的最小值是（    ） A． B． C．8 D．5 例2.（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是中点，是内一动点，且满足，则的最小值是（    ）      A． B． C． D． 例3.（2024·安徽蚌埠·二模）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑该自行车的过程中，记的最大值为，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【技巧方法与总结】①根据条件（圆的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；②圆外一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为PO-r 【题型二：根据垂径定理求弦心距或弦长】 例4．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，圆O的半径垂直弦于点C，连接并延长交圆O于点E，连接．若，则长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 变式4-1. （22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．    (1)求的半径长； (2)连接，作于点F，求的长． 变式4-2．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，半径弦于点C，交于点D，是的直径，连接，若，，求的长． 例5.（2024·安徽马鞍山·一模）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度是（　　） A．9 B． C． D． 变式5．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图在中，是直径，P为上一点（点P不与A，B两点重合），弦过点P，．，则的长为 ． 【方法技巧与总结】 此类问题，①先根据垂径定理做辅助线构造直角三角形；②再运用勾股定理和方程思想，设未知量，直接求弦心距或弦长； 【题型三：根据垂径定理求过圆内一点的最长（短）弦】 例6．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，已知线段，点P是平面内一点，且，则的周长最大值是 ． 例7．（2024·贵州毕节·模拟预测）如图，是内一点，且的半径为5，，则经过点的弦的长度最短为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 变式7．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若点P为内一点，过点P的最长弦长为8，最短弦长为4，则线段长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【方法技巧与总结】过圆内一点P的最长的弦是圆的直径，最短弦是与直径垂直的弦。 【题型四：垂径定理的实际应用】 例8．（2023·上海金山·二模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知，则球的半径长是（　　）    A． B． C． D． 例9.（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，求该桨轮船轮子的直径． 变式9．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）春节临近，某工艺装饰礼品店一款流沙画创意摆件颇受消费者青睐，这款工艺摆件的主体轮廓是由一个圆和一个形卡座组成的轴对称图形，如图所示．卡座下底部，，，，，在同一条直线上，且，，卡座的高度为，的最低点到CD的距离为，求摆件的最大高度．（结果精确到，参考数据：，，）    例10．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．如图，用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．这根圆柱形木材的直径是多少寸？ 变式10． “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则直径的长为多少？ 【方法技巧与总结】 垂径定理+勾股定理+方程思想 【题型五：根据垂径定理尺规作图】 例11．如图，过内的一点P画弦AB，使P是AB中点．（保留作图痕迹，不写画法）    例12．如图，在中，，，是的外接圆．    (1)请用圆规和无刻度的直尺画出，不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑； (2)求的半径； (3)若在同一平面内的也经过、两点，且，请直接写出的半径的长． 变式12.如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A、B、C．    (1)用尺规作图法找出弧所在圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰．求圆片的半径R． 【方法技巧与总结】与垂径定理有关的基本尺规作图：作弦的垂直平分线（①作任意弦，②再作弦的垂直平分线；③重复一次，确定圆心） 【题型六：圆综合】 例13.（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，直径与弦的延长线相交于点，，，弦于点，连接．    (1)求的度数． (2)若，求的长． 例14．（2024·安徽·一模）如图1，为的直径，弦于点G，且B为弧的中点，交于点H，若，．    (1)求的长； (2)如图2，连接．求证：． 一、选择题 1．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的外心到三角形三边的距离相等 3．（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）下列命题中，正确的有（    ） ①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④长相等的弧是等弧．⑤相等的圆心角所对的弧度数相等 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，在半径为5的中，弦与弦互相垂直，垂足为点E，如果，那么的长为（   ） A． B．3 C．4 D． 5．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若点P为内一点，过点P的最长弦长为8，最短弦长为4，则线段长为（    ） A．2 B． C．3 D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①直径是圆中最长的弦； ②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等； ⑥顶点在圆上的角是圆周角； ⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴； ⑨半圆是弧； ⑩过圆心的线段是直径． 7．如图，点在上，，则的度数为 8．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的直径，点在上，于点．已知，，则的半径为 ． 9.如图，点，，在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为 ． 10．（2024·安徽阜阳·二模）如图，为的内接三角形，，，则的半径为 ． 11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为．一场雨过后，水面宽变为，则水位上升 ． 三、解答题 12．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，求∠2的度数． 13．（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）如图，两个同心圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于、两点，求证：． 14．（23-24九年级上·江西赣州·期中）唐代桨轮船是原始形态的轮船．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为6m，轮子的吃水深度为1.5m，求该桨轮船的轮子直径． 15．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图所示的拱桥，用弧表示桥拱．    (1)若弧所在圆的圆心为，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心．（不写作法，但要保留作图痕迹） (2)若拱桥的跨度（弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，求拱桥的半径． 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    3.（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求的度数． 4.如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米，    (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米是否要采取紧急措施？ 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，的半径为5，弦的长为6，延长至点，使得点为的中点，在上任取一点，连接、，则的最大值为（    ）    A．290 B．272 C．252 D．244 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）是的直径，弦，垂足为，连接，，．    (1)如图1，连接，，若是的中点，求证：四边形是菱形． (2)如图2，作的平分线，交⊙O于点E，求证：为的中点 (3)如图3，若的半径是1，，求点到弦的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.2 圆的基本性质 课程标准 学习目标 ①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等弦、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系。 ②探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧； ③了解三角形的外心； ④能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆。 1.了解圆的两种定义、与圆有关的概念、圆的轴对称性和中心对称性;掌握同圆或等圆的半径相等的性质. 2.探索并了解点和圆的位置关系 3.探究并掌握垂径定理及其推论和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其推论。 4.了解三角形的外接圆、外心的概念及性质；明确不在同一条直线上的三点确定一个圆；会画三角形的外接圆。 5.了解反证法的基本思路和一般步骤，能利用反证法证明简单的命题 知识点01 圆的概念及特征 ·定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径 ·圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 圆可以看成：平面内到定点（圆心 Ｏ）的距离等于定长（半径 ｒ）的所有点组成的图形 【即学即练1】如图，在 中， （1）半径有： ．（2）直径有： ． 【答案】 ， 知识点02 点与圆的位置关系 ·点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d（OP）， （1）点P在圆上⇔d=r（OP=r）；（2）点在圆内⇔d＜r（OP＜r）；（3）点在圆外⇔d＞r（OP＞r） 【即学即练2】已知的半径为3，，则点和的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不确定 【答案】B 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有三种：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有 ①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内． 【详解】解：∵的半径为3，， ∴， ∴点在圆外， 故选B 知识点03 与圆有关的概念 ·弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。例：以A、B为端点的弧记作，读作“弧AB” ·弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 【即学即练3】如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【答案】 三/3 ，， 【知识点】求圆中弦的条数 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． ·直径：经过圆心的弦叫做直径，同圆中所有的半径相等。 【即学即练4】已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆的基本概念辨析、求过圆内一点的最长弦 【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【详解】解：∵的半径是， ∴中最长弦长是． 故选：C． ·优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。 【即学即练5】（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查圆的相关定义，根据弦的定义对A进行判断；根据直径的定义对B进行判断；不能确定，则可对C进行判断；根据劣弧和优弧的定义对D进行判断． 【详解】解：A．线段，都是的弦，不是，所以A选项不符合题意； B．线段经过圆心O，线段是直径，所以B选项符合题意； C．当点D为的中点时，，所以C选项不符合题意； D． 为优弧，所以D选项不符合题意． 故选：B． ·等圆：能够互相重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。 ·同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 ·等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 ·弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 【即学即练6】下列说法中，正确的个数为（   ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了等圆、等弧、弦的相关定义，利用等圆及弧、弦的概念对说法进行判断即可得到答案． 【详解】解：①面积相等的圆是等圆，故原说法正确； ②连接圆周上两点并通过圆心的线段是圆的直径，故原说法错误； ③等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，故原说法错误； ④连接圆上任意两点的线段叫作弦，半径不是弦，故原说法错误； ⑤连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是最长的弦，故原说法正确； ⑥等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，即等弧所在的圆一定是等圆或同圆，故原说法正确 ∴正确的说法有①⑤⑥，共3个． 故选：C． 知识点04 垂径定理 ·垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 几何表述： 在⊙O中， CD是直径，AB是弦， ∵CD⊥AB，垂足为Ｅ， ∴ 【即学即练7】利用勾股定理或垂径定理解决下列问题： （1）如图，是的弦，是的中点．连接并延长交于点．若，则的半径是 ． （2）如图，弦直径于点．若，则 ． （3）如图，是的直径，弦，垂足为点．若，则的直径为 ． （4）如图，在中，于点．若，则的长为 ． 【答案】 5 12 10 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． （1）连接半径，由垂径定理列出方程即可； （2）连接半径，由垂径定理列出方程即可； （3）连接半径，由垂径定理列出方程即可； （4）根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接、，设的半径为 是的中点， ， ， 即 解得： 故的半径为． （2）如图，连接， 的半径为 弦直径 则由垂径定理有， 即 ． （3）如图，连接，设的半径为 是的直径，弦， 则由垂径定理有， 解得： 则 故的直径为． （4）， 由勾股定理可得 则在中，由勾股定理可得 解得：． ·垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 【即学即练8】如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧． 根据垂径定理得出，再根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：∵圆心到弦的距离为2， ∴， ∵弦的长为4， ∴， ∴， 即圆O的半径长是， 故选：C． 知识点05 圆的对称性 ·弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距 ·圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 ·圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 【即学即练9】（23-24九年级上·河北廊坊·期中）下列说法正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．劣弧一定比优弧短 D．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆的相关性质；根据圆的相关性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧；故本选项错误； B. 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误； C. 在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短．故本选项错误； D. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴． 故选：D． 知识点06 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 ·圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 ·定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对弦的弦心距相等。 几何表述： 如图，∵∠AOB＝∠A′OB′ ∴，AB=AB，OM=OM ·推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距（弦到圆心的距离）中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等 简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等 【即学即练10】下列说法正确的是（　 　） A．同弧或等弧所对的圆心角相等 B．所对圆心角相等的弧是等弧 C．弧长相等的弧一定是等弧 D．平分弦的直径必垂直于弦 【答案】A 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】利用圆中的基本概念逐个分析选项即可． 【详解】解：A. 同弧或等弧所对的圆心角相等．选项说法正确，符合题意； B. 所对圆心角相等的弧是等弧．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故选项说法错误，不符合题意； C. 弧长相等的弧一定是等弧．长度相等的不一定是等弧，但等弧的长度相等，故选项说法错误，不符合题意； D. 平分弦的直径必垂直于弦．需要添加此弦非直径的条件，故选项说法错误，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查圆的基本概念，解题的关键是掌握并理解与圆有关的基本概念． 知识点07 确定圆的条件 ·两点确定一条直线 ·圆是一个平面，确定一个平面需要三个点，所以确定一个圆需要三个点（根据圆的定义，确定圆心的位置和半径，圆就确定了 【即学即练11】（2024·河北沧州·模拟预测）小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含度，度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点，，，的说法，正确的是（    ） A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 【答案】C 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、圆的基本概念辨析、判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查圆的定义，点和圆的位置关系，直角三角形斜边中线性质，熟练掌握这些定义和性质是解题的关键．甲图中，取中点，连接，，得出，得点、、是以点为圆心，为半径的圆上，再判断点在圆外即可；乙图中，取中点，连接，，得，即可判断． 【详解】解：如甲图中，取中点，连接，， ∵， ∴， ∴点、、是以点为圆心，为半径的圆上， 为直角三角形， ∴， ∴点在圆外， ∴甲图四点不共圆； 如乙图中，取中点，连接，， ∵， ∴， ∴点、、、是以点为圆心，为半径的圆上， ∴乙图四点共圆， 综上，甲图四点不共圆，乙图四点共圆， 故选：C． ·作法： （1）连接ＡＢ，ＢＣ， （2）分别作线段 ＡＢ，ＢＣ 的垂直平分线，设它们交于点Ｏ． （3）以点Ｏ为圆心、ＯＡ为半径作圆．则⊙Ｏ即为所作 总结：经过不在同一条直线上的三点Ａ、Ｂ、Ｃ的圆，其圆心只能是线段ＡＢ，ＢＣ的垂直平分线的交点O 所以，不在同一直线上的三个点确定一个圆。 【即学即练12】在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【知识点】坐标与图形、判断确定圆的条件 【分析】本题考查确定圆的条件，不在同一直线上的三个点确定一个圆．判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 知识点08 与三角形的外接圆相关的概念 ·三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 ·三角形的外心：外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. ·三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等 【即学即练13】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）三角形的外心是 的交点． 【答案】三角形三条边的线段垂直平分线 【知识点】 三角形外接圆的说法辨析 【分析】本题主要考查了三角形外心的概念，掌握外心的定义和性质是本题的解题关键． 【详解】解：∵三角形的外心到三角形三个顶点的距离相同， ∴三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点， 故答案为：三角形三条边的线段垂直平分线． 【即学即练14】如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心O，并写出圆心坐标是______； (2)判断点与的位置关系，说明理由； (3)最小覆盖圆的半径为______． 【答案】(1)，图见解析 (2)点在圆外 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】（1）分别作边的垂直平分线，交点即为圆心O； （2）用勾股定理分别求出，，比较即可； （3）取中点P，连接，最小覆盖圆的半径为的长，用勾股定理求解即可． 【详解】（1） 分别作边的垂直平分线，相交于点 （2）∵， ∴ 由图可得： ∴ ∴ ∴点在圆外； （3）取中点P，连接， 最小覆盖圆的半径为的长， ∴ 【点睛】本题考查勾股定理，点与圆的位置关系，三角形的外接圆等，灵活运用所学知识是关键． 【即学即练15】如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、 三角形外接圆的说法辨析、求三角形外心坐标 【分析】此题考查了三角形外心，坐标与图形，垂直平分线的性质，首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心，解题的关键是正确理解三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 【详解】解：如图， ∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心， 根据坐标可得：， 故选：B． 知识点09 反证法 ·反证法：先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论成立，这样的证明方法叫做反证法 ·用反证法证明命题的一般步骤 (1)反设：假设命题的结论不成立； (2)推理：从(1)中的“反设”出发，逐步推理直至出现与已知条件、定义 、基本事实、定理等中任一个相矛盾的结果； (3)结论：由矛盾的结果判定(1)中的“反设”不成立,从而肯定命题的结论成立. 【即学即练16】用反证法证明时，假设结论“点在圆上”不成立，那么点与圆的位置关系可能是（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．点在圆内或圆外 【答案】D 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：反证法证明时，假设结论“点在圆上”不成立，那么点与圆的位置关系可能是点在圆内或圆外， 故选：D． 【点睛】本题考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．也考查了点和圆的位置关系． ·根据垂径定理添加辅助线构造直角三角形解决问题 方法：连接圆心与弦的端点，构造直角三角形 案例：→ → → ·根据圆的定义确定动点的轨迹 题干条件：①出现一个动点P绕一个定点O进行运动，且OP长度为一个定值时，动点P的轨迹即为以O为圆心，OP为半径的圆。 ②出现直角三角形时，即动点作为顶点所构成的角为90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（等于半径），根据定义确定动点轨迹为圆。 此时这个圆就是我们要画的辅助圆，再根据题干转化问题。 常见问题：求一点到圆上点距离的最值问题 案例：参考下方题型一 【题型一：求一点到圆上点距离的最值】 例1．如图，正方形的边长为4，点P是以为直径的半圆O上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】求一点到圆上点距离的最值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是圆外一点与圆的距离的最小值，勾股定理的应用，如图，连接，，交半圆O于点，利用勾股定理求解，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接，，交半圆O于点， ， 在中，，， ∴， 当点P与点重合时，取得最小值． 故答案为： 变式1-1.（2023·河南信阳·模拟预测）如图，边长为2的正方形的边的中点为，正方形所在平面内有一个到点的距离始终为1的动点，以为直角边作等腰直角，则斜边的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【知识点】求一点到圆上点距离的最值、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了正方形的性质、圆外一点到圆上点的距离的最值等知识， 先确定点位于以点为圆心，半径为1的圆上．连接交于点，延长交于点，则，进一步求解即可． 【详解】解：由题意可知，点位于以点为圆心，半径为1的圆上．如图，连接交于点，延长交于点，则， ∵边长为2的正方形的边的中点为， ∴ ∴， ∴， 由图可知，的最大值为，最小值为， ∵以为直角边作等腰直角， ∴斜边始终为的倍． 的最大值为，最小值为． 故答案为：， 变式1-2.（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在矩形中，是矩形内一动点，且满足，则线段的最小值是（    ） A． B． C．8 D．5 【答案】A 【知识点】求一点到圆上点距离的最值、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】根据矩形的性质，得，结合，得到故，得到在以为直径的圆E上，此时点E为的中点，当点E,P，D三点共线时，线段有最小值，根据勾股定理计算即可，本题考查了矩形的性质，辅助圆的构造方法，圆的性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形中， ∴，，， ∵， ∴ 故， ∴在以为直径的圆E在矩形内部的弧上，此时点E为的中点， 连接，设与圆弧的交点为F， 当点E,P，D三点共线时，线段有最小值， 此时点P与点F重合， ∴， ∴， ∴， 故选A． 例2.（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是中点，是内一动点，且满足，则的最小值是（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一点到圆上点距离的最值、用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】本题考查求圆外一点到圆上一点的最值，根据，得到点在以为直径的上，利用一箭穿心模型，得到三点共线时，的值最小，为，进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴点在以为直径的上， 连接，则：，，    当三点共线时，的值最小， 连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故选A． 例3.（2024·安徽蚌埠·二模）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑该自行车的过程中，记的最大值为，最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、求一点到圆上点距离的最值 【分析】连接交于，交于，延长交于点，证四边形是菱形，得，，，利用勾股定理得，从而，由当与重合是取最小值，当与重合是取最大值，进而分别求出，的值代入即可得解． 【详解】解：连接交于，交于，延长交于点， ∵，，均是边长为的等边三角形． ∴，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点为后轮上的一点， ∴当与重合时取最小值，当与重合时取最大值， ∵在骑该自行车的过程中，记的最大值为，最小值为，圆（后轮）的半径均为， ∴，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减及乘法，等边三角形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，圆的认识，熟练掌握菱形的判定及性质是解题的关键． 【技巧方法与总结】①根据条件（圆的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；②圆外一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为PO-r 【题型二：根据垂径定理求弦心距或弦长】 例4．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，圆O的半径垂直弦于点C，连接并延长交圆O于点E，连接．若，则长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，三角形中位线性质，设的半径为r，在中，利用勾股定理求出r，再利用三角形的中位线定理即可解决问题． 【详解】解：设的半径为r， ，， ， 为直径， ， 是的中点， ， 在中， ， ， ， ， ． 故选：A． 变式4-1. （22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．    (1)求的半径长； (2)连接，作于点F，求的长． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理求线段是解题的关键． （1）连接，如图，设的半径长为r，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】（1）解：连接，如图，设的半径长为r， ∵， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， 解得， 即的半径长为5； （2）解：在中， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 即的长为．    变式4-2．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，半径弦于点C，交于点D，是的直径，连接，若，，求的长． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理、中位线的性质以及勾股定理：先根据得，易证是的中位线，求出，再根据勾股定理求出，即可作答． 【详解】解：由题意可知．垂直平分，． 点是中点， 又∵是的直径．即点是中点， ∴是的中位线． ∴． 在中， ∵． ∴． ∴． 例5.（2024·安徽马鞍山·一模）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度是（　　） A．9 B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质、灵活利用方程思想是解题关键，先利用垂径定理得出，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴， 设，则有， ， ， 在中，， ∴． 故选：D． 变式5．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图在中，是直径，P为上一点（点P不与A，B两点重合），弦过点P，．，则的长为 ． 【答案】 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，完全平方公式等知识点，关键是作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理来解决问题． 作于，得到，由，得到圆的半径长，由是等腰直角三角形，得到的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长． 【详解】解：作于， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：． 【方法技巧与总结】 此类问题，①先根据垂径定理做辅助线构造直角三角形；②再运用勾股定理和方程思想，设未知量，直接求弦心距或弦长； 【题型三：根据垂径定理求过圆内一点的最长（短）弦】 例6．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，已知线段，点P是平面内一点，且，则的周长最大值是 ． 【答案】12 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、求过圆内一点的最长弦 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和圆的性质，以为弦，构造延长到Q，使得，连接，则，此时周长，结合为定值，当为直径时，即P为圆心时，为等边三角形，即，即可求得最小值． 【详解】解：如图：以为弦，构造延长到Q，使得，连接， 则，周长 ∵为定值， ∴当为直径时，即P为圆心时，为等边三角形， ∴， 则周长的最大值． 故答案为：12． 例7．（2024·贵州毕节·模拟预测）如图，是内一点，且的半径为5，，则经过点的弦的长度最短为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、求过圆内一点的最长弦、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是明白：过与垂直的弦是圆的最短的弦，直径是圆的最长的弦．连接，过作弦，此时是过的最短的弦，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到，过的最长的弦是圆的直径是10，于是得到经过点的弦长的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：连接，过作弦，此时是过的最短的弦， ， 圆的半径为5，， ， ， 过的最长的弦是圆的直径是10， 经过点的弦的长， 过点的弦的长度最短为8． 故选：B． 变式7．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若点P为内一点，过点P的最长弦长为8，最短弦长为4，则线段长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求值、求过圆内一点的最长弦、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是8；最短弦即是过点且垂直于过点的直径的弦；根据垂径定理即可求得的长，再根据勾股定理求得的长． 【详解】解：连接，如图所示： 根据题意得：，，于点， 则， ， ， ， 故选：D． 【方法技巧与总结】过圆内一点P的最长的弦是圆的直径，最短弦是与直径垂直的弦。 【题型四：垂径定理的实际应用】 例8．（2023·上海金山·二模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知，则球的半径长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】设圆心为，过点作于点，交于点，连接，设，则，，然后在中利用勾股定理求得的长即可．本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：设圆心为，过点作于点，交于点，连接，   四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 设，则， ，， 在中， 即： 解得：， 故选：B． 例9.（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，求该桨轮船轮子的直径． 【答案】该桨轮船轮子的直径为 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】过点作，连接，利用垂径定理得到是直角三角形，，最后利用勾股定理即可解答．本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：过点作，连接， ∴，， ∴是直角三角形， ∵，， ∴，， ∴设， ∴在中，， ∴， 解得：， 即， ∴该桨轮船轮子的直径为． 变式9．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）春节临近，某工艺装饰礼品店一款流沙画创意摆件颇受消费者青睐，这款工艺摆件的主体轮廓是由一个圆和一个形卡座组成的轴对称图形，如图所示．卡座下底部，，，，，在同一条直线上，且，，卡座的高度为，的最低点到CD的距离为，求摆件的最大高度．（结果精确到，参考数据：，，）    【答案】这个摆件的最大高度为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题是圆与解直角三角形应用的综合，考查了解直角三角形，勾股定理，垂径定理等知识； 过A作于点H，应用解直角三角形的知识及已知求出的长；过点O作于点P，分别交于点M，Q，交于点N，连接，利用垂径定理及已知求出；设的半径为r，在中利用勾股定理建立方程求出r，即可求得摆件的最大高度． 【详解】解：如图，过A作于点H，则，由题意得：． ∴在中，， ∴，    ∵， ∴； 过点O作于点P，分别交于点M，Q，交于点N，连接， 由垂径定理，得：， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴． 设的半径为r，则， 在中，由勾股定理，得：， 即，解得：； ∴直径， ∴， 即摆件的最大高度为． 答：这个摆件的最大高度为． 例10．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．如图，用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．这根圆柱形木材的直径是多少寸？ 【答案】这根圆形木材的直径为26寸 【知识点】利用垂径定理求值、垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．解决问题的关键是从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解． 【详解】解：由题可知， ∵为半径， ∴尺寸， 设， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴这根圆形木材的直径为26寸． 变式10． “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则直径的长为多少？ 【答案】寸 【知识点】利用垂径定理求值、垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点E为的中点，由可求出的长，再设出设圆O的半径的长为x，表示出，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵ ∴， 设圆O的半径的长为x，则 ∵， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ，化简得：， 即， 解得： 所以（寸）． 【方法技巧与总结】 垂径定理+勾股定理+方程思想 【题型五：根据垂径定理尺规作图】 例11．如图，过内的一点P画弦AB，使P是AB中点．（保留作图痕迹，不写画法）    【答案】见解析 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、作垂线(尺规作图) 【分析】先作过P点的半径，然后过P点作的垂线交于A、B，则满足条件． 【详解】解：如图，为所作．    【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂径定理． 例12．如图，在中，，，是的外接圆．    (1)请用圆规和无刻度的直尺画出，不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑； (2)求的半径； (3)若在同一平面内的也经过、两点，且，请直接写出的半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）分别作出两边的垂直平分线，交点即为圆心O； （2）过点作，垂足为，连接、，根据勾股定理即可求解； （3）分两种情况说明的半径的长． 【详解】（1）解：如图所示： 变式12.如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A、B、C．    (1)用尺规作图法找出弧所在圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰．求圆片的半径R． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O； （2）构建直角，利用勾股定理列方程可得结论． 【详解】（1）分别作和的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；    【方法技巧与总结】与垂径定理有关的基本尺规作图：作弦的垂直平分线（①作任意弦，②再作弦的垂直平分线；③重复一次，确定圆心） 【题型六：圆综合】 例13.（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，直径与弦的延长线相交于点，，，弦于点，连接．    (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用垂径定理求值、圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了圆的基本知识，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质； （1）根据，，得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，最后根据三角形外角的性质得出答案即可． （2）根据握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出，根据直角三角形求出CH，由垂径定理得． 【详解】（1）解：连接，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）∵，， ∴， ，是直径 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 例14．（2024·安徽·一模）如图1，为的直径，弦于点G，且B为弧的中点，交于点H，若，．    (1)求的长； (2)如图2，连接．求证：． 【答案】(1)4 (2)见详解 【知识点】利用垂径定理求值、线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】（1）由于垂径定理，得，结合三角形的外角性质，得，即可通过证明，则，即可作答． （2）结合半径相等，得点O在的垂直平分线上，由（1）知，则，得到，点H在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）解：连接，交于一点，如图所示：    ∵B为弧的中点 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解： 连接，交于一点，如图所示：    ∵ ∴，点O在的垂直平分线上 由（1）知， ∴ ∴，点H在的垂直平分线上 ∴所在的直线是的垂直平分线上 ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，垂直平分线的判定、垂直平分线的性质，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 一、选择题 1．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】求过圆内一点的最长弦 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的外心到三角形三边的距离相等 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析、 三角形外接圆的说法辨析 【分析】本题考查三角形的内心和外心、垂径定理、确定圆的条件，根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，可以判断A；根据垂径定理可以判断B；根据正多边形的定义，可以判断C；根据三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，可以判断D． 【详解】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，故选项A错误，不符合题意； 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，故选项B正确，符合题意； 各边都相等各角都相等的多边形是正多边形，故选项C错误，不符合题意； 三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）下列命题中，正确的有（    ） ①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④长相等的弧是等弧．⑤相等的圆心角所对的弧度数相等 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析、 三角形外接圆的说法辨析 【分析】①对称轴是一条直线②经过在一条直线上的三点无法做圆③外心的定义及性质④⑤等弧的定义，依次判断，即可求解， 本题考查了圆，三角形外心的性质，等弧，解题的关键是：熟练掌握相关性质． 【详解】解：①圆的对称轴是直径所在的直线，故此命题错误， ②不在同一直线上的三点确定一个圆，故此命题错误， ③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故此命题正确， ④在同圆或等圆中，长相等的弧是等弧，故此选项错误， ⑤在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧度数相等，故此命题错误， 综上所述，只有③正确， 故选：． 4．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，在半径为5的中，弦与弦互相垂直，垂足为点E，如果，那么的长为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、利用垂径定理求值 【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的应用垂径定理求值是解本题的关键．如图，连接 过作于 过作于 再利用垂径定理求解 再证明四边形是正方形，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，连接 过作于 过作于 四边形是正方形， 故选A． 5．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若点P为内一点，过点P的最长弦长为8，最短弦长为4，则线段长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求值、求过圆内一点的最长弦、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是8；最短弦即是过点且垂直于过点的直径的弦；根据垂径定理即可求得的长，再根据勾股定理求得的长． 【详解】解：连接，如图所示： 根据题意得：，，于点， 则， ， ， ， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①直径是圆中最长的弦； ②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等； ⑥顶点在圆上的角是圆周角； ⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴； ⑨半圆是弧； ⑩过圆心的线段是直径． 【答案】①③④⑨ 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查圆的有关性质．根据弦、直径、等圆、等弧的概念判断即可． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦，说法正确； ②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误； ③面积相等的两个圆是等圆，说法正确； ④等弧所对的圆心角相等，说法正确； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的优弧相等，劣弧相等，原说法错误； ⑥圆周角的定义包括两个基本特征：一是顶点位于圆周上，二是角的两边都与圆相交，原说法错误； ⑦将圆绕圆心旋转一个角度可以和自身重合，原说法错误； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径所在直线都是它的对称轴，原说法错误； ⑨半圆是弧，说法正确； ⑩过圆心且两端都在圆上的线段是直径，原说法错误； 故答案为：①③④⑨． 7．如图，点在上，，则的度数为 【答案】/50度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边对等角、圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，平行线的性质，先由等边对等角得到，再由平行线的性质得到，则由等边等角得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的直径，点在上，于点．已知，，则的半径为 ． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析 【分析】先连接，在中，根据勾股定理得出的长即可．此题考查了圆的认识，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理求出圆的半径，此题较简单． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 在中， ， 解得：， 的半径为5． 故答案为：5． 9.如图，点，，在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定方法以及等边三角形的判定方法是解题的关键．根据题意可证四边形是菱形，连接，得到是等边三角形，过点作交于点，利用等边三角形的性质和勾股定理，求出，利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：点，，在上 四边形是平行四边形 四边形是菱形 如图，连接，过点作交于点 则 为等边三角形 四边形的面积为： 故答案为：． 10．（2024·安徽阜阳·二模）如图，为的内接三角形，，，则的半径为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，等腰三角形的性质．连接，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， ， ， 过圆心， ； ， ， ， 设，则， ， ， 解得， 故的半径为． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为．一场雨过后，水面宽变为，则水位上升 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理的应用，过圆心作垂直于弦的线段，构造直角三角形，再分水位分别在圆心上方和下方的两种情况去讨论，垂径定理与勾股定理结合求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于，交与连接， 由题意得：， ∴， ∴，，， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴水位上升； 如图，过作于，交与连接， 由题意得：， ∴， ∴，，， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴水位上升； 综上可知：水位上升或， 故答案为：或． 三、解答题 12．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，求∠2的度数． 【答案】 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，全等三角形的性质与判定，证明得到，即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）如图，两个同心圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于、两点，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题考查垂径定理的应用，能够根据需要作出辅助线，并运用垂径定理是解决本题的关键． 【详解】过点O作，垂足为点E， 在小中，， 在大中，， ∴， ， ∴    14．（23-24九年级上·江西赣州·期中）唐代桨轮船是原始形态的轮船．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为6m，轮子的吃水深度为1.5m，求该桨轮船的轮子直径． 【答案】该桨轮船的轮子直径为 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意在圆内构建直角三角形，利用勾股定理求出直径是解答本题的关键．连接，构建，利用勾股定理求出轮子的直径． 【详解】解：依题意，得，， 如图，连接，设轮子的直径为，则其半径为，    在中，, 解得， 答：该桨轮船的轮子直径为． 15．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图所示的拱桥，用弧表示桥拱．    (1)若弧所在圆的圆心为，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心．（不写作法，但要保留作图痕迹） (2)若拱桥的跨度（弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，求拱桥的半径． 【答案】(1)见解析 (2)拱桥的半径为米 【知识点】确定圆心(尺规作图)、垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】（1）作的垂直平分线，交于点，即可求解； （2）根据垂径定理得出，，设拱桥的半径为，在中，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，作的垂直平分线，交于点，    （2）解：如图，    设为的中点，交于点， ∵， ∴，， 设拱桥的半径为，在中，，， ∵， ∴ 解得： ∴拱桥的半径为米． 【点睛】本题考查了确定圆心的位置，垂径定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】A 【知识点】求一点到圆上点距离的最值、斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取的中点，连接，，证明在以为圆心，为半径的圆上，即可得到答案． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵为的中点，， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆上， 当C，Q，G三点共线时，最大，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即的最大值为． 故选A 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    【答案】2 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、求过圆内一点的最长弦 【分析】如图，连接并延长，交圆于点D，连接，由中位线定理，得，点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．于是的最大值为． 【详解】解：如图，连接并延长，交圆于点D，连接， ∵点M，N分别是AB，BC中点， ∴． 点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长． ∵是直径， ∴． ∴的最大值为． 故答案为：2    【点睛】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键． 3.（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求的度数． 【答案】(1)40 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． （1）设⊙O的半径为，根据垂径定理，由得到，在中，利用勾股定理得，解得，所以的直径为20； （2）由得到，根据三角形外角性质得，则，加上，所以，然后解方程即可得的度数； 【详解】（1）解：∵，， ∴， 设， 又∵， ∴，                                解得： ∴的直径是40． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4.如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米，    (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】（1）连接，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论． 【详解】（1）连接， 由题意得：， 在中，由勾股定理得：， 解得，； （2）连接， ， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：． ． ， 不需要采取紧急措施． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，的半径为5，弦的长为6，延长至点，使得点为的中点，在上任取一点，连接、，则的最大值为（    ）    A．290 B．272 C．252 D．244 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、求过圆内一点的最长弦 【分析】本题考查了勾股定理，圆内最长弦是直径，过点C作于点N，连接，根据勾股定理可得，，利用弦最长等于直径即可得出答案． 【详解】解：过点C作于点N，连接，   点为的中点，， ， ， ， ， ， 当最大时，最大， 在中， ， 当最大时，最大， 的半径为5， 弦最长等于直径是10， ， ． 故选：B． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）是的直径，弦，垂足为，连接，，．    (1)如图1，连接，，若是的中点，求证：四边形是菱形． (2)如图2，作的平分线，交⊙O于点E，求证：为的中点 (3)如图3，若的半径是1，，求点到弦的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、利用垂径定理求值、证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据垂径定理可得OB垂直平分CD，在根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得出结论； （2）直径所对圆周角等于90°，再由同角的余角相等证明，进而证明，即可得出结论； （3）由垂径定理可知，再根据勾股定理求出，，即可根据面积法求高. 【详解】（1）证明：∵是的直径，弦， ∴， 又∵是的中点，即， ∴四边形是菱形. （2）∵是的直径， ∴, ∴， 又∵弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵是的平分线，即， ∴，即， ∴，即为的中点. （3）∵的半径是1，， ∴， ∴在中，， ∴在中，， 设点到弦的距离为， ∵， ∴ ∴，即点到弦的距离为. 【点睛】本题涉及了圆的基本性质、垂径定理、、圆周角定理及推理、勾股定理；解（3）题关键是根据垂径定理求，从而求出其他线段长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$